Реферат: Ни суточного вращения Земли, ни ее обращения вокруг Солнца? В то же время все «собственными глазами» могут наблюдать движение Солнца

Еще один, пожалуй, наиболее доступный всеобщему понима­нию аргумент против гелиоцентрической теории сводился к сле­дующему: почему никто не ощущает ни суточного вращения Земли, ни ее обращения вокруг Солнца? В то же время все «собственными глазами» могут наблюдать движение Солнца. Для знаменитого астронома Тихо Браге эти и другие аргументы стали решаю­щим доказательством неподвижности Земли.

Подоплека и суть всех аргументов такого рода состояли в том, что Земля, вращающаяся вокруг собственной оси и обращаю­щаяся вокруг Солнца, не вписывалась в физическую теорию движения Аристотеля, справедливость которой во времена Копер­ника и Кеплера ни у кого не вызывала сомнений. Необходима была совершенно новая теория движения.

На все эти возражения у Коперника и Кеплера был один неотразимый ответ. Каждому из них удалось достичь математи­ческого упрощения и создать теорию, удивительно гармоничную и удовлетворяющую самым строгим эстетическим критериям. Но коль скоро поиск математических соотношений — цель всякой научной работы н поскольку новое математическое описание совер­шеннее прежних, то уже одно это обстоятельство (к тому же под­крепляемое твердым убеждением, что Бог сотворил мир, располагая превосходной теорией) должно было перевесить в глазах Копер­ника и Кеплера любые возражения. Каждый из них верил и не­двусмысленно заявлял, что ему удалось обнаружить гармонию, симметрию, раскрыть божественный замысел и найти убедитель­нейшее доказательство присутствия Творца в окружающем нас мире.

Если учесть, сколь многочисленными, разнообразными и весьма вескими были возражения против гелиоцентрической теории, то приверженность ей Коперника и Кеплера нельзя не расценивать какодну из загадок истории. Почти каждому крупному интеллек­туальному свершению предшествуют десятилетия и даже столетия подготовительной работы, которая становится заметной по край­ней мере при ретроспективном обзоре, и именно эта предвари­тельная работа делает решающий шаг столь естественным. У Ко­перника же не было непосредственных предшественников в науке, и неожиданное создание им гелиоцентрической системы мира, не­смотря на безраздельное господство в течение полутора тысяче­летий геоцентрической картины, с нашей, современной, точки зре­ния представляется актом весьма неестественным. Среди других астрономов XVI в. Коперник возвышается подобно колоссу.

Правда, как мы уже упоминали, Коперник был знаком с теми немногочисленными сочинениями греческих авторов, в которых высказывалась мысль о подвижности Земли, но никто из античных авторов не пытался построить на этой основе математическую теорию, тогда как геоцентрическая теория интенсивно разраба-

тывалась. Наблюдения самого Коперника также не давали ничего такого, что наводило на мысль о необходимости каких-то ради­кальных перемен в теории. Инструменты Коперника были столь же грубы, как и у его предшественников, и его наблюдения ничем не превосходили их наблюдений. Коперник был обеспокоен слож­ностью теории Птолемея, к тому времени погрязшей в нагро­мождении эпициклов, помощью которых астрономы надеялись достичь согласия с результатами арабских и европейских наблю­дений. В велеречивом обращении к папе Павлу III, которым открывается сочинение Коперника «Об обращениях небесных тел», автор рассказывает, как он пришел к своей теории: «К размышле­ниям о другом способе расчета движения мировых сфер меня побудило именно то, что сами математики не имеют у себя ничего вполне установленного относительно исследований этих движе­ний» ([10], с. 12). Тем не менее в историческом плане его сочи­нение прозвучало словно гром среди ясного неба.

В выборе направления исследований Коперника и Кеплера определенную роль сыграли особенности их религиозных убеж­дений. Самого слабого проблеска надежды открыть еще одно про­явление величия Бога было достаточно, чтобы они тотчас приня­лись за поиски и воображение их разгорелось. Результаты, увен­чавшие их усилия, приносили им глубокое удовлетворение, оправ­дывая веру в гармонию, симметрию и замысел, лежащие, по их мнению, в основе мироздания. Математическая простота повой теории была подтверждением того, что именно ее Бог предпочел более сложному замыслу.

Птолемей утверждал, что при объяснении явлений природы следует придерживаться простейшей гипотезы, согласующейся с фактами. Коперник обратил этот тезис против теории самого же Птолемея. Будучи глубоко убежденным в том, что мир сотворен Богом, Коперник усматривал в простоте гелиоцентрической теории подтверждение ее близости божественному замыслу. Математи­ческая сторона теории Кеплера была еще проще, и он имел все основания считать, что именно ему удалось обнаружить те законы, которые Бог заложил в основу мира. О своей теории Кеплер отозвался так: «Я искренне убежден в ее истинности и созерцаю ее красоту с восторгом и упоением, не смея верить самому себе».

В мышлении Коперника и Кеплера присутствует также некий мистический элемент, который ныне кажется аномальным у вели­ких ученых. Смутная и даже в чем-то наивная ссылка па власть Солнца стала одним из источников того вдохновения, которое пи­тало сначала замысел, а затем и построение гелиоцентрической теории. Вот что пишет об этом Коперник: «Солнце, как бы восседая на царском троне, правит обходящей вокруг него семьей светил... Земля зачинает от Солнца и беременеет каждый год» ([10], с. 35). И в подтверждение своего тезиса далее замечает: «В середине



всего находится Солнце. Действительно, в таком великолепнейшем Храме кто мог бы поместить этот светильник в другом и лучшем месте, как не в том, откуда он может все освещать» ( [10], с. 35).

Но, несмотря на религиозно-мистические влияния, Коперник и Кеплер были предельно рациональны, безжалостно отбрасывая любые умозаключения или гипотезы, если те не согласовывались с наблюдениями. Их работы отличает от средневековой схолас­тики не только математическая основа теоретических построений, но и последовательное стремление добиться согласия математи­ческих выкладок с реальностью. Кроме того, и Коперник, и Кеплер отдавали предпочтение более простой математической теории, что свойственно современному научному подходу.

Несмотря на веские научные возражения против движения Земли, вопреки господствовавшему тогда религиозному и фило­софскому консерватизму, невзирая на, казалось бы, явное противо­речие со здравым смыслом, новая теория все же постепенно завоевывала признание. На математиков и астрономов сильное впе­чатление произвела простота новой теории, особенно проявив­шаяся после работ Кеплера. Теория Коперника оказалась более удобной и для навигационных расчетов, и для построения кален­даря, поэтому многие географы и астрономы, даже если они не были убеждены в истинности гелиоцентрической теории, начали ею пользоваться.

Нет ничего удивительного, что сначала в поддержку новой теории выступили одни лишь математики. Кому, как не матема­тику, убежденному в том, что мир построен на простой математи­ческой основе, хватит силы духа отвергнуть господствующие философские, религиозные и естественно-научные взгляды и при­няться за разработку математических основ новой, революционной астрономии. Только математик, непоколебимо верящий в причаст­ность своей науки к основам мироздания, отважится отстаивать новую теорию перед превосходящими силами оппозиции.

Весьма могущественного защитника гелиоцентрическая теория нашла в лице Галилео Галилея (1564—1642). Родился он во Флоренции, в возрасте семнадцати лет поступил в Пизанский университет, намереваясь изучать медицину. Знакомство с тру­дами Евклида и Архимеда пробудило у юного Галилея интерес к математике и физике, и он принялся штудировать эти науки.

Получив предложение занять должность профессора в уни­верситете города Падуя, Галилей в 1592 г. перебрался на северо-восток Италии. Падуя в те времена входила во владения Вене­цианской республики, где господствовали весьма передовые взгляды, и Галилей наслаждался полной академической свободой. В 1610 г. бывший ученик Галилея великий герцог Тосканский Ко-зимо Медичи предложил своему учителю пост придворного фило­софа и математика. Вызванный новым назначением переезд во



Флоренцию положил конец преподавательской деятельности Гали­лея. Теперь он мог без помех отдавать все свое время исследо­ваниям.

Еще раньше, летом 1609 г., Галилей прослышал о голландском изобретении — телескопе, позволявшем видеть далекие предметы так ясно и отчетливо, будто они находятся совсем рядом. Галилей, не теряя времени, сам сконструировал телескоп и, совершенствуя линзы, довел его увеличение до 33-кратного. Во время торжествен­ного показа телескопа сенату Венецианской республики Галилей продемонстрировал возможности нового инструмента, дав членам сената увидеть в телескоп венецианские боевые корабли за два часа до их прибытия в родную гавань.

Но с телескопом у Галилея были связаны несравненно более грандиозные планы. Направив телескоп на Луну, он наблюдал обширные кратеры и величественные горы, что опровергло рас­пространенное представление о гладкости лунной поверхности. Рассматривая в телескоп Солнце, Галилей обнаружил на поверх­ности дневного светила пятна. Он открыл (1610) также, что вокруг Юпитера обращаются четыре естественных спутника. (Сейчас обнаружено уже шестнадцать спутников Юпитера). Это открытие показало, что спутники (тела, аналогичные нашей Луне) могут быть у любой планеты. О своем открытии Галилей поведал миру в сочинении «Звездный вестник» (1610). Четыре спутника Юпи­тера он описал как «четыре звезды ... не из числа обычных стадных и менее важных неподвижных звезд, но из знаменитого класса блуждающих» ([12], т. 1, с. 15). Проявив политическую прозорливость Галилей назвал спутники Юпитера Медицейскими светилами — в честь своего могущественного флорентийского по­кровителя.

Коперник предсказал, что, будь человеческое зрение более острым, мы могли бы различить фазы Венеры и Меркурия, т. е. наблюдать, как Солнце освещает то большую, то меньшую часть обращенного к Земле полушария каждой из этих планет, подобно тому как мы невооруженным глазом наблюдаем фазы Луны. Гали­лей с помощью своего телескопа действительно открыл фазы Ве­неры. Его открытие стало еще одним подтверждением того, что все планеты схожи с Землей и заведомо не являются идеальны­ми телами, состоящими из особой эфирной субстанции, как пола­гали древние греки и средневековые мыслители. Млечный Путь, казавшийся ранее просто светлой полосой на небе, при наблюде­нии в телескоп «рассыпался» на мириады звезд, каждая из кото­рых испускает свет. Следовательно, в глубинах неба сияют другие солнца и, возможно, где-то находятся и другие планетные системы. Кроме того, становилось ясно, что число «блуждающих светил» заведомо больше семи — числа, считавшегося священным. Наб­людения убедили Галилея в правильности системы Коперника.

4 М. Кляйн













Обеспокоенная упорством, с которым Галилей отстаивал гелио­центрическую систему мира, римская инквизиция в 1616 г. объ­явила учение Коперника еретическим и подвергла его строгой цен­зуре, а в 1620 г. запретила все публикации, проповедующие гелио­центрическую теорию. Несмотря на запрет, наложенный цер­ковными властями на любые сочинения, выдержанные в духе коперниканской ереси, папа Урбан VIII разрешил Галилею напе­чатать большой труд на запретную тему, полагая, по-видимому, что никому и никогда не удастся доказать истинность новой теории. И Галилей в своем «Диалоге о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой» (1632) произвел тщательное сравне­ние геоцентрической теории с гелиоцентрической. Чтобы умилости­вить церковь и усыпить бдительность цензоров, Галилей в пре­дисловии к «Диалогу» упомянул о том, что гелиоцентрическая теория якобы не более, чем игра воображения. Предполагалось, что Галилей в своем сочинении беспристрастно перечислит доводы за и против геоцентрической и гелиоцентрической теорий как оди­наково верных, но в изложении Галилея преимущества гелио­центрической теории стали вполне очевидными. К сожалению, Галилей блестяще владел пером, так что папа Урбан VIII начал опасаться, как бы аргументация Галилея в защиту гелиоцент­ризма, подобно подожженной бомбе в блестящей упаковке, не подорвала устои католической веры и тем не причинила ей серьез­ный ущерб. Галилей снова предстал перед римской инквизицией и под угрозой пытки был вынужден отречься от гелиоцентрической теории, заявив: «Ложность коперниканской системы не вызывает сомнений, особенно у нас, католиков». В 1633 г. «Диалог о двух главнейших системах мира» Галилея был внесен в «Индекс запрещенных книг». Запрет был снят только в 1822.

Мы, живущие в век космических исследований, когда косми­ческие аппараты доставляют людей на Луну и совершают полеты к самым далеким планетам Солнечной системы, не сомневаемся в истинности гелиоцентрической теории. Однако у людей XVII— XVIII вв., даже если они были способны понять сочинения Копер­ника, Кеплера и Галилея, имелись достаточно веские основания для того, чтобы скептически относиться к гелиоцентризму. Против новой теории свидетельствовал весь жизненный опыт этих людей, и математические доводы Коперника и Кеплера, исходивших помимо философских убеждений из большей простоты гелио­центрической теории, мало что значили для подавляющего боль­шинства их современников.

Современная наука извлекла из трудов Коперника и Кеплера еще один важный вывод. Те же самые наблюдательные данные, которые Гиппарх и Птолемей привели в стройную систему, соз­дав геоцентрическую теорию с ее деферентом и эпициклом, могут быть приведены в стройную систему, основанную на совершенно

иных принципах,— в гелиоцентрическую систему мира Коперника и Кеплера. Хотя Коперник и в особенности Кеплер были убеждены в истинности гелиоцентрической теории, согласно современной точке зрения, в некотором смысле пригодны обе теории, но гелио­центрическая теория обладает существенным преимуществом — большей математической простотой. Реальность ныне представля­ется нам не столь познаваемой, как ее понимали Коперник и Кеплер. В наши дни признано, что научные теории — изобретения челове­ческого разума. Современные астрономы еще могли бы согласиться с Кеплером, что «небеса воздают хвалу Богу и твердь небесная — его творение», однако в отличие от Кеплера они прекрасно сознают, что математическая интерпретация мироздания — их собственное творение и, вопреки всему чувственному опыту, верх одерживает математическая простота. Но как в таком случае нам определить, что реально в нашем физическом мире?



V

^ ГЛАВЕНСТВУЮЩАЯ РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ФИЗИЧЕСКОЙ НАУКЕ

Настоящим сочинением мы лишь открываем двери к этим двум новым наукам, изобилующим положениями, которые в будущем будут неиз­меримо больше приумножены пытливыми умами *.

Галилей

Развивая шаг за шагом нашу главную тему — о роли мате­матики в познании реального мира, мы узнали о том, что гелио­центрическая система мира получила признание по математичес­ким соображениям. Не имей эта теория математических преиму­ществ перед геоцентрической системой Птолемея, она вряд ли бы выжила, особенно если учесть противодействие со стороны церкви. Но гелиоцентрическая теория восторжествовала, как и многие другие теории (о них пойдет речь в дальнейшем), которые либо противоречили нашему чувственному опыту, либо вынуждали нас признавать физические реалии, не воспринимаемые нашими органами чувств. На наш взгляд, важную роль в этом сыграла математика, которая начиная с XVII в. заняла ведущее место в физической науке и, согласно распространенным в ту эпоху убеж­дениям, почиталась за истину. Но чтобы лучше понять, как мате­матика стала воплощением истины и наиболее эффективным инструментом исследования реального мира, нам придется не­сколько уклониться от главной цели книги — попытки объяснить, каким образом математика позволяет нам получить знание о реальном мире.

Исаак Ньютон сказал однажды, что он стоял на плечах ги­гантов. Крупнейшими из них были Рене Декарт и Галилео Га­лилей. Современная математика обязана своими выдающимися достижениями не только возросшему вниманию к ней как к науке, но и новой методологии, начало которой было положено

*[12], т. 2, с. 114.

.

в трудах этих двух величайших мыслителей XVII в. Попытаемся оценить хотя бы в общих чертах вклад каждого из них.

До XVII в. система научной мысли и самый характер научной деятельности находились под сильным влиянием Аристотеля. Ос­новной особенностью его подхода к природе был поиск материаль­ных или качественных объяснений. Последователи Аристотеля пытались объяснить земные явления, пользуясь теми качествами, которые они считали первичными, например такими понятиями, как горячее и холодное, влажное и сухое. Предполагалось, что в соответствующей комбинации такие качества порождают четыре элемента: землю, воздух, огонь и воду. Так, горячее и сухое в сочетании порождают огонь, горячее и влажное — воздух и т. д. Каждому из четырех элементов присущ особый, свойственный только ему вид движения. Огонь как самый легкий из элементов стремится подняться к небу, земная субстанция тяготеет к центру Земли. Аристотель рассматривал также и вынужденное движение, которое возникает, когда одно тело соударяется с другим и тол­кает его.

Твердые тела, жидкости и газы Аристотель рассматривал как три различные субстанции, наделенные различными фундамен­тальными качествами, а не как различные состояния одной и той же субстанции. Переход из жидкости в газ греки толко­вали как утрату одного качества и приобретение другого. Раз­личие между объектами объяснялось отличием их основных качеств. Так, древние греки полагали, что для превращения ртути в золото необходимо лишить ее качества текучести, заменив его качеством твердости. Представление о неких фундаменталь­ных качествах сохранялось и на первых этапах развития современ­ной химии. Считалось, например, что сера содержит субстанцию горючести, которая получила особое название — флогистон, соль — субстанцию растворимости, а металлы — основную суб­станцию ртути. Тепло вплоть до XIX в. считалось проявлением особой калорической субстанции: при нагревании количество этой субстанции в теле увеличивается, при охлаждении — умень­шается.

Аристотелианцы стремились классифицировать объекты по ка­чествам или по содержащимся в них основным субстанциям. Более того, именно з классификации — этот метод и поныне до­минирует в биологии — они видели свою основную задачу. Пы­таясь объяснить, каким образом одно событие вызывает другое, Аристотель построил сложную схему причинно-следственных связей, в которой все сущее проистекает из четырех основных на­чал, или причин: формы (сущности), материи (или субстрата), источника движения (или «говорящего» начала) и цели («того, ради чего»). Чтобы разобраться в этих началах, проследим за тем, как скульптор ваяет статую. Материя в данном случае — это



мрамор и инструменты скульптора, форма — образ статуи, су­ществующий в воображении скульптора, источник движения — сам процесс создания статуи, а цель — намерение украсить ста­туей какое-то помещение. Наиболее важной в этом процессе была цель, или телеологическая причина, так как именно она придавала смысл всей деятельности. Какое место занимала в этой схеме мате­матика? Поскольку математика для греков сводилась в основном к геометрии, а геометрия занималась главным образом изучением фигур, математика находила применение только при описании формы, т. е. ее роль здесь была весьма ограниченной.

В силу ряда обстоятельств аристотелевский подход к изучению природы сохранял господствующее положение и в средние века, и в эпоху Возрождения. Сочинения Аристотеля были поистине все­объемлющими и получили более широкое распространение, чем работы других греческих авторов. Более того, учение Аристотеля о конечной цели вошло в догматы католической теологии. Конеч­ной целью человеческой жизни на Земле провозглашалась подго­товка к грядущей жизни в царстве небесном, а во всех земных явлениях церковь усматривала промысел божий.

В наши намерения, разумеется, не входит подробный рассказ об эпохе Возрождения; скажем только, что к началу XVII в. европейские ученые, несомненно, осознали важную роль матема­тики в изучении природы. Убедительное подтверждение тому — готовность Коперника и Кеплера опрокинуть традиционную астро­номию, механику и религиозные догмы во имя теории, которая по представлениям того времени обладала всего лишь одним преимуществом — математической четкостью и простотой.

Почему начиная с XVII в. наука оказалась столь результа­тивной? Может быть, главные ее творцы — Декарт, Галилей, Ньютон, Гюйгенс и Лейбниц — были мыслителями более высокого ранга, чем их далекие предшественники? Вряд ли. Может быть, причину следует искать в более широком использовании наблюде­ния, эксперимента и индукции — методов, на необходимость ко­торых указывали Роджер Бэкон и Фрэнсис Бэкон? Явно нет. Поворот к наблюдению и экспериментированию мог казаться новшеством в эпоху Возрождения, но как метод эксперимен­тально-наблюдательный подход был известен еще древним гре­кам. Само по себе применение математики в физических иссле­дованиях также не объясняет поразительных свершений совре­менной науки: хотя ученый XVII в. и видел цель своей деятельности в выявлении математических соотношений, скрытых в многообра­зии явлений, поиск этих соотношений в природе не был для физики чем-то новым.

Замечательные успехи современной науки и мощный импульс к развитию новой математики, полученный от науки XVII—XIX вв., проистекли не от неукоснительного следования по стопам прош-



лого. В XVII в. Декарт и Галилей как бы реформировали саму при­роду научной деятельности. Они критически пересмотрели понятия, которыми должна оперировать наука, по-новому определили цели и задачи научной деятельности и даже изменили саму методо­логию науки. Новые цели и новая методология не только придали естествознанию небывалую силу, но и провозгласили нерастор­жимый союз с математикой. Декарт и Галилей практически свели теоретическую физику к математике. Чтобы понять, чем вдохновля­лось развитие математики начиная с XVII в., нам следует позна­комиться с некоторыми идеями Декарта.

Еще в школьные годы, проведенные в школе Ла Флеш, Декарт немало размышлял о том, как человечеству удалось по­знать столь много истин. Декарт жил в эпоху, когда представ­ления о мироздании, господствовавшие в Европе на протяжении тысячелетия, стали обнаруживать свою несостоятельность; обла­дая острым, критическим умом, он не мог довольствоваться догма­тическими принципами, которые столь яростно отстаивали его учителя и церковные авторитеты. Декарт еще более укрепился в своих сомнениях, когда понял, что является учеником, причем далеко не худшим, одной из наиболее известных школ Европы. К концу учебы Декарт пришел к выводу, что вообще не существует области знания, которую нельзя было бы подвергнуть сомнению.

Но все же Декарт ценил школьные занятия, признавая, напри­мер, что «красноречие обладает несравненной силой и красотой, поэзия имеет пленительные тонкости и сладости» ([15], с. 12), хотя полагал, что то и другое является скорее природным дарова­нием, нежели плодом учения. Почитая богословие, ибо оно учит, как достичь небес (а Декарт не менее чем кто-либо другой на­деялся обрести путь к небу), он вместе с тем узнал «как вещь вполне достоверную, что путь этот открыт одинаково как для несведующих, так и для ученнейших, и что полученные путем от­кровения истины, которые к нему ведут, выше нашего разумения» ([15] с. 14). Не осмеливаясь подвергать эти истины своему сла­бому суждению, он вместе с тем полагал, что для успешного их исследования необходимо заручиться помощью свыше и быть более чем человеком. Философия, по признанию Декарта, по­зволяет рассуждать о видимости истины любых материй и даже снискать восхищение людей более простодушных. Но, хотя она и разрабатывается в течение многих веков превосходнейшими умами, «в ней доныне нет положения, которое не служило бы предметом споров и, следовательно, не было бы сомнительным» ([15], с. 15). Подвергнув критике другие занятия, в том числе касающиеся юриспруденции, медицины и морали, Декарт пришел к выводу, что только математика обеспечивает надежный путь к истине.

Убежденный в том, что именно математика составляет сущ-



^
ГЛАВЕНСТВУЮЩАЯ РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ФИЗИЧЕСКОЙ НАУКЕ 105

ность всей науки, Декарт заявляет, что «не приемлет и не на­деется найти в физике каких-либо принципов, отличных от тех, которые существуют в Геометрии или абстрактной Математике, потому что они позволяют объяснить все явления природы и при­вести доказательства, не оставляющие сомнений» ([13], с. 56). Объективный мир, по Декарту,— это застывшее пространство, воплощенное в геометрии, и поэтому свойства его должны быть выводимы из первых принципов геометрии.

Декарт пытался объяснить, почему реальный мир вообще подвластен математическому описанию. По его мнению, наиболее глубокими и надежными свойствами материи являются форма, протяженность в пространстве и движение в пространстве и вре­мени. Так как форма сводится к протяженности, Декарт отно­сил к числу основных, или фундаментальных, реальностей только протяженность и движение. Свою мысль он выразил в максиме: «Дайте мне протяженность и движение, и я построю Вселенную».

Применять математический метод для установления истины, по мнению Декарта, надлежит потому, что подобный подход не скован рамками предмета исследования; «Это более мощный инструмент познания, чем все остальные, что дала нам человече­ская деятельность, ибо он служит источником всего остального» ([13], с. 212). В том же духе выдержан и следующий отрывок из декартовых «Правил для руководства ума» (правило IV):

К области математики относятся только те науки, в которых рассматри­вается либо порядок, либо мера, и совершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чем отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняю­щая все относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем всеобщей математики, ибо она содержит в себе все то, благодаря чему другие науки называются ча­стями математики.

Насколько она превосходит своей легкостью и доступностью эти подчинен­ные ей науки, видно из того, что она простирается на предметы всех этих наук, так же как и многих других, и если она заключает в себе некоторые трудности, то такие же трудности содержатся и в последних, имеющих сверх того и другие... ([14], с. 68.)

Вывод, к которому приходит Декарт, состоит в следующем:

Те длинные цепи выводов, сплошь простых и легких, которыми обычно пользуются геометры, чтобы дойти до своих наиболее трудных доказательств, дали мне повод представить себе, что и все вещи, которые могут стать пред­метом знания людей, находятся между собой в такой же последователь­ности. {[15], с. 23.)

Исследуя математический метод, Декарт в своем «Рассужде­нии о методе» выделяет следующие четыре правила, которые гарантируют возможность получения точного знания.

Первое: не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинный, т. е. старательно избегать поспеш­ности и предубеждения и включать в свои суждения только то, что пред­ставляется моему уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не может дать повод к сомнению.

Второе: делить каждую из рассматриваемых мной трудностей на столько частей, на сколько потребуется, чтобы лучше их разрешить.

Третье: руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простей­ших и легко познаваемых, и восходить мало-помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существование порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу. И последнее: делать всюду настолько полные перечни и такие* общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено. ([15], с. 22—23.)

Способность разума к непосредственному постижению основ­ных ясных и четких истин, его острая интуиция и дедукция след­ствий — в этом суть философии знания Декарта. Возникает во­прос: как отличить интуитивно постижимые истины от истин, интуитивно непостижимых? Ключ к ответу следует искать в словах «ясных и четких». В третьем из «Правил для руководства ума» Декарт дает следующий ответ на свой вопрос:

В предметах нашего исследования надлежит отыскивать не то, что о них думают другие или что мы предполагаем о них сами, но то, что мы ясно и очевидно можем усмотреть или надежно дедуцировать, ибо знание не мо­жет быть достигнуто иначе. ([14], с. 55.)

По Декарту существуют только два акта мышления, позво­ляющие нам достигать знания без опасения впасть в ошибку: интуиция и дедукция. Оба акта он определяет в приводимом ниже отрывке — еще одном примере того, сколь действительно неоце­нимы «Правила» для ясного понимания метода Декарта:

Под интуицией я понимаю не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие яс­ного и внимательного ума, настолько простое и отчетливое, что оно не остав­ляет никакого сомнения в том, что мы мыслим, или, что одно и то же, проч­ное понятие ясного и внимательного ума, порождаемое лишь естественным светом разума и благодаря своей простоте более достоверное, чем сама де­дукция, хотя последняя и не может быть плохо построена человеком, как я уже говорил выше.

Так, например, всякий может интуитивно постичь умом, что он сущест­вует, что он мыслит, что треугольник ограничивается только тремя линиями, что шар имеет только одну поверхность и подобные этим истины. ([14], с. 57.)

Свой вывод о том, что именно математический метод открывает перед человеком путь к постижению законов природы, Декарт обосновал в «Рассуждении о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках» (1637). Поскольку Бог не стал бы обманывать нас и вводить в заблуждение, считает Декарт, мы можем быть уверены, что истины, ясно и четко позна-




106

^ МАТЕМАТИКА. ПОИСК ИСТИНЫ


ваемые нашим рассудком, и дедуктивные умозаключения, выво­димые из этих истин путем чисто логических построений, действи­тельно применимы к реальному миру.

У Декарта не было ни малейших сомнений в том, что матема­тический метод вполне достаточен для исследования реального мира! В «Принципах философии» мы читаем:

Я прямо заявляю, что мне неизвестна иная материя телесных вешей, как только всячески делимая, могущая нметь фигуру и движимая, иначе говоря, только та, которую геометры обозначают названием величины и принимают за объект своих доказательств; я ничего в этой материн не рассматриваю, кроме ее делений, фигур и движения, и, наконец, ничего не сочту достоверным относительно нее, что не будет выведено с очевидностью, равняющейся математическому доказательству. И так как этим путем, как обнаружится из последующего, могут быть объяснены все явления природы, то мне думается, не следует в физике принимать других начал, кроме вышеизложенных, да и нет оснований желать их. ([16], с. 504—505.)

Восхваляя на все лады математический метод и полагая воз­можным свести всю науку к математике, Декарт, однако, удиви­тельно мало использовал математику в своих работах. Если не считать отдельных результатов, о которых он упоминал в пере­писке со своими корреспондентами, Декарт написал только одно небольшое сочинение по математике — знаменитую «Геометрию», в которой независимо от Ферма заложил основы аналитической геометрии. «Геометрия» вышла как одно из трех приложений к фундаментальному философскому трактату Декарта «Рассуж­дение о методе». В письме к теологу отцу Марену Мерсенну от 27 июля 1638 г. Декарт писал:

Я решил прекратить занятия чисто абстрактной геометрией, т. е. рассмот­рение вопросов, служащих только для упражнения ума, и выполнил свое намерение, дабы сосредоточить усилия на занятиях геометрией иного рода, предметом которой является объяснение явлений природы.

Близкие по духу соображения Декарт высказывают и в «Рас­суждении о методе»:


Эти основные понятия [физики] показали мне, что можно достичь знаний, очень полезных в жизни, и что вместо умозрительной философии, препода­ваемой в школах, можно создать практическую, с помощью которой, зная силу и действие огня, воды, воздуха, звезд, небес и всех причин окружающих нас тел так же отчетливо, как мы знаем различные ремесла наших мастеров, мы могли бы наравне с последними использовать и эти силы во всех свойст­венных им применениях и стать таким образом как бы господами и владете­лями природы. ([151, с. 54.)

Об интересе Декарта к прикладным проблемам свидетельст­вует одно из трех приложений к его «Рассуждению о методе» — «Диоптрика». Там он высказывал соображения по поводу усовер­шенствования телескопа и микроскопа. Декарт занимался также

биологией и, хотя в своих трудах он всячески превозносил спо­собность разума интуитивно постигать истину, ставил некоторые эксперименты.

Окружающий нас мир Декарт представлял состоящим только из движущейся материи. Как же он объяснял различные ощуще­ния: вкус, запах, цвет, гармонию или диссонансы слышимых нами звуков? В этих вопросах Декарт придерживался взглядов древ­них греков, а именно существовавшего в античную эпоху учения о первичных и вторичных свойствах. Как утверждал Демокрит, «сладкое и горькое, холодное и теплое, равно как и все цвета, все это существует только во мнении, но не в реальности; реальны же только неизменяемые частицы, атомы и их движение в пустом пространстве». Первичные качества — материя и движение — существуют в реальном мире, вторичные качества — вкус, запах, цвет, теплота, прятность или резкость звука — не более чем эф­фекты, вызываемые первичными качествами в органах чувств лю­дей при соударении внешних атомов с этими органами.

Различие между первичными и вторичными качествами Декарт иллюстрирует на примере кусочка пчелиного воска. Такой кусочек сладок на вкус, обладает запахом, цветом, формой, разме­ром; он тверд и холоден. Если по нему ударить, то раздается звук. Предположим теперь, что мы положили его возле огня: он утра­тит свой вкус и запах, изменит цвет и форму, размеры его увели­чатся и он станет жидким и горячим. Если по нему ударить, то ни­какого звука он более не издает. Иначе говоря, все свойства кусочка воска изменятся, и тем не менее перед нами все тот же пче­линый воск. Что же позволяет рассматривать его как один и тот же объект? Разум, выходя за пределы чувственного опыта, признает протяженность и движение воска за основные качества.

Таким образом, согласно Декарту, имеются как бы два мира: огромная математическая машина, существующая в простран­стве, и мир мыслящих умов. Воздействие элементов первого мира на второй порождает нематериальные, или вторичные, свойства. Реальный мир — это совокупность поддающихся математическому описанию движений тел в пространстве и времени, и вся Вселен­ная есть не что иное, как огромная, гармоничная машина, по­строенная на основе математических принципов.

Даже причину и следствие Декарт объяснял исключительно с точки зрения математики. Причинно-следственная связь для Де­карта — не более чем теорема, выводимая из ранее доказанных теорем и аксиом. Новая теорема (следствие) выводится из старой (причины) по схеме, предустановленной аксиомами. Causa sive ratio (причина есть не что иное, как разум). Согласно нашим ощущениям, причина должна по времени предшествовать следст­вию, и нам кажется, будто причина каким-то образом вле­чет за собой следствие. Но т