Реферат: Электроснабжение

СОДЕРЖАНИЕ

1. Задание.

2. Расчетно-пояснительная записка.

3. Аннотация.

4. Ведение.

5. Теория.

6. Алгоритмы.

7. Программы.

8. Инструкция пользователя.

9. Результаты экспериментов.

10.Заключение.

ЗАДАНИЕ

A.Выписать систему конечно-разностных уравнений.

B.Оценить вычислительные затраты, требуемые для выполнения аналитических решений с шестью десятичными цифрами в 100 и 1000 точках интервала. Определить и использовать разложение в ряд Тейлора для этих вычислений.

C.Оценить до проведения любых вычислений те вычислительные затраты, которые потребуются для решения конечно-разностных уравнений в 100 и 1000 точках при помощи:

1. Исключения Гаусса,

2.Итерационного метода Якоби,

3.Итерационного метода Гаусса-Зейделя.

D. Вычислить решения конечно-разностных уравнений при помощи каждого из трех методов из задания C.

E. Оценить применимость различных методов приближен-ного решения краевых задач для дифференциальных уравнений.

АННОТАЦИЯ

В данной работе по исследованию прямых и итерационных методов решения линейных систем , возникающих в краевых задачах для дифференциальных уравнений было составлено шесть программ непосредственно по алгоритмам Гаусса , Якоби , Гаусса-Зейделя . Каждый из методов был представлен в виде самостоятельной программы , которая имеет инструкцию для пользователя . Каждая программа работает по определенному управлению , причем программа Гаусса формирует матрицу сама , а в программах Якоби и Гаусса-Зейделя вводится только количество точек на интервал , исходя из чего формируется столбец неизвестных членов . Начальные значения неизвестных задаются автоматически на основе результатов , полученных в ходе исследования были сделаны соответствующие выводы .

ВВЕДЕНИЕ

Персональные компьютеры являются одним из самых мощных факторов развития человечества . Благодаря универсальности , высокому быстродействию , неутомимостью в работе , простоте в управлении PC нашли широкое применение в различных сферах деятельности человека .

С развитием научно-технического прогресса все большая часть задач требует решения на ЭВМ , поэтому наш курсовой проект направили на развитие не только определенных навыков логического мышления , но и способность развивать и закреплять эти навыки .

ТЕОРИЯ

Дискретизация обыкновенных дифференциальных уравнений конечными разностями приводит к линейным уравнениям ; если рассматривается краевая задача , то уравнения образуют совместную линейную систему .

Прямым методом решения линейной системы называется любой метод , который позволяет получить решение с помощью конечного числа элементарных арифметических операций : сложения , вычитания , деления и т . д . Этот метод основан на сведении матрицы , системы A к матрице простой структуры — диагональной (и тогда решение очевидно ) и треугольной — разработка эффективных методов решения таких систем . Например , если А является верхней треугольной матрицей :

;

решение отыскивается с помощью последовательных обратных подстановок . Сначала из последнего уравнения вычисляется , затем полученные значения подставляются в предыдущие уравнения и вычисляется и т.д.

; ;

или в общем виде :

, i=n, n-1, ..., 1.

Стоимость такого решения составляет сложений умножений(а также и делении , которыми можно пренебречь).

Сведение матриц А к одному из двух указанных выше видов осуществляется с помощью ее умножения на специально подобранную матрицу М , так что система преобразуется в новую систему .

Во многих случаях матрицу М подбирают таким образом , чтобы матрица МА стала верхней треугольной .

Прямые методы решения СЛУ нельзя применять при очень больших, из-за нарастающих ошибок, округлениях, связанных с выполнением большого числа арифметических операций. Устранить эти трудности помогают итерационные методы. С их помощью можно получить, начиная с вектора , бесконечную последовательность векторов, сходящихся к решению системы( m — номер итерации )

.

Метод является сходящимся, если это состояние справедливо для произвольного начального вектора .

Во всех методах, которые рассмотрены ниже, матрица А представляется в виде А=М- N ( ниже показано, как это наполняется ) и последовательно решаются системы

.

Формально решением системы является :

где — обратная матрица. Решение итерационным методом упрощается еще и потому, что на каждом шагу надо решать систему с одними и теми же матрицами. Очевидно, что матрица М должна быть легко обращаемой, а для получения желаемой точности надо выполнить определенное число итераций.

Критерием окончания итерационного процесса является соблюдение соотношения :

или ,

где — вектор невязок уравнений , и и — допустимая погрешность СЛУ по неувязке или приращению вектора неизвестных на итерации.

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Многие физические системы моделируются дифферинци-альными уравнениями, например :

которые не могут быть решены аналитически. Приближение этих уравнений конечными разностями основано на дискредитации интервала [0,1] как показано на рис.1 и замене производной.

простой разностью, например :

где, 0,2=1 / 5= X4 -X3 .

Тогда аппроксимирующее разностное уравнение имеет вид:

В каждой точке дискретизации справедливо одно такое уравнение, которое приводит к линейной системе для приближенных значений решения дифференциального уравнения.

Уравнения такого вида можно решить с помощью разложения в ряд Тейлора. В нашем случае уравнения решенные разложением в ряд Тейлора имеют вид;

Найти

y’(0); y’’(0)=1; y’’’(0)=1;

обозначим у ’ (0) как С.

Решение:

Решение:

Система конечно-разностных уравнений

интервал [0,2] разделим на 10 точек

-2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.04

1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0.04

0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0.04

0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0.04

0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0.04

0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0.04

0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0.04

0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0.04

0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0.04

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 -2+0.04

5 точек.

	1
1		1
1		1
1		1
1

АЛГОРИТМ ГАУССА

Назначение: Решить относительно Х.

Входные параметры: masheps R, nZ,

Вектор правых частей .

Входно — выходные параметры ,

после разложения в А сохраняются ее верхние треугольные сомножители ,.

Код возврата retcode=0 при успешном решении и retcode=1 при вырождении матрицы.

Выходные параметры: .

Алгоритм

1. retcode=0

2. if n=1 then

2.1 if A[1,1]=0 then retcode=1

2.2 return

(*Гауссово исключение с частичным выбором ведущего элемента*)

3. for k=1 to n do (*найти ведущий элемент*)

3.1 Amax <= |A[k,k]|

3.2 Imax <= k

3.3 for i=k+1 to n do

3.3.1 if |[i,k]| > Amax then

3.3.1.1. Amax <= |A[i,k]|

3.3.1.2. Imax <= 1

(* проверка на вырожденность*)

3.4. if Amax < masheps *n then

3.4.1. retcode<=1

3.4.2. return

3.5. if Imax<> k then

3.5.1. Amax <= A[Imax,k]

3.5.2. A[Imax,k] <= A[k,k]

3.5.3. A[Imax,k] <= Amax

3.7. for i=k+1 to n do A[i,k] <= A[i,k]/Amax

(*перестановка и исключение по столбцам*)

3.8. for j=k+1 to n do

3.8.1. Amax<=A[Imax,j]

3.8.2. A[Imax,j]<=A[k,j]

3.8.3. A[k,j]<=Amax

3.8.4. if Amax<>0 then

for i=k+1 to n do

A[i,j]<=A[i,j]-A[i,k]*Amax

4. if retcode=0 then (* разложение успешно*)

(*решить СЛУ Ly=b и Vx=y *)

5. for i=2 to n do

6. for k=n downto 1 do

return

end.

АЛГОРИТМ ЯКОБИ

Входные параметры: — вектор начальных значений Х, после окончания решения с заданной точностью.

Код возврата: retcode=0 при успешном решении u=1, при не успешном решении превышение допустимого числа итераций.

Память: Требуется дополнительный массив для хранения невязок.

Алгоритм

retcode=1

for Iter=1 to maxiter do (* расчет вектора невязок*)

rmax=0

for i=1 to n do

(* проверка на окончание итерационного процесса*)

if rmax<eps then do retcode=0

return

(* найти улучшенное решение*)

for i=1 to n do

x[i]=x[i]+r[i]/A[i,j]

АЛГОРИТМ ГАУССА-ЗЕЙДЕЛЯ

Входные параметры:

( релаксационный коэффициент )

— точность решения,

maxiter- максимальное число итераций.

Входно- выходные параметры: — вектор начальных значений X, после окончания; решение с заданной точностью.

Алгоритм

retcode=1

for iter=1 to maxiter do

rmax=0

(* улучшить решение *)

for i=1 to n do

(* проверка на окончание итерационного процесса*)

if rmax<eps then

retcode=0

return

program GAUS1(input,output);

type

matrix=array[1..100,1..100] of real;

vektor=array[1..100] of real;

var

a:matrix;

x,b,y:vektor;

n:integer;

ret_code:integer;

procedure geradlini(var a:matrix;var b,y:vektor;var n:integer);

var

s:real;j,i:integer;

begin

for i:=1 to n do

begin

s:=0;

for j:=1 to (i-1) do

s:=s+a[i,j]*y[j];

y[i]:=b[i]-s;

end;

end;

procedure ruckgang(var a:matrix;var y,x:vektor;var n:integer);

var

s:real;i,j:integer;

begin

s:=0;

for i:=n downto 1 do

begin

s:=0;

for j:=(i+1) to n do

s:=s+a[i,j]*x[j];

x[i]:=(y[i]-s)/a[i,i];

end;

end;

procedure vvod(var a:matrix;var b:vektor;var n:integer);

var

i,j:integer;

q:real;

begin

writeln('Введите количество точек на интервал: ');

readln(n);

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

a[i,j]:=0;

a[i,i]:=(-2);

end;

for i:=1 to (n-1) do

a[i,i+1]:=1;

for i:=2 to n do

a[i,i-1]:=1;

q:=sqr(2/n);

for i:=1 to n do

if i<>n then b[i]:=q else b[i]:=(q-2);

end;

procedure triangul(var a:matrix;var b:vektor;

var ret_code:integer;n:integer);

label 1;

var

eps,buf,max,c:real;

k,imax,i,j:integer;

begin

ret_code:=1;

eps:=1;

buf:=1+eps;

while buf>1.0 do

begin

eps:=eps/2;

buf:=1+eps;

end;

buf:=n*eps;

for k:=1 to (n-1) do

begin

max:=a[k,k];

imax:=k;

for i:=k to n do

if a[i,k]>max then

begin

max:=a[i,k];

imax:=i;

end;

if a[imax,k]>buf then

begin

for j:=1 to n do

begin

c:=a[imax,j];

a[imax,j]:=a[k,j];

a[k,j]:=c;

end;

c:=b[imax];

b[imax]:=b[k];

b[k]:=c;

for i:=(k+1) to n do

begin

a[i,k]:=a[i,k]/a[k,k];

for j:=(k+1) to n do

a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*a[k,j];

end;

end

else

begin

ret_code:=0;

goto 1

end;

1: end;

end;

procedure vivod(var x:vektor;var n:integer);

var

i:integer;

begin

for i:=1 to n do

writeln('x',i:1,'=',x[i],' ');

end;

begin

vvod(a,b,n);

triangul(a,b,ret_code,n);

if ret_code=1 then

begin

geradlini(a,b,y,n);

ruckgang(a,y,x,n);

vivod(x,n);

end

else

writeln('Матрица вырожденна');

end.

program GAUS2(input,output);

type

matrix=array[1..100,1..100] of real;

vektor=array[1..100] of real;

var

a:matrix;

x,b,y:vektor;

n:integer;

ret_code:integer;

procedure geradlini(var a:matrix;var b,y:vektor;

var n:integer);

var

s:real;j,i:integer;

begin

for i:=1 to n do

begin

s:=0;

for j:=1 to (i-1) do

s:=s+a[i,j]*y[j];

y[i]:=b[i]-s;

end;

end;

procedure ruckgang(var a:matrix;var y,x:vektor;

var n:integer);

var

s:real;i,j:integer;

begin

s:=0;

for i:=n downto 1 do

begin

s:=0;

for j:=(i+1) to n do

s:=s+a[i,j]*x[j];

x[i]:=(y[i]-s)/a[i,i];

end;

end;

procedure vvod(var a:matrix;var b:vektor;

var n:integer);

var

i,j:integer;

q:real;

begin

writeln('Введите количество точек на интервал: ');

readln(n);

q:=(-2+sqr(0.5/n)*(sqr(4*arctan(1))/4));

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

a[i,j]:=0;

a[i,i]:=(q);

end;

for i:=1 to (n-1) do

a[i,i+1]:=1;

for i:=2 to n do

a[i,i-1]:=1;

for i:=1 to n do

if i<>n then b[i]:=0 else b[i]:=(-sqr(2)/2);

end;

procedure triangul(var a:matrix;var b:vektor;var ret_code:integer;

n:integer);

label 1;

var

eps,buf,max,c:real;

k,imax,i,j:integer;

begin

ret_code:=1;

eps:=1;

buf:=1+eps;

while buf>1.0 do

begin

eps:=eps/2;

buf:=1+eps;

end;

buf:=n*eps;

for k:=1 to (n-1) do

begin

max:=a[k,k];

imax:=k;

for i:=k to n do

if a[i,k]>max then

begin

max:=a[i,k];

imax:=i;

end;

if a[imax,k]>buf then

begin

for j:=1 to n do

begin

c:=a[imax,j];

a[imax,j]:=a[k,j];

a[k,j]:=c;

end;

c:=b[imax];

b[imax]:=b[k];

b[k]:=c;

for i:=(k+1) to n do

begin

a[i,k]:=a[i,k]/a[k,k];

for j:=(k+1) to n do

a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*a[k,j];

end;

end

else

begin

ret_code:=0;

goto 1

end;

1: end;

end;

procedure vivod(var x:vektor;var n:integer);

var i:integer;

begin

for i:=1 to n do

writeln('x',i:1,'=',x[i]);

end;

begin

vod(a,b,n);

triangul(a,b,ret_code,n);

if ret_code=1 then

begin

geradlini(a,b,y,n);

ruckgang(a,y,x,n);

vivod(x,n);

end

else

writeln('Матрица вырождена ');

end.

program jakobi1(input,output);

type

vektor=array[1..100] of real;

var

r,y:vektor;

z,ret_code,maxiter:integer;

eps:real;

procedure vvod(var z,maxiter:integer;var eps:real);

begin

writeln('Введите кол-во точек на интервал');

readln(z);

writeln('Введите точность');

readln(eps);

writeln('Введите кол-во итераций');

readln(maxiter);

end;

procedure ren(var r,y:vektor;var z,ret_kode,maxiter:integer;var eps:real);

label 1;

var

iter,i:integer;

rmax,q:real;

begin

q:=sqr(2/z);

for i:=1 to z do

y[i]:=1;

ret_code:=0;

for iter:=1 to maxiter do {c.1}

begin

rmax:=0;

for i:=1 to z do {c.2}

begin

if i=1 then

begin

r[i]:=q-(-2*y[1]+y[2]);

if rmax<abs(r[i]) then

rmax:=abs(r[i]);

end;

if i=z then

begin

r[z]:=(-2+q)-(y[z-1]-2*y[z]);

if rmax<abs(r[i]) then

rmax:=abs(r[i]);

end;

if(i<>1)and(i<>z) then

begin

r[i]:=q-(y[i-1]-2*y[i]+y[i+1]);

if rmax<abs(r[i]) then

rmax:=abs(r[i]);

end;

end;{c.2}

if rmax<=eps then

goto 1

else

for i:=1 to z do

y[i]:=y[i]+r[i]/(-2);

end; {c.1}

ret_code:=1;

1:

end;

procedure vivod(var y:vektor;var z:integer);

var

i:integer;

ch:char;

begin

for i:=1 to z do

writeln('y',i:1,y[i]);

end;

begin

vvod(z,maxiter,eps);

ren(r,y,z,ret_code,maxiter,eps);

if ret_code=0 then

vivod(y,z)

else

writeln('Превышено допустимое число итераций');

end.

program jakobi2(input,output);

type

vektor=array[1..100] of real;

var

r,y:vektor;

z,ret_code,maxiter:integer;

eps:real;

procedure vvod(var z,maxiter:integer;var eps:real);

begin

writeln('Введите кол-во точек на интервал');

readln(z);

writeln('Введите точность');

readln(eps);

writeln('Введите кол-во итераций');

readln(maxiter);

end;

procedure ren(var r,y:vektor;var z,ret_kode,maxiter:integer;var eps:real);

label 1;

var

iter,i:integer;

rmax,q:real;

begin

q:=sqr(2/z);

for i:=1 to z do

y[i]:=1;

ret_code:=0;

for iter:=1 to maxiter do

begin

rmax:=0;

for i:=1 to z do

begin

if i=1 then

begin

r[i]:=q-(-2*y[1]+y[2]);

if rmax<abs(r[i]) then

rmax:=abs(r[i]);

end;

if i=z then

begin

r[z]:=(-2+q)-(y[z-1]-2*y[z]);

if rmax<abs(r[i]) then

rmax:=abs(r[i]);

end;

if(i<>1)and(i<>z) then

begin

r[i]:=q-(y[i-1]-2*y[i]+y[i+1]);

if rmax<abs(r[i]) then rmax:=abs(r[i]);

end;

end;

if rmax<=eps then goto 1

else

for i:=1 to z do

y[i]:=y[i]+r[i]/q;

end;

ret_code:=1;

1:end;

procedure vivod(var y:vektor;var z:integer);

var

i:integer;

begin

for i:=1 to z do

writeln('y',i:1,y[i]);

end;

begin

vvod(z,maxiter,eps);

ren(r,y,z,ret_code,maxiter,eps);

if ret_code=0 then vivod(y,z)

else

write('Превышено допустимое число итераций');

end.

program zeidel1(input,output);

type

vector=array[1..1000] of real;

var

y:vector;

z,retcode,maxiter:integer;

eps:real;

procedure wod(var z,maxiter:integer;var eps:real);

begin

writeln;

writeln('введите количество точек на интервал ');

readln(z);

writeln('введите точность ');readln(eps);

writeln('введите количество итераций ');readln(maxiter);

writeln('коофицент релаксации W, принят равный 1');

end;

procedure reshen(var y:vector;var z,retcode,maxiter:integer;var eps:real);

label 1;

var

Iter,I:integer;R,Rmax,Q:real;

begin

Q:=sqr(2/z);

for i:=1 to z do y[i]:=1;

retcode:=1;

for Iter:=1 to maxiter do

begin

Rmax:=0;

for i:=1 to z do

begin

if i=1 then

begin

R:=Q-(-2*y[1]+y[2]);

if Rmax<Abs(R) then Rmax:=abs(R);

y[i]:=y[i]+R/(-2);

end;

if i=z then

begin

R:=(-2+Q)-(y[z-1]-2*y[z]);

if Rmax<ABS(R) then Rmax:=ABS(R);

y[i]:=y[i]+r/(-2);

end;

if (I<>1) and (i<>z) then

begin

r:=Q-(y[i-1]-2*y[i]+y[i+1]);

if Rmax<abs(r) then Rmax:=abs(r);

y[i]:=y[i]+R/-2;

end;

end;

if Rmax<=eps then

begin

retcode:=0;

goto 1;

end;

end;

1: end;

procedure vivod(var y:vector;var z:integer);

var

i:integer;

begin

for i:=1 to z do

write('y',i:2,'=',y[i]);

end;

begin

wod(z,maxiter,eps);

reshen(y,z,retcode,maxiter,eps);

if retcode=0 then vivod(y,z)

else

write('число итераций');

end.

program zeidel2(input,output);

type

vector=array[1..1000] of real;

var

y:vector;

z,retcode,maxiter:integer;

eps:real;

procedure wod(var z,maxiter:integer;var eps:real);

begin

writeln;

writeln('введите количество точек на интервал ');

readln(z);

writeln('введите точность ');readln(eps);

writeln('введите количество итераций ');readln(maxiter);

writeln('коофицент релаксации W, принят равный 1');

end;

procedure reshen(var y:vector;var z,retcode,maxiter:integer;var eps:real);

label 1;

var

Iter,I:integer;R,Rmax,Q:real;

begin

Q:=(-2+sqr(0.5/z)*sqr(4*arctan(1))/4);

for i:=1 to z do y[i]:=1;

retcode:=1;

for Iter:=1 to maxiter do

begin

Rmax:=0;

for i:=1 to z do

begin

if i=1 then

begin

r:=-(q*y[1]+y[z]);

if Rmax<Abs(R) then Rmax:=abs(R);

y[i]:=y[i]+R/q;

end;

if i=z then

begin

r:=-sqrt(z)/2-(y[z-1]+q*y[z]);

if Rmax<ABS(R) then Rmax:=R;

y[i]:=y[i]+r/q;

end;

if (I<>1) and (i<>z) then

begin

r:=-(y[i-1]+q*y[i]+y[i+1]);

if Rmax<abs(r) then Rmax:=r;

y[i]:=y[i]+R/q;

end;

end;

if Rmax<=eps then

begin

retcode:=0;

goto 1;

end;

end;

1: end;

procedure vivod(var y:vector;var z:integer);

var

i:integer;

begin

for i:=1 to z do

writeln (i:1,'=',y[i],);

end;

begin

wod(z,maxiter,eps);

reshen(y,z,retcode,maxiter,eps);

if retcode=0 then vivod(y,z)

else

write('число итераций');

end.

ИНСТРУКЦИЯ ДЛЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ

Программа Jacobi1 предназначена для решения уравнений . Jacobi2 для решения уравнений , методом конечных разностей находят значение в точках интервала (0.2) максимальное количество точек на интервал 1000. Используется массив для хранения значений вектора невязок . В процедуре reshen находится вектор невязок r [ i ] . Для первого и последнего уравнения системы находят вектора невязок различными способами. Для остальных уравнений системы вектор невязок находится одинаково. Сама матрица не формируется, т.е. для нахождения вектора невязок ее не нужно, это видно из текста программы.

Программы Zeidel1 и Zeidel2 , также решают уравнения и . Отличия от Jacobi состоит только в том, что отсутствует массив для вектора невязок. Программы Gaus1 и Gaus2 также решают эти уравнения, только методом Гаусса. В процедурах vvod задается количество точек на интервал( max=100) и формируются матрицы в зависимости от уравнения. Процедура triangul разлагает матрицу А на две треугольные. Процедура geradlini — прямой ход метода Гаусса. Процедура ruckgang — обратный ход. Процедура vivod — выводит значения .

Вычисление уравнений с помощью итерационного метода Якоби требует времени t=0(maxiter Z) , где Z — количество точек на интервал, а maxiter — количество итераций.

Вычисление уравнений с помощью метода Гаусса требует времени t=0( ) , где N — количество точек на интервал.

Решение с помощью метода Гаусса требует больше времени чем решения другими двумя приведенными способами.