Реферат: Системы счисления 3

--PAGE_BREAK--Сложение чисел с фиксированной запятой


Алгебраическое сложение чисел с фиксированной запятой в цифровых машинах может производиться в одном из машинных кодов: прямом, дополнительном или обратном. Чаще всего используется либо дополнительный, либо обратный код. При этом знаковый разряд и цифровая часть числа рассматривается как единое целое, в результате чего с отрицательными числами машина оперирует как с положительными, независимо от того, представлены ли они в виде правильных дробей или в виде целых чисел. Главное достоинство дополнительного и обратного кодов заключается в том, что правильный знак суммы получается автоматически в процессе суммирования знаковых цифр операндов и цифры переноса из соседнего младшего разряда. В случае возникновения единицы переноса из знакового разряда суммы ее нужно отбросить при сложении в дополнительном коде и прибавить к младшему разряду суммы при сложении в обратном коде (т. е. произвести циклический перенос единицы переполнения).

Алгебраическое сложение много разрядных чисел обычно организуется как регулярный процесс, состоящий из n одинаковых операций поразрядного сложения вычитания, где n- количество разрядов в каждом из операндов).

При этом в зависимости от знаков слагаемых возможны четыре случая:

1) Х1 > 0,     Х2 > 0,      Х3  = Х1 + Х2  > 0;

2) Х1 > 0,     Х2 < 0,      Х3  = Х1 + Х2  > 0;

3) Х1 > 0,     Х2 < 0,      Х3  = Х1 + Х2  < 0;

4) Х1 < 0,     Х2 < 0,      Х3  = Х1 + Х2  < 0;

Примеры сложения чисел с фиксированной запятой были рассмотрены выше.
Сложение чисел с плавающей запятой


Если имеются два числа в нормальной форме: Х1 = m1 10p1 и Х2 = m2 10p2, то для того чтобы их можно было сложить, нужно предварительно привести их к одному и  тому же порядку Робщ, т. е. преобразовать одно из слагаемых, например, первое следующим образом:

Х1 = m1 10p1  = m1* 10p1 = m1* 10pобщ.

Далее можно вынести степень основания системы за скобки и произвести сложение мантисс: Х1 + Х2= m1* 10pобщ. + m2 10pобщ. = (m1* + m2 ) 10pобщ.

Преобразовывать всегда нужно меньше слагаемое, так как в противном случае произойдет переполнение разрядной сетки мантиссы преобразуемого числа.

Машинная операция сложения чисел в нормальной форме распадается таким образом, на 4 этапа:

1.  Уравниваются порядки слагаемых: меньший порядок увеличивается до большего, мантисса преобразуемого числа сдвигается вправо (число денормализуется) на соответствующее количество разрядов. Практически в машинах производится вычитание порядков операндов. Знак и модуль разности Р1 — Р2 определяют соответственно, какое из слагаемых нужно преобразовывать и на сколько единиц следует сдвигать мантиссу преобразуемого числа.

2.  Производится преобразование мантисс слагаемых в один из модифицированных кодов.

3.  Мантиссы слагаемых суммируются по правилам сложения дробных чисел с фиксированной запятой.

4.  В случае надобности мантисса суммы переводится в прямой код, производится нормализация суммы и округление ее мантиссы.

ПРИМЕР. Используя дополнительный код, сложить два числа:

<img width=«74» height=«14» src=«ref-2_1109428505-128.coolpic» v:shapes="_x0000_s1118"><img width=«50» height=«14» src=«ref-2_1109428633-114.coolpic» v:shapes="_x0000_s1117">[X1]пр  = 0  101;  1,10101     и   [X2]пр = 0  100 ;        1,11001

                                                             порядок       мантисса
РЕШЕНИЕ:
1.      [X2]пр = 0  101;  1,011001

2.                         [m1]мод= 11,01011;              [m1]мод= 11,100111.    

             доп                                                      доп

3.                            [m1]мод= 11,01011         

·                                       доп

[m2]мод= 11,01011        

          доп

<img width=«194» height=«2» src=«ref-2_1109428747-83.coolpic» v:shapes="_x0000_s1119">


[m3]мод= 110, 111101     

         доп

<img width=«79» height=«17» src=«ref-2_1109428830-130.coolpic» v:shapes="_x0000_s1120 _x0000_s1135"> <img width=«166» height=«17» src=«ref-2_1109428960-151.coolpic» v:shapes="_x0000_s1121 _x0000_s1134">


отбрасывается  запрещенная комбинация

4.  Комбинация знаковых цифр мантиссы показывает, что сумма денормализована влево (всегда только на один разряд)

Произведем нормализацию суммы вправо

<img width=«63» height=«12» src=«ref-2_1109429111-106.coolpic» v:shapes="_x0000_s1122"> <img width=«39» height=«28» src=«ref-2_1109429217-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1123">


[m3]мод= 10, 111101                 1,0111101

           доп

Робщ = 0,101 + 0,001 = 0,110

Далее переводим сумму в прямой код и производим округление ее мантиссы до пяти разрядов.

<img width=«74» height=«14» src=«ref-2_1109429384-127.coolpic» v:shapes="_x0000_s1126"><img width=«50» height=«14» src=«ref-2_1109429511-116.coolpic» v:shapes="_x0000_s1125"><img width=«14» height=«2» src=«ref-2_1109429627-74.coolpic» v:shapes="_x0000_s1124">Ответ: [X3]пр = 0  110 ;        1,1000011   ~   0  100;   1, 10001

                                                                    порядок   мантисса
    продолжение
--PAGE_BREAK--Умножение чисел с фиксированной запятой


Наиболее просто умножение выполняется в прямом коде, независимо от того, являются ли операнды целыми или дробными числами. В машинах с фиксированной запятой оно реализуется в два этапа.

1.  Определяется знак произведения с помощью сложения знаковых цифр сомножителей по модулю два, где нуль соответствует плюсу, а единица — минусу:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0

Вручную это эквивалентно:

(+) (+)  = (+);   (+) (-) = (-);   (-) (+) = (-);    (-) (-) = (+).

2.  Производиться перемножение модулей сомножителей, затем в случае необходимости округление полученного модуля произведения, после чего к модулю результата приписывается его знак, определенный на первом этапе.

Умножение производится по обычным правилам арифметики согласно двоичной таблицы умножения. Произведение модулей |Х3| = |Х1| * |Х2| двух (например дробных) чисел, где множитель Х2 = Х21 2-1 + Х22 2-2 +…+ Х2n2-n,      чаще всего вычисляется как сумма так называемых частичных произведений:

           n

/Х3/ = å/Х/ Х2i2-i

                i=1

В машинах может быть реализовано как умножение, начинающееся с младшей цифры множителя (наиболее привычный способ), так и умножение, начинающееся со старшей цифры множителя. При умножении вручную в первом случае частичные произведения сдвигаются влево, во втором — вправо.

ПРИМЕР. Перемножить числа [X1]пр  = 0,1010 и [X2]пр = 1,1101

Решение.

1.  Определяем знак произведения 0 + 1 = 1.

2.  Перемножим модули операндов, порядок перемножения определяется нумерацией цифр множителя:
1-й способ

         0,1010                                                                 0,1010

      х 0,1101                                                              х 0,1101

<img width=«39» height=«12» src=«ref-2_1109429701-97.coolpic» v:shapes="_x0000_s1128"><img width=«27» height=«12» src=«ref-2_1109429798-92.coolpic» v:shapes="_x0000_s1127">          4,3,2,1          номера цифр множителя            1,2,3,4

            1010                                                                    1010

          0000                                                                        1010

      +1010                                                                        + 0000

       1010                                                                                1010

0,10000010                                                                 0,10000010

После округления приписываем к модулю знак произведения, полученный на первом этапе умножения.

<img width=«14» height=«2» src=«ref-2_1109429627-74.coolpic» v:shapes="_x0000_s1129">Ответ: [X3]пр  = 1,0000010     ~    1,10000.

Первый способ часто называют умножением младшими разрядами вперед, а второй — умножением старшими разрядами вперед.
Умножение чисел с плавающей запятой


Если имеем два сомножителя, заданные в нормальной форме Х1 = m1 10p1 и Х2 = m2 10p2, то их произведение определяется следующим образом:

Х1 Х2  = m1  m2  10p1+р2.

Анализ этого соотношения показывает, что умножение чисел в машинах с плавающей запятой производится в четыре этапа:

1.  Определение знака произведения путем сложения по модулю два знаковых цифр мантисс сомножителей.

2.  Перемножение модулей мантисс сомножителей по правилам для дробных чисел с фиксированной запятой.

3.  Определение порядка произведения путем алгебраического сложения порядков сомножителей с использованием либо дополнительного, либо обратного модифицированного кода.

4.  Нормализация результата и округление мантиссы в случае необходимости. Поскольку сомножители обязательно являются нормализованными числами, то де нормализация произведения возможна только на разряд и только вправо.
ПРИМЕР. Перемножить числа с плавающей запятой.

Множимое [X1]пр  = 0  101;  1,10101      

Множитель [X2]пр = 0  100;  1,11001

Решение.

1.  Знак произведения 1 + 0 = 1.

2.  Перемножаем модули мантисс:

1-й шаг               ,0000  0000      — нулевая сумма

<img width=«127» height=«2» src=«ref-2_1109429964-92.coolpic» v:shapes="_x0000_s1116">                          +,0000  1010      — 1-е частичное произведение

2-й шаг              ,0000    1010     — 2-я сумма

                        + ,0000    0000     — 2-е частичное произведение
3-й шаг              ,0000    1010     — 3-я сумма

                        + ,0010    1000     — 3-е частичное произведение
4-й шаг              ,0011    0010     — 4-я сумма

                        + ,0101    0000     — 4-е частичное произведение

                           , 1000    0010     — модуль произведения мантисс.

Находим порядок произведения:
    продолжение
--PAGE_BREAK--          [р1]мод= 00,101         
·                         доп

[р2]мод= 11,101        

     доп

<img width=«194» height=«2» src=«ref-2_1109428747-83.coolpic» v:shapes="_x0000_s1130">


[р3]мод= 100, 010     

<img width=«2» height=«31» src=«ref-2_1109430139-76.coolpic» v:shapes="_x0000_s1131">         доп

<img width=«70» height=«12» src=«ref-2_1109430215-105.coolpic» v:shapes="_x0000_s1136">


теряется

Производим округление мантиссы произведения.

<img width=«62» height=«15» src=«ref-2_1109430320-125.coolpic» v:shapes="_x0000_s1133"><img width=«50» height=«14» src=«ref-2_1109430445-121.coolpic» v:shapes="_x0000_s1132">Ответ: [X3]пр  = [Х1 Х2]пр =  0   010 ;      1    100

                                                      порядок      мантисса  


Прямой, обратный и дополнительный коды. Модифицированный код.
<img width=«12» height=«40» src=«ref-2_1109430566-114.coolpic» v:shapes="_x0000_s1137">Введем определение прямого, обратного и дополнительного кодов. Рассмотрим двоичное число <img width=«124» height=«24» src=«ref-2_1109430680-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> В соответствии с изложенным выше число Rкодируется следующим образом:

         0  <img width=«76» height=«24» src=«ref-2_1109430920-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"><img width=«40» height=«19» src=«ref-2_1109431090-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">

R=    1  <img width=«76» height=«24» src=«ref-2_1109430920-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"><img width=«40» height=«19» src=«ref-2_1109431385-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">

<img width=«21» height=«41» src=«ref-2_1109431510-133.coolpic» v:shapes="_x0000_s1138">или, в более общем случае, если <img width=«40» height=«19» src=«ref-2_1109431643-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">,

     0        <img width=«71» height=«24» src=«ref-2_1109431764-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">  <img width=«44» height=«21» src=«ref-2_1109431920-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">

R=            <img width=«35» height=«19» src=«ref-2_1109432054-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">  <img width=«71» height=«24» src=«ref-2_1109431764-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">  <img width=«44» height=«21» src=«ref-2_1109432323-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">

Так как <img width=«43» height=«27» src=«ref-2_1109432455-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">, эти соотношения можно переписать таким образом:

<img width=«21» height=«40» src=«ref-2_1109432610-134.coolpic» v:shapes="_x0000_s1140">                  <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_1109432744-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">,             <img width=«40» height=«19» src=«ref-2_1109431090-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">

<img width=«35» height=«25» src=«ref-2_1109432960-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">=      <img width=«69» height=«27» src=«ref-2_1109433107-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">  <img width=«44» height=«21» src=«ref-2_1109432323-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">

Представление чисел в соответствии с данной формулой называется прямым кодом числа <img width=«19» height=«19» src=«ref-2_1109433427-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">

<img width=«21» height=«41» src=«ref-2_1109433522-132.coolpic» v:shapes="_x0000_s1141">Если <img width=«40» height=«19» src=«ref-2_1109433654-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">, то формула <img width=«25» height=«25» src=«ref-2_1109433772-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> перепишется в таком виде:

                  <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_1109432744-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">,             <img width=«40» height=«19» src=«ref-2_1109431090-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">

<img width=«35» height=«25» src=«ref-2_1109432960-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">=      <img width=«44» height=«27» src=«ref-2_1109434252-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">  <img width=«44» height=«21» src=«ref-2_1109432323-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">

Аналогичным образом кодируются и числа, модуль которых не меньше единицы.

Пример: Записать числа в прямом коде:
<img width=«107» height=«48» src=«ref-2_1109434539-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">         <img width=«105» height=«51» src=«ref-2_1109434895-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">
Из равенства

<img width=«148» height=«21» src=«ref-2_1109435278-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">

следует, что операцию вычитания yиз xможно заменить операцией сложения S-yи х с последующим вычитанием из результата величины S
.
    продолжение
--PAGE_BREAK--