Лекция: Производная, ее геометрический и физический смысл.

Пусть функция определена в интервале (a;b) и непрерывна в точке, и пусть. В окрестности точки выбирается произвольная точка x. Тогда разность называется приращением аргумента в точке. А разность – приращением функции. На рисунке рассмотрим секущую, проведенную через точки M и N. Угол называется углом наклона секущей, а ее угловым коэффициентом.

Из прямоугольного треугольника MPN. Если точка N будет стремиться к M вдоль данной линии, то есть, то секущая MN в пределе перейдет в касательную l , а угол наклона секущей –, в угол наклона касательной – .

Определение:

Производной функции в точке называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, т.е .

Геометрический смысл производной.

Из рассуждений, приведенных выше видно, что производная функции при равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке, т.е .