Статья: Економіко-математична модель оптимізації структури посівних площ
Задача 5.
Економіко-математична модель оптимізації структури посівних площ.
Загальна постановка задачі
В сільському господарстві земля — основний засіб виробництва. Її необхідно використовувати з максимальним економічним ефектом, постійно дбаючи про родючість. Успішне рішення задачі раціонального використання землі багато в чому залежить від обґрунтованої структури посівних площ.
Оптимальна структура посівних площ являє собою відображення спеціалізації рослинництва у вигляді такого співвідношення посівних площ по культурах, яке забезпечує отримання максимальної кількості сільськогосподарської продукції.
Постановка задачі: виходячи з виробничих ресурсів (земельних, трудових, матеріальних, тощо) визначити оптимальну структуру посівних площ, яка забезпечить виконання плану продажу продукції по видах, внутрішні потреби господарства в продукції, агрономічні та сівозмінні вимоги при максимальному економічному ефекті.
В якості критерію оптимальності може бути:
— максимум отримання прибутку від виробництва;
— максимум виробництва валової та товарної продукції в грошовому виразі;
— максимум виробництва конкретної продукції (зерна, картоплі, тощо).
Для розробки економіко-математичної моделі необхідна така інформація:
— розмір площі ріллі, сінокосів, пасовищ;
— перелік сільськогосподарських культур, що вирощуються в даній кліматичній зоні, їх можлива врожайність;
— затрати праці та коштів на 1га посіву;
— виручка від реалізації продукції (з 1га або одиниці продукції);
— наявність виробничих ресурсів в господарстві, норми витрат їх на 1га;
— потреба тварин в кормах по видах;
— план продажу та внутрішня потреба господарства по видах продукції;
— агротехнічні вимог та можливі межі входження окремої культури або групи культур в сівозміну.
Економіко-математичну модель можна представити в загальному виді.
Знайти максимум функції:
при обмеженнях:
— виробничі ресурси господарства обмежені:
— окремі культури та групи культур в сівозміну вводяться в обґрунтованих агротехнічними вимогами межах:
;
— дотримується співвідношення окремих культур (наприклад: для отримання збалансованих концентрованих кормів, страхові культури, ...):
— обмеження, на отримання продукції даного виду не менше заданої кількості:
— при умові невід’ємності змінних:
де:
— прибуток з 1га j -ї культури;
— площа посіву j -тої культури;
— затрати ресурсів i -го виду на 1га j -ї культури;
— наявність виробничих ресурсів i -го виду;
— нижня межа входження окремої культури або групи культур в сівозміну;
— верхня межа входження окремої культури або групи культур в сівозміну;
— урожайність j -тої культурі;
— необхідна кількість i -го виду продукції;
— коефіцієнти пропорційності.
Умова задачі
Господарство має 1200га оранки, на яких може вирощувати зернові та просапні культури.
Площа зернових у структурі посівних площ повинна бути від 40 до 60%, площа цукрових буряків не повинна перевищувати 15%, а площа соняшника або картоплі – не більше 10%. Площа озимих повинна бути не більше 50% від максимальної площі зернових. Площа ярої пшениці співвідноситься до площі озимої пшениці як 1:10.
Підприємство повинно виробити не менше:
— 15600ц зерна (в тому числі 7050ц пшениці);
— 10500ц цукрового буряку;
— 1050ц соняшника;
— 530ц проса або гречки.
Крім цього для галузі тваринництва необхідно:
— соломи – 17400ц;
— кукурудзи на силос (зелений корм) – 15570ц
В якості критерію оптимальності виступає прибуток від товарної продукції рослинництва.
Культури для розробки економіко-математичної моделі наведено в таблиці 7, вихідні дані взяти довільно з заданого діапазону (таблиця 1).
Розробити економіко-математичну модель, змінними в якій будуть площі під кожну культуру (Х 1, Х 2, ...,Х 8 ), валові збори культур (Х 9, Х 10, ..., Х 16 ), загальні витрати на виробництво продукції (Х 17 ), витрати на виробництво товарної продукції (Х 18 ), виручка від реалізації товарної продукції рослинництва (Х 19 ).
Таблиця 1
Культури, що будуть висіватися в господарстві
Варіант | Зернові | Просапні | ||||||
3 | озима пшениця | яра пшениця | ячмінь | гречка | просо | цукровий буряк | соняшник | кукурудза на з/к |
Таблиця 2
Вихідні дані для розробки економіко-математичної моделі
Культура | Урожайність, ц/га | Затрати на 1 га, грн. | Ціна реалізації 1ц, грн. | |
основна продукція | побічна продукція | |||
Озима пшениця | 45 | 55 | 600 | 40 |
Яра пшениця | 30 | 30 | 480 | 40 |
Гречка | 12 | 480 | 44 | |
Ячмінь | 35 | 35 | 300 | 38 |
Просо | 20 | 25 | 450 | 29 |
Цукровий буряк | 280 | 2300 | 16 | |
Соняшник | 23 | 650 | 90 | |
Кукурудза на з/к | 250 | 300 |
Рішення
На 19-ть змінних задачі накладено 25 обмежень:
1-ше обмеження стосується використання наявної площі:
1X 1 +1X 2 +1X 3 +1X 4 +1X 5 +1X 6 +1X 7 +1X 8 <=1200, де:
X 1 ,X 2, ..., X 8 – площі сільськогосподарських культур.
2-ге та 3-тє обмеження задають верхню та нижню межу насиченості сівозміни зерновими культурами, питома вага яких повинна бути від 40% до 60%.
1X 1 +1X 2 +1X 3 +1X 4 +1X 5 £720 (60%)
1X 1 +1X 2 +1X 3 +1X 4 +1X 5 ³480 (40%), де
X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ,X 5 – площі зернових культур.
4-те, 5-те та 6-те обмеження описують максимальну площу цукрових буряків, озимих та картоплі відповідно, так 4-те стосується площі цукрових буряків:
1X 6 £180 (15%), де:
X 6 – площа цукрових буряків.
7-ме обмеження характеризує співвідношення між площею посіву озимої пшениці та ярої пшениці:
1X 1 -10X 2 =0, де:
X 1 – площа озимої пшениці;
X 2 – площа ярої пшениці.
Група обмежень з 8-го по 12-те задають нижню межу виробництва певної продукції, так 8-ме обмеження характеризується валового збору зерна, який повинен бути на менше 15600 ц:
1X 9 +1X 10 +1X 11 +1X 12 +1X 13 >=15600; де:
X 9 ,X 10 ,X 11 ,X 12 ,X 13 – валові збори озимої пшениці, ярої пшениці, гречки, жита, гороху відповідно.
13-те та 14-те обмеження забезпечать задоволення потреб тваринництва в соломі та силосі відповідно, так 13-те має вигляд:
55X 1 +30X 2 +35X 4 +25X 5 >=17400; де:
X 1 ,X 2 ,X 4 ,X 5 – площі зернових культур: озимої пшениці, ярої пшениці, жита та гороху відповідно (коефіцієнти при цих змінних — урожайність соломи відповідних культур).
Обмеження з 15-го по 22-ге забезпечують зв’язок між площею посіву та валовим збором по кожній сільськогосподарській культурі, 15-те обмеження стосується озимої пшениці:
45 X 1 -X 9 =0; де:
X 1 – площа озимої пшениці (32 – урожайність озимої пшениці);
X 9 – валовий збір озимої пшениці.
23-те обмеження акумулює затрати на виробництво продукції:
600X 1 +480X 2 +30X 3 +480X 4 +450X 5 +2300X 6 +650X 7 +300X 8 – X 17=0; де:
X 1 ,X 2, ..., X 8 – площі сільськогосподарських культур (коефіцієнти при змінних – затрати на 1 га, грн.);
X 17 – загальні затрати на виробництво продукції, грн.
24-те обмеження характеризує затрати на виробництво товарної продукції:
600X 1 +480X 2 +30X 3 +480X 4 +450X 5 +2300X 6 +650X 7 – X 18=0; де:
X 1 ,X 2, X 3, X 4, X 5, X 6, X 7 – площі товарних сільськогосподарських культур (коефіцієнти при змінних – затрати на 1 га, грн.);
X 18 – загальні затрати на виробництво товарної продукції, грн.
25-те обмеження стосується виручки від реалізації товарної продукції:
40X 9 +40X 10 +38X 11 +44X 12 +29X 13 +16X 14 +90X 15 -X 19 =0; де:
X 9 ,X 10 ,X 11 ,X 12 ,X 13 ,X 14 ,X 15 – валові збори с/г культур (коефіцієнти при змінних – ціна реалізації 1 ц продукції, грн.);
X 19 – виручка від реалізації товарної продукції рослинництва, грн.
В якості критерію оптимальності виступає прибуток від виробництва товарної продукції рослинництва:
1X 19 –1X 18 -max.
Економіко-математичну модель оптимізації посівних площ можна представити в табличному вигляді.
Економіко-математична модель оптимізації структури посівних площ | |||||||||||||||||||
№ | Площі с/г культур, га | Валовий збір, ц | Затрати на виробництво продукції, грн. | Затрати на виробництво товарної продукції, грн. | Виручка від реалізації товарної продукції, грн. | Тип та розмір обмежень | № | ||||||||||||
Озимої пшениці | Ярої пшениці | Гречки | Жита | Гороху | Цукрового буряку | Картоплі | Кукурудзи на силос | Озимої пшениці | Ярої пшениці | Гречки | Жита | Гороху | Цукрового буряку | Картоплі | Кукурудзи на силос | ||||
Змінні | х1 | х2 | х3 | х4 | х5 | х6 | х7 | х8 | х9 | х10 | х11 | х12 | х13 | х14 | х15 | х16 | х17 | х18 | х19 |
Обмеження | |||||||||||||||||||
1. | Площа ріллі | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | <= | 1200 | 1 | |||||||
2. | Площа зернових max | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | <= | 720 | 2 | ||||||||||
3. | Площа зернових min | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | >= | 480 | 3 | ||||||||||
4. | Площа цукрових буряків | 1 | <= | 180 | 4 | ||||||||||||||
5. | Площа озимих | 1 | <= | 360 | 5 | ||||||||||||||
6. | Площа картоплі | 1 | <= | 120 | 6 | ||||||||||||||
7. | Співвідношення площі ярої пшениці до площі озимої | 1 | -10 | = | 7 | ||||||||||||||
8. | Збір зерна | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | >= | 15600 | 8 | ||||||||||
9. | Збір пшениці | 1 | 1 | >= | 7050 | 9 | |||||||||||||
10. | Збір цукрового буряку | 1 | >= | 10500 | 10 | ||||||||||||||
11. | Збір гречки | 1 | >= | 530 | 11 | ||||||||||||||
12. | Збір картоплі | 1 | >= | 8720 | 12 | ||||||||||||||
13. | Потреба тваринництва в соломі | 40 | 30 | 25 | 16 | >= | 17400 | 13 | |||||||||||
14. | Потреба тваринництва в силосі | 178 | >= | 15570 | 14 | ||||||||||||||
15. | Виробництво пшениці озимої | 32 | -1 | = | 15 | ||||||||||||||
16. | Виробництво пшениці ярої | 30 | -1 | = | 16 | ||||||||||||||
17. | Виробництво гречки | 9 | -1 | = | 17 | ||||||||||||||
18. | Виробництво жита | 25 | -1 | = | 18 | ||||||||||||||
19. | Виробництво гороху | 16 | -1 | = | 19 | ||||||||||||||
20. | Виробництво цукрового буряку | 226 | -1 | = | 20 | ||||||||||||||
21. | Виробництво картоплі | 190 | -1 | = | 21 | ||||||||||||||
22. | Виробництво кукурудзи | 178 | -1 | = | 22 | ||||||||||||||
23. | Витрати на виробництво продукції | 540 | 320 | 380 | 356 | 397 | 1865 | 1921 | 302 | -1 | = | 23 | |||||||
24. | Затрати на виробництво товарної продукції | 540 | 320 | 380 | 356 | 397 | 1865 | 1921 | -1 | = | 24 | ||||||||
25. | Виручка від реалізації товарної продукції | 40 | 40 | 44 | 28 | 45 | 16 | 50 | -1 | = | 25 | ||||||||
Цільова функція (прибуток), грн. | -1 | 1 | max |