Реферат: Некоторые задачи оптимизации в экономике

Федеральное агентство по образованию

Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственныйгуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа иметодики преподавания математики

Выпускнаяквалификационная работа

Некоторые задачи оптимизации в экономике

Выполнила:

студенткаV курса математического факультета

Голомидова ИринаВитальевна

Научный руководитель:

Ст.преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

С. А. Фалелеева.

Рецензент:

кандидатпедагогических наук, ст. преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Л.В. Караулова.

Допущена к защите в государственнойаттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав.кафедрой М.В. Крутихина

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И.Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение… 3

1. Математические моделив экономике… 4

2. Некоторые понятияфункций нескольких переменных… 6

3. Задача математическогопрограммирования

1) Общая постановка задачи… 8

2) Задача линейного программирования испособы её решения… 9

3) Двойственная задача… 19

4) Задача нелинейного программирования… 26

5) Задача на условный экстремум… 31

4. Задачапотребительского выбора.

1) Функцияполезности. Бюджетное ограничение. Формулировка задачи потребительского выбора… 34

2) Решение задачипотребительского выбора и его свойства… 36

3) Общая модельпотребительского выбора… 39

4) Модель Стоуна… 40

Заключение… 42

Библиографический список… 43

Введение

Современная математикахарактеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этотпроцесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельныхобластей. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудиемколичественного расчёта, но также методом точного исследования и средством предельночёткой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитымлогическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различныхобластях человеческой деятельности.

Экономика как наука обобъективных причинах функционирования и развития общества пользуетсяразнообразными количественными характеристиками, а поэтому вобрала в себябольшое число математических методов.

Актуальность данной темысостоит в том, что в современной экономике используются оптимизационные методы,которые составляют основу математического программирования, теории игр,сетевого планирования, теории массового обслуживания и других прикладных наук.

Изучение экономическихприложений математических дисциплин, составляющих основу актуальнойэкономической математики, позволяет приобрести некоторые навыки решенияэкономических задач и расширить знания в этой области.

Целью данной работыявляется изучение некоторых оптимизационных методов, применяемых при решенииэкономической задач.

При написании дипломнойработы были поставлены следующие задачи:

· Рассмотрениенекоторых экономических задач и составление математических моделей.

· Изучение некоторыхматематических методов, применяемых для решения оптимизационных задач вэкономике.

· Практическое решениезадач.

1. Математическиемодели в экономике

Современная экономическаятеория включает как естественный, необходимый элемент математические модели иметоды. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить иформально описать наиболее важные, существенные связи. Во-вторых, из чёткосформулированных исходных данных и соотношений можно сделать выводы, адекватныеизучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих,методы математики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте:оценить форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующиеимеющимся наблюдениям. В-четвертых, использование языка математики позволяетточно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать еёпонятия.

Математические моделииспользовались с иллюстративными исследованиями ещё Ф. Кене (1758г.,«Экономическая таблица»), А. Смитом (Классическая макроэкономическая модель), Д.Риккардо (Модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономикивнесли математики Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето и другие. В XX веке математические методымоделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практическивсе работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Р. Солоу, В.Леонтьев, Л. Канторович и другие). Развитие макроэкономики, микроэкономики,прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их формализации.Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики. В России вначале XX века большой вклад в математическоемоделирование экономики внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий. В 1960-е – 80-егоды экономико-математическое направление было связано, в основном, с попыткамиформально описать «систему оптимального функционирования социалистическойэкономики» (Н.П. Федоренко, С.С. Шаталин). Строились многоуровневые системымоделей народно – хозяйственного планирования, оптимизационные модели областейи предприятий.

Математическая модель экономического объекта– это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств,логических отношений, графиков. Иными словами, модель – это условныйобраз объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, чтоизучение модели дает новые решения в той или иной ситуации.

Можно выделить 3 этапапроведения математического моделирования в экономике:

1. ставятся цели и задачи исследования,проводится качественное описание объекта в виде экономической модели.

2. формируется математическая модельизучаемого объекта, осуществляется выбор методов исследования. Далееисследуется модель с помощью этих методов.

3. осуществляется обработка и анализполученных результатов.

Математические модели,используемые в экономике, можно подразделить на классы по ряду признаков,относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования ииспользуемого инструментария: модели макро- и микроэкономические, теоретическиеи прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические.

Мы будем рассматривать некоторыеоптимизационные модели. К оптимизационным моделям относят следующие: модельлинейного программирования, нелинейного, динамического, сетевые модели. Будемрассматривать модели линейного и нелинейного программирования.

2. Некоторыепонятия функций нескольких переменных

Многим экономическимявлениям присуща многофакторная зависимость, поэтому при изучении процессов вэкономике вводят функции нескольких переменных.

Переменная y называется функцией несколькихпеременных x1,x2,…,xn, если существует отображение f: Rn→R. Множество всех точек М, участвующихв этом отображении, называется областью определения функции, где М(x1,x2,…,xn).

Наиболее частовстречается функция двух переменных. В экономике для её изучения широкоприменяются линии уровня.

Линиями уровня функции двух переменных y=f(x1,x2) называется проекция пересечения графика функции y=f(x1,x2) с горизонтальной плоскостью на плоскость Ох1х2,причём линия пересечения находится от плоскости Ох1х2на высоте С. Уравнение линии уровня имеет вид f(x1,x2)=С. Число С в этом случае называется уровнем.

Как и в случае однойпеременной, функция y=f(x1,x2) имеет узловые, определяющие структуру графика, точки.В первую очередь это точки экстремума. Точки экстремума функции двух переменныхопределяются аналогично точкам экстремума функции одной переменной

Сформулируем необходимоеусловие экстремума – многомерный аналог теоремы Ферма: Пусть точка (/>) — есть точка экстремумадифференцируемой функции y=f(x1,x2). Тогда частные производные/>(/>), />(/>) в этой точке равны нулю.

Точки, в которыхвыполнены необходимые условия экстремума функции y=f(x1,x2), т. е частные производные /> равнынулю, называются стационарными.

Равенство нулю частныхпроизводных выражает лишь необходимое условие, но недостаточное условиеэкстремума функции нескольких переменных.

/>/> На рисунке изображена седловая точка М(/>). Частные производные />(/>),/>(/>) равны нулю, но экстремума в точке М(/>) нет. Такие седловые точки являются двумернымианалогами точек перегиба функций одной переменной. Нужно отделить их от точекэкстремума. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Достаточное условие экстремумафункции двух переменных. Пусть функция y=f(x1,x2):

a) определена в некоторой окрестностистационарной точки (/>), в которой />(/>)=и />(/>)=0;

b) имеет в этой точке непрерывные частныепроизводные второго поряка/>(/>)=А,/>(/>)=/>(/>)=В,/>(/>)=С.

Тогда, если />=АС-В2>0, то в точке (/>) функция имеет экстремум, причём, если А>0 минимум, А<0– максимум. В случае />=АС-В2<0,функция y=f(x1,x2) экстремума не имеет. Если />=АС-В2=0, то вопрос о наличии экстремума остаётся открытым. Требуются другиеметоды определения экстремума. [11]

В экономических задачахчаще встречаются задачи на условный экстремум. Перейдем к рассмотрению такихзадач.

3. Задачаматематического программирования (ЗМП).

1) Общая постановка задачи

В теории экстремума нанезависимые переменные x1,x2, …, хn не накладываются никакиедополнительные условия, т.е. не требуется, чтобы переменные удовлетворяли некоторымдополнительным ограничениям.

Рассмотрим другую задачу.Найти максимум (минимум) функции y=f(x1,x2, …, хn), при условии, что независимые переменныеx1,x2, …, хn удовлетворяют системе ограничений:

/>g1(x1,x2, …, хn)≤b1,

…………………………

gm(x1,x2, …, хn)≤bm,

gm+1(x1,x2, …, хn)≥bm+1,

…………………………

gk(x1,x2, …, хn)≥bk, (3.1)

gk+1(x1,x2, …, хn)=bk+1,

…………………………

gp(x1,x2, …, хn)=bp,

x1,x2,…, хn≥0.

Функцию y=f(x1,x2, …, хn) принято называть целевой, т.к. её максимизация(минимизация) часто есть выражение какой-то цели, систему ограничений (3.1) – специальнымиограничениями ЗМП, неравенстваx1≥0 ,x≥02, …, хn≥0 – общими ограничениями ЗМП. Множество всех допустимых решенийЗМП (хj≥0, j=/>) называется допустимым множеством этой задачи.

Точка (/>) называется оптимальным решениемдля функции двух переменных, если, во-первых, она есть допустимое решениеэтой ЗМП, а во-вторых, на этой точке целевая функция достигает максимума(минимума) среди всех точек, удовлетворяющих ограничениям (3.1), причём

f(/>)≥ f(x1,x2)(в случае решения задачи на отыскание максимума),

f(/>) ≤ f(x1,x2) (в случае решения задачи на отыскание минимума).

Если в ЗМП все функции f(x1,x2, …, хn), gi(x1,x2, …, хn) линейны, то имеем задачу линейного программирования(ЗЛП), если хотя бы одна из функций нелинейная, имеем задачу нелинейногопрограммирования (ЗЛП). Рассмотрим ЗЛП.

2) ЗЛП и способы еёрешения.

ЗЛП имеет вид F=c1x1+c2x2+…+cnxn+c0→min(max). При этом переменные должныудовлетворять ограничениям:

/>а11х1+а12х2+…+а1nхn≤b1

…………………………

аm1х1+ аm2х2+…+amnxn≤bm

аm+11х1+ аm+12х2+…+аm+1nхn≥bm+1

…………………………

аk1х1+аk2х2+…+аknхn≥bk (3.2)

аk1+1х1+ аk+12х2+…+аk+1nхn=bk+1

………………………….

аp1х1+аp2х2+…+аpnхn=bp

x1,x2,…, хn≥0.

ЗЛП может быть записана в различныхформах:

Общий вид: найти минимум (максимум) целевойфункции F при ограничениях (3.2) и условиинеотрицательности переменных.

Стандартный вид: найти минимум (максимум) целевойфункции F и ограничениях, заданных в виденеравенств и добавлены условия о неотрицательности переменных.

Канонический вид: вид, в котором нужно найти минимум(максимум) целевой функции F, гдевсе ограничения заданы в виде равенств и есть условие неотрицательности переменных.

Стандартную задачу можнопривести к каноническому виду, путём введения дополнительных неотрицательныхпеременных. Т.е. свести к системе m линейных уравнений с nпеременными.

Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m<n) называются основными (или базисными), если определительматрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные m-n переменных называются неосновными или (свободными).

Базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными называют решение, в котором все m-n неосновных переменных равны нулю.

Для обоснования свойствЗЛП и методов её решения, рассмотрим 2 вида записи канонической задачи.

1 вид – матричнаяформа записи: С=(c1,c2…cn,c0).

Х=/> А=/> В=/> (3.3)

F=CX→ min(max)

AX=B, X≥0

2 вид – векторнаяформа записи:

F=CX→ min(max)

р1x1+р2x2+…+рnxn=р. Х≥0.

р1=/> р2=/> … рn=/>.

Для того чтобырассмотреть теоретические основы метода линейного программирования, определимпонятие выпуклого множества точек, дав ему определение в аналитической форме:

Множество точекявляется выпуклым, еслионо вместе с любыми своими двумя точками содержит их произвольную линейнуюкомбинацию. Точка Х является выпуклой линейной комбинацией точек Х1,Х2, … Хn,если выполняются условия Х= α1x1+α2x2+…+αnxn, αj≥0, (j=1,…,n), />.

Теорема 1. Выпуклый линейный многогранникявляется выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек. (Примем бездоказательства).

Теорема 2. Множество всех допустимыхрешений системы ограничений ЗЛП является выпуклым.

□ Пусть Х1=( x/>,x/>, …, х/>) и Х2=( x/>,x/>, …, х/>) — два допустимых решения задачи (3.3), заданной вматричной форме. Тогда АХ1=В и АХ2=В.рассмотрим выпуклую линейную комбинацию решений Х1 и Х2, т.е. Х=α1Х1+α2Х2 при α1≥0, α2≥0 и α1+α2=1. Покажем, что она также является допустимым решениемсистемы АХ=В. В самом деле, АХ=А(α1Х1+α2Х2)=α1АХ1+(1-α1)АХ2= α1В+(1-α1)В=В, т.е. решение удовлетворяет системеограничений. Но т.к. Х1≥0, Х2 ≥0, α1≥0, α2≥0, то и Х ≥0, т.е.решение Х удовлетворяет условию (3.3). ■

Итак, доказано, чтомножество всех допустимых решений ЗЛП является выпуклым, которое будем называтьмногогранником решений.

Ответ на вопрос, в какойточке многогранника решений возможно оптимальное решение ЗЛП, даёт следующаятеорема.

Теорема 3. ЕслиЗЛП имеет оптимальное решение, то линейная функция Fпринимает максимальное (минимальное)значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если линейная функцияпринимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, то онапринимает его в произвольной точке, являющейся выпуклой линейной комбинациейэтих точек.

/>□ Будем полагать, чтомногогранник решений является ограниченным. Обозначим его угловые точки через Х1, Х2,…, Хn, а оптимальное решение через Х*.Тогда F(Х*) ≥F(X), для всех точек многогранника решений. Если Х*угловая, то первая часть теоремы доказана. Предположим, что Х*не является угловой точкой, тогда Х*, на основании теоремы 1,можно представить как выпуклую линейную комбинацию угловых точек многогранникарешений, т.е. Х*=α1x1+α2x2+…+αрxр, αj≥0, (j=1,…,n), />. Т.к.

F(Х*)=F(α1x1+α2x2+…+αрxр)=α1F(x1)+α2F(x2)+…+αрF(xр). (3.4)

В этом выражении среди значений F(Xj)(j=1,2,…,p) выберем максимальное. Обозначим его через М,т.е. М=maxF(Xj). Тогда

α1F(x1)+ α2F(x2) +…+ αрF(xр)≤ α1М+ α2М +…+ αрМ = М(α1+α2+…+αр) =М.

Значит F(Х*)≤М. Пусть М=F(Xk), т.е. соответствует угловой точке Xk(1≤к≤р).

Тогда F(Х*) ≤ F(Xk). Но по предположению Х* — оптимальное решение, поэтому F(Х*)≥F(Xk)=М,следовательно, F(Х*)=М=F(Xk), где Xk — угловая точка. Итак, существует угловая точка Xk, в которой линейная функцияпринимает максимальное значение.

Для доказательства второйчасти теоремы допустим, что F(Х) принимаетмаксимальное значение более чем в одной угловой точке, например в точках Х1,Х2, … Хq, где 1≤ q≤ р;тогда F(Х1)=F(Х2)=…=F(Хn)=M.

Пусть Х выпуклаялинейная комбинация этих угловых точек, т.е. Х= α1Х1+α2Х2+ …+αqХq, αj≥0, (j=1,…,q), />. В этом случае, учитывая, что функцияF(Х) – линейная, получим F(Х)=F(α1Х1+α2Х2+…+αqХq)=α1F(Х1)+ +α2F(Х2)+…+αqF(Хq)=α1M+α2M+…+αqM=M/>=M, т.е. линейная функция F принимает максимальное значение в произвольной точке Х,являющейся выпуклой линейной комбинацией угловых точек Х1, Х2,… Хq ■

Замечание.Требование ограниченности многогранника решений в теореме являетсясущественным, т.к. в случае неограниченной многогранной области не каждую точкуможно представить выпуклой линейной комбинацией её угловых точек.

Доказанная теоремаявляется фундаментальной, т.к. она указывает принципиальный путь решения ЗЛП.

Рассмотрим геометрическийметод решения ЗЛП в случае функции двух переменных.

Было доказано, чтооптимальное решение ЗЛП находится, по крайней мере, в одной из угловых точекмногогранника решений.

Рассмотрим задачу встандартной форме с двумя переменными.

F=c1x1+c2x2+с→min(max),

/>Приограничениях а11х1+ а12х2 ≤b1,

а21х1+а22х2 ≤b2,

………………

an1х1+аn2х2≤bn ,

при условии, что x1≥0 ,x2≥0 .

Пусть геометрическим изображениемсистемы ограничений является многоугольник ABCDE. Необходимо среди точек этого многоугольника найтитакую точку, в которой линейная функция F=c1x1+c2x2+с0принимает максимальное (или минимальное) значение.Рассмотрим линии уровня функции F или

/>c1x1+c2x2=С ( 3.5).

Это уравнение прямой. Линии уровняфункции F параллельны, т.к. их угловые коэффициентыопределяются только соотношением между коэффициентами c1 и c2 и, следовательно, равны. Т.о., линииуровня функции F – этосвоеобразные «параллели», расположенные обычно под углом к осям координат.

Важное свойство линийуровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии водну сторону уровень только возрастает, а при смещении в другую сторону –только убывает. При фиксированном С рассмотрим линейную функцию. Чем большезначение С, тем больше значение линейной функции. Определив направлениевозрастания линейной функции, найдём точку, принадлежащую многоугольнику, в которойфункция принимает максимальное или минимальное значение.

Геометрическимизображением системы ограничений может служить и многоугольная область.Рассмотрим следующую задачу.

1.В суточный рационвключают два продукта питания П1 и П2, причём продукта П1должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость питательных веществ в1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в таблице. Определить оптимальныйрацион питания, стоимость которого будет наименьшей.

Питательные

вещества

Минимальная норма

потребления

Содержание питательных

веществ в 1 ед. продукта.

П1

120

160

0,2

0,4

0,2

Решение.

Обозначим х1– количество продукта питания П1,

х2– количество продукта питания П2.

F=2 х1 +4 х2 →min. (суммарная стоимость) Приограничениях

/> х1 ≤ 200,

0,2 х1 +0,2 х2≥120,

0,4х1 +0,2 х2 ≥160.

/>Графическим решением системы ограничений является множествоточек плоскости, называемое областью допустимых решений (ОДР). Линии уровня 2х1+4х2=0/>х2=-/>х1.

Получаем, что минимальноезначение, при заданных ограничениях на переменные, достигается в точке А(200;400).F(A)=2000.

Ответ: наименьшая стоимость 2000будет при рационе 200 ед. продукта П1 и 400 ед. продукта П2.

Не всегда бываетединственное оптимальное решение. Рассмотрим другую задачу.

2. F=4x1+4x2 →max. При ограничениях

/> 2x1+x2≥7,

x1-2x2≥-5,

x1+x2≤14,

2x1-x2≤18.

Решив, системуограничений найдём ОДР. Линия уровня будет иметь вид 4x1+4x2=0 />x2=-x1.

/>В данной задаче линия уровня с максимальным уровнем совпадаетс граничной линией многоугольника решений. Найдём точку пересечения линии II с линией III:

х1=/>.

Найдём точку пересечениялинии III с линией IV: 14- х1=2 х1-18. Отсюда х1=/> . Следовательно, х1=c, x2=14-c, c/>[/>;/>]. Пусть х1=9 />[/>;/>],х2=5.

F=4·9+4·5=56.

Ответ: Fmax=56 при множестве оптимальных решенийх1=c, x2=14-c, где c/>[/>;/>].

Рассмотренныйгеометрический метод решения ЗЛП обладает рядом достоинств. Он прост, нагляден,позволяет быстро и легко получить ответ.

Однако есть и недостатки.Возникают «технические» погрешности, которые неизбежно возникают приприближенном построении графиков. Второй недостаток геометрического методазаключается в том, что многие величины, имеющие чёткий экономический смысл (например,такие, как остатки ресурсов производства), не выявляются при геометрическомрешении задач. Его можно применять только в том случае, когда число переменныхв стандартной задаче равно двум. Поэтому необходимы аналитические методы,позволяющие решать ЗЛП с любым числом переменных и выявить экономический смысл,входящих в них величин.

Одним их таких методовявляется симплексный метод.

В данном пункте была рассмотренатеорема, из которой следует, что если ЗЛП имеет оптимальное решение, то оносоответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений. Поэтомурешение ЗЛП может быть следующим: перебрать конечное число всех угловых точекмногогранника решений и выбрать среди них ту, на которой функция цели принимаетоптимальное решение. Однако, практическое осуществление такого перебора связанос трудностями, т.к. число решений может быть чрезвычайно велико.

/>Пусть ОДР изображаетсямногоугольником ABCDEGH. Предположим,

что его угловая точка соответствуетисходному допустимому решению. При беспорядочном наборе пришлось бы перебиратьвсе 7 угловых точек многогранника. Однако, из чертежа видно, что после вершиныА выгодно перейти к соседней вершине В, а затем – к оптимальной точке С. Вместосеми перебрали 3 вершины, последовательно улучшая линейную функцию.

Идея последовательногоулучшения решения легла в основу универсального метода решения ЗЛП –симплексного метода. Для использования симплексного метода ЗЛП должна бытьприведена к каноническому виду. Для реализации симплексного метода необходимоосвоить 3 основных элемента:

· способ определениякакого – либо первоначального допустимого решения

· правило переходак лучшему решению

· критерий проверкиоптимальности найденного решения.

Алгоритм конкретной реализации этихэлементов рассмотрим на примере.

Практические расчёты прирешении реальных задач симплексным методом выполняются в настоящее время спомощью компьютера, однако, если расчёты выполняются без ЭВМ, то удобноиспользовать симплексные таблицы.

Алгоритм составлениясимплексных таблиц:

1. Система ограничений приводится кканоническому виду.

Для нахожденияпервоначального базисного решения переменные разбиваются на основные инеосновные. Т.к. определитель, составленный из коэффициентов при дополнительныхпеременных отличен от нуля, то эти переменные можно взять в качестве основных.При выборе основных переменных не обязательно составлять определитель, достаточновоспользоваться следующим правилом: в качестве основных переменных следуетвыбрать такие, каждая из которых входит только в одно из уравнений системыограничений, при этом нет таких уравнений системы, в которые не входит ни однаиз этих переменных.

2. Составляюттаблицу, где в последней строке указываются коэффициенты функции спротивоположным знаком. В левом столбце таблицы записывают основные переменные,в первой строке – все переменные, в последнем столбце свободные члены системы.

3. Проверяют выполнение критерияоптимальности – наличие в последней строке отрицательных коэффициентов. Еслитаких нет, то решение оптимально, достигнут, например, максимум функции (вправом нижнем углу таблицы), основные переменные при этом принимают значение bi, а неосновные переменные равны нулю,т.е. получается оптимальное базисное решение.

4. Если критерий оптимальности невыполнен, то наибольший по модулю отрицательный коэффициент в последней строкеопределяет разрешающий столбец S. Составляют оценочные ограничения по следующим правилам:

· ∞, если bi и аisимеют разные знаки;

· ∞, если bi=0 и аis<0;

· ∞, если аis=0;

· 0, если bi=0 и аis>0;

· />, если bi и аisимеютодинаковые знаки.

Определяют min />. Есликонечного минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума. Далее выбираютстроку с номером q, на которой он достигается (любую,если их несколько), и называют её разрешающей строкой. На пересеченииразрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент аqs.

5. Переходим к следующей таблице поправилам:

а) влевом столбце записывают новый базис: вместо основной переменной хq — переменную хs, а геометрически произойдёт переход ксоседней вершине многоугольника, где значение линейной функции «лучше».Значение линейной функции увеличится, т.к. переменная, входящая в выражениефункции, станет основной, т.е. будет принимать не нулевое, а положительноезначение;

b) новую строку с номером q получают из старой делением наразрешающий элемент аqs;

c) все остальные элементы вычисляют поправилу многоугольника:

/>; />

Далее переходим к пункту 3 алгоритма.

Замечание: при отыскании минимума функции Z, полагаем, что F=-Z и учитываем, что Zmin=-Fmax.

Решим задачу симплекснымметодом.

Для производства трёхизделий А, В и С используются три вида ресурсов. Каждый из них используется вобъёме, не превышающем 180, 210 и 236 кг. Нормы затрат каждого из видов ресурсовна одно изделие и цена единицы изделий приведены в таблице.

Вид ресурса

Нормы затрат ресурсов на 1 изделие, кг

Цена изделия, у.е.

Определить планвыпуска изделий, обеспечивающий получение оптимального дохода.

Решение. х1 — количествовыпускаемых изделий А

х2 — количество выпускаемых изделий В

х3 — количество выпускаемых изделий С.

/>Тогда целевая функция будет иметь вид: F=10x1+14x2+12 х3 →max

при ограничениях: 4x1+2x2+х3≤180

3x1+x2+3х3≤210

x1+2x2+5х3≤236

Приведём систему к каноническомувиду:

/>4x1+2x2+х3+х4=180

3x1+x2+3х3+х5=210

x1+2x2+5х3+х6=236.

Составляем таблицу

х1

х2

х3

х4

х5

х6

Свободный член

х4

х5

х6

180

210

236

F’ -10 -14 -12

Определимведущий элемент: min/>. Далее выполняем действия, следуя алгоритму.

х1

х2

х3

х4

х5

х6

Свободный член

х2

х5

х6

-3

1/2

5/2

1/2

-1/2

-1

120

F’ 18 -5 7 1260

min/>

х1

х2

х3

х4

х5

х6

Свободный член

х2

х5

х3

19/8

23/8

-3/4

5/8

1/8

-1/4

-1/8

-5/8

1/4

F’ 54/4 23/4 5/4 1330

Ответ: Чтобы получить оптимальный доход,нужно выпускать 83 ед. изделия В, 14 ед. изделия С, а изделие Ане выпускать. Оптимальный доход составит 1330 у.е. По решению задачивидим, что у предприятия остаются свободными 85 кг. второго вида ресурсов, 1 и3 вид полностью расходуются [5]

3) Двойственная задача.

Каждой задаче линейногопрограммирования соответствует другая задача, называемая двойственной илисопряжённой по отношению к исходной. Теория двойственности полезна дляпроведения качественных исследований ЗЛП. В главе I пункте 2) рассмотрена />задача обиспользовании ресурсов. Предположим, что некоторая организация решила закупитьресурсы и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы y1,y2,y3. Очевидно, что

покупающая организация заинтересованав том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах 180, 210, 236 по ценамсоответственно y1,y2,y3были минимальными, т.е. Z= 180y1+210y2+236y3→min. С другой стороны, предприятие,продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менетой суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов вготовую продукцию. На изготовление единицы продукции А расходуется 4кг. ресурса1, 3кг. ресурса 2, 1кг. ресурса 3 по цене соответственно y1,y2,y3. Поэтому, для удовлетворениятребований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицыпродукции, должны быть не менее её цены 10у.е., т.е. 4 y1+3 y2+ y3≥10.

Аналогично можносоставить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции. Экономико-математическаямодель исходной задачи и полученной двойственной задачи приведены втаблице.

Задача I (исходная) Задача II (двойственная)

F= 10x1+14x2+12x3→max

При ограничениях:

/> 4х1+2х2+х3≤180

3х1+х2+3х3≤210

х1+2х2+5х3≤236

и условие неотрицательности переменных x1≥0, x2≥0, х3≥0.

Для производства трёх изделий А, В, С используются три вида сырья. каждый из них используется в объёме, не превышающем 180, 210 и 236кг. Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение оптимального дохода при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдёт имеющихся запасов.

Z= 180y1+210y2+236y3→min

При ограничениях:

/> 4y1+3y2+y3≥10

/>/>/>/>/>/> 2y1+y2+2y3≥14

y1+3y2+5y3≥12

и условие неотрицательности переменных y1≥0, у2≥0, у3≥0.

Найти такой набор цен ресурсов, при котором общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли от реализации этой продукции.

Обе задачи,представленные в таблице обладают следующими свойствами:

1. В одной задаче ищут максимум линейнойфункции, в другой минимум.

2. Коэффициенты при переменных влинейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений вдругой.

3. Каждая из задач задана в стандартнойформе, причём в задаче максимизации – все неравенства вида «≤», ав задаче минимизации – все неравенства вида «≥».

4. Матрицы коэффициентов при переменныхв системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу.

Для задачи I А=/>, длязадачи II А/>=/>

5. Число неравенств в системеограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.

6. Условия неотрицательности переменныхимеются в обеих задачах.

Две задачи I и II линейногопрограммирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричнымивзаимодвойственными задачами.

Исходя из определения,можно предложить следующий алгоритм составления двойственной задачи.

1. Приводят всенеравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если висходной задач ищут максимум линейной функции, то все неравенства системыограничений приводят к виду «≤», а если минимум – к виду «≥».

2. Составляютрасширенную матрицу системы А1, в которую включают матрицукоэффициентов при переменных, столбец свободных членов системы ограничений истроку коэффициентов при переменных в линейной функции.

3. Находят матрицу А/>, транспонированную к матрице А1.

4. Формулируютдвойственную задачу на основании полученной матрицы А/>иусловия неотрицательности переменных.

Связь между оптимальнымирешениями двойственных задач устанавливается с помощью теорем двойственности.Вначале рассмотрим вспомогательное утверждение.

Основное неравенствотеории двойственности. Пусть имеется пара двойственных задач I и II.Покажем, что для любых допустимых решений Х= (x1,x2, …, хn) и У=(y1,y2,…,ym)исходной и двойственной задачи справедливо неравенствоF(X) ≤ Z(Y) или />≤/> (3.6)

□ Возьмёмнеравенства системы ограничений исходной задачи />≤bi и умножим соответственно напеременные y1,y2,…,ym и, сложив правые и левые частиполученных неравенств, имеем

/>/>≤/>. (3.7)

Аналогично умножаемсистему ограничений двойственной задачи на переменные x1,x2, …, хn, получим

/>/>≥/> (3.8)

Т.к. левые частинеравенств (3.7) и (3.8) представляют одно и тоже выражение />/>уj, то в силу транзитивности неравенствполучим доказываемое неравенство (3.6).■

Теперь докажем признакоптимальности решений.

Достаточный признакоптимальности.

Если X*=(x/>, x/>,…, x/>) и У*=(у/>, у/>,…, у/>) – допустимые решения взаимно двойственных задач, длякоторых выполняется равенство

F(X*) =Z(Y*) (3.9)

то Х* оптимальное решениеисходной задачи I, а У* — двойственной задачи II.

□ Пусть Х1любое допустимое решение исходной задачи I. Тогда на основании основного неравенства (3.6) получим F(X1) ≤ Z(Y*). Однако Х1 — произвольное решение задачи I. Аналогично доказывается, чторешение У* оптимально для задачи II.■

Всегда ли для каждой парыдвойственных задач есть одновременно оптимальные решения; возможны ли ситуации,когда одна из двойственных задач имеет решение, а другая нет?

Ответ на эти вопросы даётследующая теорема.

Первая(основная) теорема двойственности. Если одна из взаимно двойственных задачимеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причём оптимальные значенияих линейных функций равны:

Fmax=Zmin или F(X*) =Z(Y*) (3.10)

Если линейная функцияодной из задач не ограничена, то система ограничений другой задачипротиворечива.

Из первой частиутверждения теоремы следует, что равенство (3.9) является не только достаточным,но и необходимым признаком оптимальности взаимно двойственных задач.

□ Докажемутверждение второй части методом от противного. Предположим, что в исходнойзадаче линейная функция не ограничена, т.е. Fmax=∞, а условия двойственнойзадачи не являются противоречивыми, т.е. существует хотя бы одно допустимоерешение У=(y1,y2,…,ym). Тогда в силу основного неравенство теориидвойственности (3.6)F(X) ≤ Z(Y), что противоречит условию неограниченности F(X). Следовательно, при Fmax=∞ в исходной задаче, допустимыхрешений в двойственной задаче быть не может. ■

Экономический смыслпервой теоремы двойственности состоит в следующем: план производства X*=(x/>, x/>,…, x/>) и набор цен ресурсов У*=(у/>, у/>,…, у/>) оказываются оптимальными тогда и только тогда, когдаприбыль от продукции, найденная при ценах с1, с2,…, сn,«внешних» (известных заранее), равназатратам на ресурсы по «внутренним»(определяемым только из решения задачи)ценамy1,y2,…,ym. Для всех же других планов Х и Уобеих задач в соответствии с основным неравенством (3.6) теории двойственностиприбыль (выручка) от продукции всегда меньше (или равна) затрат на ресурсы.

Экономический смыслпервой теоремы двойственности можно интерпретировать и так: предприятиюбезразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану X*=(x/>, x/>,…, x/>) и получать максимальную прибыль Fmax либо продавать ресурсы по оптимальнымценам У*=(у/>, у/>,…, у/>)и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы Zmin.

Связь между двумя взаимнодвойственными задачами проявляется не только в равенстве оптимальных значенийих линейных функций.

Пусть даны две взаимнодвойственные задачи I и II. Если каждую из них решать симплекснымметодом, то необходимо привести их к каноническому виду, для чего в системуограничений задачи I следует ввести m неотрицательных переменных xn+1, xn+2, …, xn+m, а в систему ограничений задачи II — n неотрицательных переменных ym+1, ym+2,…,ym+n. Системы ограничений двойственныхзадач примут вид:

/>+xn+i=bi, i=1,…,m (3.11) />-ym+j=cj, j=1,…,n (3.12).

установим соответствиемежду первоначальными переменными одной из двойственных задач и дополнительнымипеременными другой задачи.

Переменные исходной задачи I Первоначальные Дополнительные

x1 x2 … xj … хn

↕ ↕ ↕ ↕

ym+1 ym+2 … ym+j … ym+n

xn+1 xn+2 … xn+I … xn+m

↕ ↕ ↕ ↕

y1 y2 … yj ym

Дополнительные Первоначальные Переменные исходной задачи II

Теорема. Положительным (ненулевым)компонентам оптимального решения одной из взаимно двойственных задачсоответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи, т.е. длялюбых i=1,2,…,m и j=1,2,…,n: если />>0, то />=0; если />>0, то/>=0, и аналогично, если />>0, то />=0; если />>0, то/>=0.

□ Выразимдополнительные переменные из системы ограничений (3.11) исходной задачи I и (3.12) двойственной задачи,представленных в каноническом виде:

xn+i=bi-/>, i=1,2,…,m (3.13)

ym+j=/>-cj,j=1,…,n. (3.14)

Умножая каждое равенствосистемы (4.9) на соответствующие переменные уj≥0 и складывая полученные равенства, найдём

/>xn+iyi=/>biyi-/>/>yi (3.15)

Аналогично, умножаякаждое неравенство системы (4.10) на соответствующие переменные xj≥0 и складывая полученныеравенства, найдём

/>ym+j=/>/>yi-/>cj. (3.16)

Равенства (4.11)и(4.12)будут справедливы для любых допустимых значений переменных, в том числе и дляоптимальных значений />,/>,/>, />. В силу первой теоремыдвойственности (3.10)F(X*) =Z(Y*) или />=/>, поэтому из записи правых частейравенств (3.15) и (3.16) следует, что они должны отличаться только знаком. С другойстороны, из неотрицательности выражений />xn+iyiи />ym+j, входящие в выражения (3.15) и (3.16),следует, что правые части этих равенств должны быть неотрицательны.

Эти условия могутвыполняться одновременно только при равенстве этих правых частей дляоптимального значения переменных нулю:

/>/>/>/>=0,

/>/>/>=0. (3.17)

В силу условиянеотрицательности переменных каждое из слагаемых в равенстве (4.13) должноравняться нулю:

/>/>/>=0, i=1,2,…,m

/>/>=0, j=1,2,…,n

Откуда и вытекаетзаключение теоремы. ■

Из доказанной теоремыследует, что введённое ранее соответствие между переменными двойственных задачпредставляет соответствие между основными (как правило не равными нулю)переменными одной из двойственных задач и неосновными (равными нулю)переменными другой задачи, когда они образуют допустимые базисные решения.

Рассмотренная теоремаявляется следствием следующей теоремы.

Вторая теоремадвойственности.Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениямкоэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи,выраженной через неосновные переменные её оптимального решения.

Метод, при которомвначале симплексным методом решается двойственная задача, а затем оптимум иоптимальное решение исходной задачи находятся с помощью теорем двойственности,называется двойственным симплексным методом. Этот метод бывает выгодноприменять, когда первое базисное решение исходной задачи недопустимое или,например, когда число её ограничений m больше числа переменных n.

С помощью теоремдвойственности найдём решение задачи II. Получаем следующий набор цен ресурсов (/> /> />), при котором минимальныезатраты составят 1330. [5]

4) Задача нелинейногопрограммирования. (ЗНП)

Рассмотрим ЗНП и способыеё решения. Математическая модель ЗНП в общем виде формулируется следующимобразом:

f =(x1,x2,…,хn)→ min(max). При этом переменные должныудовлетворять ограничениям:/>

/>g1(x1,x2, …, хn)≤b1,

…………………………

gm(x1,x2, …, хn)≤bm,

gm+1(x1,x2, …, хn)≥bm+1,

…………………………

gk(x1,x2, …, хn)≥bk,

gk+1(x1,x2, …, хn)=bk+1,

………………………

gp(x1,x2, …, хn)=bp.

x1,x2,…, хn≥0, где хотя бы одна из функций f, gi нелинейная.

Для ЗЛП нет единогометода решения. В зависимости от вида целевой функции и системы ограниченийразработаны специальные методы решения, к которым относятся метод множителейЛагранжа, градиентные методы, приближённые методы решения, графический метод.

Рассмотрим основные идеиграфического метода.

Максимум и минимумдостигается в точках касания линии уровня с областью допустимых решений (ОДР),которая задается системой ограничений. Например, если линии уровня — прямые,то точки касания можно определить, используя геометрический смысл производной.

Рассмотрим на примерахрешение ЗНП.

1. Найти экстремумыфункции L(x1,x2)=x1+2x2при ограничениях

/>,/>.

Решение. ОДР – это часть круга с радиусом 5,расположенная в I четверти. Найдёмлинии уровня функции L: x1+2x2=C. Выразим x2=/>. Линиями уровня будут параллельные прямые с угловым коэффициентом,равным -/>. Минимум функции достигается вточке (0;0), Lmin=0, т.к.градиент />(1,2) направлен вверх вправо. Максимумдостигается в точке касания кривой х2=/> и линии уровня. Т.к. угловой коэффициенткасательной к графику функции равен -/>, найдёмкоординаты точки касания, используя геометрический смысл производной.

/>=-/>; (/>)/>=-/>;

/>=-/>; />x=/>; x2=2/>.

Тогда L=/>+2∙2/>=5/>.

Ответ: Минимум достигается в точке О(0;0),глобальный максимум, равный 5/>, в точке А(/>;2/>) .

2. Найти экстремумыфункции L=(x1-6)2+(x2-2)2 при ограничениях

/> x1+x2≤8

3 x1+x2 ≤15

x1+x2 ≥1

/>.

/>Решение. ОДР – многоугольник ABCDE. Линии уровня представляют собойокружности (x1-6)2+(x2-2)2=С с центром в точке О1(6;2).Возьмём, например, С=36, видим, что максимум достигается в точке А(0;4),которая лежит на окружности наибольшего радиуса, пересекающую ОДР. L(A)=(0-6)2+(4-2)2=40. Минимум — в точке F, находящейся на пересечении прямой 3x1+x2 =15 и перпендикуляра к этойпрямой, проведённого из точки О1. Т.к. угловой коэффициент равен -3,то угловой коэффициент перпендикуляра равен />. Изуравнения прямой, проходящей через данную точку О1 с угловымкоэффициентом />, получим (x2-2)= />(x1-6). Найдём координаты точки Е

/>х1-3х2=0

3 x1+x2 =15.

Решив систему, получаем Е(4.5;1.5).

L(E) = (4.5-6)2+ (1.5-2)2=2.5.

Ответ: Минимум, равный 2.5достигается в точке (4.5; 1.5), максимум, равный 40, в точке (0;4).

3. Найти экстремумыфункции L=(x1-1)2+(x2-3)2

при ограничениях />, />.

/>Решение: ОДР является часть круга, с центромв начале координат, с радиусом 5, расположенная в I четверти. Линии уровня – это окружности с центром в точке О1и радиуса С, т.к. (x1-1)2+(x2-3)2=С. Точка О1 – этовырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению С=0. глобальныймаксимум достигается в точке А, лежащей на пересечении ОДР с линией уровнянаибольшего радиуса. При этом

L(A)=(5-1)2+(0-3)2=25.

Ответ: Минимум, равный,достигается в точке (1;3),

Максимум,равный 25, — в точке А(5;0).

4. Предпринимательрешил выделить на расширение своего дела 150 тыс.руб. известно, что если наприобретение нового оборудования затратить х тыс. руб., а на зарплату вновьпринятых работников у тыс. руб., то прирост объёма продукции составит Q=0.001x0.6·y0.4. Как следует распределитьвыделенные денежные ресурсы, чтобы прирост объёма продукции был максимальным.

/> Решение: Целевая функция имеет вид 0.001x0.6·y0.4→max при ограничениях x+y≤150,

/>.

ОДР – треугольник. />Линии уровня будут иметь вид 0.001x0.6·y0.4=С. Выразив отсюда у, получим у=/>. Т.к. максимум достигается в точке касаниялинии уровня с ОДР, то условие касания имеет вид />=-1.Найдя производную, получаем />=-1. Выразив х,получим х=/>. у=/>=/>.

Ответ: Факторы х и у следует распределитьв отношении 2:3.

5.Предприятиевыпускает изделия А и Б, при изготовлении которых используется сырьё S1и S2. Известны запасы bi(i=1,2) сырья, нормы его расхода наединицу изделия aij(j=1,2), оптовые цены pjна изделия и их плановая себестоимость с/>. Как только объём выпускаемой продукцииперестаёт соответствовать оптимальному размеру предприятия, дальнейшееувеличение выпуска хjведёт к повышению себестоимости продукции b, в первом приближении фактическаясебестоимость сjописывается функцией сj= с/>+ с/>хj, где сj– некоторая постоянная. Все числовыеданные приведены в таблице

a11

a12

a21

a22

с/>

90 88 13 6 8 11 12 10 7 8 0.2 0.2

Найти план выпускаизделий, обеспечивающий предприятию наивысшую прибыль в условиях нарушениябаланса между объёмом и оптимальным размером предприятия.

Решение: Составим математическую модель задачи.

Пусть Z – прибыль, получаемая предприятиемпосле реализации х1 выпущенных изделий А и х2 изделий Б.

Z=( 12-( 7+ 0,2 х1)) х1+(10-( 8+ 0,2 х2)) х2 →max,

/>приограничениях 13 х1+ 6 х2≤ 90,

8 х1+ 11х2≤88,

Преобразуя целевую функцию, получим:

Z=5х1-0,2х/>+2 х2-0,2х/>→max

ОДР – многоугольник ОАВD. Для построения линий уровняфункции, приведём функцию к следующему виду:

(х1-12,5)2+(х2-5)2=181,25-5Z .

Линиями уровня будут окружности сцентром в точке О1(12,5; 5) и радиуса />.Окружность наибольшего радиуса будет проходить через точку М, находящейся напересечении прямой ВD и прямой O1М, перпендикулярной к BD. Найдём координаты точки М.

/> 13х1+6х2=90

х2-5=6/13(х1-12,5).Решив систему, получим, М(6;2).

Z(М)=30-7,2-2,8+4=26.

Ответ: Для получения предприятием максимальной прибыли,составляющей 26 ден.ед., следует выпустить 6 ед. изделия А и 2 ед. изделия Б.

5)Задача на условный экстремум.

Если система ограничений(3.1) задана в виде равенств, то это задача на условный экстремум. В случаефункцииn независимыхпеременных (x1,x2, …, хn) задача на условный экстремум формулируется следующимобразом:

L=f(x1,x2,…,хn)→max (min)

при условиях: gi(x1,x2, …, хn)=0, i=/>. (m<n).

В конце XVIII века Лагранж предложил остроумныйметод решения задачи на условный экстремум. Суть метода Лагранжа состоит впостроении функции L(x1,x2, …, хn)= f(x1,x2, …, хn)+/>gi(x1,x2, …, хn), где λiнеизвестные постоянные, и нахожденииэкстремума функции L.

Верна следующая теорема:если точка (/>) является точкой условного экстремумафункции f(x1,x2, …, хn) при условии g(x1,x2, …, хn)=0, то существует значение λi такие, что точка (/>) является точкой экстремума функции L(/>).

Рассмотрим метод Лагранжадля функции двух переменных.

L(x1,x2,λ)= f(x1,x2)+λg(x1,x2)

Таким образом, длянахождения условного экстремума функции f(x1,x2) при условии g(x1,x2)=0 требуется найти решение системы

/>L/>=f />(x1,x2)+λg/>(x1,x2)=0, (3.18)

L/>=f />(x1, x2) +λg/>(x1, x2) =0,

L/>= g(x1, x2) =0. [4]

Есть и достаточныеусловия, при выполнении которых решение (x1,x2,λ) системы (3.18) определяет точку, вкоторой функция f достигаетэкстремума, для этого нужно вычислить значения />исоставить определитель

/>=-/>.

Если /><0, то функция имеет в точке (/>) условный максимум, если />>0 – то условный минимум.

Решим задачу методоммножителей Лагранжа.

Общие издержкипроизводства заданы функцией Т=0,5х2+0,6ху+0,4у2++700х+600у+2000,где х и у соответственно количество товаров А и В. Общее количествопроизведённой продукции должно быть равно 500 единиц. Сколько единиц товара А иВ нужно производить, чтобы издержки на их изготовление были минимальными?

Решение: составим функцию Лагранжа.

L(x, y, λ) =0,5х2+0,6ху+0,4у2++700х+600у+2000+λ(х+у-500). Приравнивая к нулю её частные производные, получим

/>х+0,6у+700+λ=0,

0,6х+0,8у+600+ λ=0,

х+у-500=0.

Решив систему, найдём (0,500, -1000).

Воспользуемся достаточнымусловием для определения найденного значения L/>(x,y)=1, L/>(x,y)=0.8, L/>(x,y)=0.6. Функция g= х+у-500. g/>=1, g/>=1.

/>=-(0·L/>·L/>+ g/>·L/>· g/>+ g/>·g/>·L/>— g/>·L/>·g/>-0·L/>·L/>— g/>· g/>·L/>)=0,6>0

Значит, в точке (0;500)функция L имеет условный минимум.

Ответ: Выгодно производить только 500 ед.товара В, а товар А не производить.

Наиболее простым способомнахождения условного экстремума функции двух переменных является сведениезадачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Пусть уравнениеg(x1,x2)=0 удалось разрешить относительно одной из переменных,например, выразить х2 через х1: х2=φ(х1).Подставив полученное выражение в функцию, получим y=f(x1,x2)= y=f(x1, φ(х1)), т.е. функцию однойпеременной. Её экстремум и будет условным экстремумом функции y=f(x1,x2).

Проиллюстрируем данныйметод на конкретной задаче.

Фирма реализуетавтомобили двумя способами: через розничную и оптовую торговлю. При реализациих1 автомобилей в розницу расходы на реализацию составляют (4 х1+х/>) у. е., а при продаже х2автомобилей оптом – х/>у. е. Найти оптимальный способ реализацииавтомобилей, минимизирующий суммарные расходы, если общее число, предназначенныхдля продажи автомобилей составляет 200шт.

Решение: Составим функцию L(х1, х2)=4х1+х/>+х/> и будем находить еёминимум. Т.к. для продажи предназначено 200 автомобилей, то х1+х2=200.Разрешим данной уравнение относительно переменной х2: х2=200-х1.Подставим полученное выражение в функцию L, получим L=4 х1+ х/>+ (200- х1)2=2х/>--396 х1+40000, х1/>0.

Найдём экстремум даннойфункции.

/> L/>=4 х1-396.

Приравняв её к нулю, получимх1=99.

Ответ: оптимальный способ реализации автомобилей– это 99 автомобилей в розницу и 101 автомобиль оптом (х2=200-99).Расходы составят 20398 р.

В экономических задачах,в которых отыскивается оптимум функции f=(x1,x2, …, хn), где n />2, полагают, что найденное единственноерешение, удовлетворяющее необходимому условию экстремума, является оптимальным.

4. Задача потребительского выбора.

1) Функция полезности.Бюджетное ограничение. Формулировка задачи потребительского выбора.

Будем считать, чтопотребитель располагает доходом Q,который он полностью тратит на приобретение благ (продуктов) Учитывая структуруцен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определённое количествоблаг, и математическая модель такого его поведения называется модельюпотребительского выбора.

В некоторых задачахвыделяют один продукт, а вторым считают все остальные. Поэтому сначала рассмотриммодель с двумя видами продуктов. Потребительский набор – это вектор (x1,x2), координата x1 которого равна количеству единицпервого продукта, а координата x2 равна количеству единиц второго продукта.

Выбор потребителяхарактеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем.Считается, что потребитель про каждые два набора может сказать, что либо одиниз них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между нимиразницы. Отношение предпочтения транзитивно, т.е. если набор А=(а1, а2)предпочтительнее набора B=(b1,b2), а набор B=(b1,b2) предпочтительнее набора С=(с1, с2),то наборА=(а1, а2) предпочтительнее набораС=(с1, с2).

На множествепотребительских наборов (x1,x2) определена функция u(x1,x2) (называемая функцией полезности потребителя),значение u(x1,x2) которой на потребительском наборе(x1,x2)равно потребительской оценке индивидуума для этогонабора. Потребительскую оценку u(x1,x2) набора (x1,x2) принято называть уровнем (илистепенью)удовлетворения потребительского индивидуума, если он приобретает или потребляетданный набор (x1,x2). Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функциюполезности. Если набор А />предпочтительнее набора В,то u(А)>u(В).

Функция полезности удовлетворяетследующим свойствам:

1. Возрастание потребления одногопродукта при постоянном потреблении другого продукта ведёт к роступотребительской оценки, т.е. если x/>>x/>, то u(x/>,x2)> u(x/>,x2);

если x/>>x/>, то u(x1, x/>)> u(x1, x/>).

Иначе говоря, u/>(x1,x2)=u/>>0, u/>(x1,x2)=u/>>0.

Первые частныепроизводные u/> и u/> называютсяпредельными полезностями первого и второго продуктов соответственно.

2. Предельная полезность каждогопродукта уменьшается, если объём его потребления растёт (закон убыванияпредельной полезности). Из свойства второй производной следует, что u/>(x1,x2)<0, u/>(x1,x2)<0.

3. Предельная полезность каждогопродукта увеличивается, если растёт количество другого продукта. В этом случаепродукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным.Если блага могут замещать друг друга в потреблении, свойство не выполняется. u/>(x1,x2)=u12>0, u/>(x1,x2)=u21>0.

Линия, соединяющаяпотребительские наборы (x1,x2), имеющие один и тот же уровеньудовлетворения потребностей называется линией безразличия. Линиябезразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множестволиний безразличия называется картой линий безразличия. Линиибезразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей непересекаются и не касаются. Чем выше и правее расположена линия безразличия,тем большему уровню удовлетворения потребностей она соответствует. Условия 1-3означают, что линия безразличия убывает и является выпуклой вниз.

Задачапотребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора (х/>, х/>), которыймаксимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы напродуктыне могут превышать денежного дохода, т.е. p1x1+p2x2≤Q, где p1 и p2–рыночныецены, а Q – доход потребителя, который онготов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины p1, p2 и Q заданы.

Задача потребительскоговыбора имеет вид:

u(x1,x2)→max

при ограничении p1x1+p2x2≤Q

и условие x1≥0, x2≥0.

Допустимое множество (т.е.множество наборов продуктов, доступных для потребителя) представляет собойтреугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом множестветребуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнемполезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически какпоследовательный переход на линии всё более высокого уровня полезности до техпор, пока эти линии ещё имеют общие точки с допустимым множеством.

бюджетная прямая

Линии безразличия

2) Решение задачи потребительскоговыбора и его свойства.

Набор (х/>, х/>), который являетсярешением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальнымдля потребителя.

Рассмотрим некоторыесвойства задачи потребительского выбора. Во – первых, решение задачи (х/>, х/>) сохраняется прилюбом монотонном (т.е. сохраняющем порядок значении) преобразовании функцииполезности u(x1,x2). Поскольку значениеu(х/>, х/>), было максимальным на всём допустимом множестве, оно остаётсятаковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимоемножество, определяемое бюджетным ограничением, остаётся неизменным). Такиммонотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на некотороеположительное число, возведение её в положительную степень, логарифмирование.

Во – вторых, решениезадачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доходувеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз λ. (λ>0)

Это равнозначно умножениюна положительное число λ обеих частей бюджетного ограниченияp1x1+p2x2≤Q, что даёт неравенство, эквивалентноеисходному. Поскольку ни цены, ни доход Q не входят в функцию полезности, задача остаётся той же, чтои первоначально.

Если на каком – топотребительском наборе (x1,x2) бюджетное ограничение p1x1+p2x2≤Q будет выполнятся в виде строгогонеравенства, то мы можем увеличить потребление какого – либо из продуктов и темсамым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор (х/>, х/>), максимизирующийфункцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е. p1х/>+p2х/>=Q.

Графически это означает,что решение (х/>, х/>) задачипотребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой, которая проходитчерез точки пересечения с осями координат, где весь доход тратиться на одинпродукт: (0, />) и(/>,0).

Итак, задачупотребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (иборешение (х/>, х/>) этих двух задач однои то же)

u(x1,x2)→max

приусловии p1x1+p2x2=Q.

Для решения этой задачиприменим метод Лагранжа. Выписываем функцию Лагранжа L(x1,x2, λ)= u(x1,x2)+ λ (p1x1+p2x2-Q), находим её частные производные по переменным x1,x2 и λ и приравниваем кнулю:

/> L/>= u/>+λ p1=0,

L/>= u/> +λ p2 =0,

L/>=p1x1+p2x2-Q=0.

Исключив из полученнойсистемы неизвестную λ, получим систему двух уравнений с двумя неизвестнымиx1, и x2

/> />=/>,

p1x1+p2x2=Q.

Решение (х/>, х/>) этой системы есть критическаяточка функции Лагранжа. Подставив решение (х/>, х/>) в левую часть равенства

/>=/>,

получим, что в точке (х/>, х/>) отношение /> предельных полезностей u/>(х/>, х/>) и u/>(х/>, х/>) продуктов равно отношению рыночныхцен p1и p2 на этипродукты:

/>=/>. (5.1)

В связи с тем, чтоотношение />равно предельной норме замены первого продуктавторым в точке локального рыночного равновесия (х/>, х/>), из (5.1) следует, что эта предельнаянорма равна отношению рыночных цен /> на продукты. Приведённыйрезультат играет важную роль в экономической теории.

Геометрически решение (х/>, х/>) можноинтерпретировать как точку касания линии безразличия функции полезности u(x1,x2) с бюджетной прямой p1x1+p2x2=Q. Это определяется тем, что отношение />=-/> показывает тангенс угланаклона линии уровня функции полезности, а отношение — />представляеттангенс угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительскоговыбора они равны, в этой точке происходит касание данных двух линий.

Решим задачупотребительского выбора.

Оптимальный наборпотребителя составляет 6 ед. продукта х1 и 8 ед. продукта х2. Определитецены потребляемых благ, если известно, что доход потребителя равен 240 руб. Функцияполезности потребителя имеет вид: u(x1,x2)=x/>x/>.

Решение. Следуя принципу решения, получаемсистему уравнений:

/>/>/>/>=/>, /> =/>, /> =/>,

p1x1+p2x2=240. p1x1+p2x2=240 . p1x1+p2x2=240.

Подставив, вместо х1 –6 ед., вместо х2 – 8 ед., получим: p1=10руб., p2=22.5руб.

3) Общая модель потребительского выбора.

Была рассмотрена модельпотребительского выбора с двумя продуктов и её решение с помощью методамножителей Лагранжа. Сейчас рассмотрим свойства задачи потребительского выборас произвольным числом продуктов и целевой функцией общего вида.

Пусть задана целеваяфункция предпочтения потребителя u(x1,x2, …, хn), где хi— количество i-го продукта, вектор цен pi=(p1,p2,…,pn) и доход Q.Записав бюджетное ограничение и ограничение на неотрицательность, получаемзадачу

u(x)→max (5.2)

при условии px≤Q, x≥0

(здесь x=(x1,x2, …, хn), p=(p1,p2,…,pn), px=( p1x1+…+pnxn)).

Будем считать, чтонеотрицательность переменных обеспечивается свойствами целевой функции ибюджетного ограничения. В этом случае можно записать функцию Лагранжа иисследовать её на безусловный экстремум.

L(x, λ)= u(x)+ λ ( px-Q).

Необходимое условие экстремума –равенство нулю частных производных: L/>=u/>+ λpi=0 для всех i/>[1;n] и L/>=px-Q=0. Отсюда вытекает, что для всех i в точке х/> рыночногоравновесия выполняется равенство

/> (5.3)

которое получается послеперенесения вторых слагаемых, необходимых условий в правую часть и делением i-го равенства на j-ое. Итак, в точке оптимума отношениепредельных полезностей любых двух продуктов равно отношению их рыночных цен.Равенство (5.3) можно переписать и в другой форме:

/> (5.4)

Это означает, чтополезность, приходящаяся на единицу денежных затрат, в точке оптимумаодинаковая по всем видам благ. Если бы это было не так, то по крайней мере однуденежную единицу можно было бы перераспределить так, чтобы выросло благосостояние(значение функции полезности) потребителя. Если для некоторых i, j

/>,

то некоторое количество денег можнобыло бы перераспределить от i –гопродукта к j-му, увеличив уровень благосостояния.

4) МодельСтоуна. Выведемтеперь функцию спроса для конкретной функции потребительского предпочтения,называемой функцией Р.Стоуна. Эта функция имеет вид

u(x)=/>→max (5.5)

Здесь аi – минимально необходимое количество i-го продукта, которое приобретается влюбом случае и не является предметом выбора. Для того чтобы набор {ai} мог быть полностью приобретен, необходимо, чтобыдоход Q был больше />-количество денег, необходимого для покупки этого набора. Коэффициенты степени аi>0 характеризуют относительную«ценность» продуктов для потребителя.

Добавив к целевой функции(5.5) бюджетные ограничения />≤Q, хi≥0, получим задачу, называемую моделью Стоуна.Как было сказано на стр. 36, бюджетное ограничение должно обращаться вравенство. Составим функцию Лагранжа L(x1,x2, …, хn, λ)= u(x)+ λ (p1x1+…+pnxn–Q).

Найдём частныепроизводные функции Лагранжа и приравняем их к нулю L/>= a1(x1-a1)/> ∙(x2-a2)/>∙…∙(xn-an)/>+ λp1.

Аналогично получаем остальные частныепроизводные. Т.е.

L/>=/>/> + λ pi=0, где i=/>.

Выразив xi, получим xi=ai-/>. (5.6)

L/>=/>-Q=0. Умножив каждое из равенств (5.6) на λpi и просуммировав их по i, имеем

/>=0 (5.7).

Поскольку в точке оптимума бюджетноеограничение выполняется как равенство, заменим />на Q, получим />=0.Поделив на λ, получим />=-(Q-/>). Откуда />.Полученное выражение подставляем в равенство (5.6)

xi=ai+/> (5.8)

Т.е. вначалеприобретается минимально необходимое количество продукта ai. Затем рассчитывается сумма денег, остающаяся послеэтого, которая распределяется пропорционально «весам» важности />i. Разделив количество денег на ценуpi, получаем дополнительноприобретаемое, сверх минимума, количество i- продукта и добавляем его к аi . [1]
Заключение

При написании работы мноюбыла изучена литература по данной теме. Были рассмотрены математические моделив экономике, повторены некоторые понятия функций нескольких переменных,необходимых для изучения оптимизационных задач. Также была изучена постановказадач математического программирования и методы их решения. Был рассмотренсимплексный метод, который позволяет решить любую задачу линейногопрограммирования. Для ЗЛП была рассмотрена симметричная взаимодвойственнаязадача и метод её решения с использованием теорем двойственности. Для задачинелинейного программирования был рассмотрен геометрический метод решения. Атакже рассмотрены задачи на условный экстремум.

В работе приводитсязадача потребительского выбора, решение которой сводится к решению задач наусловный экстремум. Также рассмотрен частный случай задачи потребительскоговыбора — модель Стоуна.

Мною были решены задачипо каждому виду рассмотренных оптимизационных задач. Это ЗЛП симплексным играфическим методом, решена двойственная задача, несколько задач нелинейногопрограммирования, задачи на условный экстремум методом подстановки и методоммножителей Лагранжа, задача потребительского выбора.

Я считаю, что знание этойтемы может пригодиться не только экономистам и людям, специально занимающимсяэтой наукой, но и ненаучным работникам, т.к. в жизни часто приходитсясталкиваться с решением подобного рода задач.

Библиографическийсписок

1. Замков, О.О.Математические методы в экономике: Учебник/ Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича/ О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных; МГУ им. Ломоносова.-3-е изд., перераб.– М.: Издательство «Дело и сервис», 2001

2. Ильин, В.А. Математическийанализ/ В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов. – М.: Наука, 1979

3. Красс, М.С.Основы математики и её приложения в экономическом образовании: Учебник. – 3-еизд. – М.: Дело,2002

4. Кремер, Н.Ш.Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко,И.М. Тришин, М.Н Фридман. — М.: ЮНИТИ, 2002.

5. Кремер, Н.Ш. Исследование операций вэкономике: Учебное пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин,М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,1997.

6. Малыхин, В.И. Математика в экономике:Учебное пособие.- М.: ИНФРА — Москва,2002.

7. Симонов, А.В. Об одном приложениипроизводной к решению экономических задач/ А.С. Симонов, Н.Г. Игнатьев//математика в школе №9, 2001

8. Сборник задач и упражнений по высшей математике:мат. программирование: Учеб. Пособие/ А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод;Под. общ. ред. А.В. Кузнецова – Мн.: Выш. шк., 2002

9. Сборник задач по высшей математике дляэкономистов: Учебное пособие/ Под. ред. В.И. Ермакова.- М.: Инфра – Москва, 2002.

10. Сборник задач по микроэкономике.К «Курсу микроэкономики» Р.М. Нуреева/ Гл. ред. д.э.н., проф. Р.М. Нуреев. –М.: Норма, 2003

11. Фихтенгольц, Г.М.основы математического анализа. Часть 1. 4-е изд. – СПб: издательство «Лань», 2002.

12. Онегов, В.А. Исследованиеопераций. Задачи, методы, алгоритмы. – Киров: ВГПУ, 2001.

еще рефераты

Еще работы по экономико-математическому моделированию

Реферат по экономико-математическому моделированию

Некоторые особенности психологического восприятия и визуальной интерпретации динамических процессов

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Нелинейные регрессии

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Непрямий метод оцінювання параметрів строго ідентифікованої системи рівнянь

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Норберт Винер и кибернетика

1 Сентября 2013