Лекция: Двухфазная система

Двухфазная система массового обслуживания с неограниченным потоком требований состоит из двух ааппаратов разной производительности. В этой системе возможно образование очереди требований перед первой и второй фазами. Поступившее в систему требование сначала обслуживается на первом аппарате. Если он занят, то требование ставится в очередь. После первого аппарата требование переходит на второй аппарат, перед которым также может образовываться очередь.

Простейшие системы данного класса имеют показательный закон распределения времени обслуживания на аппаратах с параметрами m1 и m2 и пуассоновский поток поступающих требований с параметром l.

Вероятностные оценки состояния системы следующие.

1. Вероятность того, что оба канала обслуживания свободны

P0= (1–a1)(1–a2); a1 = l/m1; a2 = l/m2.

2. Вероятность того, что на первой фазе системы находится n требований, а вторая фаза свободна

Pn,0 = a1n (1–a1)(1–a2).

3. Вероятность того, что на второй фазе системы находится n требований, а первая фаза свободна

P0,n = a2n (1–a1)(1–a2).

4. Вероятность того, что на первой фазе системы находится n требований, а на второй – m требований

Pn,m = a1n a2m (1–a1)(1–a2).

4. Среднее число требований, находящихся в системе

L1 = a1n/(1–a1) + a2m/(1–a2) = L1(1) + L1(2) .

Для данного класса систем массового обслуживания решаются задачи выбора оптимального числа аппаратов в фазах, определения размеров очередей и соответствующих размеров складов, расчета пропускной способности системы и др.

Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:

J = а . (c1(1) + с1(2)) + (c2(1). Т + c2(2). Т) . Р0+ (c3(1) + c3(2)) . Т . Р0+

+ (c4(1).L1(1) + c4(2).L1(2)) . T

где а – норма амортизации; c1(i) – цена i-го канала обслуживания; c2(i) и c3(i) – текущие затраты на обслуживание работающего и простаивающего i-го канала; c4(i) – затраты на содержание ожидающих требований перед i-м каналом в единицу времени; Т – го­довой фонд рабочего времени системы.

Пример 10.7.

Участок технологического процесса включает прокатный стан и агрегат резки. На стан поступает поток заготовок, который можно считать пуассоновским с параметром 60 шт./ч. перед станом и перед агрегатом резки допускается образование очереди заготовок, ожидающих обработки. Длина штук заготовок меняется, что приводит к изменению времени их обработки на агрегатах. Статистический анализ показал, что время занятости стана и агрегата резки характеризуется экспоненциальным законом распределения с параметрами 120 и 75 шт./ч, соответственно.

Требуется оценить работу участка, если цена стана 1 млн. руб., агрегата резки – 200000 руб., текущие затраты на обслуживание работающего и стоящего агрегата на стане 200 и 120, а на агрегате резки – 25 и 5 руб./ч, соответственно. Затраты на содержание запаса металла 0,5 руб./шт.ч.

Рассмотреть влияние производительности агрегата резки на экономическую оценку работы участка.