Реферат: Модель прогнозирования параметров финансовых рынков и оптимального управления инвестиционными портфелями
МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПЕРМСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОДЕЛЬПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ.
Выполнил:
Проверил:
г.Пермь 2000.
Построение математической модели прогнозированияповедения является трудной задачей в связи с сильным влиянием политических идругих проблем (выборы, природные катаклизмы, спекуляции крупных участниковрынка…).
В основе модели лежит анализ некоторых критериев споследующим выводом о поведении доходности и ценовых показателей. В наборкритериев входят различные макро- и микроэкономические показатели, информация сторговых площадок, экспертные оценки специалистов. Процедура прогнозированиясостоит из этапов:
1.<span Times New Roman"">
Подготовка и предварительнаяфильтрация данных;2.<span Times New Roman"">
Аппроксимация искомойзависимости линейной функцией;3.<span Times New Roman"">
Моделирование погрешности спомощью линейной сети.Но для повышения точности модели практикуется нелинейный анализ сиспользованием многослойной однородной нейронной сети. Этапы проведениянелинейного анализа в системе совпадают со стандартными шагами при работе снейросетями.
1-й этап. Подготовка выходныхданных.
Выходными данными являются zi = yi-pi, где yi — реальное значениепрогнозируемой величины на некоторую дату, pi — рассчитанное на эту дату с помощью линейногоанализа.
2-й этап. Нормирование входныхсигналов.
<img src="/cache/referats/6123/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> (1)
где xij — j-я координата некоторогокритерия Xi, M[Xi] — выборочная оценка среднегоквадратичного отклонения.
3-й этап. Выбор функции активации иархитектуры нейронной сети.
Используются функции активации стандартного вида(сигмоидная, ступенчатая), а также следующего вида:
<img src="/cache/referats/6123/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> (2)
<img src="/cache/referats/6123/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> (3)
<img src="/cache/referats/6123/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> (4)
<img src="/cache/referats/6123/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> (5)
Архитектура нейронной сети представлена на рисунке:
<div v:shape="_x0000_s1026">
<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">S
1 <div v:shape="_x0000_s1029">f1
вектор
<img src="/cache/referats/6123/image011.gif" v:shapes="_x0000_s1039"><img src="/cache/referats/6123/image012.gif" v:shapes="_x0000_s1035"><img src="/cache/referats/6123/image013.gif" v:shapes="_x0000_s1042">входных
<div v:shape="_x0000_s1033">
<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">S
сигналов вектор<img src="/cache/referats/6123/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1040">
выходн.
<img src="/cache/referats/6123/image015.gif" v:shapes="_x0000_s1038"><div v:shape="_x0000_s1032">
f1
<div v:shape="_x0000_s1031"><span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">S
m Вектор сигналов<img src="/cache/referats/6123/image016.gif" v:shapes="_x0000_s1037"><img src="/cache/referats/6123/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1041">входных
сигналов
Введены следующие обозначения: <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">S
j — линейные сумматоры; fj — нелинейные функции; используемые для аппроксимации; <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">S — итоговый сумматор.4-й этап. Выбор алгоритма обучения нейронной сети, основанногона одном из следующих методов: обратного распространения ошибки, градиентногоспуска, метода сопряженных градиентов, методе Ньютона, квазиньютоновском.Методы оцениваются по времени, затрачиваемому на обучение и по величине погрешности.
5-й этап. Итоговые вычисления границ прогнозируемогозначения:
P=Pлин+Рнелин<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">±
Енелингде Р —итоговое прогнозируемое значение, Рлини Рнелин значениелинейного и нелинейного анализов. Енелин— погрешность полученная на этапе нелинейного анализа.
Результаты задачи прогнозирования используются впостроенной на ее основе задаче оптимального управления инвестиционнымпортфелем. В основе разработанной задачи управления идея минимизациитрансакционных издержек по переводу портфеля в класс оптимальных.
Используемый поход основан на предположениях, чтоэффективность инвестирования в некий набор активов является реализациеймногомерной случайной величины, математическое ожидание которой характеризуетдоходность (m={mi}i=1..n,где mi=M[Ri], i=1..n), матрица ковариаций — риск (V=(Vij), i,j=1..n, где Vij=M[(Ri-mi)(Rj-mj)],i,j=1..n).Описанные параметры (m,V) представляют собой оценкурынка и являются либо прогнозируемой величиной, либо задаются экспертно.Каждому вектору Х, описывающемуотносительное распределение средств в портфеле, можно поставить в соответствиепару оценок: mx=(m,x),Vx=(Vx,x). Величина mxпредставляет собойсредневзвешенную доходность портфеля, распределение средств в которомописывается вектором Х величина Vх(вариация портфеля [3,5])является количественной характеристикой риска портфеля х. Введем в рассмотрение оператор Q, действующий из пространства Rnв пространство R2(критериальная плоскость [3]),который ставит в соответствие вектору хпару чисел (mx, Vx):
Q: Rn-R2 <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Û
<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">"x<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">ÌRn, x<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">®((m,x),(Vx,x)). (7)В задаче управления допустимыми считаются толькостандартные портфели, т.е. так называемые портфели без коротких позиций. Правдаэто накладывает на вектор х два ограничения: нормирующее условие (е, х)=1, где е – единичный вектор размерности n, и условие неотрицательностидоли в портфеле, х>=0. Точки удовлетворяющие этимусловиям образуют dв пространствеRnтак называемый стандартный (n-1)-мерныйсимплекс. Обозначим его <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D
.<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D
={x<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">ÌRn<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½(e,x)=1, x<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">³0}Образом симплекса в критериальной плоскости будетявляться замкнутое ограниченное множество оценок допустимых портфелей. Нижняя границаэтого множества представляет собой выпуклую вниз кривую, которая характеризуетПарето – эффективный с точки зрения критериев выбор инвестора (эффективнаяграница[3], [5]). Прообразом эффективной границы в пространстве Rnбудет эффективное множествопортфелей [5]. Обозначим его как <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">y
. Данное множество являетсявыпуклым: линейная комбинация эффективных портфелей также представляет собойэффективный портфель[3].Пусть в некоторый момент времени у нас имеетсяпортфель, распределение средств в котором описывается вектором х. Тогда задачу управления можносформулировать в следующем виде: найти такой элемент y, принадлежащий <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">y
, что <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">r(y,x). Иными словами, длязаданной точки х требуется найтиближайший элемент y,принадлежащий множеству <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Y. В пространстве Rnсправедлива теорема,доказывающая существование и единственность элемента наилучшего приближения х элементами множества <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Y[6]. Метрика(понятие расстояния) может быть введена следующим образом:<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">r
(x,y)=<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Si=1,nsup(yi-xi,0)+<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">b<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Si=1..nsup(xi-yi,0), (9)где <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a
>0—относительная величинаиздержек при покупке, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">b>0—относительная величинаиздержек при продаже актива.Литература
1.<span Times New Roman"">
Сборник статей к 30-ти летиюкафедры ЭК. ПГУ.2.<span Times New Roman"">
Ивлиев СВ Модельпрогнозирования рынка ценных бумаг. 6-я Всероссийская студенческая конференция «Актуальныепроблемы экономики России»: Сб.тез.докл. Воронеж, 2000.3.<span Times New Roman"">
Ивлиев СВ Модельоптимального управления портфелем ценных бумаг. Там же.