Реферат: Классическая логика предикатов

Классическая логика предикатов.

ЯКЛП – язык классической логики предикатов.

Нелогические символы естественного языка делятся на 3 категории:

Имена.

Предметные функторы.

Предикаторы.

Имена – это термин, обозначающий отдельный объект (индивид). Имена бывают простые и сложные. Простые не содержат никакой информации об обозначаемых индивидах (имена собственные). Сложные имена не только обозначают предмет, но и указывают на какие-либо его свойства.

Предметные функторы – это термины, с помощью которых в языке представляются предметно-предметные функции (область определений и область значений – класс предметов). Предметные функции различаются по местности (одноместные, двухместные и т.д. – зависит от количества аргументов). Область определения – парные числа, область значения – одно число. Имена могут трактоваться как нульместные предметные функторы.

Предикаторы – это термины, с помощью которых в языке представляются предметно-истинностные функции. Высказывания рассматриваются как нульместные предикаторы. В состав простых высказываний могут входить логические термины (кванторы) – указывают на количество. Квантор общности (все, всякий, каждый, любой, не один) и квантор существования (некоторый, существует, имеется).

ЯКЛП:

Алфавит:

a, b, c, d, a1, … - индивидные константы (параметры простых имен).

x, y, z, x1, … - индивидные переменные (параметры сложных имен).

fn, gn, hn, fn1, - предметные функторы.

Pn, Qn, Rn, Sn, Pn1, - предикаты. Это все нелогические символы.

, &, V, V, ,  - пропозициональные связки.

,  – кванторы.

(,), , - технические символы.

Определение терма.

Всякая индивидная константа является термом.

Всякая индивидная переменная является термом.

Если Ф – предметный функтор, а t1, t2, …, tn – это термы, то Фn (t1, t2, …, tn) – это термы.

Ничто иное не является термом.


Пример:

«4» - a

«5» - в

«» - f1

«+» - g2

4 – f1(a)

4+5 – g2(a,в)

4 +5 – g2(f1(a),в)

4+5 – f1(g2(a,в))

(4+4)+(5+5) – g2(g2(a,a),g2(в,в))


Определение формулы:

Если Пn – предикат, а t1, t2, …, tn – термы, то Пn(t1, t2, …, tn) – формула.

Если А – формула, то А – тоже формула.

Если А и В – формулы, то (А&В), (АVВ), (AVВ), (АВ), (АВ) – формулы

Если А – формула, а  - индивидная переменная, то А(), А() – формула.

Ничто иное не является формулой.

Формулы 1 пункта – атомарные, а 2-4 пунктов – молекулярные.


^ Пример:

Столица (f) России (a) - f(a)

Москва (в) – столица (R) России (a) – R2(в, a)

Москва (в) – столица (R1) – R1(в)


Синтаксические понятия.

В формулах А(), А(), то что подчеркнуто – область действия квантора по переменной .

x(yP(x,y)Q(y,z)) то что в скобках – область действия квантора  по х, а то, что подчеркнуто – область действия квантора  по у.

В производной формуле каждая индивидная переменная встречается некоторое число раз, т.е. имеет некоторое число вхождений в формулу.

Число вхождений: х-2 (связанное), y-3 (два раза связанное, один раз - свободное), z-1 (свободное).

Вхождение индивидной переменной в некоторую переменную называется связанным, если оно следует непосредственно за квантором или находится в области действия квантора по данной переменной. В противном случае вхождение переменной в формулу называется свободным.

Индивидная переменная называется свободной в некоторой формуле, если существует по крайней мере одно ее свободное вхождение в эту формулу.

Переменная называется связанной в некоторой формуле, если существует по крайней мере одно ее связанное вхождение в эту формулу. Переменная может быть и свободной, и связанной в одной формуле.

Терм называется замкнутым, если он не содержит в своем составе индивидных переменных. Формула называется замкнутой, если никакая индивидная переменная не является в ней свободной.

Результатом перевода любого имени естественного языка на ЯКЛП является именно замкнутый терм, а результатом перевода произвольного высказывания именно замкнутая формула.