Реферат: Случайные вектора

--PAGE_BREAK--         <imagedata src=«19123.files/image471.wmz» o:><img width=«255» height=«59» src=«dopb87709.zip» v:shapes="_x0000_i1374">,                       (56.6)
где
<imagedata src=«19123.files/image473.wmz» o:><img width=«200» height=«76» src=«dopb87710.zip» v:shapes="_x0000_i1375">
— плотность распределения вероятностей случайной величины <imagedata src=«19123.files/image463.wmz» o:><img width=«17» height=«20» src=«dopb87706.zip» v:shapes="_x0000_i1376">. С учетом этого (56.6) преобразуется:
<imagedata src=«19123.files/image475.wmz» o:><img width=«195» height=«61» src=«dopb87711.zip» v:shapes="_x0000_i1377">.
Аналогично
<imagedata src=«19123.files/image477.wmz» o:><img width=«272» height=«59» src=«dopb87712.zip» v:shapes="_x0000_i1378">,
теперь ковариация
<imagedata src=«19123.files/image479.wmz» o:><img width=«475» height=«59» src=«dopb87713.zip» v:shapes="_x0000_i1379">.
Таким образом, для нелинейной связи между случайными величинами их ковариация не может использоваться как мера статистической связи, поскольку значение ковариации не отражает степень этой связи.
 
Ковариация и геометрия линий равного уровня плотности вероятности Ковариация случайных величин <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1380"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1381"> определяется через их совместную плотность вероятности <imagedata src=«19123.files/image481.wmz» o:><img width=«68» height=«27» src=«dopb87714.zip» v:shapes="_x0000_i1382"> соотношением:
<imagedata src=«19123.files/image483.wmz» o:><img width=«288» height=«61» src=«dopb87715.zip» v:shapes="_x0000_i1383">         .                          (57.1)
Подынтегральная функция в (57.1) неотрицательна для таких <imagedata src=«19123.files/image485.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87527.zip» v:shapes="_x0000_i1384">, <imagedata src=«19123.files/image486.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87528.zip» v:shapes="_x0000_i1385">, при которых <imagedata src=«19123.files/image487.wmz» o:><img width=«160» height=«29» src=«dopb87716.zip» v:shapes="_x0000_i1386">, то есть при <imagedata src=«19123.files/image489.wmz» o:><img width=«53» height=«29» src=«dopb87717.zip» v:shapes="_x0000_i1387">, <imagedata src=«19123.files/image491.wmz» o:><img width=«55» height=«29» src=«dopb87718.zip» v:shapes="_x0000_i1388"> или <imagedata src=«19123.files/image493.wmz» o:><img width=«53» height=«29» src=«dopb87719.zip» v:shapes="_x0000_i1389">, <imagedata src=«19123.files/image495.wmz» o:><img width=«55» height=«29» src=«dopb87720.zip» v:shapes="_x0000_i1390">. И наоборот, при <imagedata src=«19123.files/image493.wmz» o:><img width=«53» height=«29» src=«dopb87719.zip» v:shapes="_x0000_i1391">, <imagedata src=«19123.files/image491.wmz» o:><img width=«55» height=«29» src=«dopb87718.zip» v:shapes="_x0000_i1392"> или <imagedata src=«19123.files/image493.wmz» o:><img width=«53» height=«29» src=«dopb87719.zip» v:shapes="_x0000_i1393">, <imagedata src=«19123.files/image491.wmz» o:><img width=«55» height=«29» src=«dopb87718.zip» v:shapes="_x0000_i1394"> подынтегральная функция (57.1) отрицательна либо равна нулю. Знак ковариации зависит от того, какие значения, положительные или отрицательные преобладают в подынтегральной функции. Поэтому знак числа <imagedata src=«19123.files/image497.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb87657.zip» v:shapes="_x0000_i1395"> определяется расположением линий равного уровня плотности вероятности <imagedata src=«19123.files/image498.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87592.zip» v:shapes="_x0000_i1396">. На рис. 57.1 представлен пример линий равного уровня  функции   <imagedata src=«19123.files/image481.wmz» o:><img width=«68» height=«27» src=«dopb87714.zip» v:shapes="_x0000_i1397">,  для которой  <imagedata src=«19123.files/image499.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87721.zip» v:shapes="_x0000_i1398">.  Штриховкой
<imagedata src=«19123.files/image501.png» o:><img width=«310» height=«310» src=«dopb87722.zip» v:shapes="_x0000_i1399">
Рис. 57.1.
Линии равного уровня плотности вероятности при <imagedata src=«19123.files/image499.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87721.zip» v:shapes="_x0000_i1400">.указана часть плоскости, на которой <imagedata src=«19123.files/image503.wmz» o:><img width=«159» height=«29» src=«dopb87723.zip» v:shapes="_x0000_i1401">, и следовательно неотрицательна подынтегральная функция. Поскольку в заштрихованной области (положительные значения подынтегральной функции) плотность <imagedata src=«19123.files/image505.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87592.zip» v:shapes="_x0000_i1402"> имеет в среднем большее значение, чем в нештрихованной области (отрицательные значения подынтегральной функции), то ковариация  <imagedata src=«19123.files/image506.wmz» o:><img width=«47» height=«21» src=«dopb87724.zip» v:shapes="_x0000_i1403">. На рис. 57.2 представлены линии равного уровня плотности <imagedata src=«19123.files/image508.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87592.zip» v:shapes="_x0000_i1404"> при <imagedata src=«19123.files/image509.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87725.zip» v:shapes="_x0000_i1405">. Случай <imagedata src=«19123.files/image511.wmz» o:><img width=«47» height=«21» src=«dopb87656.zip» v:shapes="_x0000_i1406"> соответствует симметричному расположению линий относительно прямой <imagedata src=«19123.files/image512.wmz» o:><img width=«53» height=«29» src=«dopb87726.zip» v:shapes="_x0000_i1407"> (или <imagedata src=«19123.files/image514.wmz» o:><img width=«55» height=«29» src=«dopb87727.zip» v:shapes="_x0000_i1408">). Например, эти линии могут быть эллипсами, у которых большая полуось совпадает по направлению с прямой <imagedata src=«19123.files/image516.wmz» o:><img width=«53» height=«29» src=«dopb87726.zip» v:shapes="_x0000_i1409"> (или <imagedata src=«19123.files/image517.wmz» o:><img width=«55» height=«29» src=«dopb87727.zip» v:shapes="_x0000_i1410">). Другой пример – линии являются окружностями с центром в точке <imagedata src=«19123.files/image518.wmz» o:><img width=«64» height=«29» src=«dopb87728.zip» v:shapes="_x0000_i1411">.
<imagedata src=«19123.files/image520.png» o:><img width=«295» height=«295» src=«dopb87729.zip» v:shapes="_x0000_i1412">
Рис. 57.2. Линии равного уровня плотности
вероятности при <imagedata src=«19123.files/image509.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87725.zip» v:shapes="_x0000_i1413">.
Отметим, что если <imagedata src=«19123.files/image522.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87730.zip» v:shapes="_x0000_i1414">, а линии равного уровня имеют ось симметрии, например, на рис. 57.1 линии – это эллипсы, тогда можно выполнить преобразование (вращение) системы координат <imagedata src=«19123.files/image524.wmz» o:><img width=«33» height=«20» src=«dopb87731.zip» v:shapes="_x0000_i1415">, такое, что в новой системе ковариация <imagedata src=«19123.files/image526.wmz» o:><img width=«47» height=«21» src=«dopb87656.zip» v:shapes="_x0000_i1416">. Это означает также и преобразование случайных величин <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1417">, <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1418"> с ненулевой ковариацией к новым случайным величинам, для которых ковариация равна нулю.
Коэффициент корреляции 58.1. Коэффициентом корреляции двух случайных величин <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1419"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1420"> называется число
<imagedata src=«19123.files/image527.wmz» o:><img width=«164» height=«60» src=«dopb87732.zip» v:shapes="_x0000_i1421">.                                (58.1)
Коэффициент корреляции является ковариацией: <imagedata src=«19123.files/image529.wmz» o:><img width=«88» height=«27» src=«dopb87733.zip» v:shapes="_x0000_i1422"> двух безразмерных случайных величин
<imagedata src=«19123.files/image531.wmz» o:><img width=«92» height=«60» src=«dopb87734.zip» v:shapes="_x0000_i1423">, <imagedata src=«19123.files/image533.wmz» o:><img width=«92» height=«60» src=«dopb87735.zip» v:shapes="_x0000_i1424">,                          (58.2)
полученных из исходных величин <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1425"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1426"> путем преобразования специального вида (58.2) (нормировки), которое обеспечивает нулевые средние <imagedata src=«19123.files/image535.wmz» o:><img width=«72» height=«27» src=«dopb87736.zip» v:shapes="_x0000_i1427">, <imagedata src=«19123.files/image537.wmz» o:><img width=«73» height=«27» src=«dopb87737.zip» v:shapes="_x0000_i1428"> и единичные дисперсии <imagedata src=«19123.files/image539.wmz» o:><img width=«76» height=«27» src=«dopb87738.zip» v:shapes="_x0000_i1429">, <imagedata src=«19123.files/image541.wmz» o:><img width=«76» height=«27» src=«dopb87739.zip» v:shapes="_x0000_i1430">.
Коэффициент корреляции (58.1) можно представить через ковариацию <imagedata src=«19123.files/image352.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb87657.zip» v:shapes="_x0000_i1431"> случайных величин <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1432"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1433">:
<imagedata src=«19123.files/image543.wmz» o:><img width=«84» height=«57» src=«dopb87740.zip» v:shapes="_x0000_i1434">.                    (58.3)
Поскольку <imagedata src=«19123.files/image545.wmz» o:><img width=«87» height=«29» src=«dopb87741.zip» v:shapes="_x0000_i1435">, то из (58.3) следует
<imagedata src=«19123.files/image547.wmz» o:><img width=«55» height=«25» src=«dopb87742.zip» v:shapes="_x0000_i1436"> .               (58.4)
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, принимает значения на интервале <imagedata src=«19123.files/image549.wmz» o:><img width=«51» height=«25» src=«dopb87743.zip» v:shapes="_x0000_i1437"> и поэтому используется как мера статистической связи линейного типа между случайными величинами <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1438"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1439">, в отличие от ковариации <imagedata src=«19123.files/image551.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb87657.zip» v:shapes="_x0000_i1440">, для которой интервал значений <imagedata src=«19123.files/image552.wmz» o:><img width=«132» height=«29» src=«dopb87744.zip» v:shapes="_x0000_i1441"> зависит от дисперсий случайных величин. Рассмотрим примеры вычисления коэффициента корреляции, позволяющие выяснить свойства <imagedata src=«19123.files/image554.wmz» o:><img width=«19» height=«21» src=«dopb87745.zip» v:shapes="_x0000_i1442"> как меры статистической связи между случайными величинами.
58.2. Пусть <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1443"> - случайная величина с математическим ожиданием <imagedata src=«19123.files/image556.wmz» o:><img width=«23» height=«29» src=«dopb87646.zip» v:shapes="_x0000_i1444">, дисперсией <imagedata src=«19123.files/image557.wmz» o:><img width=«27» height=«33» src=«dopb87662.zip» v:shapes="_x0000_i1445"> и <imagedata src=«19123.files/image558.wmz» o:><img width=«87» height=«25» src=«dopb87746.zip» v:shapes="_x0000_i1446">. Ковариация случайных величин <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1447"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1448"> определяется формулой (56.5): <imagedata src=«19123.files/image560.wmz» o:><img width=«112» height=«31» src=«dopb87747.zip» v:shapes="_x0000_i1449"> . Подставим это соотношение в (58.3), тогда:
<imagedata src=«19123.files/image562.wmz» o:><img width=«176» height=«59» src=«dopb87748.zip» v:shapes="_x0000_i1450">                     (58.4)
Таким образом, для случайных величин <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1451">, <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1452">, связанных линейной зависимостью коэффициент корреляции <imagedata src=«19123.files/image554.wmz» o:><img width=«19» height=«21» src=«dopb87745.zip» v:shapes="_x0000_i1453"> принимает либо максимальное значение <imagedata src=«19123.files/image564.wmz» o:><img width=«45» height=«25» src=«dopb87749.zip» v:shapes="_x0000_i1454">, либо минимальное — <imagedata src=«19123.files/image566.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb87750.zip» v:shapes="_x0000_i1455">.
58.3. Рассмотрим обобщение линейной функции, связывающей случайные величины <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1456"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1457"> на линейную случайную функцию следующего вида:
<imagedata src=«19123.files/image568.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb87751.zip» v:shapes="_x0000_i1458">                          (58.5)
где <imagedata src=«19123.files/image570.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb87752.zip» v:shapes="_x0000_i1459"> и <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1460"> - независимые случайные величины. В частном случае <imagedata src=«19123.files/image570.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb87752.zip» v:shapes="_x0000_i1461"> - число и (58.5) – линейная функция, определяющая <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1462"> через <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1463">. Для детерминированной линейной связи <imagedata src=«19123.files/image572.wmz» o:><img width=«55» height=«25» src=«dopb87753.zip» v:shapes="_x0000_i1464"> - принимает максимальное значение. Если <imagedata src=«19123.files/image570.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb87752.zip» v:shapes="_x0000_i1465"> - случайная величина, то связь (58.5) становится статистической (стохастической, случайной), то есть не столь жесткой как детерминированная функциональная связь. Это приводит к <imagedata src=«19123.files/image574.wmz» o:><img width=«55» height=«25» src=«dopb87754.zip» v:shapes="_x0000_i1466">. В зависимости от свойств случайной величины <imagedata src=«19123.files/image570.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb87752.zip» v:shapes="_x0000_i1467"> статистическая связь между <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1468"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1469"> может быть сильной, <imagedata src=«19123.files/image576.wmz» o:><img width=«55» height=«25» src=«dopb87755.zip» v:shapes="_x0000_i1470">, или слабой, <imagedata src=«19123.files/image578.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb87756.zip» v:shapes="_x0000_i1471">. Для того, чтобы ответить на вопрос, какова мера связи между случайными величинами <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1472"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1473"> (58.5) вычислим их коэффициент корреляции.
Пусть <imagedata src=«19123.files/image580.wmz» o:><img width=«67» height=«25» src=«dopb87757.zip» v:shapes="_x0000_i1474">, <imagedata src=«19123.files/image582.wmz» o:><img width=«87» height=«33» src=«dopb87758.zip» v:shapes="_x0000_i1475">, <imagedata src=«19123.files/image584.wmz» o:><img width=«76» height=«29» src=«dopb87759.zip» v:shapes="_x0000_i1476">, <imagedata src=«19123.files/image586.wmz» o:><img width=«88» height=«32» src=«dopb87760.zip» v:shapes="_x0000_i1477">. Тогда из (58.5) следует, в силу независимости <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1478"> и<imagedata src=«19123.files/image570.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb87752.zip» v:shapes="_x0000_i1479">:
<imagedata src=«19123.files/image588.wmz» o:><img width=«207» height=«25» src=«dopb87761.zip» v:shapes="_x0000_i1480">.                                         
Выразим дисперсию случайные величины <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1481"> через параметры случайных величин <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1482">,<imagedata src=«19123.files/image570.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb87752.zip» v:shapes="_x0000_i1483">:
<imagedata src=«19123.files/image590.wmz» o:><img width=«436» height=«32» src=«dopb87762.zip» v:shapes="_x0000_i1484"> .              (58.6)
Теперь по формуле (58.3):
<imagedata src=«19123.files/image592.wmz» o:><img width=«312» height=«65» src=«dopb87763.zip» v:shapes="_x0000_i1485"> .                              (58.7)
Если <imagedata src=«19123.files/image594.wmz» o:><img width=«79» height=«32» src=«dopb87764.zip» v:shapes="_x0000_i1486">, то из (58.7) следует <imagedata src=«19123.files/image596.wmz» o:><img width=«48» height=«25» src=«dopb87765.zip» v:shapes="_x0000_i1487">, что соответствует слабой связи между случайными величинами <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1488"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1489">. Если <imagedata src=«19123.files/image598.wmz» o:><img width=«79» height=«32» src=«dopb87766.zip» v:shapes="_x0000_i1490">, из (58.7) следует <imagedata src=«19123.files/image600.wmz» o:><img width=«53» height=«25» src=«dopb87767.zip» v:shapes="_x0000_i1491">, связь становится сильной и в пределе при <imagedata src=«19123.files/image602.wmz» o:><img width=«103» height=«32» src=«dopb87768.zip» v:shapes="_x0000_i1492"> переходит в детерминированную линейную связь.

Коэффициент корреляции и расстояние 59.1. Пусть <imagedata src=«19123.files/image604.wmz» o:><img width=«120» height=«25» src=«dopb87769.zip» v:shapes="_x0000_i1493"> - множество элементов <imagedata src=«19123.files/image606.wmz» o:><img width=«76» height=«20» src=«dopb87770.zip» v:shapes="_x0000_i1494"> Расстоянием (метрикой) между элементами <imagedata src=«19123.files/image608.wmz» o:><img width=«35» height=«20» src=«dopb87771.zip» v:shapes="_x0000_i1495"> множества <imagedata src=«19123.files/image610.wmz» o:><img width=«17» height=«21» src=«dopb87772.zip» v:shapes="_x0000_i1496"> называется неотрицательная функция <imagedata src=«19123.files/image612.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb87773.zip» v:shapes="_x0000_i1497">, удовлетворяющая следующим трем аксиомам:
<imagedata src=«19123.files/image614.wmz» o:><img width=«91» height=«25» src=«dopb87774.zip» v:shapes="_x0000_i1498">, причем <imagedata src=«19123.files/image616.wmz» o:><img width=«164» height=«25» src=«dopb87775.zip» v:shapes="_x0000_i1499">.
<imagedata src=«19123.files/image618.wmz» o:><img width=«136» height=«25» src=«dopb87776.zip» v:shapes="_x0000_i1500">.
<imagedata src=«19123.files/image620.wmz» o:><img width=«208» height=«25» src=«dopb87777.zip» v:shapes="_x0000_i1501">.
Вторая аксиома называется условием симметрии, а третья – неравенством треугольника. Если аксиому 1 ослабить: <imagedata src=«19123.files/image622.wmz» o:><img width=«163» height=«25» src=«dopb87778.zip» v:shapes="_x0000_i1502">, тогда <imagedata src=«19123.files/image612.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb87773.zip» v:shapes="_x0000_i1503"> называется псевдометрикой. Для псевдометрики из условия <imagedata src=«19123.files/image624.wmz» o:><img width=«91» height=«25» src=«dopb87779.zip» v:shapes="_x0000_i1504"> не обязательно следует <imagedata src=«19123.files/image626.wmz» o:><img width=«47» height=«20» src=«dopb87780.zip» v:shapes="_x0000_i1505">.
Пусть <imagedata src=«19123.files/image628.wmz» o:><img width=«88» height=«25» src=«dopb87781.zip» v:shapes="_x0000_i1506"> - множество случайных величин. Для каждой пары <imagedata src=«19123.files/image630.wmz» o:><img width=«35» height=«25» src=«dopb87782.zip» v:shapes="_x0000_i1507"> элементов этого множества можно также ввести расстояние <imagedata src=«19123.files/image632.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb87783.zip» v:shapes="_x0000_i1508"> вида
<imagedata src=«19123.files/image634.wmz» o:><img width=«171» height=«31» src=«dopb87784.zip» v:shapes="_x0000_i1509">.                               (59.1)
Покажем, что функция <imagedata src=«19123.files/image632.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb87783.zip» v:shapes="_x0000_i1510"> является псевдометрикой. Аксиома 1 – очевидна: <imagedata src=«19123.files/image636.wmz» o:><img width=«116» height=«31» src=«dopb87785.zip» v:shapes="_x0000_i1511">, причем из условия <imagedata src=«19123.files/image638.wmz» o:><img width=«76» height=«25» src=«dopb87786.zip» v:shapes="_x0000_i1512"> следует <imagedata src=«19123.files/image640.wmz» o:><img width=«116» height=«31» src=«dopb87787.zip» v:shapes="_x0000_i1513">. Аксиома 2 также очевидна. Рассмотрим аксиому 3. Справедливы следующие преобразования:
<imagedata src=«19123.files/image642.wmz» o:><img width=«607» height=«31» src=«dopb87788.zip» v:shapes="_x0000_i1514">
(59.2)
Пусть <imagedata src=«19123.files/image644.wmz» o:><img width=«164» height=«25» src=«dopb87789.zip» v:shapes="_x0000_i1515"> - корреляция двух случайных величин <imagedata src=«19123.files/image646.wmz» o:><img width=«47» height=«25» src=«dopb87790.zip» v:shapes="_x0000_i1516"> и <imagedata src=«19123.files/image648.wmz» o:><img width=«47» height=«25» src=«dopb87791.zip» v:shapes="_x0000_i1517">. Известно, что <imagedata src=«19123.files/image650.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb87640.zip» v:shapes="_x0000_i1518"> удовлетворяет неравенству (55.2)
<imagedata src=«19123.files/image651.wmz» o:><img width=«215» height=«35» src=«dopb87792.zip» v:shapes="_x0000_i1519"> .                                        (59.3)
Подставим (59.3) в (59.2), тогда
<imagedata src=«19123.files/image653.wmz» o:><img width=«515» height=«33» src=«dopb87793.zip» v:shapes="_x0000_i1520">
<imagedata src=«19123.files/image655.wmz» o:><img width=«252» height=«37» src=«dopb87794.zip» v:shapes="_x0000_i1521"> ,                                (59.4)
что и доказывает третью аксиому.
59.2. Пусть
<imagedata src=«19123.files/image657.wmz» o:><img width=«92» height=«60» src=«dopb87734.zip» v:shapes="_x0000_i1522">, <imagedata src=«19123.files/image658.wmz» o:><img width=«92» height=«60» src=«dopb87735.zip» v:shapes="_x0000_i1523">                                    (59.5)
— нормированные случайные величины. Рассмотрим квадрат расстояния между ними:
<imagedata src=«19123.files/image659.wmz» o:><img width=«475» height=«31» src=«dopb87795.zip» v:shapes="_x0000_i1524">        ,        (59.6)
где <imagedata src=«19123.files/image554.wmz» o:><img width=«19» height=«21» src=«dopb87745.zip» v:shapes="_x0000_i1525"> - коэффициент корреляции случайных величин <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1526"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1527">. Из (59.6) следует равенство
<imagedata src=«19123.files/image661.wmz» o:><img width=«88» height=«53» src=«dopb87796.zip» v:shapes="_x0000_i1528">                                                (59.7)
которое можно рассматривать как закон сохранения: величина <imagedata src=«19123.files/image663.wmz» o:><img width=«79» height=«31» src=«dopb87797.zip» v:shapes="_x0000_i1529"> - постоянная для любых случайных величин <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1530"> и <imagedata src=«19123.files/image003.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87505.zip» v:shapes="_x0000_i1531">. Это равенство позволяет дать интерпретацию коэффициента корреляции <imagedata src=«19123.files/image554.wmz» o:><img width=«19» height=«21» src=«dopb87745.zip» v:shapes="_x0000_i1532"> как величины, дополняющей расстояние <imagedata src=«19123.files/image665.wmz» o:><img width=«48» height=«27» src=«dopb87798.zip» v:shapes="_x0000_i1533"> до единицы.
Функция распределения вероятностей случайного вектора Во многих приложениях теории вероятностей возникает необходимость рассматривать совокупность <imagedata src=«19123.files/image667.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1534"> случайных величин <imagedata src=«19123.files/image669.wmz» o:><img width=«80» height=«27» src=«dopb87800.zip» v:shapes="_x0000_i1535">, которая называется многомерной (<imagedata src=«19123.files/image671.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1536"> — мерной) случайной величиной <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1537"> или <imagedata src=«19123.files/image672.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1538"> -мерным случайным вектором <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1539">. Полное вероятностное описание <imagedata src=«19123.files/image673.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1540"> - мерного случайного вектора задается функцией распределения вероятностей <imagedata src=«19123.files/image674.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87801.zip» v:shapes="_x0000_i1541"> (или плотностью вероятности <imagedata src=«19123.files/image676.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87802.zip» v:shapes="_x0000_i1542">, или характеристической функцией <imagedata src=«19123.files/image678.wmz» o:><img width=«27» height=«27» src=«dopb87803.zip» v:shapes="_x0000_i1543">). Функция <imagedata src=«19123.files/image680.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1544"> аргументов
         <imagedata src=«19123.files/image681.wmz» o:><img width=«288» height=«29» src=«dopb87804.zip» v:shapes="_x0000_i1545">                           (60.1)
называется функцией распределения вероятностей случайного вектора <imagedata src=«19123.files/image683.wmz» o:><img width=«112» height=«27» src=«dopb87805.zip» v:shapes="_x0000_i1546">. Здесь случайное событие
         <imagedata src=«19123.files/image685.wmz» o:><img width=«247» height=«48» src=«dopb87806.zip» v:shapes="_x0000_i1547">                                   (60.2)
— представляет пересечение <imagedata src=«19123.files/image687.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1548"> событий вида <imagedata src=«19123.files/image688.wmz» o:><img width=«56» height=«29» src=«dopb87807.zip» v:shapes="_x0000_i1549">. В записях вида (60.1) для краткости символ пересечения <imagedata src=«19123.files/image690.wmz» o:><img width=«17» height=«52» src=«dopb87808.zip» v:shapes="_x0000_i1550"> принято заменять запятой.
Рассмотрим основные свойства функции распределения вероятностей.
1. Пусть <imagedata src=«19123.files/image692.wmz» o:><img width=«64» height=«27» src=«dopb87809.zip» v:shapes="_x0000_i1551"> - независимые случайные величины, тогда события <imagedata src=«19123.files/image694.wmz» o:><img width=«57» height=«31» src=«dopb87810.zip» v:shapes="_x0000_i1552">, <imagedata src=«19123.files/image696.wmz» o:><img width=«75» height=«24» src=«dopb87811.zip» v:shapes="_x0000_i1553">, — независимы и формула (60.1) принимает вид
         <imagedata src=«19123.files/image698.wmz» o:><img width=«339» height=«55» src=«dopb87812.zip» v:shapes="_x0000_i1554">,                         (60.3)
где <imagedata src=«19123.files/image700.wmz» o:><img width=«28» height=«31» src=«dopb87813.zip» v:shapes="_x0000_i1555"> - функция распределения вероятностей случайной величины <imagedata src=«19123.files/image702.wmz» o:><img width=«19» height=«27» src=«dopb87814.zip» v:shapes="_x0000_i1556">. Таким образом, для независимых случайных величин их совместная функция распределения <imagedata src=«19123.files/image704.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87815.zip» v:shapes="_x0000_i1557"> представима произведением одномерных функций <imagedata src=«19123.files/image700.wmz» o:><img width=«28» height=«31» src=«dopb87813.zip» v:shapes="_x0000_i1558">.
Для любого <imagedata src=«19123.files/image706.wmz» o:><img width=«67» height=«21» src=«dopb87816.zip» v:shapes="_x0000_i1559">
         <imagedata src=«19123.files/image708.wmz» o:><img width=«259» height=«29» src=«dopb87817.zip» v:shapes="_x0000_i1560">.                      (60.4)
Доказательство следует из определения (60.1). Событие <imagedata src=«19123.files/image710.wmz» o:><img width=«67» height=«27» src=«dopb87818.zip» v:shapes="_x0000_i1561"> является невозможным, поэтому и событие (60.2) — невозможное, его вероятность равна нулю, следовательно выполняется соотношение (60.4).
Для любого <imagedata src=«19123.files/image712.wmz» o:><img width=«67» height=«21» src=«dopb87816.zip» v:shapes="_x0000_i1562">
<imagedata src=«19123.files/image713.wmz» o:><img width=«451» height=«29» src=«dopb87819.zip» v:shapes="_x0000_i1563">.   (60.5)
Это равенство также следует из определения. Событие <imagedata src=«19123.files/image715.wmz» o:><img width=«56» height=«27» src=«dopb87820.zip» v:shapes="_x0000_i1564"> - достоверное и в пересечении вида (60.2) это событие можно опустить, после чего из (60.1) следует (60.5).
Если <imagedata src=«19123.files/image717.wmz» o:><img width=«59» height=«31» src=«dopb87821.zip» v:shapes="_x0000_i1565"> для всех <imagedata src=«19123.files/image719.wmz» o:><img width=«75» height=«24» src=«dopb87811.zip» v:shapes="_x0000_i1566">, то
         <imagedata src=«19123.files/image720.wmz» o:><img width=«131» height=«27» src=«dopb87822.zip» v:shapes="_x0000_i1567">,                                       (60.6)
как вероятность достоверного события.
5. Функция распределения <imagedata src=«19123.files/image722.wmz» o:><img width=«100» height=«27» src=«dopb87823.zip» v:shapes="_x0000_i1568"> - непрерывна справа по каждому своему аргументу.
Плотность вероятности случайного вектора Пусть случайный вектор <imagedata src=«19123.files/image724.wmz» o:><img width=«112» height=«27» src=«dopb87824.zip» v:shapes="_x0000_i1569"> имеет функцию распределения вероятностей <imagedata src=«19123.files/image726.wmz» o:><img width=«104» height=«31» src=«dopb87825.zip» v:shapes="_x0000_i1570"> и существует частная производная
<imagedata src=«19123.files/image728.wmz» o:><img width=«248» height=«64» src=«dopb87826.zip» v:shapes="_x0000_i1571">,                                  (61.1)
тогда функция <imagedata src=«19123.files/image730.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87827.zip» v:shapes="_x0000_i1572"> называется плотностью распределения вероятностей случайного вектора <imagedata src=«19123.files/image724.wmz» o:><img width=«112» height=«27» src=«dopb87824.zip» v:shapes="_x0000_i1573"> или <imagedata src=«19123.files/image732.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1574"> - мерной плотностью вероятности. При этом функция <imagedata src=«19123.files/image733.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87815.zip» v:shapes="_x0000_i1575"> и сам вектор <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1576"> называются непрерывными.
Рассмотрим основные свойства плотности вероятности случайного вектора.
1. Пусть <imagedata src=«19123.files/image734.wmz» o:><img width=«64» height=«27» src=«dopb87809.zip» v:shapes="_x0000_i1577"> - независимые случайные величины, тогда функция распределения вероятностей вектора <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1578"> представима в виде произведения одномерных функций, формула (60.3). Подставляя (60.3) в (61.1), получим
         <imagedata src=«19123.files/image735.wmz» o:><img width=«200» height=«55» src=«dopb87828.zip» v:shapes="_x0000_i1579">,                                  (61.2)
где
         <imagedata src=«19123.files/image737.wmz» o:><img width=«152» height=«61» src=«dopb87829.zip» v:shapes="_x0000_i1580">                                             (61.3)
— плотность вероятности случайной величины <imagedata src=«19123.files/image739.wmz» o:><img width=«19» height=«27» src=«dopb87814.zip» v:shapes="_x0000_i1581">.
2. Пусть <imagedata src=«19123.files/image740.wmz» o:><img width=«31» height=«27» src=«dopb87830.zip» v:shapes="_x0000_i1582"> - малое приращение аргумента <imagedata src=«19123.files/image742.wmz» o:><img width=«96» height=«27» src=«dopb87831.zip» v:shapes="_x0000_i1583"> . Тогда из (61.1) следует
         <imagedata src=«19123.files/image744.wmz» o:><img width=«336» height=«32» src=«dopb87832.zip» v:shapes="_x0000_i1584">  ,              (61.4)
где  <imagedata src=«19123.files/image746.wmz» o:><img width=«48» height=«29» src=«dopb87833.zip» v:shapes="_x0000_i1585"> - разность порядка <imagedata src=«19123.files/image748.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1586"> функции <imagedata src=«19123.files/image749.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87834.zip» v:shapes="_x0000_i1587">, определяемая соотношением:
<imagedata src=«19123.files/image751.wmz» o:><img width=«413» height=«32» src=«dopb87835.zip» v:shapes="_x0000_i1588"> ,
<imagedata src=«19123.files/image753.wmz» o:><img width=«495» height=«32» src=«dopb87836.zip» v:shapes="_x0000_i1589"> ,…
Из определения  функции <imagedata src=«19123.files/image755.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87815.zip» v:shapes="_x0000_i1590">, формула (60.1), следует
<imagedata src=«19123.files/image756.wmz» o:><img width=«360» height=«32» src=«dopb87837.zip» v:shapes="_x0000_i1591">
<imagedata src=«19123.files/image758.wmz» o:><img width=«362» height=«29» src=«dopb87838.zip» v:shapes="_x0000_i1592"> ,          (61.5)
затем из (61.4), (61.5) получаем вероятность попадания случайного вектора <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1593"> в <imagedata src=«19123.files/image760.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1594"> -мерный параллелепипед со сторонами  <imagedata src=«19123.files/image761.wmz» o:><img width=«92» height=«29» src=«dopb87839.zip» v:shapes="_x0000_i1595"> :
<imagedata src=«19123.files/image763.wmz» o:><img width=«551» height=«29» src=«dopb87840.zip» v:shapes="_x0000_i1596"> . (61.6)
Из (61.6) следует
         <imagedata src=«19123.files/image765.wmz» o:><img width=«488» height=«64» src=«dopb87841.zip» v:shapes="_x0000_i1597">.     (61.7)
4. Аналогично из (61.6)
         <imagedata src=«19123.files/image767.wmz» o:><img width=«354» height=«60» src=«dopb87842.zip» v:shapes="_x0000_i1598">.             (61.8)
5. Условие нормировки для плотности вероятности <imagedata src=«19123.files/image769.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87827.zip» v:shapes="_x0000_i1599"> также следует из соотношения (61.6):
         <imagedata src=«19123.files/image770.wmz» o:><img width=«248» height=«59» src=«dopb87843.zip» v:shapes="_x0000_i1600">.                         (61.9)
6. Пусть <imagedata src=«19123.files/image772.wmz» o:><img width=«20» height=«21» src=«dopb87582.zip» v:shapes="_x0000_i1601"> - область <imagedata src=«19123.files/image773.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1602"> - мерного пространства, тогда <imagedata src=«19123.files/image774.wmz» o:><img width=«77» height=«25» src=«dopb87844.zip» v:shapes="_x0000_i1603"> - вероятность того, что <imagedata src=«19123.files/image776.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1604"> - мерный случайный вектор принимает значение из области <imagedata src=«19123.files/image777.wmz» o:><img width=«20» height=«21» src=«dopb87582.zip» v:shapes="_x0000_i1605">, определяется через плотность <imagedata src=«19123.files/image778.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87827.zip» v:shapes="_x0000_i1606">:
         <imagedata src=«19123.files/image779.wmz» o:><img width=«320» height=«56» src=«dopb87845.zip» v:shapes="_x0000_i1607">.                    (61.10)
Доказательство этого соотношения следует из (61.6) с учетом того, что любая область <imagedata src=«19123.files/image781.wmz» o:><img width=«20» height=«21» src=«dopb87582.zip» v:shapes="_x0000_i1608"> может быть покрыта <imagedata src=«19123.files/image782.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1609"> - мерными параллелепипедами при условии, что <imagedata src=«19123.files/image783.wmz» o:><img width=«140» height=«36» src=«dopb87846.zip» v:shapes="_x0000_i1610"> - наибольшая сторона параллелепипеда стремится к нулю.
7. Для любого <imagedata src=«19123.files/image785.wmz» o:><img width=«69» height=«21» src=«dopb87847.zip» v:shapes="_x0000_i1611"> 
         <imagedata src=«19123.files/image787.wmz» o:><img width=«379» height=«59» src=«dopb87848.zip» v:shapes="_x0000_i1612">.        (61.11)
Это равенство называется свойством согласованности плотности: из плотности вероятности порядка <imagedata src=«19123.files/image789.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1613"> путем интегрирования по «лишнему» аргументу <imagedata src=«19123.files/image790.wmz» o:><img width=«19» height=«27» src=«dopb87849.zip» v:shapes="_x0000_i1614"> может быть получена плотность вероятности порядка <imagedata src=«19123.files/image792.wmz» o:><img width=«39» height=«21» src=«dopb87850.zip» v:shapes="_x0000_i1615">. Для доказательства представим обе части равенства (60.5) через плотности, используя (61.8), тогда (60.5) принимает вид:
         <imagedata src=«19123.files/image794.wmz» o:><img width=«397» height=«63» src=«dopb87851.zip» v:shapes="_x0000_i1616">
<imagedata src=«19123.files/image796.wmz» o:><img width=«467» height=«63» src=«dopb87852.zip» v:shapes="_x0000_i1617">.         (61.12)
Продифференцируем обе части этого равенства по аргументам <imagedata src=«19123.files/image798.wmz» o:><img width=«168» height=«31» src=«dopb87853.zip» v:shapes="_x0000_i1618">, что приводит к выражению (61.11).

Многомерное нормальное распределение Случайный вектор <imagedata src=«19123.files/image800.wmz» o:><img width=«112» height=«27» src=«dopb87854.zip» v:shapes="_x0000_i1619"> называется нормально распределенным, если его плотность вероятности
         <imagedata src=«19123.files/image802.wmz» o:><img width=«487» height=«60» src=«dopb87855.zip» v:shapes="_x0000_i1620">,     (62.1)
где <imagedata src=«19123.files/image804.wmz» o:><img width=«76» height=«27» src=«dopb87856.zip» v:shapes="_x0000_i1621">; <imagedata src=«19123.files/image806.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb87657.zip» v:shapes="_x0000_i1622"> - ковариационная матрица вектора <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1623">, элемент которой <imagedata src=«19123.files/image807.wmz» o:><img width=«294» height=«29» src=«dopb87857.zip» v:shapes="_x0000_i1624"> является ковариацией случайных величин <imagedata src=«19123.files/image809.wmz» o:><img width=«44» height=«29» src=«dopb87858.zip» v:shapes="_x0000_i1625">; <imagedata src=«19123.files/image811.wmz» o:><img width=«20» height=«29» src=«dopb87703.zip» v:shapes="_x0000_i1626"> - определитель матрицы <imagedata src=«19123.files/image812.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb87657.zip» v:shapes="_x0000_i1627">; <imagedata src=«19123.files/image813.wmz» o:><img width=«87» height=«37» src=«dopb87859.zip» v:shapes="_x0000_i1628"> - матрица, обратная ковариационной.
Рассмотрим плотность вероятности <imagedata src=«19123.files/image815.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87827.zip» v:shapes="_x0000_i1629"> в частном случае попарно некоррелированных случайных величин <imagedata src=«19123.files/image816.wmz» o:><img width=«64» height=«27» src=«dopb87809.zip» v:shapes="_x0000_i1630">, для которых выполняется условие
         <imagedata src=«19123.files/image817.wmz» o:><img width=«259» height=«32» src=«dopb87860.zip» v:shapes="_x0000_i1631">,                      (62.2)
где <imagedata src=«19123.files/image819.wmz» o:><img width=«24» height=«29» src=«dopb87861.zip» v:shapes="_x0000_i1632"> - символ Кронекера. Таким образом, ковариационная матрица <imagedata src=«19123.files/image821.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb87657.zip» v:shapes="_x0000_i1633"> является диагональной, поскольку ее элементы (62.2) на главной диагонали – ненулевые, а вне главной диагонали — нулевые. Следовательно, определитель
         <imagedata src=«19123.files/image822.wmz» o:><img width=«88» height=«55» src=«dopb87862.zip» v:shapes="_x0000_i1634">.                                               (62.3)
Элемент <imagedata src=«19123.files/image824.wmz» o:><img width=«29» height=«33» src=«dopb87863.zip» v:shapes="_x0000_i1635"> матрицы <imagedata src=«19123.files/image826.wmz» o:><img width=«29» height=«27» src=«dopb87864.zip» v:shapes="_x0000_i1636">, обратной ковариационной можно найти по известной формуле:
         <imagedata src=«19123.files/image828.wmz» o:><img width=«104» height=«59» src=«dopb87865.zip» v:shapes="_x0000_i1637">,                                            (62.4)
где <imagedata src=«19123.files/image830.wmz» o:><img width=«53» height=«29» src=«dopb87866.zip» v:shapes="_x0000_i1638"> - алгебраическое дополнение элемента <imagedata src=«19123.files/image832.wmz» o:><img width=«23» height=«29» src=«dopb87867.zip» v:shapes="_x0000_i1639"> матрицы <imagedata src=«19123.files/image834.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb87657.zip» v:shapes="_x0000_i1640">. Из (62.3) следует
         <imagedata src=«19123.files/image835.wmz» o:><img width=«131» height=«57» src=«dopb87868.zip» v:shapes="_x0000_i1641">,                                                (62.5)
а также <imagedata src=«19123.files/image837.wmz» o:><img width=«84» height=«29» src=«dopb87869.zip» v:shapes="_x0000_i1642"> при <imagedata src=«19123.files/image839.wmz» o:><img width=«41» height=«24» src=«dopb87870.zip» v:shapes="_x0000_i1643">. Подстановка этих результатов в (62.4) приводит к выражению
         <imagedata src=«19123.files/image841.wmz» o:><img width=«77» height=«59» src=«dopb87871.zip» v:shapes="_x0000_i1644">.                                        (62.6)
Подставим (62.3), (62.6) в (62.1), тогда
         <imagedata src=«19123.files/image843.wmz» o:><img width=«374» height=«77» src=«dopb87872.zip» v:shapes="_x0000_i1645">
         <imagedata src=«19123.files/image845.wmz» o:><img width=«276» height=«71» src=«dopb87873.zip» v:shapes="_x0000_i1646">,                            (62.7)
где <imagedata src=«19123.files/image847.wmz» o:><img width=«27» height=«31» src=«dopb87874.zip» v:shapes="_x0000_i1647"> - плотность вероятности случайной величины <imagedata src=«19123.files/image849.wmz» o:><img width=«19» height=«27» src=«dopb87814.zip» v:shapes="_x0000_i1648">. Таким образом, для гауссова случайного вектора <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1649"> из условия попарной некоррелированности его компонент <imagedata src=«19123.files/image850.wmz» o:><img width=«44» height=«29» src=«dopb87858.zip» v:shapes="_x0000_i1650">, <imagedata src=«19123.files/image851.wmz» o:><img width=«75» height=«24» src=«dopb87811.zip» v:shapes="_x0000_i1651">, следует условие (62.7) — независимости компонент случайного вектора.
Характеристическая функция случайного вектора 63.1 Функция <imagedata src=«19123.files/image667.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1652"> переменных
         <imagedata src=«19123.files/image852.wmz» o:><img width=«248» height=«31» src=«dopb87875.zip» v:shapes="_x0000_i1653">                                   (63.1)
называется характеристической функцией случайного вектора <imagedata src=«19123.files/image854.wmz» o:><img width=«112» height=«27» src=«dopb87824.zip» v:shapes="_x0000_i1654">.
Если случайный вектор <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1655"> является непрерывным, то его характеристическая функция (63.1) определяется через его плотность <imagedata src=«19123.files/image855.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87827.zip» v:shapes="_x0000_i1656">:
          <imagedata src=«19123.files/image856.wmz» o:><img width=«457» height=«61» src=«dopb87876.zip» v:shapes="_x0000_i1657">. (63.2)
Это соотношение является <imagedata src=«19123.files/image858.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1658"> - мерным преобразованием Фурье от функции <imagedata src=«19123.files/image859.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87827.zip» v:shapes="_x0000_i1659">. Поэтому плотность <imagedata src=«19123.files/image860.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87827.zip» v:shapes="_x0000_i1660"> можно выразить через характеристическую функцию <imagedata src=«19123.files/image861.wmz» o:><img width=«25» height=«27» src=«dopb87877.zip» v:shapes="_x0000_i1661"> в виде обратного преобразования Фурье по отношению к (63.2):
<imagedata src=«19123.files/image863.wmz» o:><img width=«508» height=«61» src=«dopb87878.zip» v:shapes="_x0000_i1662">.          (63.3)
63.2 Несложно доказать следующие свойства характеристической функции.
1. <imagedata src=«19123.files/image865.wmz» o:><img width=«112» height=«27» src=«dopb87879.zip» v:shapes="_x0000_i1663">.
2. <imagedata src=«19123.files/image867.wmz» o:><img width=«136» height=«29» src=«dopb87880.zip» v:shapes="_x0000_i1664">.
3. Для независимых случайных величин <imagedata src=«19123.files/image869.wmz» o:><img width=«64» height=«27» src=«dopb87809.zip» v:shapes="_x0000_i1665"> их совместная характеристическая функция <imagedata src=«19123.files/image870.wmz» o:><img width=«212» height=«55» src=«dopb87881.zip» v:shapes="_x0000_i1666">, где<imagedata src=«19123.files/image872.wmz» o:><img width=«83» height=«31» src=«dopb87882.zip» v:shapes="_x0000_i1667">  <imagedata src=«19123.files/image874.wmz» o:><img width=«128» height=«27» src=«dopb87883.zip» v:shapes="_x0000_i1668"> - характеристическая функция случайной величины <imagedata src=«19123.files/image876.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb87884.zip» v:shapes="_x0000_i1669">.
 4. Для любого целого <imagedata src=«19123.files/image878.wmz» o:><img width=«12» height=«21» src=«dopb87885.zip» v:shapes="_x0000_i1670">, <imagedata src=«19123.files/image880.wmz» o:><img width=«69» height=«21» src=«dopb87847.zip» v:shapes="_x0000_i1671">, справедливо соотношение:
<imagedata src=«19123.files/image881.wmz» o:><img width=«342» height=«35» src=«dopb87886.zip» v:shapes="_x0000_i1672">.
63.3. Для нормально распределенного случайного вектора <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1673"> его характеристическая функция находится подстановкой плотности вероятности <imagedata src=«19123.files/image883.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87827.zip» v:shapes="_x0000_i1674"> (62.1) в (63.2.) и последующем вычислении <imagedata src=«19123.files/image884.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1675"> - мерного интеграла (63.2). Это приводит к следующему выражению:
         <imagedata src=«19123.files/image885.wmz» o:><img width=«366» height=«61» src=«dopb87887.zip» v:shapes="_x0000_i1676">,                    (63.3)
где <imagedata src=«19123.files/image887.wmz» o:><img width=«132» height=«29» src=«dopb87888.zip» v:shapes="_x0000_i1677"> - ковариация случайных величин <imagedata src=«19123.files/image889.wmz» o:><img width=«20» height=«27» src=«dopb87889.zip» v:shapes="_x0000_i1678"> и <imagedata src=«19123.files/image891.wmz» o:><img width=«21» height=«29» src=«dopb87890.zip» v:shapes="_x0000_i1679">.
Функции от случайных величин Пусть <imagedata src=«19123.files/image893.wmz» o:><img width=«64» height=«27» src=«dopb87891.zip» v:shapes="_x0000_i1680"> - случайные величины, имеющие совместную плотность <imagedata src=«19123.files/image895.wmz» o:><img width=«100» height=«27» src=«dopb87892.zip» v:shapes="_x0000_i1681"> и совместную функцию распределения вероятностей <imagedata src=«19123.files/image897.wmz» o:><img width=«103» height=«27» src=«dopb87893.zip» v:shapes="_x0000_i1682">. Пусть также заданы <imagedata src=«19123.files/image899.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb87630.zip» v:shapes="_x0000_i1683"> функций <imagedata src=«19123.files/image900.wmz» o:><img width=«100» height=«29» src=«dopb87894.zip» v:shapes="_x0000_i1684">, <imagedata src=«19123.files/image902.wmz» o:><img width=«84» height=«25» src=«dopb87895.zip» v:shapes="_x0000_i1685"> переменных <imagedata src=«19123.files/image904.wmz» o:><img width=«65» height=«27» src=«dopb87896.zip» v:shapes="_x0000_i1686">. Вместо аргументов <imagedata src=«19123.files/image906.wmz» o:><img width=«19» height=«27» src=«dopb87897.zip» v:shapes="_x0000_i1687"> функции <imagedata src=«19123.files/image908.wmz» o:><img width=«21» height=«29» src=«dopb87898.zip» v:shapes="_x0000_i1688"> подставим случайные величины <imagedata src=«19123.files/image910.wmz» o:><img width=«19» height=«27» src=«dopb87814.zip» v:shapes="_x0000_i1689">, тогда
<imagedata src=«19123.files/image911.wmz» o:><img width=«303» height=«27» src=«dopb87899.zip» v:shapes="_x0000_i1690">                                 (64.1)
— новые случайные величины. Задача состоит в том, чтобы по известным функциям <imagedata src=«19123.files/image913.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87827.zip» v:shapes="_x0000_i1691">, <imagedata src=«19123.files/image914.wmz» o:><img width=«24» height=«27» src=«dopb87900.zip» v:shapes="_x0000_i1692">, <imagedata src=«19123.files/image916.wmz» o:><img width=«21» height=«29» src=«dopb87898.zip» v:shapes="_x0000_i1693">, <imagedata src=«19123.files/image902.wmz» o:><img width=«84» height=«25» src=«dopb87895.zip» v:shapes="_x0000_i1694">, найти функцию <imagedata src=«19123.files/image917.wmz» o:><img width=«116» height=«27» src=«dopb87901.zip» v:shapes="_x0000_i1695"> и плотность <imagedata src=«19123.files/image919.wmz» o:><img width=«112» height=«27» src=«dopb87902.zip» v:shapes="_x0000_i1696"> распределения вероятностей случайного вектора <imagedata src=«19123.files/image921.wmz» o:><img width=«84» height=«27» src=«dopb87903.zip» v:shapes="_x0000_i1697">. Такая задача довольно часто возникает во многих приложениях теории вероятностей.
Сравнительно просто найти функцию распределения вероятностей <imagedata src=«19123.files/image923.wmz» o:><img width=«31» height=«27» src=«dopb87904.zip» v:shapes="_x0000_i1698">. Действительно, по определению:
<imagedata src=«19123.files/image925.wmz» o:><img width=«310» height=«27» src=«dopb87905.zip» v:shapes="_x0000_i1699">                       (64.2)
Представим случайные величины <imagedata src=«19123.files/image927.wmz» o:><img width=«69» height=«27» src=«dopb87906.zip» v:shapes="_x0000_i1700"> через <imagedata src=«19123.files/image929.wmz» o:><img width=«60» height=«27» src=«dopb87907.zip» v:shapes="_x0000_i1701">, используя соотношения (64.1), тогда
<imagedata src=«19123.files/image931.wmz» o:><img width=«468» height=«27» src=«dopb87908.zip» v:shapes="_x0000_i1702">          (64.3)
Здесь вероятность можно представить в виде интеграла по области <imagedata src=«19123.files/image933.wmz» o:><img width=«20» height=«21» src=«dopb87582.zip» v:shapes="_x0000_i1703"> от плотности <imagedata src=«19123.files/image895.wmz» o:><img width=«100» height=«27» src=«dopb87892.zip» v:shapes="_x0000_i1704">:
<imagedata src=«19123.files/image934.wmz» o:><img width=«340» height=«47» src=«dopb87909.zip» v:shapes="_x0000_i1705">                          (64.4)
где область<imagedata src=«19123.files/image182.wmz» o:><img width=«20» height=«21» src=«dopb87582.zip» v:shapes="_x0000_i1706">содержит все <imagedata src=«19123.files/image936.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1707">-мерные вектора <imagedata src=«19123.files/image904.wmz» o:><img width=«65» height=«27» src=«dopb87896.zip» v:shapes="_x0000_i1708">, удовлетворяющие условию:
<imagedata src=«19123.files/image937.wmz» o:><img width=«144» height=«57» src=«dopb87910.zip» v:shapes="_x0000_i1709">                                     (64.5)
Плотность <imagedata src=«19123.files/image939.wmz» o:><img width=«27» height=«27» src=«dopb87911.zip» v:shapes="_x0000_i1710"> вектора <imagedata src=«19123.files/image921.wmz» o:><img width=«84» height=«27» src=«dopb87903.zip» v:shapes="_x0000_i1711"> можно определить из (64.4) по формуле:
<imagedata src=«19123.files/image941.wmz» o:><img width=«256» height=«55» src=«dopb87912.zip» v:shapes="_x0000_i1712">                                 (64.6)
Соотношения (64.4), (64.6) определяют всего лишь метод решения задачи, но не само решение. Задача в конкретной постановке может быть как относительно простой, так и очень сложной, в зависимости от чисел <imagedata src=«19123.files/image943.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87799.zip» v:shapes="_x0000_i1713">, <imagedata src=«19123.files/image944.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb87630.zip» v:shapes="_x0000_i1714">, плотности <imagedata src=«19123.files/image945.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87827.zip» v:shapes="_x0000_i1715"> и вида функций <imagedata src=«19123.files/image946.wmz» o:><img width=«21» height=«29» src=«dopb87898.zip» v:shapes="_x0000_i1716">, определяющих область <imagedata src=«19123.files/image947.wmz» o:><img width=«20» height=«21» src=«dopb87582.zip» v:shapes="_x0000_i1717">. Ниже рассмотрим примеры решения этой задачи для преобразования одной, двух и нескольких случайных величин.
Распределение вероятностей функции одной случайной величины 65.1. Пусть случайная величина <imagedata src=«19123.files/image001.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb87504.zip» v:shapes="_x0000_i1718"> имеет плотность вероятности <imagedata src=«19123.files/image948.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87913.zip» v:shapes="_x0000_i1719"> и функция одной переменной <imagedata src=«19123.files/image950.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb87914.zip» v:shapes="_x0000_i1720">, <imagedata src=«19123.files/image952.wmz» o:><img width=«100» height=«17» src=«dopb87915.zip» v:shapes="_x0000_i1721">, является взаимно однозначной, тогда плотность вероятности <imagedata src=«19123.files/image954.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87916.zip» v:shapes="_x0000_i1722"> случайной величины <imagedata src=«19123.files/image956.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb87917.zip» v:shapes="_x0000_i1723"> определяется соотношением:
<imagedata src=«19123.files/image958.wmz» o:><img width=«211» height=«63» src=«dopb87918.zip» v:shapes="_x0000_i1724"> ,                               (65.1)
где <imagedata src=«19123.files/image960.wmz» o:><img width=«87» height=«31» src=«dopb87919.zip» v:shapes="_x0000_i1725"> - функция, обратная функции <imagedata src=«19123.files/image950.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb87914.zip» v:shapes="_x0000_i1726">.
Вывод формулы (65.1) основан на соотношениях (64.4) и (64.6). Поскольку функция <imagedata src=«19123.files/image950.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb87914.zip» v:shapes="_x0000_i1727"> - взаимно однозначная, то эта функция или монотонно возрастающая <imagedata src=«19123.files/image962.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb87920.zip» v:shapes="_x0000_i1728"> или монотонно убывающая <imagedata src=«19123.files/image964.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb87921.zip» v:shapes="_x0000_i1729">. Очевидны соотношения:
    продолжение
--PAGE_BREAK--