Реферат: Производная и ее применение в экономической теории

Министерство образованияи науки Украины

Донецкий национальныйтехнический университет

РЕФЕРАТ

по высшей математике

на тему:

«Производная и ееприменение в экономической теории»

Донецк – 2008

Вступление

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методамианализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изученияэкономической теории. При этом важны как знания традиционных математическихкурсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так изнания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономическихисследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр,эконометрика и др.).

Математика является не только орудием количественного расчета, но такжеметодом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и яснойформулировки экономических понятий и проблем.

Ф.Энгельс в своё время заметил, что «лишь дифференциальное исчислениедаёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния,но и процессы: движение». Поэтому целью моей работы является выяснить, каковэкономический смысл производной, какие новые возможности дляэкономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследоватьприменение производной при решении различных видов задач по экономической теории.

1. Определение производной

Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х0.Для любой точки х из этой окрестности приращение Dx определяетсяформулой Dx=х – х0,откуда х=х0+Dx.

Приращением функции y=f(x) вточке х0 называется разность

Dу=f(x) – f(x0)=f(x0+Dx) – f(x0).

Производной от функции у=f(x) вточке х0 называется предел отношения приращения функции кприращению аргумента (/>), когдаприращение аргумента стремится к нулю (Dx→).

Производная функции у=f(x) в точке х0обозначается y'(х0) или f'(х0). Определениепроизводной можно записать в виде формулы:

/>'(/>)=/>/>= />/>.

Если функцияв точке х0 имеет конечную производную, то она называетсядифференцируемой в точке х0. Если она дифференцируема во всехточках промежутка X, то говорят, она дифференцируема на всём этомпромежутке.

Конечно, />/> может не существовать. В этомслучае говорят, что функция f(x) не имеет производной в точке х0.Если />/> равен /> или />, то говорят,что функция f(x) имеет в точке х0бесконечнуюпроизводную (равную /> или />, соответственно).

1.1 Геометрический смысл понятия производной

Пусть на плоскости x0y дана непрерывная кривая y=f(x)(см.рис. 1).

Рассмотрим на графике кривой точки Mo(xo;f(xo))и M1(xo+Dx; f(xo+Dx)). Проведем секущую MoM1. Пусть />– угол наклона секущей MoM1относительно оси 0х. Если существует предел />, то прямая, проходящаячерез Moи образующая с осью 0х угол />, называется касательнойк графику данной кривой в точке Mo. Таким образом, подкасательной к кривой y=f(х) в точке Moестественно понимать предельное положение секущей MoM1, к которому она стремится, когда Dx®.

Пусть N(xo+Dx;f(xo)) – точка, дополняющая отрезок MoM1до прямоугольного треугольника MoM1N. Так каксторона MoN параллельна оси 0х, то

/>

Переходя к пределу в левой и правой частях этого равенства при Dx→0, получим

/>

Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f’(x0)– это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательнойк графику y=f(х) в точке (xo; f(xo)).

Найдём уравнение касательной к графику в точке Mo(xo;f(xo)) в видеy=kx+b. Так как Mo/>f(x), тодолжно выполняться равенство f(x0)=kx0+b, откуда b=f(x0) – kx0. Следовательно, касательная задаётсяуравнением

y=kx+f(x0) – kx0=f(x0)+k(x – x0).

Поскольку k=f'(x0), то уравнение касательной имеет вид

y=f(x0)+f'(x0)(x – x0).

Как вычисляютпроизводную?

1. Записываютфункцию в виде y=f(х).

2. Вычисляют Dy – приращение функции: Dу=f(x+Dx) – f(x).

3. Составляютотношение />

4. Представляют,что Dxстремится к нулю, и переходят к пределу />/>= y'(х0).

5. Вычисляют производную в точке х0: y'(х)/>= y'(х0).

Операциявычисления производной называется дифференцированием.

Примерыдифференцирования:

1.        />

Dy=a(x+Dx)2 – ax2=2axDx+aDx2;

/>=2ax+Dx; />/>=2ax, Þ (ах2)'=2ax.

2.        />

/>;

/>=/>;

/>/>=3x2,Þ (x3)'=3x2.

3.        />

/>;

/>/>= –/>, Þ />

1.2 Дифференциал функции

Дифференциалом функции f(х) вточке х0называется линейная функция приращения />вида />

Дифференциал функции y=f(х) обозначается dy илиdf(x0).Главное назначение дифференциала состоит в том, чтобы заменить приращение /> на линейнуюфункцию от />,совершив при этом, по возможности, меньшую ошибку.

Наличие конечной производной /> даёт возможность представитьприращение функции /> в виде

/>

где /> при/>. Из этогоследует, что ошибка в приближённом равенстве /> (равная />) является бесконечно малой болеевысокого порядка, чем />, когда />. Это часто используют приприближённых вычислениях.

1.3 Применение производной к исследованию функций

Очень частопри решении экономических задач возникает необходимость принять решение наоснове исследования и анализа функций спроса, предложения, издержек, прибыли ит.д. При этом удобно пользоваться дифференциальным исчислением.

1.Возрастание/убывание функции

Еслидифференцируемая функция y=f(х), х/>возрастаетна интервале />то f'(x0)/>для любого х0/>

Еслидифференцируемая функция y=f(х), х/>убываетна интервале />то f'(x0)/>для любого х0/>

2. Экстремумы функции

Точка х0из области определения функции f(х) называется точкой минимума этойфункции, если найдётся такая /> — окрестность /> точки х0,что для всех /> из этой окрестности выполняетсянеравенство f(х)> f(х0).

Точка х0из области определения функции f(х) называется точкой максимума этойфункции, если найдётся такая /> — окрестность /> точки х0,что для всех /> из этой окрестности выполняетсянеравенство f(х)< f(х0).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума, азначения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Необходимые условия существования экстремума даёт теорема Ферма:

Пусть функция y = f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точкеx0этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение.Тогда возможны только два случая:

1)  производная функции f'(x0) не существует;

2)   f'(x0)=0.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует,называются критическими точками (первого рода). Экстремумфункции, если он существует, может быть только в критических точках. Однако нево всякой критической точке функция имеет экстремум. Поэтому, чтобы выяснить, вкаких точках функция имеет экстремум, необходимо знать достаточные условия существованияэкстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y=f(х)непрерывна в точке х0и в некоторой её /> — окрестности имеетпроизводную, кроме, быть может, самой точки х0. Тогда:

1) если производная f'(x) при переходе через точку х0меняет знак с плюса на минус, то х0является точкоймаксимума.

2) если производная f'(x) при переходе через точку х0меняет знак с минуса на плюс, то х0является точкойминимума.

3) если производная при переходе через точку х0неменяет знак, то в точке х0функция f(x) не имеетэкстремума.

Второе достаточное условие экстремума. Если функцияy=f(х) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х0,причём f'(x0)=0, а f''(x0)/>0, то в точкех0функция f(х) имеет максимум, если f''(x0)<0, и минимум,еслиf''(x0)>0.

3. Выпуклость графика функции

График функции y=f(х), х/>(a,b) называется выпуклымвверх (вогнутым вниз) на интервале (a,b), если график расположенниже (точнее не выше) любой своей касательной. Сама функция f(х) такженазывается выпуклой вверх (вогнутой вниз).

График функции y=f(х), х/>(a,b) называется выпуклымвниз (вогнутым вверх) на интервале (a,b), если график расположенвыше (точнее не ниже) любой своей касательной. Сама функция f(х) такженазывается выпуклой вниз (вогнутой вверх).

На интервале выпуклости вверх (вогнутости вниз) производная функцииубывает. На интервале выпуклости вниз (вогнутости вверх) производная f'(x) возрастает.

Достаточное условие выпуклости графика функции. Еслина интервале (a,b) дважды дифференцируемая функцияy=f(х), х/>(a,b) имеетотрицательную (положительную) производную второго порядка, то график функцииявляется выпуклым вверх (вниз).

Исследовать на выпуклость график функции y=f(х) означает найти теинтервалы из области её определения, в которых вторая производная f''(x) сохраняетсвой знак. Необходимо заметить, чтоf''(x) может менять свой знак лишь вточках, где f''(x)=0 или не существует. Такие точки принято называтькритическими точками второго рода.

2. Экономическийсмысл понятия производной

2.1 Предельныевеличины

Если спроситьэкономиста “Что такое производная?”, то он ответит: «маржинализм». Слово«маржинализм» охватывает целый комплекс понятий в современной экономическойнауке.

В ХIХ в. вобласти экономической теории произошло событие, которое впоследствии привело кподлинному перевороту в методахэкономического поведения людей или фирм, изменило характернаучно-экономического мышления. Классическая наукаобычно имела дело со среднимивеличинами: средняя цена, средняяпроизводительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход к анализу экономических процессов иявлений. Во второй половине ХIХ в. быласформулирована теория маржинализма. Классиками этой теории сталиэкономисты австрийской школы К. Менгер (1840-1921), Ф. фон Визер (1851-1926),Е. фон Бём-Баверк (1851-1914), а также английский экономист У.С. Джевонс(1835-1882).

«Marginal» в переводе с английского языка означает«находящийся на самом краю», «предельный», «граничный».К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельныйдоход, предельная полезность, предельная производительность, предельнаясклонность к потреблению и т.д. Понятие предельных величин позволило создатьсовершенно новый инструментисследования и описанияэкономических явлений, посредством которого стало возможно решать научные проблемы, прежде не решённыеили решённые неудовлетворительно. Все эти величины самым тесным образом связаныс понятием производной. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняявеличины), а процесс, изменение экономического объекта.Следовательно, производнаявыступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течениемвремени или относительно другогоисследуемого фактора.

Конечно, экономика не всегда позволяет использоватьпредельные величины в силу неделимости многих экономических расчетов, а также прерывности(дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых,квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно эффективноиспользовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть q – количество произведённой продукции,ТC(q) – соответствующие данному выпуску совокупные издержки (totalcosts), тогда Dq –прирост продукции, а DТС –прирост издержек производства.

Предельные издержки МС(marginal costs) выражают дополнительные затраты на производство каждой дополнительнойединицы продукции. Другими словами,

/>

где/>Используя равенство /> получим

/>

Итак, предельные издержки есть не что иное, как первая производная отсовокупных издержек, если последние представлены как функция от выпускаемогоколичества продукции.

Аналогичным образом определяются и многие другие экономические величины,имеющие предельный характер.

Предельная выручка MR (marginal revenue) –это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ойединице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки:

/>.

Для хозяйствующего субъекта, который действует в условиях совершенной конкуренции:TR = P*Q, где TR – выручка (total revenue); P – цена (price). Таким образом />, Þ MR= P. Это равенство верно для рынка совершеннойконкуренции.

Любой индивид использует свой доход Y после уплаты налоговна потребление C и сбережение S. Ясно, что лица снизким доходом целиком используют его на потребление, а на сбережение средствне остается. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и большесберегает. Как установлено экономической наукой, потребление и сбережениезависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельнуюсклонность к потреблению MPC (marginal property to consume),показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода:

/>.

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Долю прироста сбереженийв приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS (marginalpropensity to save):       

/>

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающеезначение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применимапроизводная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен,а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующуюкатегорию – предельный продукт труда MPL (marginal product oflabor) – это дополнительный продукт, полученный в результатедополнительных вложений труда при неизменной величине капитала:

/>.

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то

/>,

так как dY — результат, dL — затраты, то MPL– предельная производительность труда.

Аналогично, MPK (marginal product of capital) –предельный продукт капитала – дополнительный продукт, полученный врезультате дополнительных вложений капитала K при неизменной величинетруда:

/>.

Если вложения осуществляются малыми порциями, то

/>.

MPk характеризует предельную производительностькапитала.

Категория предельной полезности MU (marginalutility) выражает дополнительную полезность от каждой дополнительнойпотреблённой единицы блага:

/>

При бесконечно малых изменениях предельная полезность есть производная отсовокупной полезности, которая представлена как функция от потребляемогоколичества продукта:

/>

2.2 Эластичность спроса и предложения

Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичностифункции.

Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализомфункции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим.

Эластичностью функции Еxy(x0)называется предел отношения относительного приращения функции y котносительному приращению переменной x при Dx®:

/>.

Коэффициент эластичности y по х показывает приближенно, насколько процентов изменится функция y = f(x), при изменении независимойпеременной x на 1%.

Очень широко применяется понятие эластичности в экономическом анализе.

В экономике существует несколько видов эластичности.

— Эластичность спроса по цене (прямая)

/>

показывающаяотносительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либоблаго при изменении цены этого блага на один процент и характеризующаячувствительность потребителей к изменению цен на продукцию.

Если />=0, тоспрос на данный товар называется абсолютно неэластичным. Поведение покупателя:цена снижается – количество покупаемого товара не изменяется; цена растёт –количество покупаемого товара также не изменяется. К подобным товарам относятсяинсулин, товары Гиффена (товары первой необходимости) и т.д.

Если />/>/>0, то спрос на данный товарназывается неэластичным или относительно неэластичным. Поведение покупателя:цена снижается – темп роста спроса ниже темпа снижения цены; цена растёт – темпснижения спроса ниже темпа роста цены.

Если />=1, то говорят,что товар имеет единичную эластичность. Поведение покупателя: цена снижается –темп роста спроса равен темпу снижения цены; цена растёт – темп снижения спросаравен темпу роста цены.

Если />>1, тоспрос на данный товар называется эластичным или относительно эластичным. Поведениепокупателя: цена снижается – темп роста спроса выше темпа снижения цены; ценарастёт – темп снижения спроса выше темпа роста цены.

Если />, тоспрос на данный товар называется абсолютно эластичным. Поведение покупателя:цена снижается – объём покупок неограниченно возрастает; цена растёт – объёмпокупок падает почти до нуля.

— Эластичностьспроса по доходу

/>

характеризующаяотносительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо приизменении дохода потребителя этого блага на один процент. Положительная эластичностьспроса по доходу характеризует качественные (супериорные) товары, отрицательная– некачественные (инфериорные) товары.

Так, высокийположительный коэффициент эластичности спроса по доходу в отрасли указывает,что её вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и онаимеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициентэластичности спроса на продукцию отрасли имеет небольшое положительное илиотрицательное значение, то её может ожидать застой и перспектива сокращенияпроизводства.

— Ценоваяэластичность ресурсов

/>

характеризующаяотносительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-либо ресурс(например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработнойплаты) на один процент.

3.Приложение производной в экономической теории

Проанализировав экономический смыслпроизводной, нетрудно заметить, что многие законы теории производства ипотребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиямиматематических теорем. Для примера рассмотрим экономическую интерпретацию теоремыФерма.

Пусть q – выпуск продукции (в натуральных единицах); TR(q) – выручкаот продаж; TC(q) – издержки производства, связанные с выпуском q единицпродукции. Тогда прибыль

/>

Предположим, что выполняются следующие условия:

1) Функции TR(q), TC(q) определены на полуинтервале /> и дифференцируемы при q>0.

2) Максимум прибыли достигается в некоторой точке q*/>0.

В случае, когда максимум прибыли положителен />, условие q*/>0естественным образом выполняется, поскольку />(нет выпуска – нет выручки, нетвыручки – нет прибыли).

Итак, условия 1), 2) выполнены. Тогда функция /> дифференцируема и имеет наинтервале /> максимумв точке q*/>0. По теореме Ферма, />. Так как />, то в точке q=q*получаем равенство

TR'(q*)=TC'(q*) илиMR=MC.

В экономической теории данное равенство иллюстрирует один из базовыхзаконов теории производства, согласно которому фирма, максимизирующая своюприбыль, устанавливает объём производства таким образом, чтобы предельнаявыручка была равна предельным издержкам.

В случае, когда объём производства q не влияет на цену продукции p,имеем TR(q)=p*q, TR'(q)=p. Равенство TR'(q*)=C'(q*)принимает вид p=TC'(q*).

4.Использование производной при решении задач по экономическойтеории

Задача№1:Функция спроса имеет вид QD=100 – 20p, постоянные издержки TFC(total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC(total variable costs) на производство единицы продукции – 2 денежныеединицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Решение: Прибыль есть выручкаминус издержки:

П=TR – TC,

где TR=p*Q;TC=TFC+TVC.

Найдём ценуединицы продукции:

20p=100 –Q />p=5 –Q/20.

Тогда

П=(5 – Q/20)Q– (50 + 2Q)= – Q2 + 60Q — 1000 ®max

Найдёмпроизводную: П'(Q)= –2Q+60.

Приравняемпроизводную к нулю: –2Q+60=0 />Q=30.

При переходечерез точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус,следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибылидостигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска,максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Задача№2:Объём спроса на продукцию предприятия выражается формулой: QD=200– 4p, а объём предложения – QS=6p – 100. Величинапеременных издержек на единицу продукции TVC=25. Чему должна быть равнацена на единицу продукции p, чтобы прибыль П была максимальной?

Решение: В точке потребительскогоравновесия QS=QD, то есть

6p0– 100=200 – 4p0,

откуда p0=30 (ден.ед.) – равновесная цена, Þ Q0=80(ед.) – равновесный объём продукции.

Изобразим графическикривые спроса и предложения, а также точку потребительского равновесия,находящуюся на их пересечении (см. рис. 2).

Рассмотримтри возможных варианта:

1) p>p0,Þ Q=QD, то есть П=QDp – QDTVC=QD(p – TVC),

подставим значенияи получим:

П=(200 – 4p)*(p– 25)= –4p2 + 300p – 5000.

2) p=p0,Þ Q=QD=QS, ÞQпродажи=Q0=80(ед.), Þ    

П2=80*(30– 25)=400 (ден. ед.).

3) p<p0:Þ Q= QS, то есть П=QSp – QSTVC=QS(p – TVC),

подставим значения:

П=(6p –100)(p – 25)=6p2 – 250p + 2500.

Далее случаи(1) и (3) можно решать аналитически, подставляя различные значения цены изинтервала её значений или как-либо иначе, но гораздо проще выявить экстремумыприбыли через производную:

1) П= – 4p2+ 300p – 5000

П'= – 8p +300;

– 8p +300=0 Þp=75/2=37,5 (ден. ед.).

Значит, Q=QD=200– 4*37,5=200 – 150=50 (ед.), а

П1=– 4p2 + 300p – 5000= – 4*(37,5)2+300*37,5 – 5000=625(ден. ед.).

2) Во второмслучае прибыль была уже найдена: П2=400 (ден. ед.).

3) П=6p2– 250p + 2500

П'=12p –250;

12p –250=0 Þp=125/6=205/6 (ден. ед.).

Значит,Q=QS=6*205/6 – 100=125 – 100=25 (ед.), a

П3=6p2– 250p + 2500=6*(205/6)2 – 250*205/6+2500=– 1041/6<sub/>(ден. ед.).

Можнозаключить, что прибыль максимальна в первом случае, следовательно, цена единицыпродукции должна равняться 37,5 денежным единицам.

Задача №3: Какова максимальная выручкамонополиста, если спрос вплоть до пересечения с осями описывается линейной функциейQ=b – ap, где p — цена товара, выпускаемого монополистом; aи b – коэффициенты функции спроса?

Решение:ВыручкаTR=Qp=p(b – ap) достигнет максимума при равенстве нулю производной поцене:

TR'=(p(b– ap))'=0.

TR'=p'*(b– ap)+ (b – ap)'*p=b – ap – ap=b – 2ap=0 Þ p=/>Þ

Þ Q=b – ap=b — a/>=/>.

При этоммаксимум выручки составит

/>

Задача№4: Найтиоптимальный объёмпроизводства фирмы, функция прибыли которой заданатаким образом: П(q)=TR(q) – TC(q)=q2 – 8q + 10.

Решение:Найдёмпроизводную данной функции:

П/>

Приравняемпроизводную к нулю и найдём точку экстремума:

П/>

Является лиобъём выпуска, равный четырём единицам продукции, оптимальным для фирмы? Чтобыответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменения знакапроизводной при переходе через точку экстремума.

При />П/>и прибыльубывает.

При />П/>и прибыльвозрастает.

Как видим,при переходе через точку экстремума производная меняет свой знак с минуса наплюс. Следовательно, в точке экстремума /> прибыль принимает минимальноезначение, и таким образом, этот объём производства не является оптимальным дляфирмы.

Каким жевсё-таки будет оптимальный объём выпуска для данной фирмы? Ответ на этот вопросзависит от дополнительного исследования производственных возможностей фирмы.Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единицпродукции (П(q=8)=П(q=0)=10), то оптимальным решением для фирмы будетвообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и/илиоборудования. Если же фирма способна производить за рассматриваемый периодбольше 8 единиц продукции, то оптимальным решением для фирмы будет выпуск напределе своих производственных возможностей.

 Задача№5: Найти объём производства, при котором фирма, действующая на рынкесовершенной конкуренции, будет получать максимальную прибыль, если p=15,TC(q)=q3 + 3q.

Решение:Прибыльфирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, максимизируется приравенстве предельной выручки и предельных издержек: MR=MC. Поскольку присовершенной конкуренции наблюдается равенство цены и предельной выручки: P=MR,то можно утверждать, что фирма максимизирует прибыль при P=MC.

Найдёмпредельные издержки: MC=TC'=3q2 + 3.

3q2+ 3=15;

3q2=12Þ q=2.

Итак, мывыяснили, что при цене p=15 фирма предложит на продажу 2 единицыпродукции.

Задача№6: Пусть/> –издержки фирмы-монополиста, QD(p)=40 – 2p – функция спроса. Найтиоптимальный для данной монополии объём производства и соответствующую ценуединицы продукции.

Решение:Выразимзависимость цены от количества произведённой продукции:

/> 

Тогда прибыль/> будетравна:

/>

В точке q0максимума прибыли выполняется равенство /> Отсюда оптимальный длямонополиста объём производства равен q0=10. Соответствующая ценабудет:

p0=p(q0)=/>

При этомпредельные издержки /> Таким образом, цена, наиболеевыгодная для данной монополии, в полтора раза выше её предельных издержек.

Задача№7: Объёмпродукции u цеха в течение рабочего дня представляет функцию /> где t –время (ч). Найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

Решение:Запериод времени от t0=2 до (t0+ Dt) количество произведеннойпродукции изменится от u0=u(t0) до значения u0+Du = u(t0+Dt). Средняяпроизводительность труда за этот период времени составит Du/Dt. Следовательно,производительность труда в момент t0 можно определить, какпредельное значение средней производительности труда за период времени от t0до (t0+Dt) при Dt®, то есть

/>

u'(t)=/>

Итак, производительность труда в момент времени через 2 часа после началаработы составит 43 единицы продукции в час.

Заключение

В результатепроведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1.        Производнаяявляется важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубитьгеометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразитьряд экономических законов с помощью математических формул.

2.        Припомощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решениизадач функций.

3.        Экономическийсмыслпроизводной состоит в следующем: производная выступает какскорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени илиотносительно другого исследуемого фактора.

4.        Наиболееактуально использование производной в предельном анализе, то есть приисследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка,предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

5.        Производнаянаходит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые,законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываютсяпрямыми следствиями математических теорем (например, представляет интерес экономическаяинтерпретация теоремы Ферма, выпуклости функции и т. д.).

6.        Знаниепроизводной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.

Словарьэкономических терминов

Производственныевозможности фирмы – совокупность факторов производства, которыми располагаетфирма и имеющийся уровень технологии их использования.

Факторыпроизводства – то, что участвует в процессе производства и способствует созданиюконечного продукта (товара или услуги): труд, земля, капитал,предпринимательская способность.

Спрос – количество товаров иуслуг, которое желает и имеет возможность приобрести потребитель по каждойконкретной цене.

Предложение–количество товаров и услуг, которое желает и имеет возможность предложитьпроизводитель по каждой конкретной цене.

Монополия– специфическийвид конкуренции, при котором на рынке присутствует единственный продавец,производящий специфический, не имеющий близких заменителей продукт и можетоказывать значительное влияние на рыночную цену. Единственной границей установленияцены является платежеспособный спрос и цена на мировом рынке.

Совершеннаяконкуренция – вид конкуренции, при котором на рынке действует множествопродавцов и покупателей, доля каждого из которых на рынке незначительна.Производится однородная продукция и отсутствует возможность влияния на рыночнуюцену (она устанавливается путём взаимодействия спроса и предложения).

Постоянныеиздержки – TFC(total fixed costs) – затраты, которые не изменяютсяпри изменении объёма производства: амортизация, арендная плата, зарплатауправленческого персонала, коммунальные услуги (не связанные с объёмомпроизводства) и т.д.

Переменныеиздержки – TVC(total variable costs) – затраты, которые изменяютсяпри изменении объёма производства: затраты на сырьё, материалы и топливо, зарплатарабочих, коммунальные услуги (связанные с объёмом производства) и т.д.

Благо – это предмет, явление,продукт труда, удовлетворяющий определённую человеческую потребность иотвечающий интересам, целям, устремлениям людей.

Товар –специфическоеэкономическое благо, произведённое для обмена.

Услуги– целесообразнаядеятельность человека, результат которой имеет полезный эффект, удовлетворяющийкакие-либо потребности человека. Специфика услуг как товара состоит в том, чтопотребительная стоимость услуги не имеет вещественной формы, также услугунельзя накопить, она может быть потреблена в момент производства.