Реферат: Определенный интеграл

Определенный интеграл

Содержание

Лекция 1. Определенный интеграл

1. Понятие определенного интеграла

2. Геометрический смысл определенного интеграла

3. Основные свойства определенного интеграла

4. Формула Ньютона–Лейбница

5. Замена переменной в определенном интеграле

6. Интегрирование по частям

Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы

1. Площадь криволинейной трапеции

2. Объем тела вращения

3. Длина дуги плоской кривой

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

5. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Литература

Лекция 1. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла

Пусть функция /> определена на отрезке />, />. Выполним следующие операции:

разобьем отрезок /> точками /> на n частичных отрезков />;

в каждом из частичных отрезков />, /> выберем произвольную точку /> и вычислим значение функции в этой точке: />;

найдем произведения />, где /> – длина частичного отрезка />, />;

составим сумму

/>, (1)

которая называется интегральной суммой функции y= f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма /> представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки />, а высоты равны /> соответственно (рис. 1). Обозначим через /> длину наибольшего частичного отрезка />;

найдем предел интегральной суммы, когда />.

/>

Рис. 1

Определение.Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка />на частичные отрезки, ни от выбора точек />в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции />на отрезке />и обозначается />.

Таким образом, />.

В этом случае функция />называется интегрируемой на />. Числа а и bназываются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, />– подынтегральной функцией, />– подынтегральным выражением, />– переменной интегрирования; отрезок />называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция />непрерывна на отрезке />, то она интегрируема на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке />задана непрерывная неотрицательная функция />. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y= f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x= aи x= b(рис. 2).

--PAGE_BREAK--

/>

Рис. 2

Определенный интеграл />от неотрицательной функции />с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции />, слева и справа – отрезками прямых />и />, снизу – отрезком />оси Ох.

3. Основные свойства определенного интеграла

Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: />.

2.Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: />

Если />, то, по определению, полагаем />

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: />

Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

/>.

Если функция />интегрируема на />и />, то

/>.

(теорема о среднем). Если функция />непрерывна на отрезке />, то на этом отрезке существует точка />, такая, что />.

4. Формула Ньютона–Лейбница

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция />непрерывна на отрезке />и />– какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

/>, (2)

которая называется формулой Ньютона–Лейбница.Разность />принято записывать следующим образом:

/>,

где символ/>называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

/>.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную />для подынтегральной функции />; на втором – находится разность />значений этой первообразной на концах отрезка />.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Пример 1.Вычислить интеграл />.

Решение. Для подынтегральной функции />произвольная первообразная имеет вид />. Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: />. Тогда />.

Пример 2.Вычислить интеграл />.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

/>.

5. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3.Пусть функция />непрерывна на отрезке />. Тогда, если: 1) функция />и ее производная />непрерывны при />; 2) множеством значений функции />при />является отрезок />; 3) />, />, то справедлива формула

/>, (3)

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования />и />(для этого надо решить относительно переменной tуравнения />и />)).

На практике часто вместо подстановки />используют подстановку />. В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной tупрощается: />, />.

Пример 3. Вычислить интеграл />

Решение. Введем новую переменную по формуле />. Определим />и />. Возведя в квадрат обе части равенства />, получим />, откуда />/>. Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу/>подставим старые пределы />и />. Получим: />, откуда />и, следовательно, />; />, откуда />и, следовательно, />. Таким образом:

    продолжение
--PAGE_BREAK--

/>
/>.

Пример 4.Вычислить интеграл />.

Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим />, откуда />/>, />. Найдем новые пределы интегрирования: если />, то />; если />, то />. Значит, />. Следовательно:

/>

/>

/>.

Пример 5.Вычислить интеграл />.

Решение. Положим />, тогда />, откуда />. Находим новые пределы интегрирования: />; />. Имеем: />. Следовательно:

/>

/>.

Интегрирование по частям

Теорема 4.Пусть функции />и />имеют непрерывные производные на отрезке />. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

/>. (4)

Доказательство

Так как />, то функция />является первообразной для функции />. Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем

/>,

откуда

/>.

Пример 6.Вычислить />.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Решение. Положим />, отсюда />. По формуле (4) находим

/>
/>.

Пример 7.Вычислить />.

Решение. Пусть />, тогда />. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

/>
/>.

Пример 8.Вычислить />.

Решение. Полагая />, определяем />. Следовательно:

/>

/>[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: />; следовательно: />] = />= />

/>.

Лекция 2. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы

Площадь криволинейной трапеции

Пусть функция />неотрицательна и непрерывна на отрезке />. Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью />, слева и справа – прямыми />и />(см. рис. 2) вычисляется по формуле

/>. (5)

Пример 9.Найти площадь фигуры, ограниченной линией />и осью />.

Решение. Графиком функции />является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью />(прямой />). Для этого решаем систему уравнений

/>

Получаем: />, откуда />, />; следовательно, />, />.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

/>

Рис. 3

Площадь фигуры находим по формуле (5):

/>

/>/>(кв. ед.).

Если функция />неположительна и непрерывна на отрезке />, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью />, слева и справа – прямыми />и />, вычисляется по формуле

/>. (6)

В случае если функция />непрерывна на отрезке />и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

/>. (7)

/>

Рис. 4

Пример 10.Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью />и графиком функции />при />.

/>

Рис. 5

Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей />и />. Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему />Получим />, />. Следовательно:

/>/>;

/>

/>.

Таким образом, площадь />заштрихованной фигуры равна

/>(кв. ед.).

/>

Рис. 6

Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке />функций />и />,
а слева и справа – прямыми />и />(рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле

/>. (8)

Пример 11.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями />и />.

Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений />находим />, />; следовательно, />, />. На отрезке />имеем: />. Значит, в формуле (8) в качестве />возьмем x, а в качестве />– />. Получим:

/>/>/>(кв. ед.).

Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.

/>

Рис. 7

Пример 12.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями />, />/>, />.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью />, слева и справа – прямыми />и />, сверху – графиками функций />и />. Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой />на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий />и />). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):

    продолжение
--PAGE_BREAK--

/>(кв. ед.); />(кв. ед.). Следовательно:

/>(кв. ед.).

/>

Рис. 8

/>/>

Рис. 9

В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми />и />, осью />и непрерывной на />кривой />(рис. 9), то ее площадь находится по формуле

/>.

Объем тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке />функции />, осью />, прямыми />и />, вращается вокруг оси />(рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле

/>. (9)

Пример 13.Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси />криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой />, прямыми />, />и осью />.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 11).

Из условия задачи следует, что />, />. По формуле (9) получаем

/>
/>.

/>

Рис. 10

/>

Рис. 11

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d, осью Оу и графиком непрерывной на отрезке />функции />(рис. 12), определяется по формуле

/>. (10)

/>/>

Рис. 12

Пример 14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х2= 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).

Решение. В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: />, />. По формуле (10) получаем:

/>.

/>

Рис. 13

Длина дуги плоской кривой

Пусть кривая />, заданная уравнением />, где />, лежит в плоскости />(рис. 14).

    продолжение
--PAGE_BREAK--

/>

Рис. 14

Определение.Под длиной дуги />понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если функция />и ее производная />непрерывны на отрезке />, то длина дуги кривой />вычисляется по формуле

/>. (11)

Пример 15. Вычислить длину дуги кривой />, заключенной между точками, для которых />.

Решение. Из условия задачи имеем />. По формуле (11) получаем:

/>

/>

/>/>.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

При введении понятия определённого интеграла />предполагалось, что выполняются следующие два условия:

а) пределы интегрирования а и />являются конечными;

б) подынтегральная функция />ограничена на отрезке />.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.

Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение.Пусть функция />определена и непрерывна на промежутке />, тогда

/>(12)

называется несобственным интеграломс бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом Iрода).

Если />существует и конечен, то несобственный интеграл />называется сходящимся; если данный предел не существует или равен />, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл />от неотрицательной функции />выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции />, снизу – осью />, слева – отрезком прямой />и неограниченной справа (рис. 15).

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.

/>

Рис. 15

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:

/>. (13)

Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:

/>, (14)

где с – любая точка интервала />. Интеграл />сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).

Пример 16.Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) />; б)/>; в) />; г) />.

Решение. а) />/>, следовательно, данный интеграл расходится;

б) />

/>. Так как при />предел />не существует, то интеграл />расходится;

в) />

/>Значит, несобственный интеграл />сходится и его значение равно />;

г) />= [выделим в знаменателе полный квадрат: />] = />[замена: />

/>] = />

/>/>

Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно />.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция />непрерывна на конечном промежутке />, но не ограничена на этом промежутке.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Определение.Несобственным интегралом />от функции у=f(x) на промежутке />называется предел />, т.е.

/>. (15)

Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции />непрерывной, но не ограниченной на промежутке />:

/>. (16)

Если функция />не ограничена при />, где />, и непрерывна при />и />, то несобственный интеграл от функции у=f(x) на отрезке />обозначается />и определяется равенством

/>. (17)

Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17).
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.

Пример 17.Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) />; б) />.

Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция />не определена в точке />, при />эта функция неограниченно возрастает).

По определению имеем

/>[замена: />/>] = />/>, следовательно, данный интеграл сходится.

б) по определению

/>
/>/>.

Значит, данный интеграл является расходящимся.

Литература

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.

2. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

3. Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

5. Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.