Реферат: зно математика 2007 с ответами
МАТЕМАТИКА
ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 2007 РОКУ З ВІДПОВІДЯМИ ТА КОМЕНТАРЯМИ
Тест зовнішнього незалежного оцінювання з математики перевіряє:
· відповідність знань, умінь і навичок учнів програмовим вимогам;
· рівень навчальних досягнень учнів;
· ступінь підготовленості випускників загальноосвітніх навчальних
закладів до подальшого навчання у вищих навчальних закладах.
При укладанні тесту були використані підручники та посібники, рекомендовані Міністерством освіти і науки України для класів універсального, природничого, фізико-математичного профілів, а також для класів, шкіл, ліцеїв і гімназій математичного профілю та для спеціалізованих шкіл і класів з поглибленим вивченням математики.
Частина 1
ЗАВДАННЯ З ВИБОРОМ ОДНІЄЇ ПРАВИЛЬНОЇ ВІДПОВІДІ
- Розташуйте у порядку спадання числа ; ; .
А | Б | В | Г | Д |
; ; | ; ; | ;; | ; ; | ;; |
Правильна відповідь: А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дійсні числа. Порівняння чисел. Основна логарифмічна тотожність.
- Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку.
А | Б | В | Г | Д |
1150 | 1050 | 950 | 850 | 750 |
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі на відсотки.
- З натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?
А | Б | В | Г | Д |
Правильна відповідь: В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Поняття ймовірності випадкової події.
- Розв’яжіть нерівність
А | Б | В | Г | Д |
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дробово-раціональні нерівності.
- Знайдіть область визначення функції .
А | Б | В | Г | Д |
Правильна відповідь: Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: область визначення.
- Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні 4:1. Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.
А | Б | В | Г | Д |
41 | 45 | 54 | 68 | 81 |
Правильна відповідь: Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Застосування ознак подільності чисел до розв’язування задач.
- Обчисліть .
А | Б | В | Г | Д |
1 | 2 |
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень виразів, що містять тригонометричні функції.
- Розв’яжіть рівняння tg=
А | Б | В | Г | Д |
+ | інша відповідь |
Правильна відповідь: Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.
9. За видом графіка функції у = кх + b визначте знаки коефіцієнтів к іb.
Оберіть правильне твердження.
А | Б | В | Г | Д |
Правильна відповідь: Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Лінійна функція та її властивості.
- Укажіть парну функцію.
А | Б | В | Г | Д |
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: парність.
- Обчисліть
А | Б | В | Г | Д |
Правильна відповідь: А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості логарифма.
- Розв’яжіть нерівність .
А | Б | В | Г | Д |
(0; 10) | (0,1; 10) | (−10; 0) |
Правильна відповідь: Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших логарифмічних нерівностей, використовуючи властивості логарифмічної функції.
- Розв’яжіть рівняння
А | Б | В | Г | Д |
Правильна відповідь: Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших показникових рівнянь.
- Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння .
А | Б | В | Г | Д |
жодного | один | два | три | більше трьох |
Правильна відповідь: В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з модулем.
- Знайдіть первісну функції , графік якої проходить через точку з координатами (1;4).
А | Б | В | Г | Д |
Правильна відповідь: Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Первісна. Основна властивість первісної. Правила знаходження первісних.
16. На рисунку зображений графік функції та дотичні до нього в точках та . Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть .
А | Б | В | Г | Д |
1 |
Правильна відповідь: А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Геометричний зміст похідної.
- Градусна міра зовнішнього кута А рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС) становить . Знайдіть градусну міру внутрішнього кута В.
А | Б | В | Г | Д |
30о | 40о | 50о | 60о | 70о |
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивість рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника. Градусна міра кута.
- Точка М – середина сторони квадрата АВС D. Площа зафарбованої частини дорівнює 7 . Знайдіть площу всього квадрата.
А | Б | В | Г | Д |
14 | 21 | 28 | 35 | 42 |
Правильна відповідь: В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості квадрата. Площі рівних фігур.
- Знайдіть координати точки М, відносно якої симетричні точки і .
А | Б | В | Г | Д |
інша відповідь |
Правильна відповідь: А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Координати точки та симетрія відносно точки у просторі.
- Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює а см.
А | Б | В | Г | Д |
Правильна відповідь: Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму тіла обертання.
Частина 2
ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З КОРОТКОЮ ВІДПОВІДДЮ
- Обчисліть
Правильна відповідь: .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дії над ірраціональними числами.
- Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.
Правильна відповідь: 144.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Сума членів арифметичної прогресії.
- Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності
Правильна відповідь: .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів.
- На перегоні, довжина якого дорівнює , поїзд рухався зі швидкістю на
10 менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на 48 . З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?
Правильна відповідь: 60
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування текстових задач за допомогою рівняння або системи рівнянь.
- Обчисліть
Правильна відповідь: 0,5
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень тригонометричних виразів.
- Розв’яжіть рівняння . У відповідь запишіть суму коренів.
Правильна відповідь: 11 (або 8).
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування ірраціональних рівнянь.
Примітка. Враховуючи, що чинні підручники з математики для загальноосвітніх навчальних закладів по-різному тлумачать ситуацію, коли рівняння мають кратні корені, відповідь 8 також є правильною.
Розв’язання.
Знайдемо область визначення:
Рівняння рівносильне сукупності рівнянь:
звідси:
Рівняння має чотири корені, з яких два рівні між собою. Корінь не входить в область визначення. Тому 3+3+5=11.
- Розв’яжіть систему рівнянь
Запишіть у відповідь добуток , якщо пара є розв’язком вказаної системи рівнянь.
Правильна відповідь:
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь, у яких одне рівняння показникове, а інше ─ логарифмічне.
- Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?
Правильна відповідь: 32.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.
- Обчисліть
Правильна відповідь: 4.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.
- Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому система рівнянь має два розв’язки.
Правильна відповідь: 1.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.
- Знайдіть найбільше значення функції на проміжку .
Правильна відповідь: 2.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.
- Знайдіть найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння має корені.
Правильна відповідь:
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.
- Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний
добуток .
Правильна відповідь: 12,5.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.
- Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м3. Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м?
Правильна відповідь: 405.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.
35. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2см і нахилена під кутом до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.
Правильна відповідь: 12 .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури, використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.
Частина 3
ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ
36. У правильній чотирикутній піраміді SABCD ( S – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC, проведеною з вершини D, та середньою лінією трикутника ASC, що паралельна основі піраміди.
Правильна відповідь: .
Розв’язання (авторський варіант)
Нехай SABCD – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD, і SO її висота. Позначимо сторону основи АВ через а, тоді бічне ребро SA = 2a.
У трикутнику SDC з вершини D проведемо медіану DN, N – середина ребра SC. У трикутнику ASC проведемо середню лінію, паралельну AC. Вона перетинає ребра SA та SC у точках М та N відповідно, AM = MS та SN = NC (за означенням середньої лінії). Оскільки АС лежить у площині ABC і MN || AC, то MN || (ABC ). Прямі MN та ND перетинаються в точці N, тому кут MND є шуканим кутом між медіаною DN трикутника SDC і середньою лінією MN трикутника ASC. Позначимо .
Діагональ АС квадрата АВС D дорівнює , тому середня лінія MN = .
Висота SO піраміди перетинає MN в точці L. Оскільки трикутники ASC і SMN є рівнобедреними, то АО = ОС і ML = LN = .
З прямокутного трикутника .
За теоремою Фалеса SL = LO = SO = .
З прямокутного трикутника .
Трикутник DNM рівнобедрений, оскільки DM = DN як медіани рівних трикутників SAD та SCD. Медіана DL є висотою. Отже, трикутник DLN є прямокутним.
З трикутника DLN маємо:
.
Відповідь. .
Схема оцінювання
1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.
2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND ( DM= DN) учень одержує ще 1 бал.
3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для знаходження кута , він одержує ще 1 бал.
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
· Якщо учень не з’єднує точки М і Д на рисунку, а розглядає кут як кут трикутника DLN, то в цьому випадку треба обґрунтувати, що трикутник DLN – прямокутний. Тоді має місце така схема оцінювання :
1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.
2. За обґрунтування того, що учень одержує ще 1 бал.
3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для знаходження кута , він одержує ще 1 бал.
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
· Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод, то тоді має місце така схема оцінювання :
1. За правильне обґрунтування висоти SO учень одержує 1 бал .
2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал .
3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал .
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал .
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
37. Побудуйте графік функції .
Розв’язання
Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність Отже, .
Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння , звідки .
Якщо , то .
Якщо , то .
Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.
Схема оцінювання
1. За правильно знайдене учень одержує 1 бал.
2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку , то він одержує 1 бал .
3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку , то він одержує ще 1 бал .
4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал.
Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали.
38. Розв’яжіть нерівність .
Правильна відповідь: при ;
при ;
при .
Розв’язання
Визначимо область допустимих значень параметра а: .
Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:
Розв’яжемо спочатку першу систему.
Розглянемо нерівність .
.
- Якщо , то розв’язком першої нерівності даної системи буде . Тоді розв’язком нерівності буде при <<1. Тобто, розв’язок першої системи матиме вигляд при <<1.
- Якщо то розв’язком нерівності буде , а нерівність не має розв’язків. Отже, перша система не має розв’язків.
Розв’яжемо другу систему.
Розглянемо нерівність .
Ураховуючи розв’язання попередньої системи, .
1. Якщо , то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.
2. Якщо то розв’язком нерівності буде . Тоді розв’язком нерівності буде . Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд .
3. Якщо , то одержимо нерівність , звідси .
Отже, загальна відповідь: при ;
при ;
при .
Схема оцінювання
- Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а і розглянув нерівність як сукупність двох систем, то він одержує 1 бал .
- За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал.
- За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал.
- За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.
Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.
· Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів, то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:
- За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал .
- За правильно знайдені нулі функції ) з вказівкою відповідних значень параметра учень одержує 2 бали .
Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра, то учень одержує лише 1 бал .
- За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків для параметра а учень одержує 2 бали .
Якщо учень розглянув один з випадків або , то він одержує лише 1 бал .
- За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.
Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.
· Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три випадки: , а= 1, , то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:
- Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує1 бал.
- Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує2 бали.
- Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує2 бали.
- За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.
Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.