Реферат: Графический метод при решении задач с параметрами

Графический метод при решении задач с параметрами.

Ященко Людмила Анатольевна.

МОУ СОШ № 2 сельского поселения «Село Хурба»

Комсомольского муниципального района

Хабаровского края


Уравнения с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами школьного курса алгебры и математического анализа. Решение этих задач, как правило, представляет собой исследование функций, входящих в уравнение.

При решении задач с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет решение.

Одним из методов решения уравнений с параметрами является графический. Этот метод позволяет учащимся не только исследовать свойства функций, входящих в уравнение, но и наглядно увидеть решение уравнения.

Прежде всего, при решении задач с параметрами необходимо сделать то, что делается при решении любого уравнения: привести заданное уравнение к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, избавиться от модулей, логарифмов и т.д.

При графическом решении уравнения с параметром необходимо:

Найти область определения уравнения, т.е. область допустимых значений неизвестного и параметра, при которых уравнение может иметь решения.

Выразить параметр как функцию от x:

В системе координат хОa построить графики функций и для тех значений х, которые входят в область определения уравнения.

Определить точки пересечения прямой с графиком функции .

Возможны ситуации:

Прямая не пересекает график . Следовательно, при данном значении а исходное уравнение решений не имеет.

Прямая пересекает график в одной или нескольких точках. Следовательно, при данном значении а можно сделать вывод о числе решений исходного уравнения, найти абсциссы точек пересечения и т.д.


Задача 1. ( С5, ЕГЭ – 2010) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно восемь различных решений.

Решение: 1 способ. ,

Построим графики функций при и . Графиком первой функции является семейство парабол с вершинами, расположенных на оси ОУ: у=0,

и т.д. (в зависимости от k=0,1,2,3,4,…). Графиком второй функции является прямая, параллельная оси ОХ.


По графику определяем, что

ровно восемь решений (точек пересечения) возможно в том случае, если прямая расположена выше прямой но ниже прямой . Следовательно, ,

.

При ,

при .


Ответ: ,


Решение: 2 способ. , Заметим, что параметр а может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но не равен нулю.

Построим график функции при у>0 , т.е. или (полуокружность с центром в начале координат) . Графиком второй функции при является семейство прямых, параллельных оси ОХ, проходящих через точки с ординатами у=0, , , , и т.д.

Рассмотрим полуокружность радиуса r=a. Если радиус , то полуокружность пересекает серию прямых ровно в восьми точках. Аналогично рассуждаем для случая а<0.


Ответ: ,


Задача 2. ( С5, ЕГЭ – 2010) Найти число решений уравнения .

Решение. Заметим, что х не равно нулю. Умножим обе части уравнения на . Получим

Построим график функции .



Графиком функции является прямая, параллельная оси ОХ.

Анализируя графическую иллюстрацию, понятно, что при а=0 одно решение, т.к. одна точка пересечения (не забываем, что х не равен нулю). При а=1 две точки пересечения графика функции и прямой, а значит и два решения. При а<0 получается одна точка пересечения, как и при а>1. Если же , то график функции и прямая имеют три точки пересечения.


Ответ: при , одно решение,

при два решения, при три решения.0>