Реферат: Финансовая математика

Задание 1

Правило торговца.

Кредит в Z = 15 000 руб. выданна N = 10 месяцев под i = 10% годовых. Договор предусматривает погашение двумяпромежуточными платежами. Первая выплата в сумме R1 = 600 руб. производитсячерез n1 = 6 месяцев, вторая выплата в сумме R2 = 9 000 руб. — через n2 = 9месяцев. Найти выплату в конце срока кредита.

Решение.

Продолжительность кредита вдолях года равна

T =10/12=5/6.

Тогда долг (кредит с процентами)составит 15 000(1 + 0,1⋅0,83)= 16 245.

Интервал времени (в долях года) отмомента первого платежа до окончания срока кредита

t1 =(10-6) /12=1/3.

Сумма первого платежа с процентамиравна

R1=(1+ i t1) = 600(1+0,1·1/3) =620.

Остаток долга после первогоплатежа будет равен

Z1 = 16245-620=15625.

Интервал времени (в долях года) отмомента второго платежа до окончания срока кредита

t2 =(10-9) /12=1/12.

Сумма второго платежа спроцентами равна

R2=(1+ i t2) =9000(1+0,1·1/12) =9075.

Остаток долга будет равен

Z2 = 15625-9075=6550.

Отсюда следует, что в концесрока кредита погашающий платеж равен

R3= 6550 руб.

Таким образом, заемщиком будетвыплачена сумма

R1+ R2+R3= 600+9000+6550=16150руб.

При этом его долг кредиторусоставляет 16 245 руб.

Задание 2

Клиент получил ссуду Р = 200000руб. сроком на n = 8 лет под 6% процентов годовых. Погашение кредитапроизводится в конце каждого года равными долями.

Вычислить размер ежегодногоплатежа и его разбиение на погашение основного долга и погашение процентов. Вычисленияпо формулам проверить с помощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ.

Решение.

Клиент должен каждый годвыплачивать банку сумму

R=P∙ i/(1-(1+i) — n) =200000∙0,06/(1-(1+0,06)- 8) =32207, 19

Этот ответ можно получить,используя таблицу коэффициентов приведения a(i,k),

R=P/(a(6%,8)) =200000/6, 20979=32207, 19

найдем выплаты по процентам иосновного долга в конце первого года, т.е. при j = 1, Z0 = P = 200 000:

D1 = i·Z0 = 0,06·200 000 = 12 000,B1= R — D1 = 32207,19 — 12000 =20207, 19.

Тогда остаток долга в концепервого года будет равен

Z1 = Z0 — B1 = 200 000 — 20207,19= 179792,81.

В конце второго года, т.е. при j= 2 выплаты по процентам

D2 = i·Z1 = 0,06·179792,81 ≈10787,57, выплаты основного долга

B2 = R — D2 = 32207,19 — 10787,57 = 21419,62.

Тогда остаток долга в концевторого года будет равен

Z2= Z1 — B2 = 179792,81 — 21419,62= 158373, 19.

В конце третьего года, т.е. приj = 3 выплаты по процентам

D3= i·Z2 = 0,06·158373,19 ≈9502,39,

выплаты основного долга

B3 = R — D3 =32207,19 -9502,39=22704,8.

Тогда остаток долга в концетретьего года будет равен

Z3 = Z2 — B3 = 158373,19 — 22704,8=135668,39.

В конце четвертого года, т.е. приj = 4 выплаты по процентам

D4 = i·Z3 = 0,06·135668,39=8140,10, выплаты основного долга

B4 = R — D4 =32207,19 -8140,10=24067,08.

Тогда остаток долга в концечетвертого года будет равен

Z4 = Z3 — B4 = 135668,39 — 24067,08= 111601,31.

В конце пятого года, т.е. при j= 5 выплаты по процентам

D5 = i·Z4 = 0,06·111601,31=6696,08, выплаты основного долга

B5 = R — D5 =32207,19 -6696,08=25511,11.

Тогда остаток долга в концепятого года будет равен

Z5 = Z4 — B5 = 111601,31 — 25511,11= 86090,2.

В конце шестого года, т.е. при j= 6 выплаты по процентам

D6 = i·Z5 = 0,06·86090,2 =5165,41, выплатыосновного долга

B6 = R — D6 =32207,19 -5165,41=27041,78.

Тогда остаток долга в концешестого года будет равен

Z6 = Z5 — B6 = 86090,2 — 27041,78=59048,42.

В конце седьмого года, т.е. приj = 7 выплаты по процентам

D7 = i·Z6 = 0,06·59048,42=3542,91, выплатыосновного долга

B7 = R — D7 =32207,19 -3542,91=28664,28.

Тогда остаток долга в концеседьмого года будет равен

Z7 = Z6 — B7 = 59048,42 — 28664,28=30384,14.

В конце восьмого года, т.е. приj = 8 выплаты по процентам

D8 = i·Z7 = 0,06·30384,14=1823,05, выплаты основного долга

B8 = R — D8 =32207,19 -1823,05=30384,14.

Тогда остаток долга в концевосьмого года будет равен

Z8 = Z7 — B8 = 30384,14 — 30384,14=0.

Теперь проверим вычисления спомощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ

кредит 200 000,00 срок 8 ежегодная выплата R проц ставка 6% -32 207, 19р. год основные Bi проценты Di остатки долга Zi 200 000,00 1 -20 207, 19р. -12 000,00р. 179 792,81р. 2 -21 419,62р. -10 787,57р. 158 373, 19р. 3 -22 704,80р. -9 502,39р. 135 668,39р. 4 -24 067,08р. -8 140,10р. 111 601,31р. 5 -25 511,11р. -6 696,08р. 86 090, 20р. 6 -27 041,78р. -5 165,41р. 59 048,42р. 7 -28 664,28р. -3 542,91р. 30 384,14р. 8 -30 384,14р. -1 823,05р. 0,00р. Задание 3

Проект рассчитан на два года итребует инвестиции в I0 = $ 15 000. В конце первого года доход составит R1= $ 7000, а в конце второго года — R2= $ 12 000.

Найти при заданной ставкеприведения i=10%:

1) чистый приведенный доход NPV;

2) чистый наращенный доход NFV;

3) cрок окупаемости без учета ис учетом времени;

4) внутреннюю ставку дохода.

Вычисления по формулам проверитьпомощью функций ЧПС и ВСД.

Решение.

Из формулы при n = 2, i = 10%найдем чистый приведенный доход n

NPV=∑ *Rk / (1+i) k-I0

k=1

NPV=7000/1,1+12000/1,12-15000=6363,64+9917,36-15000=1281

илиNPV=R1*v(10%,1) +R2*v(10%,2) — I0

=7000*0,909091+12000*0,826446-15000=6363,64+9917,36-15000=1281

Заметим, что величина $ 6363,64соответствует современной стоимости $ 7 000, а величина инвестиции $ 9 917,36соответствует современной стоимости $ 12 000.

NFV =(1+i) 2 ·NPV = 1,12 · 1281 =1550,01

Найдем срок окупаемости без учетавремени по формуле

R1+R2+…+R [nok] +R [nok] +1=I0,

что приводит к уравнению

7000 + 12000x= 15 000.

Отсюда дробная часть срокаокупаемости

x=7000/12000=0,58

Срок окупаемости равен 1 + x = 1,58.

Срок окупаемости с учетомвремени по формуле:

v(i,1) R1+v(i,2)R2+…+v(i, [nok]) R [nok] +xv(i, [nok] +1) R [nok] +1=I0

приводит к уравнению

7000/1,1+12000/1,12x=15000; 7000*v(10%,1) +12000*v(10%,2) x=15000;

6363,64+9917,36x=15000;x=(15000-6363,64) /9917,36=0,87

Срок окупаемости с учетомвремени поступления доходов равен 1,87.

Внутреннюю ставку дохода по определениюнаходим из решения уравнения относительно i.

7000/(1+i)+12000/(1+i) 2=15000 или

15000х2-7000х-12000=0

где x = 1 + i. Сокращая на 1000,получим квадратное уравнение

15x2 — 7x — 12 = 0.

Положительный корень этогоуравнения x1= 1,1577

Отсюда находим, что внутренняяставка дохода

IRR = x1- 1 = 1,1577 — 1 =0,1577.

Вычисления по формулам проверимв Excel с помощью функций ЧПС и ВСД.

Исходные данные ставка приведения инвестиции доходы в конце 1 года в конце 2 года 10% -15 000,00р. 7000 12000 Решение приведенные доходы 16 280,99р. чистый приведенный доход 1 280,99р. внутренняя ставка дохода 16% Задание 4

На финансовом рынке можетсложиться одна из четырех ситуаций A1, A2, A3, A4.

В условиях полнойнеопределенности инвестор выбирает из четырех финансовых операций F1, F2, F3,F4. Доходы инвестора определяются матрицей

/> 

/>/>

Определить оптимальный выборфинансовой операции по критериям Вальда и Сэвиджа.

1. Оптимальный выбор финансовой операциипо критерию Вальда.

Найдем наихудший исход каждой финансовойоперации, т.е. определим наименьшее число в каждой строке матрицы доходов:

a1= 14, a2= 8, a3= 11, a4= 12.

Согласно правилу Вальда, наибольшеесреди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальный доходравен 14, и он гарантируется выбором финансовой операции F1.

2. Оптимальный выбор финансовой операциипо критерию Сэвиджа.

Сначала получим из матрицы доходовматрицу рисков. Для этого в каждом столбце матрицы доходов найдем наибольшеечисло

b1=17, b2=18, b3=18, b4=17.

Вычитая из наибольшего значениястолбца все его элементы, получаем столбец матрицы рисков. Следовательно,матрица рисков имеет вид

Q=/>

Найдем наихудший исход каждой финансовойоперации, т.е. определим наибольший риск в каждой строке матрицы рисков:

q1= 4, q2= 9, q3= 7, q4=6.

Согласно правилу Сэвиджанаименьшее среди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальныйдоход равен 4, и он гарантируется выбором финансовой операции F1.