Реферат: Решение задач на переливание на бильярдном столе

III научно-практическая конференцияшкольников

поматематике, её приложениям и информационным технологиям

Поиск

Учебно-исследовательскаяработа

Решение задачна переливание на бильярдном столе

Гомель, 2008

Содержание

Введение

1.Математическая модель бильярда

2.Траектории движения

3. Задачи напереливание

3.1 Типичные задачи на переливание

3.2 Условие разрешимости задач

3.3 Алгоритм решения задач напереливание

Заключение

Списокиспользованных источников

Приложение

/> 

Введение

Вданной работе изучаются так называемые бильярдные системы. К простейшим из нихотносятся «бильярд в плоской области» (точечный шар, движущийся внутри круга, прямоугольника,эллипса, многоугольника и т. д.) и «одномерный бильярд». Общим свойствомбильярдных систем является закон абсолютно упругого отражения. Огеометрических, «арифметических», физических следствиях этого закона ирассказывается в работе.

Подобнотому, как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, играв бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике иматематике. Описанию движения бильярдного шара (с учетом трения) напрямоугольном столе с лузами посвящена книга известного французского физика Г.Г.Кориолиса, написанная им в 1835 г. за год до избрания его академиком Парижскойакадемии наук.

Методыисследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий),с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой — лежат настыке отраслей современной математики — теории чисел, топологии, эргодическойтеории и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, этиметоды позволяют получить далеко не элементарные выводы.

Общаяматематическая проблема бильярда заключается в том, чтобы описать возможныетипы бильярдных траекторий в данной области Q. Простейший принцип такогоописания — разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и остальные —непериодические.

Интереспредставляют и такие вопросы: Какое число звеньев может иметь периодическаятраектория? Какие периоды имеют периодические траектории в данной области (еслипринять минимальный период периодической траектории, скажем, за единицу)?

Оказывается,это далеко не праздные вопросы — например, они имеют прямое отношение кисследованию специальных систем квантовой механики.

Многиерезультаты являются классическими и восходят к Кориолису, Больцману, Пуанкаре,Киркгофу. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направленийматематической физики. Ее основы были заложены советским математиком Я. Г.Синаем и его школой.

Впервом разделе данной работы описана математическая модель бильярда.

Вовтором разделе описаны виды траекторий бильярного шара.

Втретьем разделе описаны задачи на «переливание» и их решение с помощьюматематической модели бильярда./>/>

1.Математическая модель бильярда

Представьтесебе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этомустолу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов.Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика?

Математическаяпроблема бильярда, или проблема траекторий, состоит в том, чтобы найти ответ наэтот вопрос. Описанная механическая система — точечный шар в бильярдной областиQ, ограниченной бортом Г (границей области Q),— и называется математическимбильярдом. Траектория бильярда в области Q определяется начальным положениемточки q (/>)и начальным вектором ее скорости />. Пренебрежение трением означает,что абсолютную величину скорости /> при движении точки мы считаемнеизменной во времени, поэтому задаваемый в начальный момент времени t=0 вектор/> можносчитать единичным, характеризующимся лишь своим направлением. Направлениевектора />(t),т. е. направление движения шара, меняется только при его ударе о борт. Этопроисходит по закону абсолютно упругого отражения: после удара шара (точкиq(t)) о борт Г в точке P шар движется так, что его «угол падения равен углуотражения». Если борт Г в окрестности точки P криволинейный, то углы падения иотражения — это углы, составленные «падающим» и «отраженным» отрезкамитраектории с касательной MN к кривой Г, проведенной в точке P. Таким образом,траектория бильярда — это вписанная в кривую Г ломаная, которая может бытьоднозначно построена по своему начальному звену./>/>

2.Траектории движения

Траекторияс «начальным условием» />будет периодической (илизамкнутой), если через некоторое время (через период), точка возвращается всвое начальное положение q с первоначальной скоростью />.

Периодическиедвижения воспринимаются как наиболее «правильные» — такими мы привыклипредставлять, например, движения планет около Солнца и качания маятника.Рассматриваемая проблема в отношении периодических траекторий сводится, вчастности, к вопросу о существовании: в любой ли области Q существуютпериодические (замкнутые) траектории? Другой вопрос — о критерии периодичности:как по данным начальным условиям /> узнать, будет ли соответствующаятраектория периодической?

Интереспредставляют и такие вопросы: Какое число звеньев может иметь периодическаятраектория? Какие периоды имеют периодические траектории в данной области (еслипринять минимальный период периодической траектории, скажем, за единицу)?

Оказывается,это далеко не праздные вопросы — например, они имеют прямое отношение кисследованию специальных систем квантовой механики.

Теорема[Биркгоф]. У бильярда в любой выпуклой области Q на плоскости, ограниченнойзамкнутой гладкой кривой Г, существуют периодические бильярдные траектории слюбым числом звеньев />./>/>

3.Задачи на переливание

/> 

3.1.Типичные задачи на переливание

В задачах на переливания требуетсяуказать последовательность действий, при которой осуществляется требуемоепереливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого,считается, что

·           все сосуды безделений

·           нельзяпереливать жидкости «на глаз»

·           невозможнониоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

Мы можем точно сказать, сколькожидкости в сосуде, только в следующих случаях.

1)     знаем, что сосудпуст,

2)     знаем, что сосудполон, а в задаче дана его вместимость,

3)     в задаче дано,сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда непроводились

4)     в переливанииучаствовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, ипосле переливания вся жидкость поместилась в один из них

5)     в переливанииучаствовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости,известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что всяжидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другомсосуде

Приведемтипичные задачи на переливание.

Задача 1. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на дверавные части, используя остальные сосуды?

Решение.

В таблице указан объем молока влитрах после каждого переливания.

8-литровый сосуд 5-литровый сосуд 3-литровый сосуд 8 3 5 3 2 3 6 2 6 2 1 5 2 1 4 3 4 4

После переливания оказалось по 4 лмолока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

Задача 2. В бочке не менее 10 л бензина. Какотлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

Решение.

В таблице указан объем бензина влитрах после каждого переливания.

бочка ведро бидон не менее 10 не менее 5 5 не менее 5 5 не менее 0 5 5 не менее 0 9 1 не менее 9 1 не менее 9 1 не менее 4 1 5 не менее 4 6

Задача 3. Имеется три сосуда без деленийобъемами 4 л, 5 л, 6 л, кран с водой, раковина и 4 л сиропа в самом маленькомсосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 8 л смеси воды с сиропом, такчтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?

Решение

 

4-литровый сосуд

5-литровый сосуд 6-литровый сосуд 4 л сиропа 4 л сиропа 4 л воды 4 л сиропа 4 л сиропа 4 л воды 4 л воды 4 л сиропа 4 л воды 2 л воды 4 л сиропа 6 л воды 2 л воды 4 л сиропа 2 л воды, 2 л сиропа 2 л сиропа 2 л воды, 2 л сиропа 2 л сиропа 2 л воды, 2 л сиропа 2 л сиропа 2 л сиропа 2 л воды, 2 л сиропа 2 л воды, 2 л сиропа 2 л воды, 2 л сиропа

По сути, вданных задачах реализуются два алгоритма.

Первый:последовательно из большего сосуда наполняется меньший сосуд, из него жидкостьсливается в сосуд промежуточного объема, эти два действия повторяются дополного наполнения сосуда промежуточного объема, после чего жидкость из негосливается в самый большой. Процедура повторяется несколько раз до тех пор, покадва меньших сосуда будут пустыми, а вся жидкость окажется в большом сосуде.Таким образом, будут реализованы все возможные варианты наполнения сосудов.

Второйалгоритм соответствует действиям первого, записанным в обратном порядке, т.е. сконца. Сначала из большего сосуда наполняется сосуд промежуточного объема. Изнего жидкость переливается в самый маленький, а из наименьшего — в наибольший.Два последних действия повторяются до тех пор, пока сосуд промежуточного объемане станет пустым. Тогда он наполняется жидкостью из самого большого сосуда. Этапроцедура повторяется до возвращения к исходному состоянию.

Решениезадачи можно получить и по первому и по второму алгоритму, выбирается болеекороткий вариант.

/>3.2 Условие разрешимости задач

Еслиобъемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т. е. взаимно просты), аобъем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощьюэтих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра икончая объемом среднего сосуда.

Имея,например, сосуды вместимостью 15, 16 и 31 литр, вы сумеете отмерить любоеколичество воды от 1 до 16 литров. Такая процедура невозможна, если объемы двухменьших сосудов имеют общий делитель.

/> 3.3 Алгоритм решениязадач на переливание

Рассмотризадачу: как с помощью сосудов объемом 7 и 11 литров и бочкой с водой отмерить 2литра воды.

Какни странно, но головоломки на переливание жидкостей можно очень легко решать,вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов ромбическогостола! Границы таких столов удобнее всего рисовать на бумаге, на которуюнанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников. В рассматриваемойзадаче стороны стола должны иметь длины 7 и 11 единиц (рисунок 1).

Погоризонтали отложено количество воды в 11-литровом сосуде в любой моментвремени, а по вертикали — та же величина для 7-литрового сосуда.

Какже пользоваться диаграммой? Представьте себе, что шар находится в левой нижнейвершине в точке 0. Он будет перемещаться вдоль нижнего основания ромба до техпор, пока не достигнет правой боковой стороны в точке 11. Это означает, что11-литровый сосуд наполнен до краев, а 7-литровый пуст.

Отразившисьупруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний бортв точке с координатами 4 по горизонтали и 7 по вертикали. Это означает, что в11-литровом сосуде осталось всего 4 литра воды, а 7 литров из него перелили вменьший сосуд.

Прослеживаядальнейший путь шара и записывая все этапы его движения до тех пор, пока он непопадет в точку 2 верхнего борта, вы получите ответ и узнаете, в какойпоследовательности необходимо производить переливания, чтобы отмерить 2 литраводы. Все 18 переливаний изображены схематически на рис. 1. Наклонные стрелкиговорят о том, что вода переливается из одного сосуда в другой, а вертикальныеозначают, что либо вода целиком выливается из меньшего сосуда обратно в бочку,либо больший сосуд надо наполнить водой до краев.

Являетсяли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначаланаливают в 7-литровый сосуд. На диаграмме (рис. 1) это соответствует тому, чтошар из точки 0 катится вверх вдоль левого борта до тех пор, пока не ударится вверхний борт. Нарисовав траекторию бильярдного шара, читатель убедится в том,что точка 2 достигается на этот раз за 14 отражений от борта. Полученноерешение с 14 переливаниями уже является самым коротким.

Требуетсянемного сообразительности, чтобы применить метод бильярдного шара к любойзадаче о переливании жидкости с помощью не более чем трех сосудов.

Рассмотримстарую головоломку с тремя сосудами, восходящую еще к Никола Фонтана, итальянскомуматематику XVI века. Восьмилитровый сосуд до краев наполнен водой. С помощьюдвух пустых сосудов объемом 3 и 5 литров воду надо поровну разлить в двабольших сосуда. Диаграмма для этой задачи — ромбический стол размером 3х5 — изображена на рис. 2. Главная диагональ рома поделенная наклонными прямыми на 8частей, относится к 8-литровому сосуду.   Как и в предыдущей задаче, бильярдныйшар начинает свое движение из точки 0.

Нарисоватьего траекторию совсем несложно. С ее помощью вы получите решение в минимальнымчислом переливаний, равным 7.

Когдаобъем большего сосуда меньше суммы объемов двух других, возникают новыеограничения. Если, например, объемы сосудов равны 7, 9 и 12 литрам, то у ромбическогостола надо отсечь нижний правый угол (рис. 3). Тогда шар сможет попасть в любуюточку от 1 до 9, за исключением точки 6. Несмотря на то, что 7 и 9 взаимнопросты, отмерить 6 литров воды оказывается невозможным из-за того, что самыйбольшой сосуд имеет слишком маленький объем.

заключение

Вданной работе рассмотрена математическая модель бильярда и связанные с этоймоделью понятия периодичности тракторий. Данная модель неожиданно много имеетприменений в теории чисел, механике, физике и арифметике.

Наиболееподробно было исследовано применение данной модели в задачах исследованияопераций, а именно, в, так называемых, задачах на переливание. Приведены моделитаких задач, условия разрешимости и алгоритмы решения, как арифметическимспособом, так и с помощью рассматриваемой модели.

Рассматриваемыезадачи традиционно встречаются на олимпиадах по математике различного уровня,и, несомненно, данная работа будет отличным подспорьем, для желающих научитсярешать данные задачи.

Ксожалению, не были рассмотрены конкретные применения данной модели в различныхобластях науки. Но это планируется исправить в дальнейшем./>/>

Списокиспользованных источников

1. Гальперин Г.А., Математическиебильярды [текст]/ Земляков А.Н., Гальперин Г.А — М.: Наука,- 1990.- 290с.

2. Кориолис Г.Г., Математическаятеория явлений бильярдной игры. [текст]/ Кориолис Г. Г.— М.: Гостехиздат, 1956.

3. Борахеостов В., Бильярды [текст]/ Борахеостов В. //Наука и жизнь. 1966. №№ 2-4, 6, 11.

4.     ГальперинГ.А., Бильярды [текст] / Гальперин Г.А. //Квант. 1981. №4.

5.     ЗемляковА.Н., Математика бильярда [текст]/ Земляков А.Н. // Квант. 1976. № 5.

6.     ЗемляковА.Н., Арифметика и геометрия столкновений [текст]/ Земляков А.Н. // Квант.1978. №4.

7.     ЗемляковА.Н., Бильярды и поверхности [текст]/ Земляков А. Н. // Квант. 1979. № 9.

8.     ГальперинГ.А., Периодические движения бильярдного шара [текст]/ Гальперин Г.А., СтепинА. М.// Квант. 1989. № 3.

9.  ТихомировВ.М., Рассказы о максимумах и минимумах [текст]/ Тихомиров В.М.— М.: Наука,1986 (Библиотечка «Квант». Вып. 56)./>/>

Приложение

/>

Рисунок 1

/>

Рисунок 2

/>

Рисунок 3