Реферат: Если использовать разности высших порядков вплоть до n-го, то разностное уравнение 1

Если использовать разности высших порядков вплоть до n-го, то разностное уравнение (1.1) можно представить в виде, аналогичном дифференциальному уравнению:







Описанные способы аппроксимации дифференциальных уравнений разностными дают удовлетворительные результаты только в тех случаях, когда период квантования t0 мал по сравнению с наименьшей постоянной времени объекта. В систе­мах управления промышленными технологическими объектами это условие обычно выполняется вследствие большой инерцион­ности объектов и высокого быстродействия современных управ­ляющих вычислительных машин, позволяющих реализовать опрос всех контуров регулирования с малым периодом.

Применение средств вычислительной техники для управле­ния значительно расширило возможности реализации различ­ных законов управления и регулирования, структура и пара­метры которых определяются в результате оптимизации систе­мы управления. Однако наиболее распространены в системах непосредственного цифрового управления алгоритмы, разрабо­танные как аналоги непрерывного ПИД-регулятора. Это по­зволяет использовать накопленный опыт работы с аналоговы­ми регуляторами и применять хорошо известные правила вы­бора параметров.

Простейший способ получения алгоритма управления по ПИД-закону состоит в переходе от интегро-дифференциального уравнения непрерывного регулятора к разностному уравнению (в соответствии с изложенными выше правилами).

Если уравнение ПИД-регулятора записать в виде (рис. 1.3)







то при интегрировании по методу прямоугольников для перио­да квантования /о получим разностное уравнение



Полученный алгоритм, называемый позиционным, неудобен для реализации в УВМ, так как для формирования управляю­щего воздействия требуется, кроме текущего значения сигнала ошибки помнить все предыдущие значения — от е(0) до е(j-1).



Позиционный алгоритм можно модернизировать, сделав его

рекуррентным. Для этого обозначим


24










Чтобы вывести рекуррентный («скоростной») алгоритм, по которому текущее значение управления ^ Xp(j) вычисляется как сумма предыдущего значения xp(j—1) и поправки &xp(j), за­пишем выражение для xp(j—1):

При этом рекуррентный алгоритм для ПИД-регулятора за­пишется в виде:



При малых значениях периода квантования t0 переходные процессы в дискретной и непрерывной АСР практически сов­падают, поэтому выбор параметров настроек дискретных регу-


25


ляторов проводят по тем же соотношениям, что и непрерыв­ных. Например, для ПИД-регулятора параметры настроек K1, Ко, K2 или Со, С1, С2, при малых значениях to можно вычис­лить по S1, S0, S2, используя формулы (1.3) или (1.4), в зави­симости от выбранного алгоритма; значения же настроек не­прерывного регулятора находят одним из рассмотренных ниже методов (см. разд. 1.2 и 1.4). Для дискретных П- и ПИ-регу-ляторов можно воспользоваться теми же формулами (1.3), (1.4), полагая в них равными пулю коэффициенты So и S2 для П-ре-гулятора или S2 — для ПИ-регулятора.

^ 1.2. РАСЧЕТ НАСТРОЕК РЕГУЛЯТОРОВ В ОДНОКОНТУРНЫХ АСР

При определении настроек регуляторов в качестве показателя оптимальности системы регулирования обычно выбирают ин­тегральный критерий качества (например, интегральный квад­ратичный критерий) при действии на объект наиболее тяже­лого возмущения с учетом добавочного ограничения на запас устойчивости системы. В практических расчетах запас устойчи­вости удобно характеризовать показателем колебательности системы; его значение для систем, имеющих интегральную со­ставляющую в законе регулирования, определяется максимумом амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы ре­гулирования.

В дальнейшем под оптимальными будем понимать настрой­ки регулятора, обеспечивающие заданную степень колебатель­ности т* процесса регулирования при минимуме интегрального квадратичного критерияJкв.

Среди инженерных методов расчета настроек регуляторов одни являются более точными, но трудоемкими для ручного счета, другие — простыми, по приближенными. Подробно эти методы изложены в различных пособиях и монографиях [19,23, 42—49]. Наиболее распространенными способами, отражающи­ми методику точного и приближенного расчета настроек, яв­ляются метод расширенных частотных характеристик (РЧХ) и метод незатухающих колебаний (Циглера — Никольса). Метод РЧХ. По этому методу расчетные формулы для настроек регуляторов получают из условия, аналогичного критерию Найквиста: если разомкнутая система имеет степень колеба­тельности не ниже заданной, то замкнутая система будет об­ладать заданной степенью колебательности в том случае, ког­да расширенная амплитудно-фазовая характеристика (РАФХ) разомкнутой системы Wpс(m, iw) проходит (рис. 1.4) через точку (1, i0), т. е.




26

Уравнение (1.5) равносильно двум уравнениям, записанным относительно расширенных амплитудно-частотных и фазоча-стотных характеристик объекта и регулятора:



Для заданных частотных характеристик объекта и выбран­ного закона регулирования при решении системы уравнений (1.6) находит вектор настроек регулятора S, обеспечивающих заданную степень колебательности на каждой частоте.

Для регуляторов с одним параметром настройки, у которых фр(m, w) не зависит от параметра S, из второго уравнения (1.6) находят рабочую частоту wр, а из первого — параметр настройки S*.

Для П-регулятора с передаточной функцией R(p)= - S1 рабочую частоту wр находят из уравнения







Для И-регулятора с передаточной функцией R(p) = - S0/p частоту wр определяют из уравнения







Для регуляторов с двумя параметрами настроек по урав­нениям (1.6) в плоскости параметров настроек рассчитывают линию равной степени колебательности (рис. 1.5 а, б) для ин­тервала частот, заданного условием



Для ПИ-регулятора с передаточной функцией R(p)= - Si - - So/p система уравнений (1.6) приводит к решению в виде:



Для ПД-регулятора с передаточной функцией R(p)= - Si - - S2p аналогичные формулы для настроек запишутся в виде:




27






Разным точкам на кривой равной степени колебательности соответствуют различные процессы регулирования (рис. 1.5 в, г).

Рабочую частоту (см. рис. 1.5 а) выбирают из условий



соответствующих минимуму Jкв-

Для ПИД-регулятора с тремя параметрами настройки и передаточной функцией R(p)= - S1 - So/p - S2p из системы уравнений (1.6) можно найти настройки S\ и So как функции S2:



Оптимальные настройки регулятора рассчитывают следую­щим образом. Задаваясь различными значениями S2, по фор­мулам (1.11) находят линии равной степени колебательности в плоскости параметров S1So (рис. 1.6а). Затем рассчитывают переходные процессы и по минимуму Jкв выбирают оптималь­ные S1*(S2), S0*(S2) при каждом значении S2 (обычно они соответствуют точке вблизи вершины кривой равной степени колебательности). Далее моделируют переходные процессы для каждого варианта настроек S2, S1*(S2), S0*(S2) и по ми-


28






нимумуJкв выбирают оптимальное значение S2* и соответ­ствующие ему S1*, So*. На рис. 1.66 приведены примеры про­цессов регулирования при различных значениях настроек ПИД-регулятора.

Метод незатухающих колебаний. В соответствии с этим мето­дом расчет настроек ПИ- или ПИД-регуляторов проводят в два этапа: 1 — расчет критической настройки пропорциональ­ной составляющей S1KP(S0=S2=0), при которой АСР будет находиться на границе устойчивости, и соответствующей ей wкр; 2 — определение по s1кр и wкр оптимальных настроек S1*, S0*, S2*, обеспечивающих степень затухания фи=0,8—0,9.

Уравнения для расчета S1Kp и соответствующей ей частоты wКР получают из уравнений (1.7), (1.8) при m=0:



Оптимальные настройки ПИ- и ПИД-регуляторов находят по следующим формулам: для П-регулятора



Метод Циглера — Никольса лежит в основе многих методов настройки дискретных ПИД-регуляторов. В частности, если


29


рекуррентный алгоритм управления, соответствующий анало­говому ПИД-закону, имеет вид




то для больших значений периода квантования /о параметры настройки K1*, Ко*, K2* могут быть найдены по следующим формулам [23]:

для П-регулятора



В уравнениях (1.16) — (1.18) K1кр и Ткр — коэффициент при П-составляющей закона управления и период колебаний вы­ходной координаты, соответствующие режиму незатухающих колебаний АСР.

^ 1.3. РАСЧЕТ НАСТРОЕК РЕГУЛЯТОРОВ В МНОГОКОНТУРНЫХ АСР

Удовлетворительное качество регулирования в простейшей од­ноконтурной системе с использованием стандартных законов регулирования можно обеспечить лишь при благоприятных динамических характеристиках объекта. Однако большинству промышленных объектов химической технологии свойственны значительное чистое запаздывание и большие постоянные вре­мени. В таких случаях даже при оптимальных настройках ре­гуляторов одноконтурные АСР характеризуются большими динамическими ошибками, низкой частотой регулирования и длительными переходными процессами. Для повышения каче­ства регулирования необходим переход от одноконтурных АСР к более сложным системам, использующим дополнительные (корректирующие) импульсы по возмущениям пли вспомога­тельным выходным координатам. Такие системы кроме обыч­ного стандартного регулятора содержат вспомогательные


30





регулирующие устройства — динамические компенсаторы или дополнительные регуля­торы.

В зависимости от характе-

ра корректирующего импульса различают следующие много-коигуриыс АСР: комбинированные, сочетающие обычный замк­нутый контур регулирования с дополнительным каналом воз­действия, по которому через динамический компенсатор вводится импульс по возмущению; каскадные — двухконтурные замкнутые АСР, построенные па базе двух стандартных регу­ляторов и использующие для регулирования кроме основной выходной координаты дополнительный промежуточный выход; с дополнительным импульсом по производной от промежуточ­ной выходной координаты.

1.3.1. Комбинированные АСР

Комбинированные системы регулирования применяют при ав­томатизации объектов, подверженных действию существенных контролируемых возмущений.

На рис. 1.7 приведен фрагмент функциональной схе­мы автоматизации выпарной установки, в которой одним из наиболее сильных возмущений является расход питания. Основ­ная задача регулирования — стабилизация концентрации упа­ренного раствора за счет изменения расхода греющего пара — выполняется регулятором 1. Кроме сигнала регулятора, на кла­пан, регулирующий подачу пара, через динамический компен-



сатор 2 поступает кор­ректирующий импульс по расходу питания.

На рис. 1.8 приведен пример комбинированной АСР состава дистиллята в ректификационной ко­лонне. Стабилизация со-




31


става дистиллята обеспечивается регулятором 5 путем измене­ния подачи флегмы на орошение колонны. Для повышения качества регулирования в системе предусмотрена автоматиче­ская коррекция задания регулятору 5 в зависимости от одного из основных возмущений в процессе — расхода разделяемой смеси. Корректирующим импульс на задание регулятору по­ступает через динамический компенсатор 6".

Рассмотренные примеры иллюстрируют два способа по­строения комбинированных АСР. Как видно из структурных схем (рис. 1.9 и 1.10), обе системы регулирования обладают общими особенностями: наличием двух каналов воздействия на выходную координату объекта и использованием двух коп-туров регулирования — замкнутого (через регулятор 1) и разо­мкнутого (через компенсатор 2). Отличие состоит лишь в том, что во втором случае корректирующий импульс от компенса­тора поступает не на вход объекта, а на вход регулятора.

Введение корректирующего импульса по наиболее сильно­му возмущению позволяет существенно снизить динамическую ошибку регулирования при условии правильного выбора и расчета динамического устройства, формирующего закон изме­нения этого воздействия.

Основой расчета подобных систем является принцип инва­риантности: отклонение выходной координаты системы от за­данного значения должно быть, тождественно равным нулю при любых задающих или возмущающих воздействиях.

Для выполнения принципа инвариантности необходимы два условия: идеальная компенсация всех возмущающих воздей­ствий и идеальное воспроизведение сигнала задания. Очевид­но, что достижение абсолютной инвариантности в реальных системах регулирования практически невозможно. Обычно




32







ограничиваются частичной инвариантностью по отношению к наиболее опасным возмущениям. Рассмотрим условие инва­риантности разомкнутой и комбинированной систем регулиро­вания по отношению к одному возмущающему воздействию. Условие инвариантности разомкнутой и комбинированной АСР. Рассмотрим условие инвариантности разомкнутой системы (рис. 1.11): y(t)=0.

Переходя к изображениям по Лапласу Хв(р) и Y(p) сигна­лов хв(t) н y(t), перепишем это условие с учетом передаточных функций объекта по каналам возмущения Wв(p) и регулирова­ния Wp(p) и компенсатора RK(p):



При наличии возмущения [XB(p) <>0] условие инвариантности (1.19) выполняется, если



Таким образом, для обеспечения инвариантности системы регулирования по отношению к какому-либо возмущению не­обходимо установить динамический компенсатор, передаточная функция которого равна отношению передаточных функций объекта по каналам возмущения и регулирования, взятому с обратным знаком.

Выведем условия инвариантности для комбинированных АСР. Для случая, когда сигнал от компенсатора подается на вход объекта (см. рис. 1.9 а), структурная схема комбиниро­ванной АСР преобразуется к последовательному соединению разомкнутой системы и замкнутого контура (см. рис. 1.96), передаточные функции которых соответственно равны:




33

При использовании комбинированной системы регулирова­ния (см. рис. 1.10 а) вывод условий инвариантности приводит к соотношениям (см. рис. 1.106):



Таким образом, при подключении выхода компенсатора на вход регулятора передаточная функция компенсатора, получен­ная из условия инвариантности, будет зависеть от характери­стик не только объекта, но и регулятора.

Условия физической реализуемости инвариантных АСР. Одной из основных проблем, возникающих при построении инвариант­ных систем регулирования, является их физическая реализуе­мость, т. е. реализуемость компенсатора, отвечающего усло­виям (1.20) или (1.20 а).

В отличие от обычных промышленных регуляторов, струк­тура которых задана и требуется лишь рассчитать их настрой­ки, структура динамического компенсатора полностью опреде­ляется соотношением динамических характеристик объекта по каналам возмущения и регулирования и может оказаться очень сложной, а при неблагоприятном соотношении этих характе­ристик - физически нереализуемой.

«Идеальные» компенсаторы физически нереализуемы в сле­дующих двух случаях.

1. Если время чистого запаздывания по каналу регулирова­ния больше, чем по каналу возмущения. В этом случае идеаль­ный компенсатор должен содержать звено упреждения, так как если



2. Если в передаточной функции компенсатора степень по­линома в числителе больше, чем степень полинома в знамена­теле. В этом случае компенсатор должен содержать идеальные дифференцирующие звенья. Такой результат получается при


34



Таким образом, условие физической реализуемости инва­риантной АСР заключается в том, чтобы выполнялись соот­ношения



Пример. Рассмотрим систему регулирования температуры в химическом реакторе с перемешивающим устройством, в котором протекает экзотерми­ческая реакция (рис. 1.12). Пусть основной канал возмущения — «расход реакционной смеси — температура в реакторе» — аппроксимируется двумя апериодическими звеньями первого порядка, а канал регулирования — «рас­ход хладоагента — температура в реакторе» — тремя апериодическими звенья­ми первого порядка:



где T1, Т2, Т3 — наибольшие постоянные времени основных тепловых емко­стей реактора, термометра и охлаждающей рубашки.

Для построения инвариантной системы регулирования необходимо вве­сти компенсатор с передаточной функцией



который физически нереализуем, так как в данном случае нарушается ус­ловие (1.24), и компенсатор должен содержать идеальное дифференцирую­щее звено.

Техническая реализация инвариантных АСР. При практической реализации разомкнутых и комбинированных АСР обычно до­биваются приближенной инвариантности системы по отноше­нию к рассматриваемому возмущению в наиболее опасном диапазоне частот. При этом реальный компенсатор выбирают из числа наиболее легко реализуемых динамических звеньев, параметры которых рассчитывают из условия близости частот-


35


ных характеристик идеального [Rк(iw)] и реального [Rк(iw)] компенсаторов в этом диапазоне частот:



При такой постановке задачи условие приближенно» инва­риантности примет вид



Как видно из (1.17), диапазон [wн, wв] в разомкнутой АСР определяется частотным спектром сигнала возмущения |XB(iw)|. В химико-технологических процессах сигналы, как правило, являются низкочастотными, и их мощность, в основном, сосре­доточена в диапазоне [0, wв], т. е. (рис. 1.13)



Комбинированную АСР можно рассматривать как двухсту­пенчатый фильтр для сигнала возмущения, состоящий из разо­мкнутой АСР и замкнутого контура, который является фильт­ром для определенных частот. Характерной особенностью за­мкнутой системы регулирования является наличие пика на ам­плитудно-частотной характеристике на рабочей частоте wр (рис. 1.14), в окрестности которой он обладает наихудшими фильтрующими свойствами. Поэтому чаще всего условие при­ближенной инвариантности (1.25) для комбинированных АСР записывается для двух частот: w = 0 и w = wp. При этом компен­сация возмущения на нулевой частоте обеспечивает инвариант­ность системы в установившихся режимах, если Aзс(w)<>0 при w = 0 (например, при использовании П-регулятора в замкнутом контуре), или если |Хв(w)|—oo при w = 0 (например, при ступенчатых возмущениях).



На рис. 1.15 и 1.16 качественно показаны спектры ошибки
регулирования в одноконтурной АСР с пропорциональным ре­
гулятором (рис. 1.15) и в частично
инвариантной

АСР (рис. 1.16).

Выбор структуры реального компенсатора диктуется частотны-




36




ми характеристиками идеального компенсатора в диапазоне частот [0, сор]. Обычно компенсаторы выбирают как комбина­цию простейших линейных звеньев: апериодического первого порядка и реального дифференцирующего. В табл. 1.1 приведе­ны динамические характеристики наиболее распространенных типов компенсаторов.

Таким образом, расчет комбинированной частично инва­риантной АСР включает следующие этапы:

расчет настроек регулятора и определение рабочей час­
тоты в одноконтурной системе регулирования;

вывод передаточной функции идеального компенсатора
из условия инвариантности и анализ его реализуемости;

выбор реального компенсатора и определение его пара­
метров из условия приближенной инвариантности в наиболее
существенном для системы диапазоне частот.

Рассмотрим примеры расчета комбинированных систем ре­гулирования.




37




Пример 1. Динамические характеристики объекта по каналам возмуще­ния и регулирования описываются передаточными функциями



В комбинированной АСР используется П-регулятор с передаточной функци­ей R(р)= - S1. Требуется рассчитать настройки регулятора, выбрать компен­сатор и определить его параметры из условия инвариантности на нулевой и рабочей частотах. Решение. Определяем настройки регулятора по методу Циглера — Ни­кольса. Из системы уравнений




38






определяем критическую частоту w kp и критический коэффициент усиления регулятора s1kp, при которых замкнутая система регулирования будет на­ходиться на границе устойчивости:



Рабочую частоту wp принимаем приближенно равной wкр, а оптимальную настройку регулятора равной S1* = 0,5S1KP = 0,917.

Передаточная функция компенсатора из условия инвариантности (1.20), с учетом (1.19) имеет вид:



Так как компенсатор с передаточной функцией (1.30) не содержит звеньев с отрицательным чистым запаздыванием и степень полинома числи­теля не превосходит степени полинома знаменателя, идеальный компенсатор физически реализуем. Однако техническая реализация такого устройства до­статочно сложна, поскольку оно включает звенья чистого запаздывания, ре­альное дифференцирующее и апериодическое звено 1-го порядка. Поэтому целесообразно подобрать реальный компенсатор более простой структуры.

Для выбора типа реального компенсатора построим частотные характе­ристики идеального компенсатора в диапазоне частот [0, wр]. Из уравнения (1.30) при p = iw получим:

амплитудно-частотная характеристика




39



Так как в интервале w [0; 1,54] годограф RK(iw) проходит в четвертом квадранте, в качестве реального компенсатора можно выбрать апериодиче­ское звено 1-го порядка или интегро-дифференцирующее звено. В первом случае (рис. 1.17а) система уравнений (см. табл. 1.1)



не имеет точного решения. Если принять приближенно T=0,145, то wк(1,54) = = - 0,219 и Aк (1,54) =0,49.

Для интегро-дифференцирующего звена (рис. 1.17б) параметры Т1 и Т2 находим из системы уравнений



Получаем T1=0,066; T2=0,2.

Пример 2. Передаточные функции объекта и регулятора имеют вид:



Расчет комбинированной системы регулирования, аналогичный рассмот­
ренному в примере 1, приводит к следующим результатам.

Оптимальные настройки регулятора и рабочая частота равны соответст­венно S1*= 1,09; S0* = 0,42; wр = 2,02.

Идеальный компенсатор — звено чистого запаздывания, так как




40


Рабочая частота на годографе RK(iw) находится в четвертом квадран­те [фк (2,02)=—0,81], поэтому в качестве реального компенсатора выбираем устройство с передаточной функцией вида (см. табл. 1.1)



Параметры kк и Т находим из условий



Отсюда Т=0,21. Частотные характеристики «идеального» и реального ком­пенсаторов показаны на рис. 1.18.

1.3.2. Каскадные АСР

Каскадные системы применяют для автоматизации объектов, обладающих большой инерционностью по каналу регулирова­ния, если можно выбрать менее инерционную по отношению к наиболее опасным возмущениям промежуточную координату и использовать для нее то же регулирующее воздействие, что и для основного выхода объекта.

В этом случае в систему регулирования (рис. 1.19) вклю­чают два регулятора — основной (внешний) регулятор, служа­щий для стабилизации основного выхода объекта у, и вспомо­гательный (внутренний) регулятор, предназначенный для регу­лирования вспомогательной координаты у1. Заданием для вспо-могатель'ного регулятора служит выходной сигнал основного регулятора.

Выбор законов регулирования определяется назначением регуляторов:

для поддержания основной выходной координаты на задан­ном значении без статической ошибки закон регулирования основного регулятора должен включать интегральную состав­ляющую;

от вспомогательного регулятора требуется прежде всего быстродействие, поэтому он может иметь любой закон регули­рования (в частности пропорциональный как наиболее простой и достаточно быстродействующий).

Сравнение одноконтурных и каскадных АСР показывает, что вследствие более высокого быстродействия внутреннего контура в каскадной АСР повышается качество переходного процесса, особенно при компенсации возмущений, поступаю­щих по каналу регулирования (как будет показано ниже, при




41





этом инерционность эквивалент­ного объекта благодаря внутрен­нему контуру снижается по сравнению с инерционностью основного канала регулирова­ния).

Если по условию ведения процесса на вспомогательную переменную накладывается ограничение (например, температу­ра не должна превышать предельно допустимого значения или соотношение расходов должно лежать в определенных преде­лах), то на выходной сигнал основного регулятора, который является заданием для вспомогательного регулятора, также накладывается ограничение. Для этого между регуляторами устанавливается устройство с характеристиками усилительного звена с насыщением.

Примеры каскадных АСР технологических объектов. На рис. 1.20 приведен пример каскадной системы стабилизации температу­ры жидкости на выходе из теплообменника, в которой вспомо­гательным контуром является АСР расхода греющего пара. При возмущении по давлению пара регулятор 1 изменяет сте­пень открытия регулирующего клапана таким образом, чтобы поддержать заданный расход. При нарушении теплового ба­ланса в аппарате (вызванном, например, изменением входной температуры или расхода жидкости, энтальпии пара, потерь тепла в окружающую среду), приводящем к отклонению выход­ной температуры от заданного значения, регулятор температу­ры 2 корректирует задание регулятору расхода /.

В химико-технологических процессах часто основная и вспо­могательная координаты имеют одинаковую физическую при­роду и характеризуют значения одного и того же технологи­ческого параметра в разных точках системы (рис. 1.21).

На рис. 1.22 показаны фрагмент технологической схемы, включающий подогреватель реакционной смеси и реактор, и система стабилизации температуры в реакторе. Регулирую­щее воздействие — расход пара — подается на вход теплооб­менника. Канал регулирования, включающий два аппарата и







42





трубопроводы, является слож­
ной динамической системой с
большой инерционностью.

На объект действует ряд воз­мущений, поступающих в раз­ные точки системы, — давле­ние и энтальпия пара, темпе­ратура и расход реакционной смеси, потери тепла в реакторе и т. п. Для повышения быстро­действия системы регулирования применяют каскадную АСР, в которой основной регулируемой переменной является темпе­ратура в реакторе, а в качестве вспомогательной выбрана тем­пература смеси между теплообменником и реактором. Расчет каскадных АСР. Расчет каскадной АСР предпола­гает определение настроек основного и вспомогательного ре­гуляторов при заданных динамических характеристиках объ­екта по основному и вспомогательному каналам. Поскольку настройки основного и вспомогательного регуляторов взаимо­зависимы, расчет их проводят методом итераций.

На каждом шаге итерации рассчитывают приведенную од­ноконтурную АСР, в которой один из регуляторов условно относится к эквивалентному объекту. Как видно из структур­ных схем на рис. 1.23, эквивалентный объект для основного регулятора / (рис. 1.23 а) представляет собой последовательное соединение замкнутого вспомогательного контура и основного







43

канала регулирования; передаточная функция его равна







Эквивалентный объект для вспомогательного регулятора 2 (рис. 1.23,6) является параллельным соединением вспомога­тельного канала и основной разомкнутой системы. Его переда­точная функция имеет вид:



В зависимости от первого шага итерации различают два метода расчета каскадных АСР.

1-й метод. Расчет начинают с основного регулятора. Метод используют в тех случаях, когда инерционность вспомогатель­ного канала намного меньше, чем основного.

На первом шаге принимают допущение о том, что рабочая частота основного контура (wр) намного меньше, чем вспомо­гательного (wpl), И при w = wр



Таким образом, в первом приближении настройки 5° основно­го регулятора 1 не зависят от R1(р) и находятся по Wэо(p).

На втором шаге рассчитывают настройки вспомогательного регулятора Sl1 для эквивалентного объекта (1.32) с передаточ­ной функцией W1э(p), в которую подставляют R(p,S°).

В случае приближенных расчетов ограничиваются первыми двумя шагами. При точных расчетах их продолжают до тех пор, пока настройки регуляторов, найденные в двух последова­тельных итерациях, не совпадут с заданной точностью. Блок-схема алгоритма расчета приведена на рис. 1.24, а. 2-й метод. Расчет начинают со вспомогательного регулятора. На первом шаге предполагают, что внешний регулятор отклю­чен, т. е.



Таким образом, и первом приближении настройки вспомога­телыюго регулятора S1° находят по одноконтурной АСР для вспомогательного канала регулирования. На втором шаге рас­считывают настройки основного регулятора по передаточной функции эквивалентного объекта Wэ1(p) с учетом R1(p, S1°). Для уточнения настроек вспомогательного регулятора S11 расчет проводят по передаточной функции (1.32) W1эо(p), в которую подставляют R(p,S1). Расчеты проводят до тех пор, пока па-стройки вспомогательного регулятора, найденные в двух по­следовательных итерациях, не совпадут с заданной точностью (рис. 1.24,6).


44



Пример. Рассчитать настройки регуляторов в каскадной АСР, если пе-pедаточный функции объекта по основному и вспомогательному каналам и передаточные функции регуляторов соответственно равны



Для расчета одноконтурных АСР используем метод Циглера — Ни­кольса.

Из сравнения W (р) и W1(p) видно, что инерционность вспомотательно­го канала намного меньше, чем основного (ti

45




1. Расчет настроек основного регулятора (S10, S0°, (wp°). Следуя выражению (1 34), находим передаточную функцию эквивалент­ного объекта:




46











47



W°paз (iw) =W(iw)R(iw, S°). Критические настройки регулятора S1кр и w1kp находим из системы уравнений:



Рабочие настройки принимаем равными: S111 = 2,82; S1o1 = 2,05; w11p=3,8.

3. Уточнение настроек основного регулятора (S11, So1, (wp1). Необходимость уточнения настроек регулятора S1 возникает в том случае, если допущение (1.33) не выполняется с заданной точностью. Про­верка этого условия в данном примере показывает, что



т. е. l/|R11(wp)| соизмерима с A1(wр) (если принять допустимую погреш­ность при выполнении условия (1.33), равную 5%) и требуется дальнейшее уточнение настроек. Поэтому по формуле передаточной функции эквивалент­ного объекта Wэ1 (р) находим его частотные характеристики в окрестности со = 0,73 (рис. 1.27) с учетом того, что




48



Критические и рабочие настройки регулятора 1 находим из условий




т. е. начиная с п. 2 необходимо повторить расчет.

Результаты расчетов по итерациям сведены в таблицу. Их анализ показывает, что в рассмотренном примере рабочие частоты регуляторов в каскадной АСР незначительно отличаются от соответствующих частот в одноконтурных системах регулирования. При этом включение регуляторов в каскадную систему приводит к повышению рабочей частоты основного ре­гулятора и снижению рабочей частоты вспомогательного (см. рис. 1.28, а, б). Эта особенность каскадных АСР учитывается при выборе частотного диапазона, что позволяет сократить объем вычислений при расчетах частот­ных характеристик эквивалентных объектов.



Окончательный вывод об эффективности применения кас­кадной АСР по сравнению с одноконтурной делают на основе




49


сравнительного анализа результатов моделирования переход­ных процессов. Для рассмотренного примера на рис. 1.28 при­ведены графики процессов регулирования в одноконтурной и каскадной АСР при единичном ступенчатом возмущении по ка­налу регулирования. Как видно из сравнения кривых 1 и 2, динамическая ошибка регулирования в каскадной АСР снизи­лась почти в пять, а интегральный квадратичный критерий — почти в девять раз.

^ 1.3.3. АСР с дополнительным импульсом по производной из промежуточной точки

Такие системы обычно применяют при автоматизации объек­тов, в которых регулируемый технологический параметр (на­пример, температура или состав) распределен по простран­ственной координате (как в аппаратах колонного или трубча­того типа). Особенность таких объектов состоит в том, что основной регулируемой координатой является технологический параметр на выходе из аппарата, возмущения распределены по длине аппарата, а регулирующее воздействие подается на его вход. При этом одноконтурные замкнутые АСР не обеспечи­вают должного качества переходных процессов вследствие большой инерционности канала регулирования.

Подача на вход регулятора дополнительного импульса из промежуточной точки аппарата дает опережающий сигнал, и регулятор включается в работу прежде, чем выходная коор­дината отклонится от заданного значения.

Для того чтобы обеспечить регулирование без статической ошибки, необходимо, чтобы в установившихся режимах допол­нительный импульс исчезал. С этой целью вспомогательную координату пропускают через реальное дифференцирующее звено, так что входной сигнал регулятора равен е= у+у/1—у° (рис. 1.29,а). В установившихся режимах, когда у/1 = 0, при е = 0, y = y0.

Эффективность введения дополнительного импульса зави­сит от точки его отбора. Выбор последней определяется в каж-




50

дом конкретном случае динамическими свойствами объекта и условиями его работы. Так, измерение y1 в начале аппарата равносильно дополнительному импульсу по возмущению, кото­рое поступает по каналу регулирования. При этом дифферен­цирующее устройство играет роль динамического компенсатора возмущения. Измерение y1 па выходе объекта (у1=у) равно­сильно введению производной от основной координаты. Для каждого объекта можно выбрать оптимальное место от­бора дополнительного импульса, при котором качество регули­рования оказывается наилучшим.

Расчет подобных систем регулирования аналогичен расчету каскадных АСР после соответствующих преобразований. В приведенной каскадной АСР на рис. 1.29,б роль внешнего регулятора играет звено с передаточной функцией RД-1(p), а внутреннего — последовательно соединенные регулятор и дифференциатор, так что передаточные функции для приведен­ных регуляторов соответственно равны:



На достаточно высоких частотах, для которых выполняется условие Т2w >> 1, слагаемым 1/T1 можно пренебречь. Тогда, формула для R1(p) примет вид:



1.3.4. Взаимосвязанные системы регулирования

Объекты с несколькими входами и выходами, взаимно связан­ными между собой, называют многосвязными объектами (рис. 1.30, а). При отсутствии перекрестных связей, когда каж­дый вход влияет лишь на один выход, многосвязные объекты распадаются на односвязные (рис. 1.30, б), регулирование ко­торых рассмотрено ранее. Однако подавляющее большинство химико-технологических процессов является сложными много­связными объектами, а их системы регулирования оказывают­ся взаимосвязанными.

Динамика многосвязных объектов описывается системой дифференциальных уравнений, а в преобразованном по Лапла-


51





су виде — матрицей передаточных функции



Для односвязных объектов WjK(p)=0 при j<>k, и матрица (1.35) превращается в диагональную.

Существует два различных подхода к автоматизации много­связных объектов: несвязанное регулирование отдельных коор­динат с помощью одноконтурных АСР; связанное регулирование с применением многоконтурных систем, в которых внутрен­ние перекрестные связи объекта компенсируются внешними ди­намическими связями между отдельными контурами регулиро­вания.

Каждый из этих методов обладает своими преимуществами и недостатками.

При несвязанном регулировании, если учитывают только основные каналы регулирования, расчет и наладку регуляторов проводят как для одноконтурных АСР. Этот метод можно при­менять в тех случаях, когда влияние перекрестных связей на­много слабее, чем осн