Реферат: Лисп-реализация алгоритма кодирования информации RSA

Содержание

Введение

1. Постановка задачи

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

4. Программная реализация решения задачи

5. Пример выполнения программы

Заключение

Список использованных источников и литературы

Введение

Испокон веков не было ценности большей, чем информация. ХХ век – век информатики и информатизации. Технология дает возможность передавать и хранить все большие объемы информации. Это благо имеет и оборотную сторону. Информация становится все более уязвимой по разным причинам:

• возрастающие объемы хранимых и передаваемых данных;

• расширение круга пользователей, имеющих доступ к ресурсам ЭВМ, программам и данным;

• усложнение режимов эксплуатации вычислительных систем.

Поэтому все большую важность приобретает проблема защиты информации от несанкционированного доступа (НСД) при передаче и хранении. Сущность этой проблемы – постоянная борьба специалистов по защите информации со своими «оппонентами».

Для того чтобы ваша информация, пройдя шифрование, превратилась в «информационный мусор», бессмысленный набор символов для постороннего, используются специально разработанные методы – алгоритмы шифрования. Такие алгоритмы разрабатываются учеными математиками или целыми коллективами сотрудников компаний или научных центров.

Алгоритмы шифрования делятся на два больших класса: симметричные (AES, ГОСТ, Blowfish, CAST, DES) и асимметричные (RSA, El-Gamal). Симметричные алгоритмы шифрования используют один и тот же ключ для зашифровывания информации и для ее расшифровывания, а асимметричные алгоритмы используют два ключа – один для зашифровывания, другой для расшифровывания.

Если зашифрованную информацию необходимо передавать в другое место, то в этом надо передавать и ключ для расшифрования. Слабое место здесь – это канал передачи данных – если он не защищенный или его прослушивают, то ключ для расшифрования может попасть к злоумышленику. Системы на ассиметричных алгоритмах лишены этого недостатка. Поскольку каждый участник такой системы обладает парой ключей: Открытым и Секретным Ключом.

Алгоритм RSA стоит у истоков асимметричной криптографии. Он был предложен тремя исследователями – математиками Рональдом Ривестом (R. Rivest), Ади Шамиром (A. Shamir) и Леонардом Адльманом (L. Adleman) в 1977–78 годах.

1. Постановка задачи

Разработать и отладить программу на языке Лисп реализующую криптографический алгоритм кодирования информации с открытым ключом – RSA.

Шифрование:

Входные данные: M – сообщение, состоящее из целых чисел.

Выходные данные: T – Зашифрованное сообщение.

Дешифрование:

Входные данные: T – Результат шифрования.

Выходные данные: M – изначальное сообщение.

Пример 1.

Выбираем два простых числа: p = 3557, q = 2579.

Вычисляем их произведение: n = p · q = 3557 · 2579 = 9173503.

Вычисляем функцию Эйлера: φ(n) = (p-1) (q-1) = 9167368.

Выбираем открытый показатель: e = 3.

Вычисляем секретный показатель: d = 6111579.

Публикуем открытый ключ: (e, n) = (3, 9173503).

Сохраняем секретный ключ: (d, n) = (6111579, 9173503).

Выбираем открытый текст: M = 127.

Вычисляем шифротекст: P(M) = Memod n= 10223mod 9173503 = 116.

Вычислить исходное сообщение: S(C) = Cdmod n= 1166111579mod 9173503 = 1022.

Пример 2.

Выбираем два простых числа: p = 79, q = 71.

Вычисляем их произведение: n = p · q = 79 · 71 = 5609.

Вычисляем функцию Эйлера: φ(n) = (p-1) (q-1) = 5460.

Выбираем открытый показатель: e = 5363.

Вычисляем секретный показатель: d = 2927.

Публикуем открытый ключ: (e, n) = (5363, 5609).

Сохраняем секретный ключ: (d, n) = (2927, 5609).

Выбираем открытый текст: M = 23.

Вычисляем шифротекст: P(M) = Memod n= 235363mod 5609 = 5348.

Вычислить исходное сообщение: S(C) = Cdmod n= 53482927mod 5609 = 23.

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

Первым этапом любого асимметричного алгоритма является создание пары ключей: открытого и закрытого и распространение открытого ключа «по всему миру». Для алгоритма RSA этап создания ключей состоит из следующих операций:

1). Выбираются два простых числа p и q

2). Вычисляется их произведение n (=p*q)

3). Выбирается произвольное число e (e<n), такое, что

НОД (e, (p-1) (q-1))=1,

то есть e должно быть взаимно простым с числом (p-1) (q-1).

4). Методом Евклида решается в целых числах уравнение

e*d+(p-1) (q-1)*y=1.

Здесь неизвестными являются переменные d и y – метод Евклида как раз и находит множество пар (d, y), каждая из которых является решением уравнения в целых числах.

5). Два числа (e, n) – публикуются как открытый ключ.

6). Число d хранится в строжайшем секрете – это и есть закрытый ключ, который позволит читать все послания, зашифрованные с помощью пары чисел (e, n).

Как же производится собственно шифрование с помощью этих чисел:

Отправитель разбивает свое сообщение на блоки, равные k=[log2(n)] бит, где квадратные скобки обозначают взятие целой части от дробного числа.

Подобный блок может быть интерпретирован как число из диапазона (0; 2k-1). Для каждого такого числа (назовем его mi) вычисляется выражение

--PAGE_BREAK--

ci=((mi)e) mod n.

Блоки ci и есть зашифрованное сообщение Их можно спокойно передавать по открытому каналу, поскольку операция возведения в степень по модулю простого числа, является необратимой математической задачей. Обратная ей задача носит название «логарифмирование в конечном поле» и является на несколько порядков более сложной задачей. То есть даже если злоумышленник знает числа e и n, то по ci прочесть исходные сообщения mi он не может никак, кроме как полным перебором mi.

А вот на приемной стороне процесс дешифрования все же возможен, и поможет нам в этом хранимое в секрете число d. Достаточно давно была доказана теорема Эйлера, частный случай которой утвержает, что если число n представимо в виде двух простых чисел p и q, то для любого x имеет место равенство

(x(p-1)(q-1)) mod n = 1.

Для дешифрования RSA-сообщений воспользуемся этой формулой. Возведем обе ее части в степень

(-y): (x(-y)(p-1)(q-1)) mod n = 1(-y)= 1.

Теперь умножим обе ее части на x:

(x(-y)(p-1)(q-1)+1) mod n = 1*x = x.

А теперь вспомним как мы создавали открытый и закрытый ключи. Мы подбирали с помощью алгоритма Евклида d такое, что

e*d+(p-1) (q-1)*y=1,

то есть

e*d=(-y) (p-1) (q-1)+1.

Следовательно, в последнем выражении предыдущего абзаца мы можем заменить показатель степени на число (e*d). Получаем

(xe*d) mod n = x.

То есть для того чтобы прочесть сообщение ci=((mi)e) mod n достаточно возвести его в степень d по модулю m:

((ci)d) mod n = ((mi)e*d) mod n = mi.

На самом деле операции возведения в степень больших чисел достаточно трудоемки для современных процессоров, даже если они производятся по оптимизированным по времени алгоритмам. Поэтому обычно весь текст сообщения кодируется обычным блочным шифром (намного более быстрым), но с использованием ключа сеанса, а вот сам ключ сеанса шифруется как раз асимметричным алгоритмом с помощью открытого ключа получателя и помещается в начало файла.

Скорость работы алгоритма RSA

Как при шифровании и расшифровке, так и при создании и проверке подписи алгоритм RSA по существу состоит из возведения в степень, которое выполняется как ряд умножений.

В практических приложениях для открытого (public) ключа обычно выбирается относительно небольшой показатель, а зачастую группы пользователей используют один и тот же открытый (public) показатель, но каждый с различным модулем. (Если открытый (public) показатель неизменен, вводятся некоторые ограничения на главные делители (факторы) модуля.) При этом шифрование данных идет быстрее чем расшифровка, а проверка подписи – быстрее чем подписание.

Если k – количество битов в модуле, то в обычно используемых для RSA алгоритмах количество шагов необходимых для выполнения операции с открытым (public) ключом пропорционально второй степени k, количество шагов для операций частного (private) ключа – третьей степени k, количество шагов для операции создания ключей – четвертой степени k.

Методы «быстрого умножения» – например, методы основанные на Быстром Преобразовании Фурье (FFT – Fast Fourier Transform) – выполняются меньшим количеством шагов; тем не менее они не получили широкого распространения из-за сложности программного обеспечения, а также потому, что с типичными размерами ключей они фактически работают медленнее. Однако производительность и эффективность приложений и оборудования реализующих алгоритм RSA быстро увеличиваются.

Алгоритм RSA намного медленнее чем DES и другие алгоритмы блокового шифрования. Программная реализация DES работает быстрее по крайней мере в 100 раз и от 1,000 до 10,000 – в аппаратной реализации (в зависимости от конкретного устройства). Благдаря ведущимся разработкам, работа алгоритма RSA, вероятно, ускорится, но аналогично ускорится и работа алгоритмов блокового шифрования.

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунках 1 – 6.

Условные обозначения:

P и Q – случайные простые числа;

N – произведение простых чисел P и Q;

PHI – значение функции Эйлера;

E – взаимно простое число с PHI;

PRIVATE_KEY – секретный ключ;

LST – список простых чисел;

NUM – число для шифрования / дешифрования;

I, IO, I1, J, JO, R, L – рабочие переменные.

/>

Рисунок 1 – Функциональная модель решения задачи для функции SIMPLE_NUMBER

/>

Рисунок 2 – Функциональная модель решения задачи для функции ENCRYPT

/>

Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для функции DECODING

/>

Рисунок 4 – Функциональная модель решения задачи для функции RSA

/>

Рисунок 5 – Блок-схема решения задачи для функции DISTINCT_SIMPLE_NUM

/>

Рисунок 6 – Блок-схема решения задачи для функции ALG_ EUCLID

4. Программная реализация решения задачи

; ПОИСК ВЗАИМНО ПРОСТОГО ЧИСЛА

(DEFUNDISTINCT_SIMPLE_NUM(NUMPH)

(DO

()

((<NUM PH) NUM)

; TRUNCATE – ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ДЕЛЕНИЕ

(SETQNUM(TRUNCATENUM2))

)

(DO

    продолжение
--PAGE_BREAK--

()

; GCD – НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ

((EQL(GCDNUMPH) 1) NUM)

; REM– ОСТАТОК ОТ ДЕЛЕНИЯ

(IF(EQL(REMNUM2) 0) (SETQNUM(+NUM1)))

(SETQNUM (+NUM 2))

)

)

; ГЕНЕРИРУЕМ СЛУЧАЙНОЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛО

(DEFUNSIMPLE_NUMBER()

; ОБЪЯВЛЕНИЕПЕРЕМЕННОЙ

(DECLARE(SPECIALLST))

; СПИСОК ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

(SETQLST ' (2 3 5 7 11 13 17 19 23 31 37 41 43 47 53 61 67 71 73 79 83 89 97 101))

; ВЫБИРАЕМ СЛУЧАЙНОЕ ЧИСЛО ИЗ СПСКА

(NTH(RANDOM(–(LENGTHLST) 1)) LST)

)

; РАСШИРЕННЫЙ АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

(DEFUNALG_EUCLID (X Y)

; – ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ–

(DECLARE(SPECIALI))

(DECLARE(SPECIALI0))

(DECLARE(SPECIALI1))

(DECLARE(SPECIALJ0))

(DECLARE(SPECIALJ1))

(DECLARE(SPECIALR))

(DECLARE(SPECIALL))

;–

(IF(EQLX 1) (SETQX (+X Y))

; ИНАЧЕ

(PROGN

(SETQI0 0)

(SETQI1 1)

(SETQL Y)

(SETQR (REML X))

(SETQJ0 (TRUNCATEL X))

(SETQL X)

(SETQX R)

(SETQR (REML X))

(SETQ J1 (TRUNCATE L X))

(SETQ L X)

(SETQ X R)

(DO

(())

((<= R 0) R)

(SETQ R (REM L X))

(SETQ I (– I0 (* I1 J0)))

(IF (< I 0) (SETQ I (- Y (REM (* -1 I) Y))) (SETQ I (REM I Y)))

(SETQ I0 I1)

(SETQ I1 I)

(SETQ J0 J1)

(SETQ J1 (TRUNCATE L X))

(SETQ L X)

(SETQ X R)

)

(SETQ I (– I0 (* I1 J0)))

(IF (< I 0) (SETQ I (FLOOR (- Y (REM (* -1 I) Y)))) (SETQ I (FLOOR (REM I Y))))

I

)

)

)

; РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА RSA

(DEFUNRSA()

; – ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ–

    продолжение
--PAGE_BREAK--

(DECLARE(SPECIALN))

(DECLARE(SPECIALE))

(DECLARE(SPECIALPHI))

(DECLARE(SPECIALPRIVATE_KEY))

(DECLARE(SPECIALP))

(DECLARE(SPECIALQ))

;–

; ВЫБИРАЮТСЯ ДВА ПРОСТЫХ ЧИСЛА

(SETQP (SIMPLE_NUMBER))

(SETQQ (SIMPLE_NUMBER))

; ВЫЧИСЛЯЕМ ИХ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

(SETQN (*P Q))

; НАХОДИМ PHI = (P-1) (Q-1)

(SETQPHI (*(-P 1) (-Q 1)))

; ВЫБИРАЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО

(SETQE (RANDOM10000000000000000))

; НАХОДИМ ВЗАИМНОЕ ПРОСТОЕ E С PHI

(SETQE(DISTINCT_SIMPLE_NUMEPHI))

; НАХОДИМ ЗАКРЫТЫЙ КЛЮЧ PRIVATE_KEY

(SETQPRIVATE_KEY(ALG_EUCLIDEPHI))

(LISTENPRIVATE_KEY)

)

; ПОЛУЧАЕМ КЛЮЧИ

(SETQLIST_KEY(RSA))

(SETQE (CARLIST_KEY))

(SETQN (CADRLIST_KEY))

(SETQD (CADDRLIST_KEY))

; ШИФРОВАНИЕ ЧИСЛА

(DEFUNCODING(NUM)

(MOD(EXPTNUM E) N)

)

; ДЕШИФРОВАНИЕ ЧИСЛА

(DEFUNDECODING(NUM)

(MOD(EXPTNUM D) N)

)

; ПОЛУЧАЕМСООБЩЕНИЕ

(SETQTEXT 0)

(SETQINPUT (OPEN«D:\MESSAGE.TXT»:DIRECTION:INPUT))

(SETQTEXT (READINPUT))

(CLOSEINPUT)

; ШИФРУЕМСООБЩЕНИЕ

(SETQOUTPUT (OPEN«D:\CODING.TXT»:DIRECTION:OUTPUT))

(SETQCODING_TEXT (MAPCAR'CODING TEXT))

(PRINT(LIST'CODING_TEXT CODING_TEXT) OUTPUT)

(PRINT(LIST'PUBLIC_KEY (LISTE N)) OUTPUT)

(TERPRIOUTPUT)

(CLOSEOUTPUT)

; ДЕШИФРУЕМСООБЩЕНИЕ

(SETQOUTPUT (OPEN«D:\DECODING.TXT»:DIRECTION:OUTPUT))

(SETQDECODING_TEXT (MAPCAR'DECODING CODING_TEXT))

(PRINT(LIST'DECODING_TEXT DECODING_TEXT) OUTPUT)

(TERPRIOUTPUT)

(CLOSEOUTPUT)

    продолжение
--PAGE_BREAK--

5. Пример выполнения программы

Пример 1

/>

Рисунок 7. Переданное сообщение

/>

Рисунок 8. Зашифрованное сообщение

/>

Рисунок 9. Расшифрованное сообщение

Пример 2

/>

Рисунок 10. Переданное сообщение

/>

Рисунок 11. Зашифрованное сообщение

/>

Рисунок 12. Расшифрованное сообщение

Пример 3

/>

Рисунок 13. Переданное сообщение

/>

Рисунок 14. Зашифрованное сообщение

/>

Рисунок 15. Расшифрованное сообщение

Заключение

Криптосистема RSA используется в самых различных продуктах, на различных платформах и во многих отраслях. В настоящее время криптосистема RSA встраивается во многие коммерческие продукты, число которых постоянно увеличивается. Также ее используют операционные системы Microsoft, Apple, Sun и Novell. В аппаратном исполнении RSA алгоритм применяется в защищенных телефонах, на сетевых платах Ethernet, на смарт-картах, широко используется в криптографическом оборудовании THALES (Racal). Кроме того, алгоритм входит в состав всех основных протоколов для защищенных коммуникаций Internet, в том числе S/MIME, SSL и S/WAN, а также используется во многих учреждениях, например, в правительственных службах, в большинстве корпораций, в государственных лабораториях и университетах. На осень 2000 года технологии с применением алгоритма RSA были лицензированы более чем 700 компаниями.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель алгоритма кодирования информации RSA. Данная модель применима к положительным целым числам.

Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.

Список использованных источников и литературы

Венбо Мао. Современная криптография: теория и практика. [Электронный ресурс] / Венбо Мао. – М.: Вильямс, 2005. С. 768.

Кландер, Л. Hacker Prof: полное руководство по безопасности компьютера. [Электронный ресурс] / Л. Кландер – М.: Попурри, 2002. С. 642.

Фергюсон, Н. Практическая криптография. [Текст] / Н. Фергюсон, Б. Шнайер. – М.: Диалектика, 2004. С. 432.

Шнайер, Б. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы. [Текст] / Б. Шнайер. – М.: Триумф, 2002. С. 816