Реферат: Метод Монте-Карло

ПЛАН

1. Теоретическая часть

Метод Монте-Карло

2. Практическая часть

Задача 2

Задача 3

1.Теоретическая частьМетодМонте-Карло

Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когдаамериканские ученые Н.Метрополис и С.Улам опубликовали статью «МетодМонте-Карло», в которой систематически его изложили. Название метода связано сназванием города Монте-Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку —одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использованиикоторых основан этот метод.

Специальный метод изучения поведения заданной статистики при проведениимногократных повторных выборок, существенно использующий вычислительныевозможности современных компьютеров. При проведении анализа по методуМонте-Карло компьютер использует процедуру генерации псевдослучайных чиселдля имитации данных из изучаемой генеральной совокупности. Процедура анализа пометоду Монте-Карло модуля Моделирование структурными уравнениями строитвыборки из генеральной совокупности в соответствии с указаниями пользователя, азатем производит следующие действия:

Для каждого повторения по методу Монте-Карло:

1. Имитируетслучайную выборку из генеральной совокупности,

2. Проводит анализвыборки,

3. Сохраняетрезультаты.

После большого числа повторений, сохраненные результаты хорошо имитируетреальное распределение выборочной статистики. Метод Монте-Карлопозволяет получить информацию о выборочном распределении в случаях, когдаобычная теория выборочных распределений оказывается бессильной.

ЭВМ позволяют легко получать так называемые псевдослучайные числа (прирешении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкомувнедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика,теория массового обслуживания, теория игр и др.). Метод Монте-Карло используютдля вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения системалгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного родасложных систем (автоматического управления, экономических, биологических ит.д.).

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значениеа некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайнуювеличину X, математическое ожидание которой а:

/>(1)

Практически же поступают так: производят п испытаний; в результатекоторых получают п возможных значений X, вычисляют их среднее арифметическое

/> (2)

и принимают х в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а:

/> (3)

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний,его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого методауказывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения. В частности,разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, врезультате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математическогоожидания а его оценкой а *.

Отыскание возможных значений случайной величины Х (моделирование)называют «разыгрыванием случайной величины». Изложим лишь некоторые способыразыгрывания случайных величин и укажем, как оценить допускаемую при этом ошибку.

 

Оценка погрешности метода Монте-Карло

Пусть для получения оценки а * математического ожидания аслучайной величины Х было произведено п независимых испытаний(разыграно п возможных значений Х) и по ним была найдена выборочнаясредняя />, которая принята в качестве искомой оценки: а*= />. Ясно, что если повторить опыт, то будут полученыдругие возможные значения X, следовательно,другая средняя, а значит, и другая оценка а*. Уже отсюда следует, что получитьточную оценку математического ожидания невозможно. Естественно, возникаетвопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границыдопускаемой ошибки с заданной вероятностью (надежностью) /> :

/> (4)

Интересующая нас верхняя граница ошибки /> есть не что иное, как «точность оценки» математическогоожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Поэтомувоспользуемся результатами, полученными ранее, и рассмотрим следующие трислучая.

1. Случайная величина Х распределена нормально и ее среднееквадратическое отклонение />- известно. В этом случае с надежностью уверхняя граница ошибки

/> (5)

где п — число испытаний (разыгранных значений X);t— значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t) == />/2, /> — известное среднее квадратическое отклонение X.

2. Случайная величина Х распределена нормально, причем ее среднееквадратическое отклонение /> неизвестно. В этом случае с надежностью /> верхняя граница ошибки

/> (6)

где п — число испытаний; s— «исправленное» среднее квадратическое отклонение, tнаходят по таблице значений ty == t{/>,n}.

3.Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального. Вэтом случае при достаточно большом числе испытаний (n > 30) с надежностью, приближенно равной />, верхняя граница ошибки может бытьвычислена по формуле (5), если среднее квадратическое отклонение /> случайной величины Х известно; если же />-неизвестно, то можно подставить вформулу (5) его оценку s—«исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой(6). Заметим, что чем больше п, тем меньше различие между результатами,которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при п —> /> распределение Стьюдента стремится к нормальному. В частности,при п=--100, />=0,95 верхняя граница ошибки равна0,098 по формуле (5) и 0,099 по формуле (6). Как видим, результаты различаютсянезначительно.

Замечание. Для того чтобы найти наименьшее число испытаний, которыеобеспечат наперед заданную верхнюю границу ошибки />, надо выразить пиз формул (5) и (6):

/>

2. Практическая часть

Задача 2

 

Исходя из статистических данных одеятельности торгового предприятия, с помощью регрессионной зависимости вида

 

Y= a*Х + b

 

установить связь между потерями нарекламу (X) и объемом реализации (Y).

 

2.1. Вычислить параметры зависимостиa и b методом наименьших квадратов.

 

2.2. Оценить соответствие построенной зависимостистатистическим данным.

 

Вариант 7 x 109 107 108 111 106 105 104 y 234 235 236 237 238 239 240

 

Выполнение задания

Для выполнения заданий используем пакет электронных таблиц Excel.

2.1Блок исходных данных формируется в первых двух столбцах (A3:B9).

2.2Вводится гипотеза, что между фактором Х и показателем Y существуетлинейная стохастическая зависимость />= a · X+b

Оценки параметров a иb парной регрессии вычисляются по формулам

/>

/>

За блоком исходных данных находитсяблок промежуточных расчетов.

Для нахождения произведения /> в ячейку C3вводится формула =A3·B3. Далее копируем полученную формулу вдругие ячейки столбца C. Значения />вычисляем в столбце D.

Для определения сумм столбцовиспользуем кнопку автосуммирования на панели инструментов ∑. Послеустановления курсора на ячейку A10 нажимаем ∑ на панелиинструментов, выделяем диапазон ячеек А3: А9, нажимаем Enter. Введенная формулакопируется в необходимые ячейки 10-ой строки. Средние значения X,Yвычисляются в ячейках D11,D12 с использованием встроенной статистической функции СРЗНАЧ ():

=СРЗНАЧ(A3:A9)и =СРЗНАЧ(B3:B9).

В ячейки В12, В13 вводятсяформулы для определения оценок параметров соответственно a и b.

=(B11*C10-B10*A10)/(B11*D10-A10^2)         –для параметра а;

=D12-B12*D11                                        –для параметра b.

а=-0,602, b=301,55,

уравнение регрессии:

Y=-0,602×Х+ 301,55

2.3.   Длявычисления расчетных значений />(і=/>) в ячейку E3 вводимформулу /> сабсолютными ссылками координат-параметров a и относительнойссылкой координаты />. Полученную формулу в ячейке E3копируем в блок E4:E9 В ячейке E10 будет находиться суммаблока E3:E9. Поскольку математическое ожидание отклонения фактическихданных от расчетных равняется нулю, то при правильном выполнении расчетовзначения ячеек B10и E10 будут совпадать.

Для определения адекватностипринятой эконометрической модели экспериментальным данным воспользуемсяF-критерием Фишера. Расчетное значение критерия Фишера определяется по формуле:

/>

Значение /> вычисляем соответственно в блокахF3:F9, G3:G9, H3:H9, а их суммы в блоке F10:H10.

Значения коэффициента детерминации />вычисляетсяв ячейке F11 с использованием встроенной математической функции КОРЕНЬ.

Для оценки коэффициента корреляции

/>

в ячейку I3вводим формулу для вычисления значения /> и копируется в блок I4:I9.Суммаблока I3:I9вычисляется в ячейке I10.

Значения коэффициента корреляциивычисляется в ячейке F13.

Kkor=-0,672194

Расчетное значение критерия Фишера:Fроз= 4,121495

Табличное значение F-критерия длявероятностей P=0,95и числа степеней свободы

K1 = m = 1,

K2 = n – m – 1 = n – 2 =7 – 2 = 5 равняется: F(0.95;1;5)= 5,99

Поскольку />, то с надежностью P=0,95эконометрическую модель можно считать неадекватной экспериментальнымданным. Об этом также говорит невысокое значение коэффициентакорреляции Kkor=-0,672194

Таблица с расчетными данными:

/>

Задача 3

Предприятие имеет 7 филиалов пореализации продукции. Руководству предприятия необходимо, исходя изстатистических данных об их деятельность оценить силу зависимости товарооборота(Y) от факторов: объема торговой площади (S), интенсивности потока покупателей (N) и стоимости основныхфондов (F). С помощью линейной регрессионной модели вида

/>,

установить связь между товарооборотоми двумя наиболее существенными факторами.

3.1. Вычислить коэффициентыкорреляции между результативным признаком Y и факторами: S, N и F.

3.2. Определить два фактора, которыенаиболее влияют на товарооборот Y.

3.3. Вычислить параметрырегрессионной модели а, b, сметодом наименьших квадратов.

3.4. Оценить соответствие построенной зависимости статистическим данным.

Вариант 7 S, кв.м. 15 23 18 18 19 17 23 N, чел. 567 568 569 345 234 453 345 F, тис.грн. 10 7 11 28 15 10 57 Y, млн.грн 0,25 0,24 0,23 0,28 0,23 0,27 0,27

 

Выполнение задания

3.1. Исходные данные факторов размещаем в блоке B2:D18, а показатели в столбце E2:E8.

3.2. В блоке A13:C14 используя встроенную функции Excel =КОРРЕЛ() находим коэффициенты корреляции междупоказателем Y и факторами Х1, Х2, Х3

Корф. кор.-ции Y — X1 Y — X2 Y — X3 0,208604 -0,60362 -0,04747

3.3. Как видно из корреляционной матрицы для регрессионной модели можновыбрать две переменные – Х1 и Х2, так как для них значения коэффициентакорреляции с показателем близки к 1 и равны 0,208604и -0,60362 соответственно.

3.4. Допустим, что между показателем Y и факторами Х1, Х2 существует линейнаязависимость />. Найдем оценки параметров, используяметод наименьших квадратов (в матричных операциях). Запишем систему нормальныхуравнений в матричной форме

/>, где />

Если помножить матричное уравнение слева на матрицу />, то для оценки параметров вектора /> получим формулу

/>.

Нахождение оценок параметров регрессии:

1. Находим транспонированную матрицу /> в блоке E13:K15 поотношению к матрице /> в блоке A2:C8, используя в категории «Ссылки и массивы»встроенную функцию ТРАНСП(A2:C8).

2. Находим произведение матриц /> в блоке A18:C20, используявстроенную математическую функцию МУМНОЖ(блок данных первой матрицы A18:C20; блок данных второй матрицы A2:C8).

3. Обратную матрицу /> находим в блоке D18:F20, используя встроенную математическую функцию =МОБР(A18:C20).

4. Произведение матриц /> находим в блоке H18:H20, встроенную математическую функцию=МУМНОЖ(E13:K15;E2:E8).

5. Оценки вектора находим в блоке J39:J41, встроенную математическую функцию=МУМНОЖ(D18:F20;H18:H20).

[XT][X]-1[XT]Y

0,32512 0,00040 -0,00005

a= 0,00040, b= -0,00005, c= 0,32512.

Уравнение регрессии:

 

Y=0,00040X1 + -0,00005X2 + 0,32512

3.5. Проверим адекватность принятой модели экспериментальным данным с помощьюкритерия Фишера. Расчетные значения Yрасч считаем в столбце Fпо формуле Yрасч=0,00040Х1+-0,00005Х2+0,32512..

Рассчитываем F-статистику Фишера с m и (n- m- 1) степенями свободы:

/>

где    m — количество факторов, которые вошли в модель;      m=2

n –общее количество наблюдений;                                    n=7

В ячейках F2:F10 находятся расчетные значения показателя, а в ячейках G2:G10 квадраты их отклонений от экспериментальных значений.

В ячейках H2:H10 квадраты отклонений от среднего значения.

Расчетное значение Fрасч= 1,19895497

По F- таблице Фишера находим критическое значение Fкр с m и (n-m-1) степенями свободы:             Fкрит(0,95;2;4)= 6,94

Расчетное значение критерия 1,19895497 меньше критического, значит с надежностью /> можно считать, что принятая математическая модельнеадекватна по экспериментальным данным.

Таблица с расчетными данными:

/>