Реферат: Упругие волны

--PAGE_BREAK--
      которая называется волновым числом. Умножив числи­тель и знаменатель выражения(2.6) на частотуv,можно пред­ставить волновое число в виде

<img width=«22» height=«2» src=«ref-1_559818694-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1079">  (см. формулу(1.2)). Раскрыв в(2.2) круглые скобки и приняв во внимание(2.7), придем к следующему уравнению плоской вол­ны, распространяющейся вдоль оси х:

x
=
a
cos (
w
t + kx +

a
)

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от(2.8) только знаком при членеkx.

При выводе формулы(2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При рас­пространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается– наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону:a
= a0 e–γx. Соответственно урав­нение плоской волны имеет следующий вид:

  x
=
a
0
e–γx cos (
w
t + kx +

a
)

(a
– амплитуда в точках плоскости х= 0).

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реаль­ный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источ­ника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, по­рождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равнаw
t +
a
.Тогда точки, лежа­щие на волновой поверхности радиуса r,будут колебаться с фазой

w
( t – r/ υ ) =
w
t – kr +

a

    (чтобы пройти путь r,волне требуется время τ=r/υ). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной— она убывает с расстоянием отисточника по закону 1/
r. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

  <img width=«22» height=«2» src=«ref-1_559818849-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1070">x
=
   cos (
w
t + kx +

a
)

где a—постоянная величина, численно равная амплитуде на рас­стоянии от источника, равном единице. Размерность аравна раз­мерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины.  Для поглощающей среды в формулу(2.10) нужно доба­вить множительe–γx.

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении rк нулю выражение для амп­литуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.
§ 3.
Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
<img width=«157» height=«184» src=«ref-1_559819004-7540.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1204">Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в на­правлении, образующем с осями координат x
,

y
,

zуглы α, β, γ. Пусть колебания в плоскости, проходя­щей через начало координат (рис.3.1), имеют вид

  x= acos ( wt+a)

      Возьмем волновую поверхность (пло­скость), отстоящую от начала коорди­нат на расстояние l.Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (3.1) на время τ=l/υ:

<img width=«167» height=«32» src=«ref-1_559826544-227.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис. 3.1» v:shapes="_x0000_s1081"><img width=«21» height=«2» src=«ref-1_559818113-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1084">x= a cos [ w( t −      )+a] =acos ( wt− kl +a).

(k=ω/υ; см. формулу(2.7)).
Выразимlчерез радиус-вектор точек рассматриваемой поверх­ности. Для этого введем единичный вектор nнормали к волновой поверхности. Из рис.3.1 видно, что скалярное произведение nна радиус-вектор rлюбой из точек поверхности равноl:

nr
=
rcosφ=l.

  Заменим в(3.2) lчерезnr
:


x= a cos ( wt− knr +a)

  Вектор

k =
kn
,                       

  равный по модулю волновому числуk=2π/λи имеющий направ­ление нормали к волновой поверхности, называется волно­вым вектором. Таким образом, уравнение(3.3) можно представить в виде

x( r, t ) = a cos ( wt − kr +a)

Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распро­страняющейся в направлении, определяемом волновым векто­ромk.Для затухающей волны нужно добавить в уравнение мно­жительe–γl= e–γ nr.

Функция(3.5) дает отклонение от положения равновесия точ­ки с радиусом-вектором rв момент времениl(rоп­ределяет равновесное положение точки). Чтобы перейти от радиу­са-вектора точки к ее координатам х
,
у
,

z
,выразим скалярное про­изведениеkr через компоненты векторов по координатным осям:

kr= kxx +kyy+ kzz.

    Тогда уравнение плоской волны примет вид

x(x,

y
,

z, t ) = a cos ( wt − kxx –kyy– kzz +a)

    <img width=«62» height=«43» src=«ref-1_559826926-219.coolpic» alt=«Подпись: kz =» v:shapes="_x0000_s1107">
  <img width=«21» height=«2» src=«ref-1_559827145-151.coolpic» v:shapes="_x0000_s1108">  <img width=«21» height=«2» src=«ref-1_559817247-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1103"><img width=«62» height=«43» src=«ref-1_559827449-225.coolpic» alt=«Подпись: ky =» v:shapes="_x0000_s1102">
        Здесь

<img width=«62» height=«42» src=«ref-1_559827674-215.coolpic» alt=«Подпись: kx =» v:shapes="_x0000_s1091">
  <img width=«21» height=«2» src=«ref-1_559818113-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1092">Функция(3.6) дает отклонение точки с координатами х
,
у
,

zв мо­мент времениt.В случае, когда nсовпадает сex, kx= k, ky= kz = 0 (и уравнение(3.6) переходит в(2.8). Очень удобна запись урав­нения плоской волны в виде

x= Re aei (ωt-kr+α)

      ЗнакReобычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число

â = ae
iα,

которое называют комплексной амплитудой. Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент– начальную фазу волны Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны мож­но представить в виде

x= â
ei (ωt-kr)

Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем.
§ 4.
Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции(3.6), описывающей плос­кую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим
<img width=«275» height=«52» src=«ref-1_559828044-675.coolpic» v:shapes="_x0000_s1116 _x0000_s1121 _x0000_s1122 _x0000_s1123">
Сложение производных по координатам дает

<img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559828719-231.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (4.4)» v:shapes="_x0000_s1225"><img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559828950-231.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (4.7)» v:shapes="_x0000_s1228"><img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559829181-231.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (4.6)» v:shapes="_x0000_s1227"><img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559829412-232.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (4.5)» v:shapes="_x0000_s1226"><img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559829644-234.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (4.3)» v:shapes="_x0000_s1224"><img width=«71» height=«32» src=«ref-1_559829878-238.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (4.2)» v:shapes="_x0000_s1223"><img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559830116-225.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (4.1)» v:shapes="_x0000_s1222"><img width=«298» height=«50» src=«ref-1_559830341-763.coolpic» v:shapes="_x0000_s1127">



<img width=«190» height=«52» src=«ref-1_559831104-621.coolpic» v:shapes="_x0000_s1128">Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменивk2/ω2через 1/υ2(см.(2.7)), получим уравнение
<img width=«99» height=«47» src=«ref-1_559831725-366.coolpic» v:shapes="_x0000_s1129">Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде

 




где Δ– оператор Лапласа.

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворя­ет не только функция(3.6), но и любая функция вида

 



<img width=«163» height=«50» src=«ref-1_559832091-538.coolpic» v:shapes="_x0000_s1133"><img width=«137» height=«47» src=«ref-1_559832629-496.coolpic» v:shapes="_x0000_s1132">Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части(4.4), черезς, имеем
Аналогично

<img width=«97» height=«47» src=«ref-1_559833125-382.coolpic» v:shapes="_x0000_s1135"> <img width=«97» height=«52» src=«ref-1_559833507-393.coolpic» v:shapes="_x0000_s1136"> <img width=«96» height=«47» src=«ref-1_559833900-382.coolpic» v:shapes="_x0000_s1137">



Подстановка выражений(4.5) и(4.6) в уравнение(4.2) приво­дит к выводу, что функция(4.4) удовлетворяет волновому урав­нению, если положить υ=ω/k.

<img width=«61» height=«26» src=«ref-1_559834282-285.coolpic» v:shapes="_x0000_s1138">Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида(4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели­чины, обратной коэффициенту при             ,дает фазовую скоростьэтой волны.

<img width=«107» height=«47» src=«ref-1_559834567-442.coolpic» v:shapes="_x0000_s1139">Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х
,волновое уравнение имеет вид

 



    продолжение
--PAGE_BREAK--§ 5.
Скорость упругих волн в твердой среде

<img width=«205» height=«159» src=«ref-1_559835009-10143.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1126"><img width=«209» height=«33» src=«ref-1_559845152-265.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис. 5.2» v:shapes="_x0000_s1143">Пусть в направлении оси храспространяется продольная плос­кая волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой Δx(рис.5.1). Смещенияξ частиц с разными х
в каждый момент времени оказываются различными (см. рис.1.3, на котором изображено ξ в функции от x).Если основание цилиндра с координатой химеет в некоторый момент времени смещениеξ, то смещение основания с координатой x+Δxбудет ξ+Δξ. Поэтому рассматриваемый объем деформируется– он получает удлинение (алгебраическая величина,соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение.Величина дает среднюю деформацию цилинд­ра. Вследствие того, чтоξменяется с изменением хне по линейному зако­ну, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинако­вой. Чтобы получить деформациюεв сечении х, нужно устремить Δxк нулю. Таким образом,

<img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559845417-232.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (5.4)» v:shapes="_x0000_s1232"><img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559845649-230.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (5.3)» v:shapes="_x0000_s1231"><img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559845879-234.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (5.2)» v:shapes="_x0000_s1230"><img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559846113-221.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (5.1)» v:shapes="_x0000_s1229"><img width=«52» height=«44» src=«ref-1_559846334-283.coolpic» v:shapes="_x0000_s1144">




 (символ частной производной взят потому, что зависит не толькоот x, но и отt).

<img width=«106» height=«44» src=«ref-1_559846617-352.coolpic» v:shapes="_x0000_s1145">Наличие деформации растяжения свидетельствует о существо­вании нормального напряжения σ, при малых деформациях про­порционального величине деформации. Согласно формуле(14.6) 1-го тома
<img width=«47» height=«22» src=«ref-1_559846969-261.coolpic» v:shapes="_x0000_s1146">

(E–модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформа­ция                 , аследовательно, и напряжение σв фиксированный мо­мент времени зависят от х(рис.5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответ­ствии с этим, как ужеотмечалось в§1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.

<img width=«61» height=«26» src=«ref-1_559834282-285.coolpic» v:shapes="_x0000_s1147">Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному нарис.5.1,и напишем для него уравнение движения. Полагая Δx
очень малым, проекцию ускорения на ось xможно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной                     .Масса цилиндра рав­наρSΔx, гдеρ –плотность недеформированной среды. Проек­ция на осьx силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндраSна разность нормальных напря­жений в сечениях (x+Δx+ξ+Δξ) и (x+ξ):

<img width=«245» height=«57» src=«ref-1_559847515-650.coolpic» v:shapes="_x0000_s1149">



<img width=«47» height=«22» src=«ref-1_559846969-261.coolpic» v:shapes="_x0000_s1150">Значение производной            в сечении x+δможно для малых δпредставить с большой точностью в виде

<img width=«354» height=«53» src=«ref-1_559848426-998.coolpic» v:shapes="_x0000_s1151">




<img width=«62» height=«25» src=«ref-1_559849424-289.coolpic» v:shapes="_x0000_s1152">

где под                   подразумевается значение второй частной произ­водной ξ по х
в сечении х
.

Ввиду малосги величинΔx, ξ и Δξпроизведем в выражении (5.3) преобразование (5.4):
<img width=«421» height=«106» src=«ref-1_559849713-1409.coolpic» v:shapes="_x0000_s1148">



<img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559851122-225.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (5.5)» v:shapes="_x0000_s1233">
    <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_559851347-260.coolpic» v:shapes="_x0000_s1154">(относительное удлинение              при упругих деформациях бывает много меньше единицы. ПоэтомуΔξ                   , так что слагаемымΔξв суммеΔx+Δξ, можно пренебречь).

<img width=«159» height=«46» src=«ref-1_559851607-537.coolpic» v:shapes="_x0000_s1158">Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим
Наконец, сократив на SΔx, придем к уравнению

<img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559852144-229.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (5.6)» v:shapes="_x0000_s1234"><img width=«99» height=«46» src=«ref-1_559852373-442.coolpic» v:shapes="_x0000_s1159">
которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когдаξне зависит от уиz.Сопоставление уравнений(4.7) и(5.6) дает, что

<img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559852815-228.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (5.7)» v:shapes="_x0000_s1236"> 

<img width=«34» height=«51» src=«ref-1_559853043-260.coolpic» v:shapes="_x0000_s1161">




<img width=«36» height=«51» src=«ref-1_559853303-271.coolpic» v:shapes="_x0000_s1163">Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению

<img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559853574-222.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (6.1)» v:shapes="_x0000_s1238"><img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559853796-229.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (5.8)» v:shapes="_x0000_s1237"> 



где G – модуль сдвига.
§ 6.
Энергия упругой волны

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна

x= acos ( wt− kx +a)

<img width=«46» height=«22» src=«ref-1_559854025-260.coolpic» v:shapes="_x0000_s1166"><img width=«47» height=«22» src=«ref-1_559854285-260.coolpic» v:shapes="_x0000_s1165">Выделим в среде элементарный объем ΔV, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно,              и                .

<img width=«134» height=«51» src=«ref-1_559854545-471.coolpic» v:shapes="_x0000_s1167">Выделенный нами объем обладает кинетической энергией

<img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559855016-236.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (6.2)» v:shapes="_x0000_s1239">
<img width=«46» height=«22» src=«ref-1_559854025-260.coolpic» v:shapes="_x0000_s1168">

(ρΔV – масса объема,            – его скорость).

Согласно формуле(25.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации

<img width=«212» height=«51» src=«ref-1_559855512-596.coolpic» v:shapes="_x0000_s1169">
<img width=«47» height=«22» src=«ref-1_559854285-260.coolpic» v:shapes="_x0000_s1170">

(ε=             – относительное удлинение цилиндра, Е— модуль Юнга среды). Заменим в соответствии с(5.7) модуль Юнга через ρυ2 (ρ – плотность среды, υ – фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема ΔVпримет вид

<img width=«71» height=«32» src=«ref-1_559856368-230.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (6.4)» v:shapes="_x0000_s1241"><img width=«71» height=«33» src=«ref-1_559856598-231.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: (6.3)» v:shapes="_x0000_s1240"><img width=«156» height=«51» src=«ref-1_559856829-497.coolpic» v:shapes="_x0000_s1171">
Выражения(6.2) и(6.3) в сумме дают полную энергию

<img width=«329» height=«58» src=«ref-1_559857326-811.coolpic» v:shapes="_x0000_s1172">
<img width=«181» height=«58» src=«ref-1_559858137-589.coolpic» v:shapes="_x0000_s1173">Разделив эту энергию на объемΔV,в котором она содержится, получим плотность энергии

 



<img width=«353» height=«43» src=«ref-1_559858726-708.coolpic» v:shapes="_x0000_s1175">Дифференцирование уравнения(6.1) один раз поt,другой раз по xдает
Подставив эти выражения в формулу(6.4) и приняв во внимание, чтоk2υ2 = ω2,получим

 


<img width=«200» height=«25» src=«ref-1_559859434-416.coolpic» v:shapes="_x0000_s1176">

В случае поперечной волны для плотности энергии получается та­кое же выражение.

  <img width=«113» height=«43» src=«ref-1_559859850-342.coolpic» v:shapes="_x0000_s1177">Из(6.5) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квад­рата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно1/2. Соот­ветственно среднее по времени значение плотности энергии в каж­дой точке среды равно
Плотность энергии(6.5) и ее среднее значение(6.6) пропорцио­нальны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату ампли­туды волны а. Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоскости волны, но и для других видов волн (плос­кой затухающей, сферической и т. д.).

  <img width=«74» height=«43» src=«ref-1_559860192-302.coolpic» v:shapes="_x0000_s1178">Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает до­полнительным запасом энергии.Эта энергия доставляется от ис­точника колебаний в различные точки среды самой волной; следо­вательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу вре­мени, называется потоком энергии через эту поверх­ность. Если через данную поверхность переносится за времяdt энергияdW,то поток энергии Φравен
Поток энергии– скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. сов­падает с размерностью мощности. В соответствии с этим Φ измеря­ется в ваттах, эрг/с и т. п.

<img width=«35» height=«24» src=«ref-1_559860494-221.coolpic» v:shapes="_x0000_s1179">Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором пере­носится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Пусть через площадку          ,перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за времяΔtэнергияΔW. Тогда плотность потока энергии равна

  <img width=«137» height=«47» src=«ref-1_559860715-435.coolpic» v:shapes="_x0000_s1180">




<img width=«35» height=«24» src=«ref-1_559860494-221.coolpic» v:shapes="_x0000_s1181">

<img width=«35» height=«24» src=«ref-1_559860494-221.coolpic» v:shapes="_x0000_s1184"><img width=«35» height=«24» src=«ref-1_559860494-221.coolpic» v:shapes="_x0000_s1183"><img width=«35» height=«24» src=«ref-1_559860494-221.coolpic» v:shapes="_x0000_s1182">(см.(6.7)). Через площадку              (рис.6.1) будет перенесена за время ΔtэнергияΔW, заключенная в объеме цилиндра с основа­нием        и высотой υΔt(υ – фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости    иΔt) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ΔWможно найти как произведение плотности энергииwна объем цилиндра, равный       υΔt:
<img width=«125» height=«24» src=«ref-1_559862034-328.coolpic» v:shapes="_x0000_s1185">
Подставив это выражение в формулу(6.8), получим для плот­ности потока энергии:

        <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_559862362-232.coolpic» v:shapes="_x0000_s1186">




Наконец, введя векторv,модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распростране­ния волны (и переноса энергии), можно написать

 j  =  wv

    <img width=«138» height=«119» src=«ref-1_559862594-2365.coolpic» v:shapes="_x0000_s1142"> <img width=«141» height=«125» src=«ref-1_559864959-2348.coolpic» v:shapes="_x0000_s1141">
Мы получили выражение для вектора плотности потока энер­гии. Этот вектор был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским физиком Н. А. Умовым и называется вектором Умова. Вектор(6.10), как и плотность энергииw, различен в разныхточках про-
<img width=«183» height=«43» src=«ref-1_559867307-428.coolpic» v:shapes="_x0000_s1187">странства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно
(см.(6.6)). Выражение(6.11), так же как и(6.6), справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т. д.).

Отметим, что, когда говорят об интенсивности волны в данной точке, то имеют в виду среднее по времени значение плот­ности потока энергии, переносимой волной.

Зная    продолжение
--PAGE_BREAK--