Реферат: Моделювання поведінки виробників та споживачів

1.  МОДЕЛІПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ

В теоріїспоживання вважається, що споживач керується принципом рацiональностi: вiнзавжди прагне максимізувати свою корисність, i єдине, що його стримує, — цеобмежений дохід:

maxu(x)                                                    (1.1)

                                             px = M                                                                                                   

де х=(х1,..., хn)′– вектор-стовпчик обсягів споживчих товарів, що придбав споживач за заданих цін;n – число різноманітних товарів; u(х) – функція корисностіспоживача; р = (p1,…,pn) – вектор-рядок цін товарів; М– обсяг доходу споживача.

Цезадача на умовний екстремум, i її розв’язок зводиться до знаходженнябезумовного екстремуму функції Лагранжа:

L(x,λ)=u(x)-λ(px-M).

Необхіднимиумовами локального екстремуму є:

/>                                                          (1.2)

/>   />                         (1.3)

Точкаекстремуму справді визначає точку максимуму, оскільки матриця Гессе U(х)=/>є вiд’ємно визначеною. Звиразу (1.3) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір />, що в цій точці відношенняграничної корисності дорівнює відношенню цін:

/>

Якщорозв’язати (1.2), (1.3) відносно />,отримаємо функцію попиту споживача:

/>

2.РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО

Розглянемо,як зміниться попит споживача, що визначається моделлю (1.1), якщо змінитьсяціна одного з товарів. Нехай ціна n-го товару зросла на />. Це приводить до такої змінипопиту на товари

/>             (2.1)

де р– вектор-рядок цін; U – матриця Гессе; /> –вектор-стовпчик попиту на товари; /> – множникЛагранжа; /> – індекс n задужками біля матриці означає, що взято й n-й стовпчик.

Проаналізуємозміст складових, що входять у рівняння (2.1).

Змінапопиту за збільшення ціни з компенсацією доходу. Нехай дохід споживача збільшився на такувеличину />, яка компенсує споживачевізбільшення ціни на n-й товар (благо) на />.

Збільшенняціни з компенсацією доходу приводить до такої зміни попиту:

 />                (2.2)

Тобтодруга складова у правій частині рівняння (2.1) — це зміна попиту, якщо зростанняціни n-го товару на /> компенсуєтьсязбільшенням доходу на />.

Змінапопиту за зміни доходу. Якщо дохід змінюється на />,то відповідно змінюється попит:

  />                                                    

/>                                             (2.3)

Об’єднуючивирази (2.1), (2.2), (2.3), отримаємо рівняння Слуцького, яке є серцевиноютеорії корисності:

/>                                         (2.4)

Оскількививчається зміна попиту за зростання ціни на n-й товар, що некомпенсується підвищенням доходу, то друга складова в (2.4) (з від’ємнимзнаком) знімає штучний приріст по спричинений компенсуючим зростанням доходу.

Ефектдоходу полягає узмiнi споживання внаслідок зміни реального доходу, яка виникла через зміну цін.

Ефектзаміщення полягаєу змiнi споживання внаслідок зміни відносних цін.

Графікпредставлено на малюнку 2.1

/>

Малюнок2.1 — Графік

3.МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ ВИРОБНИКІВ

Моделіоптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірмавипускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою).Позначимо річний випуск у натурально-речовiй формі через Х – кількість одиницьпродукту одноговиду, вектор-стовпчикможливих обсягів різних видів ресурсів черезх =(х1,..., хn)′. Тоді технологія фірми визначатиметьсяїї виробничою функцією, яка виражає зв'язок між випуском i витратами ресурсів:

Х=F(х).

Припускається,що F(х) двiчi неперервно диференційована, неокласична, i матриця їїдругих похідних є вiд’ємно визначеною.

Якщо /> –вектор-рядок цінресурсів, а р – цінапродукції, то кожному вектору витрат хвiдповiдає прибуток:

/>                                         (3.1)

У(3.1) /> –вартість річноговипуску ô³рми,або її річнийдохід, /> – витрати виробництва чивартість витрат ресурсів за рік.

Якщоне вводити інших обмежень, крім невід’ємних обсягів витрат ресурсів, то задачазнаходження максимуму прибутку набере вигляду:

/>/>                                        (3.2)

Цезадача нелiнiйного програмування з n умовами невід’ємності: /> Необхідними умовамиіснування екстремуму є умови Куна-Таккера:

/>    (3.3)

Якщов оптимальному розв’язку використовуються всi види ресурсів, тобто />, то умови (3.3) матимутьвигляд:

/>                                (3.4)

тобтов оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повиннадорівнювати його цiнi.

Розглянемозадачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат

/>                                   (3.5)

Цезадача нелiнiйного програмування з одним лiнiйним обмеженням i умовоюневiд’ємностi змінних. Побудуємо функцію Лагранжа

/>

і знайдемо її максимум за умовиневiд’ємностi змiнних. Для цього необхідно, щоб виконувались умовиКуна-Таккера:

/>                  (3.6)

Якбачимо, якщо покласти />, умови (3.6)збiгаються з умовами (3.3).