Реферат: Линейная регрессия

Министерство образования и наукиРоссийской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательноеучреждение высшего профессионального образования

Всероссийский ЗаочныйФинансово-Экономический институт

Филиал г. Тула

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант 8

Выполнила:

Проверил:

Тула

2008

Задача 1

По предприятиям легкойпромышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объемавыпуска продукции (/>, млн. руб.) отобъема капиталовложений (/>, млн.руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии,дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточнуюсумму квадратов; оценить дисперсию остатков />;построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимостипараметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента />

5. Вычислить коэффициент детерминации,проверить значимость уравнения регрессии с помощью />-критерияФишера />, найти среднююотносительную ошибку аппроксимации.Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднегозначения показателя /> при уровнезначимости />,если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические имодельные значения /> точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейнойрегрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Привести графикипостроенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициентыдетерминации и средние относительные ошибки аппроксимации.Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Вариант 8

17 22 10 7 12 21 14 7 20 3

26 27 22 19 21 26 20 15 30 13

Решение:

1. Уравнениелинейной регрессии имеет следующий вид:

Таблица 1

№наблюдения

X·Y

17 26 289 442

22 27 484 594

10 22 100 220

7 19 49 133

12 21 144 252

21 26 441 546

14 20 196 280

7 15 49 105

20 30 400 600

3 13 9 39

Сумма

133

219

2161

3211

Ср. значение

13,3

21,9

216,1

321,1

Найдем b:

Тогда />

Уравнение линейнойрегрессии имеет вид: ŷx=11,779+0,761x.

Коэффициент регрессиипоказывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

С увеличением объемакапиталовложений на 1 млн. рублей объем выпускаемой продукции увеличится всреднем на 761 тыс. рублей.

2. Вычислим остаткипри помощи. Получим:

Таблица 2

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение

Остатки />

24,72 1,284 1,649

28,52 -1,521 2,313

19,39 2,611 6,817

17,11 1,894 3,587

20,91 0,089 0,008

27,76 -1,76 3,098

22,43 -2,433 5,919

17,11 -2,106 4,435

27 3,001 9,006

14,06 -1,062 1,128

Сумма

219 -0,003 37,961

Найдем остаточную суммуквадратов:

Дисперсия остатков равна:

/>.

График остатков имеетследующий вид:

График 1

3. Проверимвыполнение предпосылок МНК.

· Случайныйхарактер остатков.

Случайный характеростатков εiпроверяется по графику.Как видно из графика 1 в расположении точек εiнетнаправленности (на графике полученагоризонтальная полоса). Следовательно,εi– случайные величины и применение МНКоправдано.

· Средняя величинаостатков или математическое ожидание равно нулю.

Так как расположениеостатков на графике не имеет направленности (расположены на графике в видегоризонтальной полосы), то они независимы от значений фактора xi. Следовательно, модель адекватна.

· Проверкагомоскедастичности остатков.

Выборка у нас малогообъема, поэтому для оценки гомоскедастичность остатков используем методГолдфельда — Квандта.

1) Упорядочим n = 10 наблюдений в порядкевозрастания х.

2) Разделим на двегруппы — с большим и меньшим x, идля каждой группы определим уравнения регрессии.

Таблица 3

x·y

εi=yi-ŷi

ε2

1 3 13 39 9 13,181 -0,181 0,033 2 7 19 133 49 17,197 1,803 3,251 3 7 15 105 49 17,197 -2,197 4,827 4 10 22 220 100 20,209 1,791 3,208 5 12 21 252 144 22,217 -1,217 1,481

Сумма

39 90 749 351 12,799

Ср.знач

7,8 18 149,8 70,2

x·y

εi=yi-ŷi

ε2

1 14 20 280 196 21,672 -1,672 2,796 2 17 26 442 289 24,252 1,748 3,056 3 20 30 600 400 26,832 3,168 10,036 4 21 26 546 441 27,692 -1,692 2,863 5 22 27 594 484 28,552 -1,552 2,409

Сумма

94 129 2462 1810 21,159

Ср.знач

18,8 25,8 492,4 362

3) Рассчитаем остаточныесуммы квадратов для каждой регрессии.

/>,

/>.

4) Вычислим F- распределения.

Fнабл=S2ŷ/S1ŷ =1,653.

5) Произведем сравнение Fнабл и Fтабл.

1,653<5,32 (при k1=1 и k2=n–2=10–2=8), следовательно, гетероскедастичность места неимеет, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.

· Отсутствиеавтокорреляции.

Отсутствие автокорреляциипроверяется по d-критерию Дарбина- Уотсона:

Таблица 4

εi

εi-1

εi— εi-1

(εi— εi-1)2

1,284

-1,521 1,284 -2,805 7,868

2,611 -1,521 4,132 17,073

1,894 2,611 -0,717 0,5141

0,089 1,894 -1,805 3,258

-1,760 0,089 -1,849 3,4188

-2,433 -1,760 -0,673 0,4529

-2,106 -2,433 0,327 0,1069

3,001 -2,106 5,107 26,081

-1,062 3,001 -4,063 16,508

Сумма

75,282

/> ; d=75,282/37,961=1,983.

Так как d-критерий меньше двух, то мынаблюдаем присутствие положительной автокорреляции.

· Остаткиподчиняются нормальному закону распределения.

4. Осуществитьпроверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента />

/>; />,

где />

Тогда />, />; /> и />

tтабл=2,3060 (при 10-2=8 степенях свободы);tа и tb> tтабл, что говорит о значимости параметровмодели.

5. Коэффициентдетерминации находится по формуле:

/>.

Данные возьмем из таблицы5:

Таблица 5

№

17 26 3,7 4,1 13,69 16,81 1,284 4,938

22 27 8,7 5,1 75,69 26,01 -1,521 5,633

10 22 -3,3 0,1 10,89 0,01 2,611 11,868

7 19 -6,3 -2,9 39,69 8,41 1,894 9,968

12 21 -1,3 -0,9 1,69 0,81 0,089 0,424

21 26 7,7 4,1 59,29 16,81 -1,760 6,769

14 20 0,7 -1,9 0,49 3,61 -2,433 12,165

7 15 -6,3 -6,9 39,69 47,61 -2,106 14,040

20 30 6,7 8,1 44,89 65,61 3,001 10,003

3 13 -10,3 -8,9 106,09 79,21 -1,062 8,169

Сумма

133

219

392,1

264,9

83,979

Ср. знач.

13,3

21,9

Для проверки значимостимодели используем F-критерий Фишера:

/>.

Fтабл=5,32 (k1=1, k2=8 степенями свободы);

F>Fтабл, что говорит о значимости уравнения регрессии.

Среднюю относительнуюошибку аппроксимации находим по формуле:

/>;

В среднем расчетныезначения отклоняются от фактических на 8,4%.

Поскольку найденнаясредняя относительная ошибка аппроксимации находится в интервале от 5 до 10, томожно утверждать, что модель имеет хорошее качество.

6. Ширина доверительного интерваланаходится по формулам:

где tα=1,86 приm=n-2=8 и α=0,1

Т.о.

Верхн. граница:25,173+4,34=29,513

Нижн. граница:25,173-4,34=20,833

Таблица 6

Нижняя граница Прогноз Верхняя граница 20,83 25,17 29,51

7. Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены награфике 2.

График 2

8. Составить уравнения нелинейнойрегрессии:

· Гиперболической

Уравнение показательнойкривой имеет вид: ŷ = a + b/x.

Произведем линеаризациюмодели путем заменыХ= 1/х.

Тогда уравнение приметвид:ŷ = a + bХ- линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимые длянахождения параметров приведены в таблице 6

Таблица 7

№

εi

εi2

1 26 17 0,0588 0,0035 1,5294 24,41 1,59 2,52 6,11 2 27 22 0,0455 0,0021 1,2273 25,10 1,90 3,61 7,04 3 22 10 0,1000 0,0100 2,2000 22,29 -0,29 0,09 1,33 4 19 7 0,1429 0,0204 2,7143 20,09 -1,09 1,18 5,72 5 21 12 0,0833 0,0069 1,7500 23,15 -2,15 4,63 10,24 6 26 21 0,0476 0,0023 1,2381 24,99 1,01 1,02 3,89 7 20 14 0,0714 0,0051 1,4286 23,76 -3,76 14,16 18,82 8 15 7 0,1429 0,0204 2,1429 20,09 -5,09 25,88 33,91 9 30 20 0,0500 0,0025 1,5000 24,87 5,13 26,35 17,11 10 13 3 0,3333 0,1111 4,3333 10,28 2,72 7,38 20,90

Сумма

219

133

1,0757

0,1843

20,0638

86,82

125,07

Ср.знач.

21,9

13,3

0,1076

0,0184

2,0064

Значение параметров а иb линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будетиметь вид ŷ = 27,44 – 51,47 X.

Перейдем к исходнымпеременным, получим уравнение гиперболической модели:

/>.

/>График 3

Степенная

Уравнение степенноймодели имеет вид: ŷ = a · xb

Для построения этоймодели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведемлогарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lga + b lg x

Обозначим Y = lg ŷ; A= lg a; X = lg x

Тогда уравнение приметвид: Y = A+ bX — линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры,используя данные таблицы 8:

Таблица 8

№

εi

εi2

26 17 1,4150 1,2304 1,7411 1,5140 24,545 1,45 2,12 5,60 27 22 1,4314 1,3424 1,9215 1,8021 27,142 -0,14 0,02 0,52 22 10 1,3424 1,0000 1,3424 1,0000 19,957 2,04 4,17 9,29 19 7 1,2788 0,8451 1,0807 0,7142 17,365 1,63 2,67 8,60 21 12 1,3222 1,0792 1,4269 1,1646 21,427 -0,43 0,18 2,04 26 21 1,4150 1,3222 1,8709 1,7483 26,654 -0,65 0,43 2,51 20 14 1,3010 1,1461 1,4911 1,3136 22,755 -2,76 7,59 13,78 15 7 1,1761 0,8451 0,9939 0,7142 17,365 -2,37 5,59 15,77 30 20 1,4771 1,3010 1,9218 1,6927 26,151 3,85 14,81 12,83 13 3 1,1139 0,4771 0,5315 0,2276 12,479 0,52 0,27 4,01

Сумма

219

133

13,2729

10,5887

14,3218

11,8913

37,86

74,94

Ср.знач.

21,9

13,3

1,3273

1,0589

1,4322

1,1891

Значение параметров А и bлинейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии имеетвид: Y=0,91 + 0,39X

Перейдем к исходнымпеременным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ=100,91 · x0,39

ŷ =8,13 · x0,39.

График 4

· Показательная

Уравнение показательнойкривой имеет вид: ŷ = a · bx

lg ŷ = lga + x lg b

Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a;B = lg b

Тогда уравнение приметвид: Y = A+ Bx — линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимы длянахождения параметров, приведены в таблице 9.

Таблица 9

№наблюдения

εi

εi2

1 26 17 1,4150 24,0545 289 24,564 1,436 2,06 5,52 2 27 22 1,4314 31,4900 484 29,600 -2,600 6,76 9,63 3 22 10 1,3424 13,4242 100 18,920 3,080 9,49 14,00 4 19 7 1,2788 8,9513 49 16,917 2,083 4,34 10,96 5 21 12 1,3222 15,8666 144 20,385 0,615 0,38 2,93 6 26 21 1,4150 29,7144 441 28,516 -2,516 6,33 9,68 7 20 14 1,3010 18,2144 196 21,964 -1,964 3,86 9,82 8 15 7 1,1761 8,2326 49 16,917 -1,917 3,68 12,78 9 30 20 1,4771 29,5424 400 27,472 2,528 6,39 8,43 10 13 3 1,1139 3,3418 9 14,573 -1,573 2,47 12,10

Сумма

219

133

13,2729

182,8324

2161

45,75

95,84

Ср.знач.

21,9

13,3

1,3273

18,2832

216,1

Значение параметров А и Bлинейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будетиметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.

Перейдем к исходнымпеременным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ =101,115·(100,016)x;

ŷ =13,03·1,038x.

График 5

9. Для указанных моделей найти: R2 – коэффициент детерминации и средниеотносительные ошибки аппроксимации А.

/>для всех моделей = 264,9 (см. таблицу5).

· Степенная модель(см. таблицу 8):

/>;

· Показательнаямодель (см.таблицу 9):

/>;

· Гиперболическаямодель (см. таблицу 7):

/>.

Таблица 10

Параметры

Модели

Коэффициент

детерминации R2

Средняя относительная ошибка аппроксимации А 1. Степенная 0,857 7,5 2. Показательная 0,827 9,6 3. Гиперболическая 0,672 12,5

Коэффициент детерминациипоказывает долю вариации результативного признака, находящегося подвоздействием изучаемых факторов. Чем ближе R2 к 1, тем выше качество модели.

Чем выше рассеяниеэмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняяошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошемкачестве модели.

При сравнениигиперболической, степенной и показательной моделей по данным характеристикам мывидим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R2 и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель,следовательно, ее можно считать лучшей.

Задача 2

Даны две СФМ, которыезаданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системыодновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Таблица 1

№ варианта № уравнения Задача 2а Задача 2б переменные переменные

8 1 -1

b12

b13

a12

a13

-1

b13

a11

a13

a14

2 -1

b23

a21

a22

a24

b21

-1

b23

a22

a24

b32

-1

a31

a32

a33

b31

-1

a31

a33

a34

Решение

2а) />, тогда система уравненийбудет иметь вид:

Модель имеет 3 эндогенные(y1, y2, y3) и 4 экзогенные (x1, x2, x3, x4) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое идостаточное условие идентификации.

1 уравнение:y1= b12y2+b13y3+a12x2+a13x3;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y2, y3; H=3

Отсутствующие экзогенныепеременные: х1, х4; D=2

2+1=3 — условиенеобходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют х1,х4. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьегоуравнения:

Таблица 2

Уравнение переменные

х1

х4

a21

a24

a31

Найдем определитель: />, ранг =2, следовательно,условие достаточности выполнено.

1-ое уравнениеидентифицируемо.

2 уравнение:y2= b23 y3+a21x1+a22x2+a24x4 ;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y2, y3; H=2

Отсутствующие экзогенныепеременные: х3; D=1

1+1=2 — условиенеобходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х3. Построим матрицу изкоэффициентов для первого и третьего уравнения:

Таблица 3

Уравнение переменные

х3

-1

a13

a33

Найдем определитель: />, ранг =2, следовательно,условие достаточности выполнено.

2-ое уравнениеидентифицируемо.

3 уравнение:y3= b32y2+a31x1+a32x2+a33x3;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y2, y3; H=2

Отсутствующие экзогенныепеременные: х4; D=1

1+1=2 — условиенеобходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х4. Построим матрицу изкоэффициентов для первого и второго уравнения:

Таблица 4

Уравнение переменные

х1

х4

-1

a24

Найдем определитель: />, ранг =2, следовательно,условие достаточности выполнено.

3-е уравнениеидентифицируемо.

В целом вся системауравнений является идентифицируемой.

Решение

2б) />,

Тогда система уравненийбудет иметь вид:

/> />

1 уравнение:y1= b13y3+a11x1+a13x3+a14x4;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y3; H=2

Отсутствующие экзогенныепеременные: х2; D=1

1+1=2 — условиенеобходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y2, х2. Построим матрицу из коэффициентов длявторого и третьего уравнения:

Таблица 5

Уравнение переменные

х2

-1

a22

Найдем определитель: />, следовательно, условиедостаточности НЕ выполнено.

1-ое уравнениеНЕидентифицируемо.

2 уравнение:y2= b11 y1+b23y3+a22x2+a24x4 ;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y2, y3; H=3

Отсутствующие экзогенныепеременные: x1, х3; D=2

2+1=3 — условиенеобходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют x1, х3. Построим матрицу изкоэффициентов для первого и третьего уравнения:

Таблица 6

Уравнение переменные

х3

a11

a13

a31

a33

Найдем определитель: />, ранг =2, следовательно,условие достаточности выполнено.

2-ое уравнениеидентифицируемо.

3 уравнение:y3= b31y2+a31x1+a33x3+a34x4;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y3; H=2

Отсутствующие экзогенныепеременные: х2; D=1

1+1=2 — условиенеобходимости выполнено.

Таблица 7

Уравнение переменные

х2

-1

a22

Найдем определитель: />, следовательно, условиедостаточности НЕ выполнено

3-е уравнение НЕидентифицируемо.

В целом вся системауравнений является НЕидентифицируемой, так как первое и третье уравнение – НЕидентифицируемы.

2в) По данным, используякосвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: y1=a01+b12y2+a11x1+ε1;

y2=a02+b21y1+a22x2+ε2

Таблица8

Вариант n

8 1 51.3 39.4 3 10 2 112.4 77.9 10 13 3 67.5 45.2 5 3 4 51.4 37.7 3 7 5 99.3 66.1 9 6 6 57.1 39.6 4 1

Решение

1) Структурную формумодели (СФМ) преобразуем в приведенную форму модели (ПФМ):

Для этого из второгоуравнения выражаем y2 и подставляем его в первое, а изпервого выражаем y1 и подставляем его во второе уравнение.Получим:

y1=δ11x1+ δ12x2+u1;

y2=δ21x1+ δ22x2+u2,

где u1 и u1 –случайные ошибки ПФМ.

Здесь

/> /> /> />

2) В каждомуравнение ПФМ с помощью МНК определим δ – коэффициент.

Для первого уравнения:

/>/>

/>.

Для решения системыуравнений требуются вспомогательные расчеты, которые представлены в таблице 9,10.

Таблица 9

1 51,3 39,4 3 10 2 112,4 77,9 10 13 3 67,5 45,2 5 3 4 51,4 37,7 3 7 5 99,3 66,1 9 6 6 57,1 39,6 4 1 Сумма 439 305,9 34 40 Сред. знач. 73,17 50,98 5,67 6,67

Для упрощения расчетовудобнее работать с отклонениями от средних уровней:

∆у = у — уср;∆х = х — хср

Таблица10

∆y1

∆y2

∆x1

∆x2

∆y1∆x1

∆x12

∆x1∆x2

∆y1∆x2

∆y2∆x1

∆y2∆x2

∆x22

1 -21,9 -11,6 -2,7 3,3 58,31 7,11 -8,89 -72,89 30,89 -38,61 11,11 2 39,2 26,9 4,3 6,3 170,0 18,78 27,44 248,48 116,64 170,47 40,11 3 -5,7 -5,8 -0,7 -3,7 3,78 0,44 2,44 20,78 3,86 21,21 13,44 4 -21,8 -13,3 -2,7 0,3 58,04 7,11 -0,89 -7,26 35,42 -4,43 0,11 5 26,1 15,1 3,3 -0,7 87,11 11,11 -2,22 -17,42 50,39 -10,08 0,44 6 -16,1 -11,4 -1,7 -5,7 26,78 2,78 9,44 91,04 18,97 64,51 32,11 ∑ -0,2 -0,1 -0,2 -0,2 404,03 47,33 27,33 262,73 256,17 203,07 97,33

С учетом приведенныхданных получим:

404,03 = 47,33δ11+ 27,33δ12

262,73 = 27,33δ11+ 97,33δ12

/>/>

δ12 = 0,36;

С учетом этого первоеуравнение ПФМ примет вид:

y1 = 8,33х1 + 0,36х2 +u1

Для второго уравненияопределим δ – коэффициент с помощью МНК:

/>/>

Для дальнейших расчетовданные берем из таблицы 9, 10. Получим:

256,17=47,33δ21+27,33δ22

203,07=27,33δ21+97,33δ22