Реферат: Лабораторна робота №1 операцiї з матрицями. Графічні засоби matlab

Лабораторна робота № 1


ОПЕРАЦIЇ З МАТРИЦЯМИ. ГРАФІЧНІ ЗАСОБИ MATLAB


Мета роботи: набути навики з виконання операцій матричної алгебри за допомогою програмного пакету MATLAB. Набути навички з графічного представлення результатів обчислень різними способами і у різних системах координат за допомогою пакета MATLAB.


1.1 Теоретичні відомості

В електротехнічних розрахунках часто використовують матриці i вектори (вектором називають матрицю-рядок або матрицю-стовпець). У системі MATLAB реалізовано два типа арифметичних операцій: поелементні та матричні. Матричні операції (+, –, *, /, \, ^) виконуються у відповідності з правилами лінійної алгебри. Поелементні операції (+, –, .*, ./, .^) застосовуються тільки для матриць однієї розмірності або у випадку, коли один з операндів є скаляром. Нумерація елементів масивів в MATLAB починається з одиниці.

^ 1.1.1 Сума та різниця двох матриць

Сумою або різницею двох матриць однакових розмірностей: С = А ± В є матриця тієї ж розмірності, елементи якої дорівнюють сумам або різницям відповідних елементів матриць А i В:

сi,j = ai,j ± bi,j ; (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n). (1.1)

Для цих дій поелементні та матричні операції співпадають.

^ 1.1.2 Добуток матриць i піднесення їх у степінь

Добутком матриці А розмірністю m*k і матриці В розмірністю k*n є матриця С розмірністю m*n, елементи якої визначаються за формулою:

(1.2)

Множення матриць можливе тільки тоді, коли число стовпців матриці ^ А дорівнює числу рядків матриці В. Для добутку матриць у загальному випадку несправедливий переміщувальний закон, тобто А*В≠ В*А.

Частковим випадком помноження матриць є множення матриці ^ A, розмірністю m*k, на вектор-стовпець В, складений з k елементів, та вектор-рядка А, складеного з k елементів, на матрицю В розмірністю k*n.

У першому випадку результатом буде вектор-стовпець з елементами:

(1.3)

а в другому випадку – вектор-рядок з елементами:

(1.4)

У відповідності до поняття про добуток матриць, у цілу додатну степінь k можна звести тільки квадратну матрицю (матриця у якої число рядків дорівнює числу стовпців):

(1.5)


Ця операція в MATLAB зображується символом “^”.

Крім того, в MATLAB передбачені операції правостороннього та лівостороннього ділення матриць:

B/A відповідає B*A;

A\B відповідає A*B,

де A – обернена матриця.

Рішення систем лінійних рівнянь типу X=A\B реалізовано в MATLAB за допомогою спеціального монітора, який використовує різні алгоритми рішення у залежності від структури матриці А. Наприклад, якщо А – довільна квадратна матриця, то трикутний розклад вираховується методом виключень Гауса з частковим вибором головного елемента.

^ 1.1.3 Транспонування матриць

Якщо у матриці Α розмірністю m*n замінити рядки відповідними стовпцями, то одержимо матрицю Α розмірністю n*m, яка має назву транспонованої по відношенню до матриці Α. Таким чином,

ai,j = aj,i ; (i=1,2,..., n; j=1,2,..., m). (1.6)

В MATLAB ця операція позначається символом ′ (апостроф).

^ 1.1.4 Обернення матриць

Обернення матриць широко застосовується при розрахунку розгалужених електричних мереж різними методами. Оберненою у відношенні до вихідної квадратної матриці називається така квадратна матриця Xn*n=An*n, яка, будучи помноженою на вихідну, дає одиничну діагональну матрицю En*n:

AA= E, (1.10)

або у розгорнутій формі:

(1.7)

Для матриць невеликої розмірності (n≤3) обернення часто виконують вручну, використовуючи формулу:

, (1.8)

де – союзна матриця (матриця, складена з алгебраїчних доповнень);

Δ – визначник.

При n>3 розрахунки за формулою (1.8) стають дуже громіздкими.

Як видно з (1.7), елементи kc-го стовпця оберненої матриці Х можна визначити, розв’язуючи систему n лінійних рівнянь з n невідомими.


, (1.9)

де



Таким чином, для визначення усіх елементів оберненої матриці необхідно розв’язати n систем рівнянь.

Цей підхід часто використовують при машинних розрахунках.

Розв’язувати системи рівнянь можна будь-яким з відомих методів, наприклад, методом Гауса.

В MATLAB для обернення матриць використовують функцію inv(A).

^ 1.1.6 Визначник матриці

Для обчислювання визначника можна перетворити початкову матрицю в трикутну форму за допомогою прямого ходу метода Гауса та розрахувати добуток її діагональних елементів.

В MATLAB для обчислення визначника матриці використовують функцію det(A).

^ 1.1.7 Слід і ранг матриці

Слідом квадратної матриці А називають суму її діагональних елементів:

tr(A ) (1.14)

В MATLAB цю операцію виконує функція trace(A).

Ранг матриці А визначається кількістю її лінійно незалежних рядків або стовпців. В MATLAB цю операцію виконує функція rank(A).

^ Двомірна графіка

1.2 Теоретичні відомості

Графічні засоби MATLAB орієнтовані на побудування дво- та тримірних графіків функціональних залежностей у самій різноманітній формі.

Побудування графіка виконується в спеціальному об’єкті – графічному вікні (figure) – створення якого відбувається при виконанні оператора figure або автоматично перед виконанням якої-небудь графічної функції.

2.2.1 Основні команди для роботи з графічним вікном

figure – створює графічне вікно (ГВ);

figure(n) – створює ГВ з номером n;

close – закриває поточне ГВ (як правило, останнє з відкритих);

close all – закрити всі відкриті ГВ;

close('name') – закриває ГВ з вказаним ім’ям.

subplot(m,n,i) – розбиває ГВ на частки (m<=n<=4). Як правило, функція попереджає команду побудови графіка (plot, bar і т.і.), який буде виведений у вказаній частині (i) ГВ. Допускається коротка запис subplot(mni);

clf – команда очистки поточного ГВ;

2.2.2 Функції будування графіків у декартових координатах

Найбільш розповсюдженою функцією для будування графіків у декартових координатах є функція plot. Формати звертання:

plot(y) – будує значення елементів вектора y в функції їх порядкового номеру (адреса) – y = f(i);

plot(x,y) – будує графік yi = f(xi);

plot(z) – будує комплексні числа z (відповідає команді plot(real(zi),imag(zi)));

plot(A) – будує рідню графіків, кожний з яких представляє собою залежність елементів одного стовпця матриці ^ A в функції порядкового номеру рядка;

plot(x, A) – теж саме, але в функції відповідного елемента вектора x. Довжина вектора x повинна бути рівною числу рядків матриці A.

За умовчанням графіки будуються відрізками безперервних ліній, які з’єднують між собою сусідні точки. Для придання плавності графіку треба брати не менше 50 – 100 точок. Колір кривій обирається автоматично, але при необхідності можна вручну вказати додаткові параметри (LineSpec) такі як колір, тип лінії або маркера (дивись help plot).

В одній функції plot можна використовувати декілька груп аргументів. В цьому випадку всі графіки зображуються в одній системі координат в однаковому масштабі.

При необхідності побудови графіків у логарифмічному масштабі по якій-

небудь вісі треба використовувати функції:

semilogx(x,y) – логарифмічний масштаб по осі x;

semilogy(x,y) – логарифмічний масштаб по осі y;

loglog(x,y) – логарифмічний масштаб по обох осях.

Формат використання цих функцій такій же, як і у функції plot.

За допомогою наступних функцій можна будувати графіки двох функцій з різним масштабом plotyy, заданої функції fplot. Формати звертання:

plotyy(x1, y1, x2, y2, fun1, fun2) – будує графіки функцій y1(x1) i y2(x2) в одному ГВ, fun1, fun2 (необов’язкові параметри) вказують тип графіка (‘plot’, ‘semilogx’, ‘stem’ і т.і.);

fplot(fun, lims, 'LineSpec') – будує графік функції завданої виразом fun, lims – межі змінних [xmin xmax ymin ymax].

За допомогою наступних функцій можна будувати графіки у вигляді сто-

впців, сходинок, черенків, пирога:

bar(y), bar(x,A), bar3(y) – побудування стовпчикових діаграм;

stairs(x,y) – побудування східчастих графіків;

stem(x,y) – побудування пікових (черенкових) діаграм;

pie(y), pie(y, labels), pie(y, exsplode), pie3(y) – побудування кругових діаграм.

^ 2.2.3 Функції будування графіків у полярних координатах

polar(fi,ro) – будує графік в полярних координатах fi = f(ro), ro – в радіанах. Параметри лінії можна задавати в додатковому аргументі, варіанти значень якого такі ж самі, як і в функції plot;

compass(m,n) – зображує точку як вектор, направлений з начала координат;

compass(z) (де z – комплексне число) – те ж саме, що і compass(real(z),imag(z)).

^ 2.2.4 Допоміжні команди і функції графіки

grid on – включити відображення координатної сітки;

grid off – виключити; grid – змінити стан (чергування).

hold on – включити режим накладення графіків в поточному ГВ;

hold off – виключити; hold – змінити стан.

title(’name’) – вивід заголовка у верхній частині вікна;

xlabel(’name’), ylabel(’name’) – підписи до відповідної вісі;

legend(‘name1’, ‘name2’, ‘name3’, …) – підписи назв графіків у той послідовності, в якій вони будувалися у ГВ, кількість назв повинна співпадати з кількістю графіків;

text(m,n, ’текст’) – виводить текст рядом з точкою з координатами (m;n)

в системі координат, яка визначається попередніми командами створення графіків в цьому ГВ; gtext(’текст’) – виводить текст поряд з точкою, вказаною мишею (слід натиснути ліву кнопку);

axis([xmin xmax ymin ymax]) – встановлює вказані межі ГВ за вказаними вимірами.


^ Створення М-файлів у вигляді М-сценаріїв.

2-D графіка в MATLAB.


М-сценарії являють собою послідовність дій або запис обчислювальних алгоритмів, які потім оформляються системою MATLAB у вигляді m-файлів (з розширенням m). Текст М-сценарію може бути написаний у будь-якому текстовому редакторі (текстовий документ) і потім перенесений у систему MATLAB, де для подальшого використання повинен бути збережений у вікні редактора як m-файл.


1. Створення найпростіших сценаріїв.

Приклад 1.

Створити в командному вікні MATLAB матрицю: а = [1 2 3;4 5 6] або а = [1,2,3;4,5,6];

Транспонувати матрицю а: а1 = а' ;

Створити матрицю b = [10 20 30;40 50 60];

Перемножити матриці а1 і b: з = а1*b;

На екрані створити напис 'Перемножування матриць а1 і b:' за допомогою disp('Перемножування матриць а1 і b: ');

Вивести результат перемножування, набравши в командному рядку позначення c і нажавши клавішу Enter;

Щоб не було виведення проміжних результатів, то наприкінці кожного рядка (команди) варто ставити крапку з комою ; .

Проробити попередні пункти команд із крапкою з комою й без.

Пункти 1-6 записати в М-файлі. Для цього в командному рядку набрати edit. Як тільки відкриється вікно текстового редактора, повторити набір команд пп. 1-6 і зберегти під яким-небудь ім'ям (наприклад, Lab1). Тим самим створили М - сценарій.

Вийти з редактора в командне вікно MATLAB.

Запустити на виконання створений М - сценарій. Для цього в активному командному рядку набрати ім'я М - сценарію й нажати клавішу Enter;

Для повернення в редактор з метою редагування створеного М - файлу в командному рядку набрати edit і через пробіл ім'я бажаного файлу (наприклад, Lab1).

У М - файлі можна записувати коментарі. Вони створюються за допомогою знака %. Т.б. після знака % можна писати як на російській, так і на англійській і т.д. Усе, що перебуває за знаком %, є невиконуваними діями, навіть якщо там будуть записані стандартні команди MATLAB.

14. За матричним виразом, що наведений у табл.1.1, обчислити матрицю К. Матриці, що входять до виразу, дорівнюють:




Якщо матриця К не є квадратною, доповнити її рядком або стовпцем 1,2,3 до квадратної. Обчислити матрицю, обернену до доповненої матриці К, і визначник доповненої матриці К. Обчислити скалярний добуток матриці К на обернену К (результатом має бути одинична діагональна матриця). Обчислити слід та ранг матриці К.


Таблиця 1.1


№ вар.

Матричний вираз

1, 2

K= A*D+B-C

3, 4

K= (A+C).*B

5, 6

K= A*D+C+В

7, 8

K= (B-A-C)*D

9, 10

K= (C*D-A) +B

11, 12

^ K= C*D-A-B

13, 14

K= A*D+C-В

15, 16

K= (A+C).*B

17, 18

^ K= C*D-A-B

19, 20

K= A*D+C

21, 22

K= A*D+B-C

23, 24

K= (B-A-C)*D

25, 26

K= D*C+B


Графічні побудови. 2-D графіка MATLAB.


2.1. Графік у полярній системі координат:

t=0:0.01:2*pi; y=3*(1+sin(t)); polar(t,y)

2.2. Сполучення графіків в одній системі координат за допомогою функції hold on: t=0:0.01:2*pi;y1=3*(1+sin(t));y2=3*(1-sin(t));

polar(t,y1),hold on,polar(t,y2,'r')

2.3. Сполучення трьох і більше графіків за допомогою функції hold on:

t=0:0.01:2*pi;y1=3*(1+sin(t));y2=3*(1-sin(t));

y3=3*(1+cos(t)); y4=3*(1-cos(t));

polar(t,y1),hold on,polar(t,y2,'r'),polar(t,y3,'g'),polar(t,y4,'k')

2.4. Графік у декартовой системі координат:

t=0:0.01:2*pi; y=sin(t);

plot(t,y),grid

2.5. Формування пояснень до графіка за допомогою функції gtext:

t=0:0.01:2*pi;y=sin(t);plot(t,y),grid,gtext('t'),gtext('y')

% необхідні символи (t і y) установлюються в позиції курсору миші.

2.6. Побудова графіків заданих функцій — fplot.

% Графік функції sin(t) або sin(x) і т.д. у межах по аргументу від до :

» fplot('sin(t)',[-3*pi 3*pi]),grid % Набір у робочому рядку MATLAB

% Графік функції sin(t) у межах по t від до з обмеженням від -0.7 до 0.7

» fplot('sin(t)',[-3*pi,3*pi,-0.7,0.7]),grid

% Сполучення декількох графіків: sin(t), exp(-0.5t), 3cos(t)

» fplot('[sin(t),exp(-0.5*t),3*cos(t)]',[-1,10,-4 5]),grid

Завдання: Побудувати за допомогою fplot графіки наступних функцій і їхніх комбінацій:



з відповідними областями визначення.


2.7. Формування пояснень до графіка за допомогою функцій title, xlabel, ylabel:

t=0:0.01:2*pi;y=sin(t);

plot(t,y),grid,title('Синусоїда'),xlabel('радіани'),

ylabel('функція'),gtext('t'),gtext('y')

» fplot('[sin(t),3*cos(t)]',[-1,10,-4 ,5]),grid,title('y_1-sin(t), y_2-3cos(t)'),gtext('y_1'),gtext('y_2')

% необхідні символи на графіку встановлюються в позиції курсору миші.

2.8. Формування пояснень до креслення декількох графіків за допомогою функції legend:

t=0:0.01:2*pi;y1=sin(t);y2=cos(t);

plot(t,y1,'r'),grid,hold on,plot(t,y2), legend('s1','c2')

2.9. Установка ярлика legend у різних частинах графіка:

у лівому верхньому куті: legend('s1','c2', 2);

у лівому нижньому куті: legend('s1','c2', 3);

у правому нижньому куті: legend('s1','c2', 4);

у правому верхньому куті: legend('s1','c2', 1)

або за замовчуванням: legend('s1','c2');

поза робочою областю графіка: legend('s1','c2', -1);

% Установка для графіків кольорів здійснюється у відповідності з наступними ключовими позначеннями, наведеними в табл.2.:

Таблиця 2.

Позначення кольору

Колір (на англійській)

Колір (на російській)

y

yellow

жовтий

m

magenta

світло-фіолетовий

c

cyan

світло - зелений

r

red

червоний

g

green

зелений

b

blue

голубий (синій)

w

white

білий

k

black

чорний

Див. п.2.8, де креслення графіка здійснюється червоним кольором.

Завдання: п. 2.8 виконати у відповідності до кольорів, наведених в таблиці 2. Виконати побудови графіків за допомогою fplot, наприклад:

» fplot('sin(t)',[-5,5],'r'),grid, hold on,fplot('3*cos(t)',[-5 5],'g') % Із червоним і зеленим кольором.

% Креслення графіків різними символами може бути виконане відповідно до ключових символів, наведеними в табл.3.

Таблиця 3.

Позначення символу

Англійська назва

Російська назва

1

2

3

 (звичайна крапка)

point

точка

o

circle

окружність

x

x-mark

хрестик

*

star

зірочка

s

suare

квадратики

d

diamond

алмаз

v

triangle (down)

трикутник (униз)

^

triangle (up)

трикутник (нагору)

<

triangle (left)

трикутник (лівий)

>

triangle (right)

трикутник (правий)

p

pentagram

п'ятикутна зірочка

h

hexagram

шестикутна зірочка

-

solid

безперервна лінія

:

dotted

пунктирна лінія (:)

-.

dashdot

штрих-пунктирна лінія

--

dashed

розривна лінія


Завдання: п. 2.7 виконати у відповідності до символів, наведених в таблиці 3., п.2.8 виконати відповідно до кольорів і символів, наведених в таблицях 2, 3.

Тривимірна графіка в MATLAB.


Елементарна тривимірна (3-D) графіка — функція plot3.

Функція plot3 у певному змісті є аналогом функції plot. За допомогою plot3 формується побудова лінії в тривимірному просторі по заданим трьох векторах .


Приклад 1.1. Побудова тривимірної просторової спіралі.

t=0:0.05:9*pi; x=2*sin(t);y=cos(t);% t, x, y — вектора однакового розміру

plot3(x,y,t,'r*'),grid,

xlabel('вісь X'),ylabel('вісь Y'),zlabel('вісь Z-t')

title('Просторова спіраль')

% Зберегти програму в текстовому редакторі MATLAB, наприклад, під ім'ям sp3

% Поміняти місцями x, y, t у функції plot3

% Змінити креслення й колір графіка

% Додати пояснення до креслення у вигляді легенди — legend('зірочки')

%Установити наступний діапазон для t: t=-9*pi:0.05:9*pi;

% Пояснення до графіка за допомогою функцій gtext для 3D-графіки не застосовуються


Приклад 1.2. Побудова сфери по окружностях.

%n=100;

n=input('n='); % Клавіатурне уведення числа n за запитом в командному вікні

t1=pi*(-n:5:n)/n;

t2=(pi/2) *(-n:5:n)'/n; % транспонований вектор

X=cos(t2)*cos(t1);

Y=cos(t2)*sin(t1);

E=ones(size(t1)); % матриця одиниць розмірності вектора t1

Z=sin(t2)*E;

plot3(X,Y,Z,'r'),grid,title('Сфера')

% Зберегти програму в текстовому редакторі MATLAB під ім'ям sfera3.

% Програму виконати при різних значеннях n.

% При n =100 змінити крок у масивах t1 і t2: для t1 і t2 одночасно: 3, 1, 10, 25, 50

% Для t1=50, для t2=1; для t1=1, для t2=50.

% Програму sfera3 виконати без клавіатурного уведення, а для заданого числа n.

% Установити в програмі різні кольори зображення сфери.

% Використати різні коефіцієнти для t1 і t2: pi/5, pi/10, pi/50, 2*pi, 5*pi одночасно

% і в сполученні з коефіцієнтом, рівним pi (3.14), при одному з векторів (t1 або t2).


Формування прямокутної сітки на площині — meshgrid.

» [x,y]=meshgrid(-5:0.5:5,-5:0.5:5);

» plot(x,y),xlabel('X'),ylabel('Y')

% Результатом дії функції meshgrid є формування "основи" у площині XOY для побудови над цією основою просторової фігури.


Побудова просторових сітчастих фігур — mesh.

Приклад 3.1.

[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);

Z = 1*x.* exp(-x.^2 - y.^2);% Коефіцієнт 1 замінити: 2, 5, 10, 20

mesh(Z),xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z'),title('Z-поверхня')

% Для порівняння застосувати plot3(x,y,Z),grid замість mesh(Z).

Пример 3.2.

[x,y]=meshgrid(-15:0.2:15,-15:0.2:15);

R=sqrt(x.^2+y.^2)+0.001; %Коэфф. 0. 001 уведений для виключення ділення на нуль

Z=1*sin(R)./R;

mesh(Z)

% Коефіцієнт 1 замінити: 5, 10, 20, 0.5, 0.1

% Для порівняння застосувати plot3(x,y,Z),grid


Сітчаста поверхня із проекціями ліній постійного рівня — meshс.

Приклад 4.1.

[x,y]=meshgrid(-15:0.2:15,-15:0.2:15);

R=sqrt(x.^2+y.^2)+0.001;

Z=1*sin(R)./R;

meshc(Z)

% Коефіцієнт 1 замінити: 5, 10, 20, 0.5, 0.1


Приклад 4.2.

[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);

Z = 1*x.* exp(-x.^2 - y.^2);

meshc(Z),xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z'),title('Z-поверхня')

% Коефіцієнт 1 замінити: 5, 10, 20, 0.5, 0.1


5. Сітчаста поверхня з п'єдесталом площини відліку на нульовому рівні— meshz.

Приклад 5.1.

[x,y]=meshgrid(-15:0.2:15,-15:0.2:15);

R=sqrt(x.^2+y.^2)+0.001;

Z=1*sin(R)./R;

meshz(Z)

% Коефіцієнт 1 замінити: 5, 10, 20, 0.5, 0.1

Приклад 5.2.

[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);

Z = 1*x.* exp(-x.^2 - y.^2);

meshz(Z),xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z'),title('Z-поверхня')

% Коефіцієнт 1 замінити: 5, 10, 20, 0.5, 0.1

6. Побудова просторових суцільних фігур — surf.

Приклад 6.1.

[x,y]=meshgrid(-15:0.2:15,-15:0.2:15);

R=sqrt(x.^2+y.^2)+0.001;

Z=1*sin(R)./R;

surf(Z)

% Коефіцієнт 1 замінити: 5, 10, 20, 0.5, 0.1

Приклад 6.2.

[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);

Z = 1*x.* exp(-x.^2 - y.^2);

surf(Z),xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z'),title('Z-поверхня')

% Коефіцієнт 1 замінити: 5, 10, 20, 0.5, 0.1


Суцільна поверхня із проекціями ліній постійного рівня — surfс.

Приклад 7.1.

[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);

Z = 1*x.* exp(-x.^2 - y.^2);

surfc(Z),xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z'),title('Z-поверхня')

% Коефіцієнт 1 замінити: 5, 10, 20, 0.5, 0.1

Приклад 7.2.

[x,y]=meshgrid(-15:0.2:15,-15:0.2:15);

R=sqrt(x.^2+y.^2)+0.001;

Z=1*sin(R)./R;

surfc(Z)

% Коефіцієнт 1 замінити: 5, 10, 20, 0.5, 0.1


Установка для графіків кольорів здійснюється у відповідності з наступними ключовими позначеннями, наведеними в табл.1.:

Таблиця 1.

Позначення кольору

Колір (на англійській)

Колір (на російській)

y

yellow

жовтий

m

magenta

світло-фіолетовий

c

cyan

світло - зелений

r

red

червоний

g

green

зелений

b

blue

голубий (синій)

w

white

білий

k

black

чорний



^ Креслення графіків різними символами може бути виконане відповідно до ключових символів, наведених в табл.2.

Таблиця 2.

Позначення символу

Англійська назва

Російська назва

1

2

3

 (звичайна крапка)

point

точка

o

circle

окружність

x

x-mark

хрестик

*

star

зірочка

s

suare

квадратики

d

diamond

алмаз

v

triangle (down)

трикутник (униз)

^

triangle (up)

трикутник (нагору)

<

triangle (left)

трикутник (лівий)

>

triangle (right)

трикутник (правий)

p

pentagram

п'ятикутна зірочка

h

hexagram

шестикутна зірочка

-

solid

безперервна лінія

:

dotted

пунктирна лінія (:)

-.

dashdot

штрих-пунктирна лінія

--

dashed

розривна лінія