Реферат: Финансовая рента

Финансовые ренты. Коэффициенты наращения финансовой ренты

Финансовыеоперации часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа,а из их последовательности, т.е. из потока платежей.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, авременные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом [5, с.46].

Основныеправила процентных вычислений, рассмотренные нами ранее, остаются неизменными идля совокупности платежей, однако возникает необходимость ввести несколькодополнительных понятий. В финансовом анализе для обозначения денежных потоков внаиболее общем смысле используется термин рента.

Частнымслучаем ренты является финансовая рента или аннуитет — такой поток платежей,все члены которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними.

Частоаннуитетом называют финансовый актив, приносящий фиксированный доход ежегодно втечение ряда лет [7, с.28].

Вбуквальном переводе «аннуитет» подразумевает, что платежи происходятс интервалом в один год, однако встречаются потоки с иной периодичностью выплат.

Очевидно,что рента — это более широкое понятие, чем аннуитет, так как существуетмножество денежных потоков, члены которых не равны друг другу или распределенынеравномерно [7, с.28].

Формуаннуитетов имеют многие финансовые потоки, например выплата доходов по облигациямили платежи по кредиту, страховые взносы. Можно сказать, что финансы тяготеют купорядочению денежных потоков.

Принципвременной ценности денег делает невозможным прямое суммирование членов ренты. Дляучета влияния фактора времени к каждому члену ренты применяются рассмотренныевыше правила наращения и дисконтирования только сложных процентов, то естьпредполагается, что получатель потока имеет возможность реинвестироватьполучаемые им суммы.

Еслибы размеры рент всегда ограничивались двумя-тремя членами, то необходимостьсоздания специальных способов расчета денежных потоков, возможно, и не возникла.

Ни втеории, ни на практике таких ограничений нет, наоборот, существуют большие,очень большие и даже бесконечные денежные потоки (вечные ренты), поэтому былиразработаны специальные методы, позволяющие анализировать ренту не по каждомуее члену в отдельности, а как единую совокупность — рассчитывать ее будущую иприведенную величины, а также определять размеры других важных параметров ренты.

Финансовая рента имеет следующие параметры:

член ренты — величина каждого отдельного платежа;

период ренты — временной интервал между двумя соседнимиплатежами, срок ренты — время, измеренное от начала финансовой ренты до концаее последнего периода;

процентная ставка — ставка, используемая при наращении илидисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, числоначислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты [3, с.62].

Классификация рент может быть произведена по различнымпризнаками.

В зависимости от продолжительности периода, ренты делят нагодовые и p-срочные, где p — число выплат в году.

По числу начислений процентов различают ренты с начислениемодин в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут несовпадать с моментами рентных платежей [5, с.47].

По величине членов различают постоянные (с равными членами) ипеременные ренты.

Если размеры платежей изменяются по какому — либоматематическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартныеформулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные иусловные.

Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, припогашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступлениянекоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например,число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов илиограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можнорассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты поотношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту рентыподразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленныхрент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей.

Если платежи осуществляются в конце каждого периода, тотакие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятсяв начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногдапредусматриваются платежи в середине каждого периода.

Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагаетрасчет наращенной суммы или современной величины ренты.

Рассмотрим расчет современной стоимости и наращенной суммыпостоянной обычной (постнумерандо) p — срочной ренты [4, с.84].

Ежегодно сумма R вносится равными долями p разв году на банковский счет в течение n лет. Тогда имеем поток из npплатежей величиной /> каждый в моменты/>.

Примем за единицу измерения времени 1 год.

Пусть i — годовая эффективная процентная ставканачисления сложных процентов на поступающие платежи.

Согласно определению современной стоимости потока платежей,получаем

/> (1)

Вычисляя сумму np членов геометрической прогрессии,знаменатель которой />, получим:

/> (2)

современная стоимость постоянной обычной p — срочнойренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет.

Отсюда современная стоимость годовой обычной ренты (p = 1)при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году:

/>. (3)

Используя соотношения эквивалентности для эффективнойпроцентной ставки

/> и />,

получим современную стоимость обычной p — срочнойренты при начислении на члены ренты сложных процентов m раз в году пономинальной процентной ставке i(m) и непрерывномначислении процентов при постоянной интенсивности процентов δ в год:

/> (4)

/>. (5)

Формулы для наращенной суммы ренты можно получитьнепосредственно по определению согласно формуле (3).

Например, для постоянной обычной p — срочной рентыпри начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n летполучаем:

/>. (6)

Наращенную сумму ренты можно рассчитать, используя формулусвязи современной стоимости и наращенной суммы потока платежей.

Например, для годовой ренты при начислении процентов 1 раз вгод:

S = A F (T) = A (1 + i) n= /> (7)

Для других видов обычной ренты из (4) и (5), используямножители наращения /> и /> соответственно, получим:

/> (8)

/> (9)

В частности, при m = p (период начисленияпроцентов равен периоду ренты) из (4) и (8) получаем

/> (10)

/> (11)

Если единицей измерения времени является 1 год, а R — это выплата за год (единицу времени), то множитель в формулах современнойстоимости ренты, равный />,называется коэффициентом дисконтирования ренты.

Множитель в формулах наращенной суммы ренты, равный />, называется коэффициентомнаращения ренты.

Из (1) — (11) можно получить коэффициенты наращения идисконтирования всех рассмотренных видов обычной ренты.

Согласно (1) и (5), коэффициенты дисконтирования и наращенияобычной p — срочной ренты с начислением процентов 1 раз в году в течениеn лет равны соответственно:

/> (12)

/> (13)

/> и /> - это соответственносовременная стоимость и наращенная сумма постоянной обычной p — срочнойренты с ежегодной выплатой 1 д. е. равными долями p раз в году в размере/> в моменты времени /> с начислением на членыренты процентов 1 раз в году.

Следовательно, />и />связаны соотношением (14):

/>= (1 + i) n/> (14)

Аналогичный смысл имеют коэффициенты дисконтирования инаращения других рассмотренных видов обычной ренты.

Для этих рент имеем соотношения:

/> - годовая рентас начислением процентов 1 раз в год;

/> - p — срочнаярента с начислением процентов m раз в год;

/> - p — срочнаярента с непрерывным начислением процентов.

Коэффициенты дисконтирования и наращения годовой ренты приначислении процентов 1 раз в год:

/> и /> (15)

Если применяется p — срочная рента с начислением процентовp раз в год (m = p) по годовой номинальной ставке i(p),то за единицу измерения времени можно принять /> частьгода. Тогда /> - выплата за единицувремени (постнумерандо), /> - процентнаяставка за 1 единицу времени,

срок ренты — np единиц времени.

Коэффициенты дисконтирования и наращения такой ренты равнысоответственно

/> и />.

Из формул (10), (11) имеем

/>, /> (16),

что позволяет для этой ренты использовать те же таблицыкоэффициентов. Заметим, что если единицей измерения времени является 1 год, токоэффициенты дисконтирования и наращения этой ренты определяются как /> = /> и /> = /> и рассчитываются поформулам, полученным из (10), (11):

/>, /> (17). Тогда

/>= /> и /> = /> (18)

Рассмотрим ренту пренумерандо.

Связь между коэффициентами дисконтирования и наращения рентпренумерандо и постнумерандо следует из их определения. Срок дисконтированиякаждого платежа ренты пренумерандо уменьшается, а срок наращения увеличиваетсяна один период ренты по сравнению с обычной рентой. По — прежнему единицейизмерения времени считаем 1 год. Если /> и/> - коэффициентыдисконтирования и наращения p — срочной ренты пренумерандо (платежипоступают в начале каждого периода длиной />)при начислении на члены ренты процентов 1 раз в год, то справедливы соотношения:

/>= />/>

/> = />/>

/> = (1 + i)n />.

Отсюда при p = 1 получаем соотношения для годовыхрент:

/>= />/>

/> = />/>

/> = (1 + i)n />.

При непрерывном начислении процентов для p — срочнойренты имеем соотношения:

/> = />/>

/>

/>.

Рассмотрим непрерывную ренту.

Коэффициенты дисконтирования и наращения постояннойнепрерывной ренты можно получить из формул для p — срочной ренты при /> или по определению длянепрерывного равномерно выплачиваемого потока платежей с постоянной годовойинтенсивностью f (t) = 1.

Например, для постоянной непрерывной ренты при непрерывномначислении процентов по постоянной силе роста /> получаем:

/>,

где /> - коэффициентдисконтирования обычной p — срочной ренты при непрерывном начислениипроцентов.

Заметим, что так как

/>,

где /> - коэффициентдисконтирования p — срочной ренты пренумерандо при непрерывномначислении процентов, то

/>/>.

Действительно, при непрерывно поступающих платежах различиемежду рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает.

Коэффициент дисконтирования постоянной непрерывной ренты приначислении процентов 1 раз в год получим по определению:

/>.

Коэффициенты наращения непрерывных рент можно найти изравенств вида:

/> = />,

/> = />.

Соотношения между коэффициентами дисконтированиярассмотренных трех видов рент — обычной, пренумерандо и непрерывной — можноустановить из следующих соображений.

Так как

/>,

где i(p) — эквивалентная годоваяноминальная процентная ставка, то

/>.

С другой стороны,

/>/>.

Следовательно

/> />, (19)

где />, /> - коэффициенты дисконтированияобычной годовой ренты с начислением процентов 1 раз в год и постояннойнепрерывной ренты при непрерывном начислении процентов.

Равенства (19) можно продолжить для ренты пренумерандо, еслиучесть соотношения коэффициентов дисконтирования обеих рент:

/> и />.

Тогда

/>= /> = />. (20)

где /> - эквивалентнаяучетная ставка.

Из (19), (20) получаем

/>, (21)

где /> - эквивалентнаяноминальная учетная ставка.

Каждое выражение в этом равенстве — современная стоимостьпроцентов, выплачиваемых по займу 1 д. е. на протяжении n лет всоответствии с различными способами выплаты процентов.

Аналогичные соотношения можно получить и для коэффициентовнаращения рент.

Если полагают, что срок ренты n = ∞, то рентуназывают вечной. Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современнуювеличину такой ренты можно найти.

Для обычной вечной p — срочной ренты с начислениемпроцентов 1 раз в год получаем при n → ∞:

/>.

Для такой же ренты пренумерандо:

/>.

Кроме того, />.

Таким образом, />, />, />. (21)

Если вечная рента является годовой (p = 1), то имеем:

/>, />, />. (22)

Если начало ренты, т.е. начало ее первого периода,переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t= 0, то такую ренту называют отсроченной. Современная стоимость отсроченнойренты Atопределяется следующим образом. Согласно определениюсовременной стоимости потока платежей,

/>,

где />, />, /> - дисконтные множители k — го платежа на временных отрезках [0, tk], [t, tk],[0, t] соответственно. Так как />, то A — стоимостьренты, рассчитанная на момент начала ее первого периода, т.е. на момент началанеотсроченной ренты.

Следовательно, A — это современная стоимостьнеотсроченной ренты.

Таким образом, современная стоимость отсроченной рентыопределяется путем дисконтирования по процентной ставке ренты в течение времениt современной стоимости A неотсроченной ренты:

/>, (23)

Рассмотрим зависимость коэффициентов наращения ренты отсрока ренты и процентной ставки.

Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числаплатежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением процентов 1 разв год.

Имеем />, />.

Ситуацию можно рассматривать как беспроцентный долг,выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.

Установим зависимость от i коэффициента наращенияренты />.

/>.

Очевидно, /> - возрастающаяфункция i, что следует из свойств наращенной суммы разового платежа. Действительно,так как /> и />, то /> - возрастающая выпуклаяфункция аргумента i (рис.1).

/> <td/> />
Рис.1.

3) Установим зависимость от i коэффициентадисконтирования ренты />.

/>.

Очевидно, /> - убывающаяфункция i, что следует из свойств современной стоимости разового платежа.Действительно, так как /> и />, то /> - убывающая выпуклаяфункция аргумента i (рис.2).

/>

Рис. 2

Установим зависимость от n коэффициента наращенияренты />.

/>, где />.

Так как /> и />, то /> - возрастающая выпуклаяфункция аргумента n (рис.3).

/>

Рис. 3

Установим зависимость от n коэффициентадисконтирования ренты />.

/>,

где />.

Так как /> и /> (вечная рента), то /> - возрастающая вогнутаяфункция аргумента n (рис.4).

/>

Рис.4

Эти свойства используются в задачах на определениепараметров ренты.

Задача.

Раскрой материала.

На раскрой (распил) поступает материал нескольких видов вопределенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различныеизделия. Материал может быть раскроен разными способами. Каждый способ имеетсвою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида.Определить способ раскроя, при котором суммарная себестоимость минимальна (построитьматематическую модель в общем виде).

Решение:

Пусть поступает в раскрой m различных материалов.

Требуется изготовить из них k разных комплектующих изделий (комплектов)в количествах, пропорциональных величинам b1, b2,., bk(условия комплектности).

Пусть каждую единицу j-го материала j=1,., m можно раскроитьn различными способами, так что при использовании i-го способа раскроя, i=1,.,n получим аij единиц k-го изделия.

Нужно определить такой план раскроя материалов,обеспечивающий максимальное количество комплектов, если имеющийся запас j-гоматериала составляет аj единиц.

Обозначим через xij количество единиц j-гоматериала, раскраиваемых i-м способом, а через x-общее количествоизготавливаемых комплектов.

Математическая модель этой задачи имеет такой вид:

максимизировать x (1)

при условиях

/>/>

Условие 2 означает ограничение на запас j-го материала, а условие3 — условие комплектности.

Список используемой литературы

1.        Багриновский К. Матюшок В. Экономико-математические метода и модели: Учебник/ К. Багриновский, В. Матюшок. — М.: Экономистъ, 1999. — 185с.

2.        Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учебник / П.П. Бочаров,Ю.Ф. Касимов. — М.: Гардарики, 2002. — 624с.

3.        Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие / Б.Т. Кузнецов. — М.:Экзамен, 2005. — 128с.

4.        Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчетакредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. — М.: Дело, 1998. — 304с.

5.        Лукашин Ю.П. Финансовая математика: Учебное пособие / Ю.П. Лукашин. — М.:МФПА, 2004. — 81с.

6.        Малыхин В.И. Финансовая математика / В.И. Малыхин. — М.: Юнити — Дана,2003. — 237с.

7.        Меньшиков С. Рентабельность и рента / С. Меньшиков // Экономическоестратегии. — 2004. — №1. — с.28-31.

8.        Четыркин Е.М. Финансовая математика / Е.М. Четыркин. — 4-е изд. — М.: Дело,2004. — 400с.