Реферат: Операции над множествами

§2. Операции над множествами.


Рассмотрим некоторые операции над множествами.


2.1 Пересечение множеств.

Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} иB={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

Определение 1.4
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: АВ, где символ  - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:


Р=АВ= {x xA и xB}={x  xA  xB}. (1)


Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:


(2)


Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак  (конъюнкция, или логическое “и”):


xAB  xA  xB (2а)


Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:


(3)


где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком  (дизъюнкция, логическое “или”):


хАВ  хА  хВ. (3а)


Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 710 (пересечение заштриховано).





рис. 7 рис. 8 рис. 9 рис. 10


^ 2.2 Объединение множеств.

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 1.5

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А  В, где  - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:


С= А  В={x xA или xB}. (4)


Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой


(5)


а также знаком дизъюнкции


х А  В  хА  хВ. (5а)


Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:


(6)

или


x AB  xA  xB. (6а)


Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).




рис. 11 рис. 12 рис. 13 рис. 14


Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:


АА=А, А=А, АU=U. (7)


Замечание1.

Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:


Р= А1 А2… Аn={x  x Ai, i=},


Где символ  (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств Ai, которая принадлежит каждому множеству одновременно.


Замечание 2.

Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:


C= A1A2…An={x  xA1 или xA2 или …или xAn}.


Замечание 3.

Если в выражении есть знаки  и  и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).


^ 2.3 Разность множеств.

Определение 1.6
Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Символически разность двух множеств обозначается так:

А  В, где символ  является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:


C=A  B={x  xA и xB} (8)


Или

(9)


а также xAB  xA  xB. (9а)


Пример 1.


Если E1={2; 4; 6} и E2={6; 8; 10}, то E3=E1E2={2; 4}, E4=E2E1={8;10}.


Пример 2.


Если M1={x1; x2; x3}, M2={y1; y2}, то M3=M1M2={ x1; x2; x3},

M4=M2M1={y1; y2}.


Пример 3.


Если K1={1; 3; 5; 7; 9}, K2={5; 7; 1}, то K3=K1K2={3; 9}, K4=K2K1=.

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15÷18, где множество А  В заштриховано.




рис. 15 рис. 16 рис. 17 рис. 18


^ 2.4 Дополнение к множеству.
Определение 1.7
Пусть В  А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или .

Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .

Определение 1.8
Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .

Это определение может быть записано в виде:


= {x  xA}. (10)


Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.


U

U


A


A


B

рис. 19 рис. 20