Реферат: Лисп-реализация математических операций над комплексными числами
Содержание
Введение
1. Постановка задачи
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Понятие о комплексных числах
2.2 Действия с комплексными числами
2.2.1 Сложение комплексных чисел
2.2.2 Вычитание комплексных чисел
2.2.3 Произведение комплексных чисел
2.2.4 Деление комплексных чисел
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
4 Программная реализация решения задачи
5. Пример выполнения программы
Заключение
Список использованных источников и литературы
Введение
Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами.
Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н.Е.Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является.
Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.
Цель настоящей курсовой работы: Лисп-реализация математических операций над комплексными числами.
1. Постановка задачи
Требуется разработать программу, реализующую математические операции над комплексными числами, опираясь на следующие правила выполнения операций:
1). Сложение:
/>.
2). Вычитание:
/>.
3). Умножение:
/>.
4). Деление:
/>.
Пример 1.
Выполнить сложение двух комплексных чисел: /> и />.
Решение:
/>.
Ответ: />.
Пример 2.
Выполнить вычитания двух комплексных чисел: /> и />.
Решение:
/>.
Ответ: />.
Пример 3.
Выполнить умножение двух комплексных чисел: /> и />.
Решение:
/>.
Ответ: />.
Пример 4.
Выполнить деление двух комплексных чисел: /> и />.
Решение:
/>.
Ответ: i.
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Понятие о комплексных числах
Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение x+a=b имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.
Древнегреческие математики считали, что a=c и b=а только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х2 = -9. В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х3+3х-4=0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х3-7х+6=0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х+у=10, ху=40 не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда />, />, нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что />. Карданоназывалтакие величины «чистоотрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использовать первую букву французского числа />(мнимой единицы), этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831г).
В течение 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.
В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течении 18 века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19 веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число /> точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.
Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.
--PAGE_BREAK--2.2 Действия с комплексными числами
Рассмотрим решение квадратного уравнения х2 +1 = 0. Отсюда х2 = -1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом, i2 = -1, откуда />. Решение квадратного уравнения, например, х2 – 8х + 25 = 0, можно записать следующим образом:
/>.
Числа вида 4+3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается а + bi, где a и b — действительные числа, а i – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, bi-мнимой частью этого числа, b — коэффициентом мнимой части комплексного числа.
2.2.1 Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комплексное число z = (a+c) + (b+d)i. Числа a + bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а,
(а+bi) + (а-bi) = 2а.
Числа а+bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю. Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi = c+di, если a = c, b = d. Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z=a + bi = 0, если a=0, b=0. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b=0, то a+bi=a — действительное число. Если а = 0, />, то a + bi = bi – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.
2.2.2 Вычитание комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел a + bi и с + di называется комплексное число х + уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х = а-с, у = b-d. Значит,
(а+bi) — (c+di) = (a-c) + (b-d)i.
2.2.3 Произведение комплексных чисел
Произведение комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число
z =(ac-bd) + (ad + bc)i, z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i.
Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i2 на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.
Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу:
(a + bi)(a — bi) = a2 + b2
2.2.4 Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем:
/>.
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунках 1 – 4.
Используемые обозначения:
N1 – первое комплексное число;
N2 – второе комплексное число;
A – действительная часть первого комплексного числа;
C – мнимая часть первого комплексного числа;
B – действительная часть второго комплексного числа;
D – мнимая часть второго комплексного числа.
/>
Рисунок 1 – Функциональная модель решения задачи для функции SUM_COMPLEX
/>
Рисунок 2 – Функциональная модель решения задачи для функции SUBTR_COMPLEX
/>
Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для функции MULT_COMPLEX
/>
Рисунок 4 – Функциональная модель решения задачи для функции DIV_COMPLEX
4. Программная реализация решения задачи
ЗАВОДИМ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(SETQNUM1 0)
(SETQNUM2 0)
(SETQINPUT_STREAM (OPEN" D:\\COMLEX_NUMBERS.TXT":DIRECTION :INPUT));ЧИСЛАХРАНЯТЬСЯВФАЙЛЕВВИДЕСПИСКА(A B); ГДЕA — ДЕЙСВИТЕЛЬНАЯЧАСТЬ, B — МНИМАЯ; СЧИТЫВАЕМЧИСЛАИЗФАЙЛА
(SETQNUM1 (READINPUT_STREAM))
(SETQNUM2 (READINPUT_STREAM))
(CLOSEINPUT_STREAM)
СУММАКОМПЛЕКСНЫХЧИСЕЛ
(DEFUNSUM_COMPLEX(N1 N2)
(LIST(+(CARN1) (CARN2)) (+(CADRN1) (CADRN2))))
РАЗНОСТЬ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUNSUBTR_COMPLEX(N1 N2)
продолжение--PAGE_BREAK--
(LIST(-(CARN1) (CARN2)) (-(CADRN1) (CADRN2))))
ПРОИЗВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUNMULT_COMPLEX(N1 N2)
ОБЪЯВЛЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(DECLARE(SPECIALA))
(DECLARE(SPECIALB))
(DECLARE(SPECIALC))
(DECLARE(SPECIALD))
(SETQA (CARN1))
(SETQB (CADRN1))
(SETQC (CARN2))
(SETQD (CADRN2))
(LIST(-(*A C) (*B D)) (+(*A D)(*B C))))
ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUNDIV_COMPLEX(N1 N2)
ОБЪЯВЛЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(DECLARE(SPECIALA))
(DECLARE(SPECIALB))
(DECLARE(SPECIALC))
(DECLARE(SPECIALD))
(SETQA (CARN1))
(SETQB (CADRN1))
(SETQC (CARN2))
(SETQD (CADRN2))
(LIST(FLOAT(/(+(*A C) (*B D)) (+(*C C) (*D D)))) (FLOAT(/(-(*B C) (*A D)) (+(*C C) (*D D))))))
ЗАПИСЫВАЕМРЕЗУЛЬТАТ
(SETQOUTPUT_STREAM (OPEN" D:\\RESULT.TXT":DIRECTION :OUTPUT)) (DEFUNPRINT_OPERATIONS(N1 N2)
(MAPCAR'SUM_COMPLEX N1 N2))
(PRINT(LIST'NUMBER1 NUM1) OUTPUT_STREAM)
(PRINT(LIST'NUMBER2 NUM2) OUTPUT_STREAM)
(PRINTOUTPUT_STREAM)
(PRINT(LIST'SUM (MAPCAR'SUM_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(PRINT(LIST'SUBTRACTION (MAPCAR'SUBTR_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(PRINT(LIST'MULTIPLICATION (MAPCAR'MULT_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(PRINT(LIST'DIVISION (MAPCAR'DIV_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(TERPRIOUTPUT_STREAM)
(CLOSE OUTPUT_STREAM)
5. Пример выполнения программы
Пример 1.
/>
Рисунок 5 – Входные данные
/>
Рисунок 6 – Выходные данные
Пример 2.
/>
Рисунок 7 – Входные данные
/>
Рисунок 8 – Выходные данные
Пример 3.
/>
Рисунок 9 – Входные данные
/>
Рисунок 10 – Выходные данные
Заключение
Применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебанийи многих других.
Итогом работы можно считать созданную функциональную модель для реализации математических операций над комплексными числами. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.
Список использованных источников и литературы
Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике. [Текст] / М.Я. Выгодский – М.: АСТ: Астрель, 2006. С. 509.
Дадаян, А.А. Алгебра и геометрия. [Текст] / А.А Дадаян, В.А.Дударенко. – М.: Минск, 1999. С. 342.
Камалян, Р.З. Высшая математика. [Текст] / Р.З.Камалян. – М.: ИМСИТ, 2004. С.310.
Комплексное число [Электронный ресурс] – Режим доступа: ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число.
Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В.Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.