Лекция: Производящие функции.

Пусть — числовая последовательность,

Определение., где числа называются коэффициентами, а символ называется переменной, называется формальным степенным рядом.

Обозначение: (24.1)

Любой многочлен можно считать записью формального степенного ряда, в котором все коэффициенты, начиная с какого-то номера, равны нулю.

Определение. Формальный степенной ряд называется производящей функциейпоследовательности .

Название формальный ряд для данной последовательности означает, что (24.1) мы трактуем только как удобную запись нашей последовательности — в данном случае несущественно, для каких (действительных или комплексных) значений переменной он сходится.

Если вспомнить формулу бинома Ньютона

И положить в этом равенстве, то получим

Мы видим, что является производящей функцией для чисел,. С помощью этой производящей функции можно сравнительно просто доказать многие свойства чисел .