Реферат: Методы и модели в экономике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУВПО Омский государственный технический университет

Кафедра«Экономика и организация труда»

Контрольная раБОтА

подисциплине «Методы и модели в экономике»

Вариант28

Выполнил:

студент гр. ЗУТ-217

Чупраков Д. А.

Проверила:

__________ Е. Н.Казанцева

«___» ___________ 2009 г.

Омск2009

 

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1

Задача 2

Задача 3

/> <td/> />
Задача №1

1. Составитьматематическую модель задачи.

Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в двамагазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремяскладами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.

Магазины Склады №1 №2 №1 20 руб. 45 руб. №2 30 руб. 20 руб. №3 40 руб. 35 руб.

Составитьнаиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологическихспособов, чтобы получить максимум прибыли?

Решение

Введем переменные/>, представляющие собойколичество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.

Посколькусуммарные запасы />= 65 (т) исуммарные потребности />= 60(т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей),необходимо ввести фиктивный /> пунктпотребления />. Тогда транспортнаяматрица будет иметь следующий вид (табл.1).

Таблица 1-Общий вид транспортной матрицы

Пункты производства, i Пункты потребления, j Объем производства 1 2 3 1 20 45 15 2 30 20 20 3 40 35 30 Объем потребления (спрос) 25 35 5 65

Зададимцелевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортнойзадачи.

/>

Найдемопорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).

Таблица 2 –Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Пункты

производства, i

Пункты потребления, j Объем производства 1 2 3 1

20

15

45

-

-

15/0 2

30

10

20

10

-

20/10/0 3

40

-

35

25

5

30/5/0 Объем потребления 25/10/0 35/25/0 5/0 65

Опорный план />, найденный методом северо-западного угла имеетвид:

/> (т) или /> = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).

Целеваяфункция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: /> (руб.).

Итерация 1.

Шаг 1.1.Вычисление потенциалов

20

15

45

-

-

u1=0

30

10

20

10

-

u2=-10

/>

40

-

35

25

5

u3=-25

v1=20

v2=10

v3=-25

Система дляплана /> имеет вид: />

Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: v1=20, v2=10, u2=-10, v3= — 25, u3= — 25, т.е. (0; — 10; -25; 20; 10; -25).

Шаг 1.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />.

-35 -25

u1=0

/> -15

u2=-10

∆1=

10 -10 -5

u3=-25

v1=20

v2=10

v3=-25

          Таккак имеются />>0, топереходим к шагу 3.

Шаг 1.3.Составление нового плана перевозок. /> соответствует клетка К31.

-30

/>/>10

+20

/>10

∆1=

/>+40

-

-35

25

Θ =/>= 10. Составим новый планперевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1.Вычисление потенциалов

20

15

45

-

-

u1=0

30

-

20

20

-

u2=-5

/>

40

10

35

15

5

u3=-20

v1=20

v2=15

v3=-20

Система дляплана />имеет вид: />

Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).

Шаг 2.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />.

-35 -20

u1=0

/> -5 -15

u2=-5

∆1=

u3=-20

v1=20

v2=15

v3=-20

Так как всеоценки />≤0,следовательно, план /> — оптимальный.

Х оптим =(0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции:/>(руб.).

Ответ: Х оптим= (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.

Задача№2

2. Решитьграфически задачу: найти экстремумы функции />, если />, />.

Решитьсимплекс-методом

/>

РЕШЕНИЕ

а) Решимзадачу графически при

z = 3x1 – 2x2 → max

/>

/>, />.

Построим наплоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямыхс осями координат (рис.1).

x2

 

16

 

 

 

5

  />

Рис.1.Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 → max

Строим вектор/> из точки (0;0) в точку (3;-2). Точка Е (7;0) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений,через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора />. Поэтому Е – это точка максимумацелевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:

/>.

б) Решимзадачу графически при

z = 3x1 – 2x2 → min

/>

/>, />.

Построим наплоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямыхс осями координат (рис.2).

x2

 

16

 

 

 

5

  />

Рис.2.Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 → min

Строим вектор/> из точки (0;0) в точку (-3;2). Точка Е (0;1) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений,через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора />. Поэтому Е – это точка минимумацелевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:

/>.

Ответ: а)Функция z= 3x1 – 2x2 → max и равна 21 в точке(7;0).

          б)Функция z= 3x1 – 2x2 → min и равна — 2 в точке (0;1).

Задача№3

Решитьметодом потенциалов транспортную задачу, где /> – цена перевозки единицы груза из пункта /> в пункт />.

/>

Решение

Посколькусуммарные запасы />= 35 (ед.груза) и суммарные потребности />= 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело соткрытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный /> пункт производства />. Тогда транспортная матрица будет иметьследующий вид (табл.1).

Таблица 1-Общий вид транспортной матрицы

Пункты производства, i Пункты потребления, j Объем производства 1 2 3 4 1 6 8 4 2 10 2 5 6 9 8 10 3 4 2 3 8 15 4 13 Объем потребления (спрос) 5 8 15 20 48

Найдемопорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).

Таблица 2 –Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Пункты

производства, i

Пункты потребления, j Объем производства 1 2 3 4 1

6

5

8

5

4

-

2

-

10/5/0 2

5

-

6

3

9

7

8

-

10/7/0 3

4

-

2

-

3

8

8

7

15/7/0 4

-

-

-

13

13/0 Объем потребления 5/0 8/3/0 15/8/0 20/13/0 48

Опорный план />, найденный методом северо-западного угла имеетвид:

/> (ед. груза) или /> = (5; 5; 0; 0; 0; 3;7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).

Целеваяфункция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: /> (ден. ед.).

Итерация 1.

Шаг 1.1.Вычисление потенциалов

6

5

8

5

4

-

2

-

u1=0

5

-

6

3

9

7

8

-

u2=2

/>

4

-

2

-

3

8

8

7

u3=8

-

-

-

13

u4=16

v1=6

v2=8

v3=11

v4=16

Система дляплана /> имеет вид: />

Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: v1=6, v2=8, u2=2,v3=11, v4=16, u3=8, u4=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).

Шаг 1.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />.

7 14

u1=0

/> -1 6

u2=2

∆1=

-6 -2

u3=8

-10 -8 -5

u4=16

v1=6

v2=8

v3=11

v4=16

         

Так какимеются />>0, то переходимк шагу 3.

Шаг 1.3.Составление нового плана перевозок. /> соответствует клетка К14.

— 8

/>/>5

4

-

+2

/>-

+6

/>3

— 9

/>7

8

-

∆1=

2

-

+3

/>8

— 8

7

-

-

13

Θ =/>= 5. Составим новый планперевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1.Вычисление потенциалов

6

5

8

-

4

-

2

5

u1=0

5

-

6

8

9

2

8

-

u2=-12

/>

4

-

2

-

3

13

8

2

u3=-6

-

-

-

13

u4=2

v1=6

v2=-6

v3=-3

v4=2

Система дляплана /> имеет вид: />

Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: v1=6, v2=-6, u2=-12,v3=-3, v4=2, u3=-6, u4=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).

Шаг 2.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />.

-14 -7

u1=0

/> 13 6

u2=-12

∆1=

8 -2

u3=-6

4 -8 -5

u4=2

v1=6

v2=-6

v3=-3

v4=2

Так какимеются />>0, то переходимк шагу 3.

Шаг 1.3.Составление нового плана перевозок. /> соответствует клетка К21.

-6

/>/>5

8

-

4

-

+2

/>5

∆1=

+5

/>-

6

8

-9

/>2

8

-

4

-

2

-

+3

/>13

-8

2

Θ =/>=/>= 2. Возьмем /> и составим новый план перевозки.

Итерация 3.

Шаг 3.1.Вычисление потенциалов

6

3

8

-

4

-

2

7

u1=0

5

2

6

8

9

8

-

u2=1

/>

4

-

2

-

3

15

8

-

u3=7

-

-

-

13

u4=2

v1=6

v2=7

v3=10

v4=2

Система дляплана /> имеет вид: />

Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).

Шаг 3.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />.

-1 6

u1=0

/> -7

u2=1

∆1=

-5 -2 -13

u3=7

4 5 8

u4=2

v1=6

v2=7

v3=10

v4=2

Так как имеются/>>0, то переходим к шагу3.

Шаг 3.3.Составление нового плана перевозок. /> соответствует клетка К43.

-6

/>/>3

8

-

4

-

+2

/>7

+5

/>2

6

8

-9

/>0

8

-

∆1=

4

-

2

-

3

15

8

-

-

-

+0

/>-

-0

13

Θ =/>= 0. Составим новый планперевозки.

Итерация 4.

Шаг 4.1.Вычисление потенциалов

6

3

8

-

4

-

2

7

u1=0

5

2

6

8

9

-

8

-

u2=1

/>

4

-

2

-

3

15

8

-

u3=-1

-

-

13

u4=2

v1=6

v2=7

v3=2

v4=2

Система дляплана /> имеет вид: />

Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).

Шаг 4.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />.

-1 -2

u1=0

/> -8 -7

u2=1

∆1=

3 6 -5

u3=-1

4 5

u4=2

v1=6

v2=7

v3=2

v4=2

Так какимеются />>0, то переходимк шагу 3.

Шаг 4.3.Составление нового плана перевозок. /> соответствует клетка К32.

-6

/>/>3

8

-

4

-

+2

/>7

+5

/>2

-6

/>8

-9

-

8

-

∆1=

4

-

+2

/>-

-3

/>15

8

-

-

-

+0

/>0

-0

13

Θ =/>= 3. Составим новый планперевозки.

Итерация 5.

Шаг 5.1.Вычисление потенциалов

6

-

8

-

4

-

2

10

u1=0

5

5

6

5

9

-

8

-

u2=-5

/>

4

-

2

3

3

12

8

-

u3=-1

-

-

3

10

u4=2

v1=0

v2=1

v3=2

v4=2

Система дляплана /> имеет вид: />

Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).

Шаг 5.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />.

-6 -7 -2

u1=0

/> -2 -1

u2=-5

∆1=

-3 -5

u3=-1

-2 -1

u4=2

v1=0

v2=1

v3=2

v4=2

Так как всеоценки />≤0,следовательно, план /> — оптимальный.

Х оптим =(0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевойфункции:/>(ден. единиц).

Ответ: Х оптим= (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.