Реферат: Содержание

ФРАКТАЛЫ

Содержание:

1.Историявозникновенияфракталов.

2.Свойствафракталов.

3.Классификацияфракталов:

-геометрические;

-алгебраические;

-стохастические.

5.Применениефракталов.

6.Заключение.





1.Историявозникновенияфракталов.

“Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, горы — это не конусы, линяя берега — это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно”.

Бенуа Мандельброт.




Долгоевремяматематикипыталисьнайтизакономерностьвявленияхобразованияформ.Впоследнеевремя,послерожденияфрактальнойгеометриииразвитиякомпьютернойграфикимногиезаинтересовалисьфрактальнойструктуроймногихпроцессов,каквматематике,такивпоэзии,живописи,истории,биологии,физикеимногихдругихотрасляхзнаний.

Такчтожетакоефрактал?Фрактал(лат. fractus — дробленый) — термин,означающийгеометрическуюфигуру,обладающуюсвойствомсамоподобия,тоестьсоставленнуюизнесколькихчастей,каждаяизкоторыхподобнавсейфигурецеликом.Фракталнеестьконечнаяформа(еениктоневидел),аестьзаконпостроенияэтойформы.Можносказать,чтофрактал – этогенформообразования.
В 1922 году английский математик и метеоролог Льюис Фрай Ричардсон (1881 – 1953) опубликовал работу, посвященную математическим моделям предсказания погоды. В которой, между прочим, пародировал стихи Джонатана Свифта:
«Живетблохукусающаяблошка;

Наблошкетойблошинка-крошка,

Вблошинкужевонзаетзубсердито

Блошиночка,итакadinfinitum»

( «ad infinitum» в переводе с латыни – «до бесконечности»).

Ричардсон обратил внимание на то, что в «ожесточенном пении ветров» есть порядок. При исследовании турбулентности (хаотических вихрей) воздушных потоков он обнаружил каскад энергии – от больших вихрей к малым, то есть своеобразную гармонию: маленькие вихри возникают внутри больших и как бы повторяют их форму и поведение.

Заболоцкий искал в природе «разумную соразмерность», но представлял ее себе согласно классическим канонам – по Евклиду; а оказалось, что эта соразмерность имеет другую геометрию, о которой великий поэт не догадывался. Эта геометрия – фрактальная. Гармония есть и в недрах скал, и в пении ветров – причем везде она одна и та же.

СамтерминбылпредложенБенуаМандельбротомв1975годудляобозначениянерегулярных,носамоподобныхструктур,которымионзанимался.Рождениефрактальнойгеометриипринятосвязыватьсвыходомв1977годукнигиМандельброта ‘TheFractalGeometryofNature’.Определениефрактала,данноеМандельбротом,звучиттак:"Фракталомназываетсяструктура,состоящаяизчастей,которыевкаком-тосмыслеподобныцелому".

Заслуживаетвниманиятотфакт,чтопоявлениефракталов(ещенеполучившихэтогоимени)вматематическойлитературеоколосталетназад,быловстреченосприскорбнойнеприязнью,какэтобывалоивисторииразвитиямногихдругихматематическихидей.Одинизвестныйматематик,ШарльЭрмит,дажеокрестилихмонстрами.Покрайнеймере,общеемнениепризналоихпатологией,представляющейинтерестолькодляисследователей,злоупотребляющихматематическимипричудами,анедлянастоящихученых.ВрезультатеусилийБенуаМандельбротатакоеотношениеизменилось,ифрактальнаягеометриясталауважаемойприкладнойнаукой.






2.Свойствафракталов.

Слово«фрактал»неявляетсяматематическимтерминоминеимеетобщепринятогострогогоматематическогоопределения.Ономожетупотребляться,когдарассматриваемаяфигураобладаеткакими-либоизперечисленныхнижесвойств:

Теоретическаямногомерность(можнопродолжатьвлюбомколичествеизмерений).

Еслирассмотретьнебольшойфрагментрегулярнойфигурывоченькрупноммасштабе,онбудетпохожнафрагментпрямой.Фрагментфракталажевкрупноммасштабебудеттакимже,какивлюбомдругоммасштабе.Дляфракталаувеличениемасштабаневедёткупрощениюструктуры,навсехшкалахмыувидимодинаковосложнуюкартину.

Длины,площадииобъемыоднихфракталовравнынулю,других-обращаютсявбесконечность.

Обладаетдробнойразмерностью.

Являетсясамоподобнойилиприближённосамоподобной,каждыйуровеньподобенцелому.





3.Классификацияфракталов:



-геометрические

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

На рисунке ниже приведены примеры геометрических фракталов (слева направо Снежинка Коха, Лист, Ковер Серпинского).







Снежинка Коха

Лист

Ковер Серпинского

Снежинка Коха

Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны.




Ковер Серпинского

Ковер Серпинского, названный так в честь польского математика Вацлава Серпинского (1882-1969), строится следующим образом. Возьмем правильный треугольник (рис. 1, а). Это будет нулевым шагом. Проведём средние линии и исключим средний треугольник (это будет первым шагом). На втором шаге проведем средние линии трех оставшихся треугольников и в каждом исключим средние треугольники (рис. 1, в) Повторив аналогичные действия на третьем и четвертом шаге и продолжив процесс бесконечно, получим изображение, аналогичное рисунку 1, г.

Здесь проявляется одно из свойств фракталов – самоподобие. Если мы возьмем любой из образовавшихся треугольников (разумеется кроме тех, которые мы вырезали) и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Ковер Серпинского можно построить как от руки, так и при помощи компьютера. На рисунке 2 можно увидеть результат работы программы, строящей ковер Серпинского.


-алгебраические

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

С течением времени стремится к бесконечности.

Стремится к 0

Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.

Поведение хаотично, без каких либо тенденций.

. Одним из самых известных представителей этой группы является множества Мандельброта и Жюлиа.

Множество Мандельброта

Данное множество было открыто Бенуа Мандельбротом, отцом теории фракталов и названо в его честь. Мандельброт в своей книге “Fractal Geometry of Nature” писал, что “красота многих фракталов тем более поразительна, что открылась совершенно неожиданно”, так как “хотели построить с чисто учебной целью всего лишь математические диаграммы, и можно было ожидать, что они окажутся сухими и скучными”. Однако, пропустив программу, над которой он работал, в компьютерной сети компании IBM, Мандельброт получил рисунок, в котором явно просматривались признаки систематичности и самоподобия. И, когда изображение было увеличено, многие части обнаружили довольно сложную структуру.

Множество Мандельброта получается путем преобразования в комплексной плоскости, заданного формулой:




г


де z и c – комплексные переменные (z = x + iy переменная точка, c = p + qi – постоянная). Фиксируем значение параметра c и начальную точку комплексной плоскости z0 (x0; y0). Применяя формулу (1) для первого шага, получим формулу z1 = z02 + c; для второго шага – точку z2 = (z02 + c)2+ c; для третьего шага – z3 = ((z02 + c)2+ c)2 и т.д. Меняя значения начального z (z0) и рассматривая итерационный процесс (процесс повторений) мы и получаем множество Мандельброта.

С развитием ЭВМ стало возможным построение его графического образа (рис. 5). Если внимательно рассмотреть рисунок, то можно заметить, что основная форма множества повторяется многократно во все меньших размерах.

Кроме того, ученые увеличили участок границы множества Мандельброта в 200 раз. Как и в случае с ковром Серпинского, мы наблюдаем проявление самоподобности. Не полной самоподобности, конечно, но близкой с ней. Также с проявлением неполной самоподобности ученые сталкиваются, увеличивая и другие участки множества Мандельброта.

Множество Жюлиа

Множества семейства Жюлиа строятся по той же формуле (1), что и множество Мандельброта, однако в данном случае комплексной переменной является лишь параметр с. Множества семейства Жюлиа названы так в честь французского математика Гастона Жюлиа, который во времена Первой Мировой Войны в оккупированной немцами Франции продолжал научную деятельность. Жюлиа являет собой огромное поле для экспериментов. Так как вид этого фрактала зависит от параметра с, изменяя его, можно получать изображения, в корне не похожие на первоначальное. Одни из них похожи на большие тучи, другие напоминают колючие ветви кустарников, третьи выглядят как искры, летящие во время салюта. Однако обычно бывает трудно найти подходящие значения параметра с так, чтобы получить изображение множества Жюлиа. К счастью, есть возможность нахождения подходящих значений параметра с с помощью множества Мандельброта. Так, если в качестве значений комплексной переменной c использовать координаты точки, принадлежащей множеству Мандельброта, то при построении множество Жюлиа получится замкнутым.

Практическое значение алгебраических фракталов в машинной графике не может быть неоцененно. Множества Мандельброта и Жюлиа являются основами при создании фрактальных изображений.

-стохастические

Еще одной распространенной группой фракталов являются стохастические фракталы. Их получают, меняя в итерационном процессе некоторые параметры случайным образом. Этим способом можно нарисовать такие природные объекты, как изрезанные береговые линии, рельеф местности, облака, волны на воде многое другое. Поэтому фрактальные модели сегодня широко применяют в компьютерных играх, создавая в них обстановку, которую уже трудно отличить от реальности.


Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма".



Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста фотореалистичные горы готовы.




5.Применениефракталов.


Компьютерная графика



Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.


Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. д.


^ Физика и другие естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Также фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).


Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста

неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пеги был веселый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»)

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)



^ Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети NETSUKUKU использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети NETSUKUKU хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.



6.Заключение.

Фракталы окружают нас всюду: это деревья, горы, облака. Но, кроме этого фракталы встречаются в объектах и невидимых человеческим глазом: это клетки различных живых тканей, трещины в земной коре и многое другое. Фрактальная графика может применяться во многих областях естественных наук. Она используется не только в математике, но и в экономике, географии, астрономии, биологии, физике и даже в литературе. Фракталы помогают геофизикам определять форму и характер растрескиваний земной коры и особенности распределения в ее слоях различных химических элементов, а астрономам – моделировать формирование планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и космической пыли.

Таким образом, фракталы всегда находятся вокруг нас. Это важный элемент любой науки, а точнее, и всей нашей жизни.








Работу выполнила

Ученица 10 Б класса

Яковенко Яна