Учебное пособие: Решение системы линейных уравнений методом Крамера и с помощью расширенной матрицы
1 ˝ ºŁ Ø ß Ł
— ææ | Ł | æ | ı | Ł | ŁØ | Ø x = x ∗ , | º |
Œ | ßı æ | ºŁ | æ | ||||
f (x ) = 0. | (1) |
´ ŁŁŁ f (x ) — Œ ºŁ Ø Œ Ł x .
¯æºŁ ŒŁ Ł æ ø æ, Ł ß æ Œ Ł -
Ł (1). ˚ ß æ æ ß, æºŁ f 0(x ∗ ) 6= 0 Ł Œ ß, æºŁ f (k ) (x ∗ ) = 0 º k = 1,...,n − 1, f (n ) (x ∗ ) 6= 0. º n ß æ Œ æ Œ .
1.1 ˛ º Ł Œ Ø
ˇ º Ł Œ Ø Ł (1) Ł º Ł æ -
Œ ª Ł º (a,b ), Œ º Ł Œ Ł. ˛æ Ø º Ł Œ Ø æº Ł
[1]. ˇ æ Œ Ł º Ł ß Œ -
Œ [a,b ], Œ ı Œ ª Ł Ł Ł ßı Œ .
ª a Ł b Ø æ ı Æß Œ c, Œ Ø Œ Ł Æ ø æ º :
f (c ) = 0, a < c < b.
¯æºŁ Œ Ł f (x ) Ł º, Ł ª º Ł
º Œ Ł Œ Ł f (x ) = 0 .
ºª Ł º Ł ºŁ æº øŁ Æ
YesDo:=True; While YesDo do
Input a,b, M; h = (b − a )/M; fmin := 1. 0e 20; xi := a; fi := f (a ); for i:=1 to M do begin {i }
x i −1 := x i; f i −1 := f i; xi := a + h ∗ i; fi := f (xi ); If fi < fmin Then begin {min }
f min := f i; x min := x i; end; {min } If fi −1 ∗ fi ≤ 0 Then
Output x i −1,f i −1, x i ,f i; end; {i }
Output f min ,x min; Input YesDo; end; {While }
1.2 ÆŁæ Œ ŁØ ÆŁæ Œ ŁØ( º Ł º ) æ æº ø Ł -
Ł ææ: Ł º a,b, Œ (fa = f (a )) · (fb = f (b )) < 0,
ºŁ æ º — xs = (a +b )/ 2 Ł ß Łæº æ fs = f (xs ). ¯æºŁ fs ·f (a ) ≥ 0, a := xs, fa := fs, Ł b := xs, fb := fs; ˜ º ß º æ æº øŁØ ł ª, Ł. .
˝ i- ł ª ŁÆºŁ ß Ł Œ æº Ł º æ (a +b )/ 2,
Œ Ø ª ł æ Ł — º æ (b − a )/ 2.
ÆŁæ Œ ŁØ Łæ æº øŁ ºª Ł [2]
1: Input a,b, δ,N ;
2: i := 0;
3: fa := f (a ); fb := f (b );
4: Repeat
5: xs := (a + b )/ 2; fs := f (xs );;
6: If fs ∗ fa ≥ 0
7: Then begin fa := fs; a := xs end;
8: Else begin fb := fs; b := xs end;
9: i := i + 1;
10: xi := (a + b )/ 2;
11: dx := (b − a )/ 2;
12: Until ((|dx | ≤ δ |xi |) OR (i ≥ N ));
13: Output i,xi ,dx ;
1.3 ı
´ ı æ º Ł Œ (a,b ) º Łæ º æ ºŁØ Ł º Ł ª Ł ßı ŁØ Œ ŁŁ f (x )
f ˆ(t ) = f (a )(1 − t ) + f (b )t, 0 ≤ t = (x − a )/ (b − a ) ≤ 1.
º ø Œ º Œ ı Ł æ Ł Ł f ˆ (t ) = 0:
t ∗ = f (a )/ (f (a ) − f (b )), xs = a + t ∗ (b − a );
˜ º Łæı Ł æ Łª ª Ł Ł º Œ, Œ Œ ÆŁæ Œ ŁØ. ı Łæ æº øŁ ºª Ł
1: Input a,b, δ,N ;
2: fa := f (a ); fb := f (b );
3: i := 0;
4: fa := f (a ); fb := f (b );
5: Repeat
6: y := x 2 − x 1;
7: t := fa/ (fa − fb ); xs := a + y ∗ t
8: fs := f (xs );;
9: If fs ∗ fa ≥ 0
10: Then begin fa := fs; a := xs end;
11: Else begin fb := fs; b := xs end;
12: i := i + 1;
13: xi := (a + b )/ 2;
14: dx := (b − a )/ 2;
15: Until ((|dx | ≤ δ |xi |) OR (i ≥ N ));
16: Output i,xi ,dx ;
ÆŁæ Œ ŁØ Ł | ı | º | Łæ | º | ª | æº | ! |
1.4 æ º Ł
¨ ª æ æ Ł ı ºŁ Ø ª Ł (1) Œ
Æߌ Ł Ł º Ł
dx/dt = f (x ), x (0) = x 0. (2)
Ł º ƺ æ Ø Ł ß º ß æ Ł ß æ æ Ł, Æß Ł t → ∞ x (t ) → x ∗. ª ŁÆºŁ ł Ł
ŁŁ (2) æ ø æ Ø Ł ª Łæº ª ( º -
æ | Æ º łŁı t ) ı ł ŁÆºŁ Ł Œ ł Ł | (1). | ||
ˇ | æ ØłŁ ºª Ł Æ Øº, º | øŁØæ | Ł | |
æ | Ø Ł ŁŁ | |||
xi +1 = xi + τf (xi ). | (3) | |||
æ | º Ł Łæ æº øŁ ºª | Ł | ||
1: | Input | x 0, τ, δ, N ; | ||
2: | i := 0; | |||
3: | Repeat | |||
4: | dx = τ ∗ f (xi ); | |||
5: | i := i + 1; | |||
6: | xi := xi + dx ; | |||
7: | Until ((|dx | ≤ δ |xi |) OR (i ≥ N )); | |||
8: | Output | i,xi ,dx ; | ||
˜º | ª ł | æ Ł ²k = xk − x ∗ Ł (3) º æ æº ²k +1 = ²k + τ (f (xk ) − f (x ∗ )). | ø | Ł |
ˇ | æ Ł | f (xk ) − f (x ∗ ) = f 0(x ˜)²k, º Ł æ ł ²k +1 = (1 + τf 0(x ˜))²k , | Ł | |
Ł Œ ª æº, º æı Ł æ Ł æ | º Ł º ß |
ß º æ æº øŁ æº Ł: æº º æ {xk ,k = 0, 1,... }º ı Ł æ ƺ æ Ł |xk −x ∗ | < R, Œ Ø Ł ª Ł-
Ł æ ı æ Ø Œ. ª ßÆ τ, º ø ª
æº Ł ,
sign (τ ) = −sign (f 0), |τ | < 2/ max|f 0|,
Æ æ Ł æı Ł æ æ º Ł .
1.5 ˝
˝ º Ł (1) Łæß æ Ł
xi +1 = xi − [df/dx ]−1f (xi ). (4)
˛ º Ł :
ª, Œ Ł g (x ) ∈ Lipc (X ), æºŁ |g (x ) − g (y )| ≤ c |x − y | º æ ı (x,y ) ∈ X .
( æı Ł æ Ł ˝ ). ˇ æ f : D → R ª D — Œ ß ßØ Ł º, R — ø æ æ ,
Ł æ f 0 ∈ Lipc (D ). ˇ º Ł, º Œ ª ρ > 0 |f 0| ≥ ρ Ł æ ı x ∈ D. ¯æºŁ Ł f (x ) = 0 Ł ł Ł, æ ø æ
Œ η > 0, Œ, æºŁ |x 0 − x ∗ | < η, æº º æ, º Ø
xk +1 = xk − f (xk )/f 0(xk ), k = 0, 1, 2,...,
æ ø æ Ł æı Ł æ Œ x ∗ . ` º ª, º k = 0, 1, 2,...
.
˙ Ł 1. ˚ Œ æº Ł ß, Ł f 0(x ∗ ) = 06 æı Ł æ Œ Ł. ¯æºŁ f 0(x ∗ ) = 0, º Œ ºŁ Ø .
˙ Ł 2. ˜º æı Ł æ Ł ˝ º ŁÆºŁ Ł x 0 º Æß æ ƺŁ Œ Œ Œ. ¯æºŁ ææ Ł |x 0−x ∗ |
ºŁŒ, ˝ Æø æı Ł æ. ˝ ºŁ æº øŁ ºª Ł
1: Input x 0, δ, N ;
2: i := 0; 3: Repeat
4: df := [df/dx ](xi );
5: dx = f (xi )/df ;
6: i := i + 1;
7: xi := xi − dx ;
8: Until ((|dx | ≤ δ |xi |) OR (i ≥ N )); 9: Output
—Łæ. 1: — ÆŁ | Ł º æŒ æ Ł Ł | ex − a − bx 3 = 0 |
1.6 æ | Ł | |
1. ´ Œ æ 1-ª | æ ª Łæ º æ Ł | |
f (x ) = exp(x ) − a − bx 3 = 0. | (5) | |
´ ŁæŁ æ Ł | ŁØ a,b | Ł Ł |
m = 0, 1, 2, 4 Œ | . ˜º Łææº Ł Œ 1-Ø | Ł Ø Œ ŁŁ |
f (x ) º ı | Ł Œ Ł Ł |
g (x ) = f 0(x ) = exp(x ) − 3bx 2 = 0. (6)
˝ Łæ Œ 1 Œ ÆŁ Ł º æŒ æ Ł a,b ƺ æ Ł æ ºŁ ß Łæº Œ Ø Ł (5).
2. ´ Œ æ 2-ª æ ª Łæ º æ Ł
f (x ) = exp(−1/ (x − 1)2 ) = 0. (7)
Ł Ł Ł æ ßØ Œ x ∗ = 1 Æ æŒ Ø Œ æ Ł( f (k ) (1) = 0, k = 0, 1,... ). ˇ Ł f 0(x ) < 0 º x < 1 Ł f 0(x ) > 0 º x > 1 .
1.7 ˚ ß Œæ Ł ß
1. ˜º Œ ŁŁ Ł (5) æ Ł a = 1. 15,b = 1. 25 Ø Ł
ª Ł ß Œ Ø. ˜º Œ ŁŁ Ł (6) æ b = 1. 25 ØŁ ª Ł ß Œ Ø Ł ŒŁ æ Ø ø æ Ø æŁ.
˚ º Ł Ł :
Œ Ł f (x ): Œ Ł( ŁÆºŁ )
x 1 = −0. 83, x 2 = 0. 14, x 3 = 1. 20, x 4 = 5. 14
Œ Ł g (x ) = f 0(x ): ŒŁ Ł Œ Ł
(−... −) − 0. 41 (+... +) 0. 75 (−... −) 4. 18 (+... +)
2. ˛ Łæ ß Ł ßł Ł(ÆŁæ Œ ŁØ, ı, æ º Ł, ˝ -
) º ŁØ δ = 1. 0e − 2, 1. 0e − 3, 1. 0e − 4, 1. 0e − 5 Ø Ł Œ Ł Œ ŁŁ (5)æ Ł Ł a = 1. 15,b = 1. 25. ˜º Łı Œ Ø æ æ Ł ƺŁ ß ŁæŁ æ Ł Łæº Ł ŁØ δ .
3. æ º Ł ß æ Ø Ł Œ Œ ŁŁ (5), Æ Ł τ, º Œ ßı æı Ł æ Ł. ˚ ŒŁ Æ º æ æı Ł æ Ł Ł ª ææ ?
4. ˝ :
æº Œ Œ æ Ł 2 ˝ æı Ł æ ºŁ Ø,. .æ ø æ
º, æº æ ª Œ. ˇ Ł, Æ ºŁ Ł ŁŁ ßØ ˝
xi +1 = xi − 2[df/dx ]−1f (xi )
Ł º Œ Œ æ Ł 2 æŒ æ æı Ł æ Ł, Ł æ ßØ º æ ª Œ. ˜º ŒŁ Łæ º Ł
h (x ) = sin((x − 1)2 ) = 0.
˜º Ł δ = 1. 0e − 7 Ø Ł Œ ª Ł æ ß Ł Ł Ł Ł ß ˝. Ł Łæº Ł ŁØ.
[1] 1ˇ ` º -˚ łŁ
[2] 2´ Ł Ł ßı Ł ºª Ł ı Łæ º æ º Œ æ Ł Ł ŁØ. ˝ -
Łı Ł Ł Ł, Łæ º æ Œ ß Ł غ it_gen.pdf