Реферат: Апории Зенона и первая теоретическая постановка проблемы бесконечности

Выполнил: Лещёв Денис

Южно-Уральский Государственный Университет

Челябинск

2004

1. Введение. К проблемеапорий в науке.

Двадцатьчетыре столетия назад Зенон Элейский, первый древнегреческий философ, указывална невозможность логически непротиворечивого осмысления движения тел, хотя и несомневался в чувственно удостоверяемой реальности последнего. Зенономсформулирован ряд апорий, связанных с проблемой движения. Но не меньший интересв гносеологическом, логическом и специально-научном плане представляют иапории, с которыми столкнулся знаменитый элеец при анализе проблемы «многого вбытии», проблемы получения протяженного отрезка при аддитивном синтезе такназываемых непротяженных точек(метрическая апория), и другие. «Трудности,нашедшие отражение в апориях Зенона, — подчеркивала С. Яновская, — и в наши днинельзя считать преодоленными». Поэтому апории Зенона не перестают интересоватьи математиков, и физиков, и философов, и ученых некоторых других направлений.Интерес к апориям в настоящее время связан с проблемами научного познанияпространства, времени, движения и строения систем в самом широком смысле, атакже с проблемами «начал» науки в смысле истории возникновения исходныхпонятий о природе(«тело», «точка», «место», «мера», «число», «множество»,«конечное», «бесконечное» и другие) и в плане дискуссий, в ходе которыхуточнялся смысл этих понятий и которые переросли в итоге в проблему основанияматематики, вообще начал точного естествознания.

/>2.Апории Зенона.

Исследованиепарадоксов Зенона лучше всего начать со знакомства с истории интерпретации егоаргументов, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними проблем ипозволит найти собственный путь к разрешению загадок Зенона. Для этоготребуется определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах илиболее убедительных предположениях.

/>2.1. Апории относительномножества. Первая теоретическая постановка проблемы бесконечности.

/>2.1.1. Дошедшие до нас апорииЗенона.

Дошедшиедо нас апории Зенона можно подразделить на две группы: в одних «опровергается»существование «многого», причем «многое» понимается как актуально существующая,то есть заданная всем набором своих элементов, некоторая полная, завершенная совокупность;в других вскрываются противоречия, связанные с отображением движения в логикепонятий. Однако и те, и другие тесно связаны между собой.

Капориям первой группы относятся те, которые призваны опровергнуть признаниебытия «многого». Суть их в следующем: если существующих вещей много, то ихдолжно быть столь много, сколько их есть, — не больше и не меньше. А если ихстоль много, сколько их есть, то их число ограничено. Но, с другой стороны,если существующих вещей много, то их число неограниченно, ибо всегда существуютдругие вещи между существующими и снова другие между теми и так далее.

Оставаясьна позициях конструктивного направления в понимании множеств, попытаемся спомощью средств символической логики представить в явном виде логическую противоречивостьапории, прикрываемую подменой мысли о подлинной бесконечности мыслью офиктивной бесконечности количества элементов космического универсальногомножества, ошибочно выдаваемого за актуально бесконечное множество. С этойцелью сформулируем апорию в виде, удобном для формализации: «Если в миресуществует многое, то оно одновременно и конечно, и бесконечно». Обозначивпредикаты «быть многим» S(x), «быть конечным» через P(x), а «быть бесконечным»через ùP(x), вышепроизведенноевысказывание мы можем выразить следующим образом:

«x ( S(x) ®(P(x) Ù ùP(x)) )

Переднами логически ложная импликация, опираясь на которую, Зенон сделал выводвообще о немыслимости существования многого в бытии. Однако ошибка Зенона не втом, что он возмущался допущением, согласно которому «многое» одновременноконечно и бесконечно по числу его элементов, а лишь в том, что он заявил онемыслимости существования какого бы то ни было «многого», тогда как следовалоотрицать только такое «многое», которое в действительности не существует и даженевозможно, то есть актуальное бесконечное многое или потенциально бесконечноемногое – подлинная реальность.

Нокак только мы осознали этот факт, не остается иного выхода, кроме какотвергнуть те предпосылки, из которых логически необходимо вытекаетпротиворечащий им вывод о «несуществовании многого в бытии». Этого шага Зенонне сделал, чему мы можем, казалось бы, удивляться; однако и сейчас еще неутихают споры вокруг восходящей к Зенону проблемы актуально бесконечныхмножеств. Оставаясь при мнении, что если существует многое в бытии, то оноодновременно и конечно, и бесконечно, и не видя логических путей и средствопровержения этого мнения, Зенон не мог интуитивно согласиться с таким мнениеми поэтому сделал субъективно вполне последовательный шаг – отказался отпризнания многого в бытии, не поверил в его существование.

Ксожалению, до сего времени еще недостаточно четко осознается принципиальныйхарактер не вполне понятой и Зеноном дилеммы: или признать конечность реальносуществующего многого в бытии, или же в противном случае оно реально несуществует, ибо в принципе невозможно логически последовательно получить выводо существовании многого при признании не только конечности, но и актуальнойбесконечности его. В этом убеждает нас и многовековое существование все ещенеразрешимой проблемы апорий, и использование средств современной логики; в противномслучае надо открыто выразить недоверие последней.

/>2.1.2. Апория «о месте» и«метрическая апория».

Крассмотренной апории примыкают приводимые Аристотелем зеноновские апории «оместе» и «метрическая». Первую Аристотель излагает так: «…если все существующеепомещается в известном месте, то ясно, что будет и место места, и так идет вбесконечность».

Аристотельписал: «ничто ведь не препятствует, чтобы первичное место было в другом… не какв месте, а так, как здоровье заключается в теплом как свойство, а теплое в телекак состояние. Таким образом, нет необходимости идти в бесконечность».

РазъясненияАристотеля о месте как о некотором состоянии вещи или даже о свойственекоторого состояния нельзя признать удачной аргументацией.

Примерс теплом как «свойством здоровья» не избавляет от требования «места месту»,если место как-то подобно теплу, ибо тепло, как и любое состояние вещи,«разлить по всей вещи», и вместе с ней занимает то же самое место, что и вещь,обладающая этим состоянием.

Рассуждения,аналогичные по своей структуре только что рассмотренной апории, встречаются и всовременных основаниях математики, когда идущий в бесконечность натуральный рядчисел порождается из «ничего» (из Ø) посредством того, что сначаларассматривается Ø; затем множество {Ø}, единственным элементомкоторого является Ø; далее множество {Ø, {Ø}} и так далее.

Авозражения, которые выдвигаются против этой процедуры в наши дни, родственнывозражениям Аристотеля – они основаны на том, что нельзя и мысленно объединитьво множество вещи, которые не существуют раздельно друг от друга.

2.1.3. Логическая структура апорий данного типа

можетбыть представлена конъюнкцией:

»x ( S(x) ® P(x) ) Ù />х( ùS(x) Ù P(x) ),

обнаруживающейнарушение принципа логической непротиворечивости мысли, где S(x) – знакпредиката «быть вещью» или «быть подлинным (не равным Ø) множеством»,P(x) – «обладать местом», или «быть множеством вообще».

Уходв бесконечность в анализируемых апориях – результат приведенной логическойнекорректности в сфере мысли. Некорректность такого рода выражена уже,например, в заявке строить натуральный ряд чисел, не опираясь ни на что. Насамом же деле вместо абстракции «ничто» при таких построениях используютсязнаки Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}} и так далее, то естьопять-таки совершается подмена несуществующего объекта мысли («Ø»)вполне материальными символами, реализующими «тайну» построения натуральногоряда из «ничего».

Втесной связи с рассмотренной апорией находится и метрическая апория Зенона, тоесть апория, связанная с размерами объекта, конструируемого из «ничего».Аристотель писал об этом: «Если что-нибудь, будучи прибавлено к какой-нибудьвещи или отнято от нее, не делает эту вещь больше, соответственно меньше,тогда, по словам Зенона, оно не принадлежит к числу существующего, причемсуществующая, очевидно, понимается как величина телесная: ведь именно такаявеличина обладает бытием в полной мере… точка же и 1(0) не создадут увеличенияни при каких обстоятельствах».

«Даннаяапория, — пишет Ю.А. Петров, — вскрывала трудности, связанные с представлениемконечного тела в виде бесконечной совокупности неделимых. Эти неделимые в своюочередь представлялись не имеющими измерений точками. Их сумма полагаласьравной нулю, из чего следовало, что тело, имеющее измерение, лишено измерения.Если же неделимые представлялись имеющими измерение, то тело большим повеличине. В обоих случаях получались противоречия».

Переднами действительно одна из труднейших апорий, нерешенных и поныне, ибо связанаона с представлением о протяженном теле или отрезке времени, составленных попредположению, из не имеющих соответственно протяжения или длительности «точек»и «мгновений».

2.1.4. «Взгляд со стороны». Суждения мыслителей.

Ещёсо времен Евклида философы и математики сомневались в справедливости пониманияпротяженного континуума как совокупности непротяженных элементов. Этимвопросом, кроме Зенона, уделяли внимание такие мыслители, как Аристотель,Кавальери, Текет, Паскаль, Больцано, Лейбниц, Кантор, У. Джеймс, Бриджмен идругие. Так, например, Бриджмен, писал: «если бы линию понимали так, что онабуквально состоит из совокупности точек нулевой длины, а интервал временипредставляет собою сумму неделящихся мгновений, тогда уже само это понимание былобы парадоксальным».

Однаков последнее время предпринимаются попытки доказать возможность получения,например, протяженного отрезка из непротяженных точек. Так,

А.Грюнбаум считает, что современная теория точечных множеств позволяет«преодолеть противоречивый характер утверждений о том, что положительныйлинейный интервал состоит из непротяженных элементов — точек». Эти толкованияне в состоянии помочь А. Грюнбауму избежать основной трудности – доказатьвозможность получения протяженной длины из непротяженных каких бы то ни былообъектов, ибо не столь важно, какова их конкретная природа или названия, новажно то, что они не обладают протяженностью.

Нааналогичных позициях находился и Б. Рассел, считавший точку и момент объектами,не имеющими измерений. Однако, по его мнению, из бесконечного континуальногомножества этих объектов состоят реальное пространство и время. Б. Расселутверждал, что если отбросить идеи об актуально бесконечных малых, трудностибесконечности и непрерывности, дескать, исчезают, а «… аргументы Зенона, вбольшинстве своем веские, не поднимают серьезных затруднений».

Оцениваяподобного рода подходы к решению обсуждаемой апории Зенона, С. Яновская, на мойвзгляд, правильно подчеркивала, что «таким образом отнюдь не решаютсягносеологические трудности, связанные с неконструктивностью «построения»протяженных объектов в виде актуально-бесконечных (к тому же еще и несчетных)множеств непротяженных элементов». Некорректность подобных решенийанализируемой апории должна быть ясна из того, что суммирование какого угодномножества не обладающих протяженностью точек не дает нам хоть какой-нибудьминимально протяженной величины: «Ведь сколько раз ни повторять ничто, ничего ине получится». Однако, если располагать актуально бесконечными малыми, но реальнымипротяженными какими-то квантами пространственно-временного типа, то, опираясьна движение и свойство отражения объектов, можно получить сколь угоднопротяженные конечные тела.

2.1.5. Понимание меры множества в современной математике.

Даннаяапория показала, что нельзя определить меру отрезка как сумму мер «неделимых»,что понятие меры множества вовсе не является чем-то очевидно заключенным всамом понятии множества и что мера множества, вообще говоря, не равна сумме мерего элементов. Теперь мы определяем меру множества при помощи покрытий егосистемами интервалов, причем понимается, что интервалы уже имеют определеннуюдлину (меру).

Затронутыенами проблемы прерывности и непрерывности, конечного и бесконечного,пространства и времени при анализе зеноновской метрической апории (созданиепротяженного тела из непротяженных точек) непосредственным образом примыкают ккругу вопросов, связанных с апориями движения, также сформулированнымизнаменитым элейцем. Этих апорий четыре: «Дихотомия» и «Ахиллес» затрагиваюттрудности понимания движения при предположении неограниченной делимости пути ивремени, а «Стрела» и «Стадий» выражают затруднения при обратныхпредположениях, то есть при допущении неделимых элементов пути и времени (проблемаквантов пространства и времени).

/>2.2. Апории относительнодвижения.

Аргументыо движении известны нам только по краткому разбору их Аристотелем в «Физике» икомментариям Симплиция, Филопона и Фемистия. Симплиций утверждает, что он имелв своем распоряжении сочинение Зенона, и его комментарии относительно множестваподтверждают это. Но комментарии о движении, хотя по некоторым замечаниямочевидно, что он знал и эту часть сочинения, не содержат ничего нового,отличного от Аристотеля, возможно, из-за общепризнанной трудности этихаргументов. Филопон и Фемистий тоже лишь повторяют аристотелевские суждения.

/>2.2.2. Апория «Дихотомия».

/>2.2.2.1. Формулировка апории.

ПустьАВ – отрезок длины 1 и точка М движется из А в В. Прежде чем дойти до В, онадолжна «отсчитать» бесконечное множество «середин» А1, А2, …, Аn, …; значит,точка В никогда не будет достигнута. Движущееся тело никогда не достигнет концапути, потому что оно должно сначала дойти до середины пути, затем до серединыостатка пути и так далее.

/>2.2.2.2. Соображения античныхматематиков.

Гегельдает следующий комментарий аргументам Зенона: «Зенон здесь указывает набесконечную делимость пространства: так как пространство и время абсолютнонепрерывны, то нигде нельзя остановиться с делением… Движение оказываетсяпрохождением этого бесконечного количества моментов; оно поэтому никогда некончается, движущееся, следовательно, не может дойти до своего конечногопункта».

Аналогичныесоображения можно найти и у Аристотеля. Гегель справедливо отмечает, что ужеАристотель наметил правильный путь решения данной апории Зенона, обративвнимание на то, что пространство и время не актуально разделены бесконечнымобразом, а лишь потенциально делимы до бесконечности. На эту важную мысльАристотеля обратил внимание В.И. Ленин, конспектируя «Историю философии»Гегеля: «Движущийся к цели должен сначала пройти половину пути к ней. А от этойполовины сначала её половину и так далее без конца.

Аристотельответил: пространство и время бесконечно делимы (в возможности)… но небесконечно разделены (в действительности)…»

Развиваяидею Аристотеля о непрерывности как непрерывной делимости, а неактуализированной разделенности, Гегель писал: «Делимость как возможность естьвсеобщее, в ней положены как непрерывность, так и отрицательность, или точка,но положены как моменты, а не как сами по себе». Гегель, стало быть,рассматривает делимость как возможность деления.

2.2.2.3. Логическая несостоятельность вывода Зенона.

Одиниз математических вопросов, связанных с данной апорией, состоит в следующем:допустимо ли пользоваться актуальной бесконечностью, допустимо ли, например,рассматривать весь натуральный ряд уже построенным и ввести некоторое новое,трансфинитное число, следующее за всеми натуральными?

Теориямножеств Г. Кантора (70-е гг. XIX века) отвечает на этот вопрос положительно.Кантор определяет порядковые трансфинитные числа. Если воспользоваться ими,можно сказать, что точка М достигает А1 в момент t1, А2 — в момент t2, …, Аn- в момент tn, а точка В — в момент tω, где ω – первое число,следующее за всем натуральным рядом. Заметим, что Р. Бэр с помощью точно такойже конструкции ввел первый трансфинит ω, который и является порядковымтипом множества натуральных чисел. Однако с введением теории множествзатруднения, связанные с актуальной бесконечностью, вовсе не были преодолены.Они приняли только другую форму и вновь выступили в виде парадоксов теориимножеств. В одном из них, так называемом парадоксе Бурали-Форти,рассматривается порядковый тип множества всех порядковых типов. Приписываниеему порядкового номера приводит к противоречию. В настоящее время существуетточка зрения, согласно которой свободное оперируемое с актуально бесконечнымимножествами, даже счетными, неправомерно.

/>2.2.3. Апория «Стадий»(«Стадион»).

/>2.2.3.1. Формулировка апории.

Пустьпо стадиону движутся по параллельным прямым равные массы с равной скоростью, нов противоположных направлениях. Пусть ряд А1, А2, А3, А4 означает неподвижныемассы. Ряд В1, В2, В3, В4 означает массы, движущиеся вправо, а ряд Г1, Г2, Г3,Г4 означает массы, движущиеся влево.

Будемтеперь рассматривать массы Аi, Вi, Гi, как неделимые. В неделимый моментвремени Вi и Гi проходят неделимую часть пространства. Действительно, если бы внеделимый момент времени некоторое тело проходило более одной неделимой частипространства, то неделимый момент времени был бы делим, если же меньше, томожно было бы разделить неделимую часть пространства. Рассмотрим теперьдвижение неделимых Вi и Гi друг относительно друга: за два неделимых моментавремени В4 пройдет две неделимые части Аi и одновременно отсчитает четыренеделимых части Гi, то есть неделимый момент окажется делимым.

Этойапории можно придать и несколько другую форму. За одно и то же время t точка В4проходит половину пути отрезка А1А4 и целый отрезок Г1Г4. Но каждомунеделимому моменту времени отвечает неделимая часть пространства, проходимая заэто время. Тогда в некотором отрезке α и 2α содержится «одинаковое»число точек, «одинаковое» в том смысле, что между точками обоих отрезков можноустановить взаимно однозначное соответствие. Этим впервые было установленотакое соответствие между точками отрезков различной длины. Если считать, чтомера отрезка получается как сумма мер неделимых, то вывод являетсяпарадоксальным.

2.2.3.2. Логическая ошибка в основе апории «Стадий»

скрываетсяза неявно выраженным нарушением логических законов построения мыслей. Этонарушение состоит в подспудном признании взаимной относительности движения тел А1и А2, поскольку в апории все же идет речь о движении тела А1 относительно телаА2(или наоборот), при одновременном явном отрицании этой относительности, таккак игнорируется такой параметр этого движения, как скорость ω реляционногодвижения, равная сумме модулей скоростей υ1 и -υ2 движений тел А1 иА2 по отношению к телу А0. В явном виде логически противоречивая структураданной апории может быть представлена формулой />х ( P(x) Ù ùP(x) ),где лишь исключающие друг друга пропозициональные функции означают одновременнопризнание и отрицание предикатов относительности и реальности реляционногодвижения тел А1 и А2.

/>2.2.4. «Ахиллес и черепаха».

/>2.2.4.1. Суть апории.

БыстроногийАхиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находиласьна некотором расстоянии впереди него. Действительно, пусть начальное расстояниеесть α и пусть Ахиллес бежит в k раз быстрее черепахи. Когда Ахиллеспройдет расстояние α, черепаха отползет на α/k, когда Ахиллес пройдетэто расстояние, черепаха отползет на α/k2, и так далее, то есть всякий размежду состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.

2.2.4.2. Противоречивость апории.

Вэтой апории, помимо того же затруднения отсчитанной бесконечности, имеется иеще одно. Предположим, что в некоторый момент времени tω Ахиллес догонитчерепаху. Запишем путь Ахиллеса

SA=/>

ипуть черепахи

SA=/>

Каждомуотрезку пути />,пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок пути /> черепахи. Поэтому к моментувстречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков пути, сколько и черепаха. Сдругой стороны, каждому отрезку пути />, пройденному черепахой, можносопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но, кроме того,Ахиллес должен пробежать еще один отрезок длины α, то есть он долженпройти на единицу больше отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков,пройденное последней, есть α, то получаем

1+α=α.

Этопоследнее затруднение: «часть равна целому» — явилась впоследствии предметомразмышления Галилея, Николая Кузанского и многих других, которые давали этомупарадоксу различные интерпретации. Чешский ученый Б. Болцано в первой половинеXIX века установил, что любое бесконечное множество может быть приведено вовзаимно однозначное соответствие со своей правильной частью. Теперь этосвойство иногда принимается в качестве определения бесконечного множества.

Зенон,как известно, не отрицавший реальности движения, не смог лишь логическипоследовательно осмыслить последнее, допуская трудно обнаружимое нарушениеосновных логических принципов. Констатируя этот факт, В.И. Ленин высказал своезамечание: «Вопрос не в том, есть ли движение, а как его выразить в логикепонятий», чтобы избежать при этом формально логической непоследовательности.Задача эта вполне разрешима уже с помощью средств, которыми располагаетсовременная символическая логика и которые позволяют логически непротиворечивоотобразить диалектическую противоречивость объективно реального процесса движения.

/>2.2.5. Апория «Стрела»./>

2.2.5.1. Формулировка апории.

Есливремя и пространство состоят из неделимых частиц, то летящая стрела неподвижна,так как в каждый неделимый момент времени она занимает равное себе положение,то есть покоится, а отрезок времени и есть сумма таких неделимых моментов.

Этаапория направлена против представления о непрерывной величине как о суммебесконечного числа неделимых частиц.

2.2.5.2. Основная логическая ошибка в апории «Стрела»

однотипнаошибкам в уже рассмотренных нами апориях: налицо непосредственное нарушениепрежде всего логического принципа тождества, а отсюда следует нарушение прочихпринципов. Оно выражается в неявном смешении понятий покоя и механическогодвижения, осуществляемом посредством употребления понятия «находиться»,«пребывать» в качестве ближайшего родового понятия по отношению к понятиямпокоя и движения. Однако покой тела в онтологическом плане не являетсядвижением (в противном случае движение действительно должно было бы считатьсуммой состояний покоя), а выступает как абсолютное, недиалистическое отрицаниемеханического движения в момент пересечения последнего. Поэтому и в логическомплане нельзя считать «покой» и «движение» видовыми в отношении понятий«находиться», «пребывать».

/>3. Влияние Зенона на философиюДревней Греции как подтверждение реконструированного учения.

Всвоей работе я коснулся только некоторых математико-философских вопросов,связанных с парадоксами Зенона. Но сам Зенон придал своим апориям ярковыраженный физический смысл: он направил их против возможности движения.Основной вопрос состоит в соотношении математической модели и реальногофизического пространства.

Вапориях Зенона предполагается, что пространство в малом устроено так же, как ив большом, факты из области движения величин определенного порядка переносятсяна все величины. Между тем согласно современным физическим взглядам физическиевеличины вовсе не являются делимыми до бесконечности. Современная физикаоткрывает все новые и новые замечательные факты о строении микромира. Д.Гильберт и П. Бернайс в своей книге «Основания математики» (1934) писали, чторешение парадокса «дихотомия» состоит «в указании на то обстоятельство, что мывовсе не обязательно должны верить в то, что математическоепространственно-временное представление движения имеет физическое значение дляпроизвольно малых интервалов пространства и времени; скорее, мы имеем всеоснования предполагать, что эта математическая модель экстраполирует факты изнекоторой области опыта, а именно из области движений в пределах того порядкавеличин, который пока доступен нашему наблюдению, экстраполирует просто всмысле образования идей, подобно тому, как механика сплошной среды совершаетэкстраполяцию, предполагающую непрерывное заполнение пространства материей…Ситуация оказывается сходной во всех случаях, когда имеется вера в возможностьнепосредственного узрения(актуальной) бесконечности как данной посредствомопыта или восприятия… Более подробное исследование показывает затем, чтобесконечность вовсе не была нам дана, а была только интерполирована илиэкстраполирована посредством некоторого интеллектуального процесса».

Мывидим, что апории Зенона затронули действительно глубокие и сложные вопросы.Как же ответила на них античная наука? В частности, как она разрешила вопрос отом, допустимо ли пользоваться в математике актуально бесконечно большими иактуально бесконечно малыми величинами? Мы можем судить о тех точках зрения,которые имели место в античной математике, и о тех дискуссиях, которые тамвелись, по косвенным данным, главным образом по сообщениям Аристотеля и другихфилософов этого времени.

Четырьмяпарадоксами Зенон очень хорошо достигает того, чего хотел. Он логически строгопоказывает, что в пифагорейских представлениях о движении, пространстве ивремени что-то неверно. Эти демонстрационные примеры Зенона не убедили болеепоздних мыслителей принять выводы Парменида, однако заставили этих мыслителейпроникнуться уважением к формальной логике и увидеть новые возможности ееприменения. Еще они, естественно, заставили их попытаться сформулироватьпифагорейские понятия по-новому, таким образом, чтобы исключить показанныеЗеноном противоречия. Эти попытки имели много форм: у Анаксагора – отказ отпредставления об отдельных точках и замена их непрерывной последовательностью,у Аристотеля – полное отделение арифметики от геометрии, а в атомистической теории– лежащее в ее основе четкое разграничение физической и математической«делимости».

Список литературы

ГрюнбаумА. Философские проблемы пространства и времени. М., 1969.

Историяматематики с древнейших времен до начала XIX столетия. Том 1, 1970.

КомароваВ. Я. Учение Зенона Элейского. //Вестник Ленинградского университета, 1981.

МанеевА. К. Философский анализ зеноновских апорий.  Минск, 1972.

Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.refz.ru/