Лекция: Индексы

В разделе 5.3 мы рассмотрели линеаризацию системы в неподвижной точке. Линеаризация является локальным методом исследования: она может помочь при анализе поведения траекторий в непосредственной близости от неподвижной точки. Однако линеаризация мало пригодна, если требуется узнать, как ведут себя траектории за пределами малых окрестностей неподвижных точек. В этой части пособия представлены основы теории индексов, метода, позволяющего получить глобальную информацию о фазовом портрете. Метод индексов позволит ответить на следующие вопросы:

· Должна ли замкнутая траектория всегда окружать неподвижную точку?

· Если это так, то каков тип неподвижной точки?

· Какие неподвижные точки могут подвергаться бифуркациям?

Метод индексов также дает информацию о траекториях возле неподвижных точек высших порядков. С помощью теории индексов иногда удается доказать отсутствие замкнутых орбит в некоторых частях фазовой плоскости.

Индексом замкнутой кривой называется число оборотов вектора поля, когда точка на кривой проходит кривую целиком. Дадим более точное определение.

Пусть уравнение задает гладкое векторное поле на фазовой плоскости. Рассмотрим замкнутую кривую (Рис. 5.7.1). Эта кривая не обязательно траектория. Предполагается также, что это простая кривая (без самопересечений), и она не проходит через неподвижную точку. Тогда в каждой точке кривой определен вектор поля, задающий угол

между положительным направлением оси и этим вектором.

Пусть теперь точка совершает полный оборот по кривой против часовой стрелки. При этом угол изменяется непрерывно, т.к. векторное поле гладкое. Когда точка воз

Рис. 5.7.1

Для вычисления индекса нам не требуется все векторное поле, достаточно знать его вдоль кривой. Первые два примера иллюстрируют этот факт.

Пример 5.7.1

Найти индекс кривой если векторное поле задается как на Рис. 5.7.2.

Рис. 5.7.2

Пример 5.7.2

Векторное поле на замкнутой кривой задано как на Рис. 5.7.3. Найти .

Решение. После прохождения полного пути по кривой вектор совершит поворот на угол, поэтому .

Рис. 5.7.3

Пример 5.7.3

Векторное поле задается системой уравнений

Найти, где – единичная окружность .

Рис. 5.7.4

;

Рис. 5.7.5

Свойства индекса

Приведем наиболее важные свойства индекса.

1. Пусть кривая подверглась непрерывной деформации (без пересечения неподвижной точки) в кривую. Тогда .

Доказательство. Когда кривая непрерывно деформируется в кривую, индекс также непрерывно изменяется. Но индекс есть целое число, а если целочисленная функция непрерывна, то она константа.

2. Если внутри замкнутой кривой нет неподвижных точек, то

Доказательство. Согласно свойству 1 мы можем стянуть кривую в сколь угодно малую окружность без изменения индекса. Но на этой малой окружности все векторы поля имеют «почти» одно направление в силу предположения о гладкости. Поэтому .

3. Если поменять направление поля в каждой точке на противоположное подстановкой, то не изменится.

Доказательство. При подстановке все углы переходят в, поэтому не изменяется.

4. Если замкнутая кривая является траекторией системы, то .

Доказательство. Поскольку есть траектория, то в каждой ее точке вектор поля лежит на касательной к ней. Значит, при полном обходе кривой против часовой стрелки вектор также совершает один оборот против часовой стрелки, поэтому .

Индекс точки

Понятие индекса кривой можно распространить и на неподвижную точку. Предположим, что – изолированная неподвижная точка. Индексом неподвижной точки называется индекс любой замкнутой кривой, окружающей эту точку, при условии, что внутри контура нет других неподвижных точек.

Пример 5.7.4

Найти индексы устойчивого узла, неустойчивого узла и седла.

Решение. Векторное поле возле устойчивого узла имеет вид как ра Рис.5.7.2, поэтому. Индекс неустойчивого узла также равен 1, потому что его векторное поле получается из векторного поля устойчивого узла заменой (по свойству 3 индекс не меняется). На Рис. 5.7.3 изображено векторное поле седла. Очевидно,. Можно показать, что седло – единственная из всех известных изолированных неподвижных точек имеет индекс -1.

Индекс замкнутой кривой тесно связан с индексами неподвижных точек, расположенных внутри контура. Это подтверждает следующая теорема.

Теорема 5.7.1 Если замкнутая кривая окружает изолированных неподвижных точек,, …,, то

где есть индекс точки .

Еще одно важное свойство замкнутых траекторий формулируется в следующей теореме.

Теорема 5.7.2 Всякая замкнутая траектория может окружать неподвижные точки, если сумма их индексов равна 1.

Доказательство. Пусть – замкнутая траектория. Тогда по свойству 4, а из Теоремы 5.7.1 следует, что .

Эта теорема имеет несколько важных следствий. К примеру, из нее следует, что замкнутая орбита обязательно окружает хотя бы одну неподвижную точку. Если эта точка единственная, то она не может быть седлом.

Пример 5.7.5

Показать, что в системе конкурентной борьбы (кролики и овцы) не может быть замкнутой траектории.

Решение. В Разделе 5.4 мы рассматривали систему конкурентной борьбы

, .

Эта система имеет 4 неподвижных точки:

· – неустойчивый узел;

· – устойчивый узел;

· – седло.

Рис. 5.7.6

Пример 5.7.6

Показать, что система

не имеет замкнутых орбит.