Реферат: Квазистатический метод анализа случайных процессов в нелинейных системах

МОСКОВСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Кафедра ОРТЗИ

РЕФЕРАТ на тему

«КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА СЛУЧАЙЙНЫХПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ»

по дисциплине

«Теория помехоустойчивости».

Выполнил:

Студент группы БИ 4-2

Зыков АнтонВ.

Москва- 2007

МЕТОДЫ АНАЛИЗА СЛУЧАЙЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОДЫ АНАЛИЗА

В соответствии с классификацией преобразований cл. пр., рассмотрим детерминированные нелинейныеинерционные преобразования. При таких преобразованиях интересующий нас процессна выходе нелинейной системы η(t) связан с входным процессом ξ(t) нелинейным дифференциальным уравнением. Вид этогоуравнения определяется конкретной системой или устройством.

В качестве примеров типовых нелинейныхрадиотехнических систем можно указать следующие: все автоколебательные системы(автогенераторы гармонических и импульсных колебаний), нелинейные усилители идетекторы различных видов, модуляторы, разнообразные следящие системы (фазоваяи частотная автоподстройки, дальномеры, автомагическая регулировка усиления),триггеры и др. При этом следует различать два вида или класса моделейнелинейных систем: системы, представляющие собой разные комбинации нелинейныхбезынерционных устройств

Рис. 1. Пример нелинейной системы

и линейных звеньев и системы, описываемые нелинейнымидифференциальными уравнениями.

Анализ моделей нелинейных систем первого вида посуществу сводится к раздельному пересчету вероятностных характеристик сл. пр.через нелинейные безынерционные устройства и линейные системы; правила такихпересчетов были рассмотрены ранее.

Пусть, например, требуется вычислить корреляционнуюфункцию на выходе нелинейной системы (рис. 5.1), состоящей из двух нелинейныхбезынерционных устройств, между которыми включена линейная система с импульснойхарактеристикой h(t), при нулевых начальных условиях:

<img src="/cache/referats/25524/image004.jpg" v:shapes="_x0000_i1026"> (1.1)

Отсюда видно, что для вычисления требуемойкорреляционной функции необходимо знать двумерную п. в. процесса ξ(t) на выходелинейной системы. Если принять, что входной процесс ξ(t) гауссовский, то процесс η(t) на выходе первого нелинейного элемента будетнегауссовским и задача определения двумерной п.в. pξ(ξ1,ξ2, t1, t2) может быть решена лишь приближенно. Приведенныерассуждения можно обобщить на нелинейные системы, описываемые функциональнымирядами Вольтерра .

Встречаются трудности при анализе ел. пр. в нелинейныхсистемах второго вида, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.Будем говорить, что система имеет порядок k, если она описывается дифференциальным уравнением k-го порядка. Применительно к нелинейной системепервого порядка нелинейное дифференциальное уравнение может, например, иметьвид

(1.2)

Вид функций f(•) и g(•)определяется параметрами рассматриваемой системы. Для детерминированной системы (преобразования) эти функции считаются детерминированнымии извест-Если функции fи gнелинейныотносительно η, то (2) eсть нелинейноедифференциальное уравнение первого порядка.

В том случае, когда входное воздействие ξ(t) содержит белый шум п((), уравнение принято называтьстохастическим дифференциальным уравнением. Если же ξ(t) содержит только коррелированное воздействие (cл. пр. с конечным, не нулевым интервалом корреляции),то соответствующее дифференциальное уравнение будем называть флюктуационнымдифференциальным уравнением, хотя в литературе встречаются и другие названия(уравнение Ланжевена, кинетическое уравнение}.

Формулировка задачи анализа остается прежней:предполагая известными параметры модели системы, т. е. конкретный вид уравнения(2) и необходимые вероятностные характеристики входного процесса (воздействия) ξ(t), требуется найти нужные вероятностные характеристикивыходного процесса η(t). Техарактеристики выходного процесса η(t), которые нужно находить, определяются физическимсодержанием конкретной задачи. Обычно интересуются моментами (чаще всего м. о.и корреляционной функцией) выходного процесса η(t) или же п. в. (чаще одномерной и реже двумерной).

Известно, что характер решения нелинейного дифференциальногоуравнения зависит от его вида, формы внешнего воздействия и начальных условий,причем в общем случае невозможно записать решение в квадратурах. В этом состоитсущественное отличие нелинейных инерционных преобразований ел. пр. от линейных,для которых выходной процесс выражается через входной с помощью интеграласвертки.

По этой же причине нелинейные инерционные преобразованияпринципиально отличаются от безынерционных преобразований и сводящихся к ним.При безынерционных (функциональных) преобразованиях ел. пр. известнысравнительно простые методы «пересчета» вероятностных характеристик (9). Длянелинейных инерционных преобразований не существует единого метода решения.

Метод решения нелинейных флюктуационныхдифференциальных уравнений, в частности уравнения (2), определяется двумяфакторами: 1) интенсивностью случайного воздействия !;(/) и 2) отношениеминтервала корреляции tк. воздействия к характерной постоянной времени системыtс. Приэтом, говоря об интенсивности случайного воздействия, здесь имеем в виду нефактическую величину самого сл. пр. ξ(t) (например, величину его дисперсии), а вызываемый имв системе эффект (случайный разброс). Отметим, что если система сложная ихарактеризуется несколькими постоянными времени, то в качестве времени тсследует брать минимальное из них. Аналогично, ели внешнее случайное воздействиеξ(t) характеризуется несколькими временами, то под tкследуетпонимать максимальное из них зависимости от указанных двух факторов можноуказать следующие частные случаи и соответствующие методы их рассмотрения.

1. Случайноевоздействие малой интенсивности.Вданном случае независимо от соотношения tки tсприменимметод линеаризации. Он заключается в том, что сначала находится решениеисходного нелинейного дифференциального уравнения в отсутствие малогослучайного воздействия, а затем уравнение линеаризуется относительно малыхслучайных отклонений от невозмущенных значений и делается пренебрежениенелинейными членами, содержащими эти случайные отклонения. В результате дляслучайных отклонений получается линейное дифференциальное уравнение. Методыпреобразования cл. пр. линейными системами былирассмотрены ранее.

Метод линеаризации позволяет сравнительно просто вычислитьм. о. и корреляционную функцию процесса η(t) в стационарном и нестационарном состояниях. Однакопри негауесовском возмущении ξ(t) весьматрудно (например, методом вычисления моментов) найти даже одномерную п. в. для η(t).

2. Случайноевоздействие большой интенсивности.Здесь нет единого и универсального метода решения; выбор метода зависит отсоотношения tки tс.

a. Если tс>>tки входное воздействие ξ(t) представляет собой гауссовский cл. пр, то применим хорошо разработанный аппаратмарковских процессов. В частности, для анализа поведения динамических системможно использовать известное уравнение ФПК, а задачи, связанные с достижениемграниц (срывом слежения и автозахватом), решать с помощью уравненияПон-трягина. Данный случай характерен для многих следящих радиотехническихустройств. Метод марковских процессов даже в существенно нелинейных задачах впринципе позволяет находить непосредственно п. в. выходного процесса η(t). Сложность фактического получения решения дляконкретной задачи существенно зависит от порядка дифференциального уравнения,описывающего поведение рассматриваемой системы, и вида начальных и граничныхусловий.

К настоящему времени аналитическими и численными методамиполучено много важных и оригинальных результатов в основном для одномерных идвумерных нелинейных систем. Применительно к динамическим системам, описываемымдифференциальными уравнениями третьего и более высоких порядков, частовозникают трудности в получении точных и компактных аналитических и численныхрезультатов. В подобных случаях, когда возникают затруднения, иногда можнопродуктивно воспользоваться явлением нормализации ел. пр. на выходе инерционнойсистемы. При этом заранеепринимается, что п. в. выходного-процесса является нормальной, и затем тем или иным способом вычисляются ееопределяющие параметры. В частности, если дисперсия выходного процесса мала,то ее можно определять из линеаризованного уравнения, а м. о. из нелинейного уравнения. Кроме такого метода применяюттакже квазилинейный метод (часто называемый методом статистическойлинеаризации). При его применении предполагается заранее известной п. в.выходного процесса, и поэтому он часто фактически базируется на том же явлениинормализации.

b. При tс«tкможно ограничиться решением задачи в квазистатическомприближении. Оно характеризуется тем, что в первом приближении делаетсяпренебрежение временной производной, например в уравнении (2). После этогозадача сводится к нелинейному безынерционному преобразованию

<img src="/cache/referats/25524/image008.jpg" v:shapes="_x0000_i1028"> (1.3)

Решив это уравнение относительно η(t), получим η(t) = F(t, ξ,(t)).

При квазистатическом приближении внешнее случайное воздействиесчитается настолько медленно изменяющимся, что система с определеннойдеформацией безынерционно отслеживает его. В некоторых задачах при сведенииинерционного нелинейного преобразования к безынерционному целесообразновоспользоваться методом осреднения Н. Н. Боголюбова.

в.Случай промежуточных времен корреляции (tс~t.к) являетсянаиболее сложным при анализе. Ряд нелинейных систем при таком условии можноанализировать, используя функциональное представление Вольтерра нелинейныхдифференциальных уравнений2.

Отметим, что области применения перечисленных методованализа принципиально не ограничиваются порядком нелинейного дифференциальногоуравнения. Однако с повышением порядка уравнения существенно возрастаеттрудоемкость вычислений.

В дальнейшем проиллюстрируем методику примененияразных методов на конкретных радиотехнических примерах, рассмотрение которыхпредставляет самостоятельный интерес.

2. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Общие условия применения квазистатического метода иего сущность были кратко указаны выше. Получим этим методом конкретныерезультаты применительно к детектированию

Рис. 2. Упрощенная схема типового радиоприемника

Рис. 3. Схема амплитудного детектора

ставить в виде (7.42): случайных узкополосныхпроцессов. Основными элементами типового радиоприемника являются УПЧ и детектор(рис.2). Обычно УПЧ представляет собой линейный узкополосный четырехполюсник.При воздействии на него широкополосного гауссовского шума п({) (например,собственных шумов предыдущих каскадов) и полезного гармонического сигнала 5(0выходное напряжение можно пред-

(2.1)

Для простоты предполагается, что частота полезногосигнала совпадает с центральной частотой полосы пропускания УПЧ.

Случайное напряжение ξ(t) воздействует на детектор. Найдем характеристикислучайного напряжения η(t) на выходедетектора. Проиллюстрируем методику применения квазистатистического метода напримере амплитудного детектора огибающей, схема которого изображена на рис.3.

Пусть нелинейный элемент Д (диод) имеет вольт-ампернуюхарактеристику i=g(v), v= ξ — η.Считая равным нулю внутреннее сопротивление генератора входного напряжения ξ(t) из очевидных соотношений

получим дифференциальное уравнение

<img src="/cache/referats/25524/image020.jpg" v:shapes="_x0000_i1034"> (2.2)

Поскольку назначение любого детектора в радиоприемникесостоит в возможно лучшем выделении модулирующего напряжения, то он,во-первых, должен сглаживать радиочастотные колебания и, во-вторых, напряжениена цепи КС должно успевать «следить» за изменениями модулирующего напряжения(применительно к амплитудному детектору следить за огибающей). Выполнение этихдвух условий достигается тем, что параметры детектора должны удовлетворять двумнеравенствам:

<img src="/cache/referats/25524/image022.jpg" v:shapes="_x0000_i1035"> (2.3)

-интервал корреляции огибающей В(t).

Петектор для которого выполняются эти два неравенства,принято называть детектором огибающей. Другие случаи использования детектора,когда эти условия не выполняются, здесь не рассматриваются .

Выполнение условий (3) существенно упрощает задачу исследованияпроцесса детектирования случайных сигналов, так сак при этом выходноенапряжение η(t) почти безынерционно(квазистатически) зависит от огибающей В(t).

Проинтегрируем это уравнение за период Т0:

Подставив (1) в (2)' имеем

<img src="/cache/referats/25524/image026.jpg" v:shapes="_x0000_i1037"> (2.4)

При выполнении первого условия (3) функция η(t) мало изменяется за период Т0. Поэтомуразность η(t+T0) — η(t) почти не отличается от η(t)Т0. Медленно изменяющиеся величины подзнаком интеграла можно принять приближенно постоянными, т. е. можно положить

иучитывать изменение только cos(wt' + Ψ). Поэтому (4) можно записать как

иэто уравнение затруднительно решить в общем виде. Хотя

ги переходный процесс, рассмотрим в дальнейшем

щионарноесостояние. Для стационарного состояния при

выполнениивторого неравенства (3) можно ограничиться квазистатистическим ограничением

Т.е. в левой части уравнения (5) можнопренебречь производной. После этого получимуравнение

(2.6)дающее безынерционную зависимость выходного напряжения η(t) от огибающей В(t). Здесь при интегрировании по х величины В и г)принимаются постоянными.

Таким образом, при исследовании воздействия узкополосногосл. пр. на детектор огибающей в стационарном состоянии можно ограничитьсяквазистатическим приближением, т. е. вместо точного дифференциальногоуравнения (2) можно ограничиться анализом приближенного функциональногосоотношения (6).

Для линейного детектора огибающей, имеющегохарактеристику

(2.7)

где R1— внутреннее сопротивление диода в открытом состоянии,из (о) получим

<img src="/cache/referats/25524/image034.jpg" v:shapes="_x0000_i1041"> (2.8)

Безразмерную величину А; можно назвать коэффициентомвоспроизведения огибающей.

Характерным свойством линейного детектора огибающей, вотличие от других типов амплитудных детекторов, является то, что коэффициентвоспроизведения огибающей kне зависит отзначения самой огибающей и определяется только отношением сопротивлений R/R1. После вычисления коэффициента А; вероятностныехарактеристики выходного напряжения η(t) = kВ(t) просто находятся по соответствующим характеристикамогибающей.

При квадратичном детектировании нелинейнаяхарактеристика задается выражением

<img src="/cache/referats/25524/image036.jpg" v:shapes="_x0000_i1042"> (2.9)

В данном случае формула (6) приводит к следующемурезультату:

(2.10)

Теперькоэффициент & не имеет прежнего прямого смысла, поскольку он зависит отзначения огибающей В(1).

При βRB≤0,1выполняется неравенство k«1. Полагая аrccosk=π/2 из (10)найдем

<img src="/cache/referats/25524/image040.jpg" v:shapes="_x0000_i1044"> (2.11)

напряжение пропорционально квадрату огибающей. Длябольших значений βRВ коэффициент kможно найти путем численного решения трансцендентногоуравнения (10).

Укажем,что если в схеме рис.2 за УПЧ включен идеальный ограничитель и вместоамплитудного детектора стоит фазовый или частотный детектор и для нихвыполняются условия, аналогичные (3), обеспечивающие применимость квазистатическогоприближения, то напряжение на выходе фазового детектора будет пропорциональнослучайной фазе Ψ(t) узкополосногоcл. пр. (1), а на выходе частотного детектора — пропорциональномгновенной частоте dΨ(t)/dt

ЛИТЕРАТУРА.

1 Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теориифлюктуации в радиотехнике.— М.: Сов. радио, 1961.—558с.

2 Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковскихпроцессов и их приложения: Пер. с англ./Под ред. А. Н. Ширяева.—М.: Наука,1969.—512с.

3 Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках: с англ./Подред. Р. Л. Стратоновича.— М.: Мир, 1986.— 526с.

4 Тихонов.Моделирование нелинейных систем на основе теории Вине-ра//ТИИЭР.- 1981.—Т. 69,№ 12—С. 261—269.