Реферат: Метод конечных разностей или метод сеток

Метод конечных разностей, или метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу

/>(2.24)

/>(2.25)

/>,

где />,/>,и/>непрерывны на [a, b].

Разобьемотрезок [a, b]на nравных частей длины, или шага

/>.

Точки разбиения 

/>, />

называютсяузлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b]. Значения в узлах искомой функции /> и ее производных/> /> обозначим соответственно через

/>.

Введем обозначения

/>

Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:

/>(2.26)

Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала[a, b].

Для граничных точек положим

/>. (2.27)

Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при />, (i=1, 2,..., n–1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений

/>(2.28)

Кроме того, в силу формул(2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:

/>.(2.29)

Таким образом, получена линейная системаn+1уравнений сn+1неизвестными />, представляющими собой значения искомой функции /> в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу(2.24), (2.25)обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2.28):

/>.(2.30)

Введя обозначения

/>

получим

/>,(i=0, 1,..., n-2).(2.31)

--PAGE_BREAK--

Краевые условия по-прежнему запишем в виде

/>.(2.32)

Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2.31) относительно />:

/>.(2.33)

Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий/>. Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде

/>,(2.34)

где/> и/> должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что

/>

Исключая из этих двух уравнений />, найдем

/>.

Выразим теперь отсюда />:

/>(2.35)

Но, согласно формуле (2.34),

/>(2.36)

Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что

/>(2.37)

Пусть теперьi >0, то есть i=1, 2,..., n–2. Выражая /> по формуле (2.34), получим:

/>.

Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь

/>.

Разрешая полученное уравнение относительно/>, находим

/>,или

/>.(2.38)

Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов/>и />рекуррентные формулы:

 

/>(2.39)

Так как/> и/> уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты/> и/> до/> и/> включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.

Из формулы (2.33) при i=n–2 и второго краевого условия (2.32) получаем

/>

Разрешая эту систему относительно/>, будем иметь

/>.(2.40)

Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти />. Это − обратный ход метода прогонки.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Итак, получаем следующую цепочку:

/>(2.41)

Для простейших краевых условий /> 

формулы для/>и /> упрощаются. Полагая в этом случае />из формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь

/>

Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.

1)Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)?

2)Как фактически находить это решение?

3)Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?

Можно доказать, что если краевая задача имеет вид

/>

причем р(x)>0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответследующая

Теорема

Если />и /> дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой

/>

равномерно сходится к точному с погрешностью /> при />

Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной

/>

имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации

/>

Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:

/>,(2.42)

/>,(2.43)

i=1, 2,..., n.

Погрешность формулы (2.42) выражается так:

/>

то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:

/>(2.44)

Где/>.

Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты

/>(2.45)

Затем определяют коэффициенты /> по следующим рекуррентным формулам:

/>(2.46)

Обратный ход начинается с нахождения />:

/>(2.47)

После этого находим />по формулам:

/>,(2.48)

/>.(2.49)

Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при

/>и/>,

и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место

Теорема

Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a, b]до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия

/>, />, />

то схема (2.44) будет равномерно сходиться к решению задачи (2.24), (2.25) с погрешностью />.

Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.