Реферат: О. О. Метешкін, д-р техн наук, проф. Харківського військового університету; > Н. А. Кизим, д-р екон. наук, проф. Харківського

Н

АРОДНА УКРАЇНСЬКА АКАДЕМІЯ


О. В. Дьячкова, С. Б. Данилевич


СУЧАСНІ ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ЕКОНОМІЦІ.

БІЗНЕС-АНАЛІЗ ДАНИХ ЗАСОБАМИ MATHCAD


Видавництво НУА


НАРОДНА УКРАЇНСЬКА АКАДЕМІЯ


О. В. Дьячкова, С. Б. Данилевич


СУЧАСНІ ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ЕКОНОМІЦІ.

БІЗНЕС-АНАЛІЗ ДАНИХ ЗАСОБАМИ MATHCAD


Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України


Харків

Видавництво НУА


2006

УДК004.4:330(075.8)

ББК 32.973.26-018.2я73-1+65в6я73-1


Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів


Лист № 14/18.2-1787 від 03.11.2003
Д93


Рецензенти:О. О. Метешкін, д-р техн. наук, проф. Харківського військового університету;

Н. А. Кизим, д-р екон. наук, проф. Харківського

національного університету ім. В. Н. Каразіна


^ Д
Д93
ьячкова, Ольга Володимирівна.

Сучасні інформаційні технології в економіці. Бізнес-аналіз даних засобами MathCAD:[Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл.] / О. В. Дьячкова, С. Б. Данилевич; Нар. укр. акад. – Х.: Вид-во НУА, 2006. – 172 с.


ISBN 966-8558-07-03


У посібнику розглянуто використання програмного пакету MathCAD для автоматизації розв’язання економічних задач. Містить лабораторні роботи для економістів із математики, економіко-математичних методів та моделювання.

Для студентів вищих навчальних закладів.


УДК 004.4:330(075.8)

ББК 32.973.26-018.2я73-1+65в6я73-1


ISBN 966-8558-07-03  Народна українська академія, 2006
ВСТУП

MathCAD – одна з найефективніших математичних систем, що займає особливе місце серед великої кількості подібних програм (Matlab, Maple, Math, Mathematica, Derive та ін.).

З одного боку, MathCAD – це потужне й водночас просте універсальне середовище для розв’язання задач у різних галузях науки й техніки, фінансів та економіки, фізики й астрономії, математики і статистики. Пакет дозволяє виконувати як числові розрахунки будь-якого ступеня складності (тут він обмежений лише технічними можливостями Вашого комп’ютера), так і аналітичні (символьні) обчислення. Він має великі графічні можливості: крім традиційних типів графіків можна будувати поверхні, лінії рівня та векторні поля, а також створювати графічну анімацію.

MathCAD має також одну дуже важливу особливість, що вигідно відрізняє його від інших математичних пакетів. Це єдина система, у якій опис розв’язання математичних задач задається за допомогою звичних математичних формул і знаків. Математичні вирази, оброблювані в MathCAD, майже точно повторюють звичайну математичну символіку, з однією відмінністю: вони є «живими», тобто будь-які зміни в даних, рівняннях, змінних тощо призводять до автоматичного перерахування всіх виразів, перебудування графіків і т. д.

Інтерфейс програми настільки зручний, що користувач працює з робочим аркушем програми як із аркушем паперу, де пише формули й математичні вирази в їх звичній нотації. Тому MathCAD надзвичайно простий у використанні й легкий в опануванні.

Крім того, MathCAD містить у собі Центр ресурсів – електронні книги, що дозволяють користувачам різного рівня кваліфікації удосконалювати свою роботу (меню Допомога / Центр ресурсів). У ньому доступні довідкові вказівки з великою кількістю прикладів (як для початківців – у режимі step-by-step, так і для досвідчених користувачів), готові шаблони розв’язання типових задач (у т. ч. економічних, статистичних, фізичних і багатьох ін.), а також безліч ресурсів Інтернет із різних галузей науки й техніки. Їх можна витягати із серверів Інтернет і не тільки переглядати, а й переносити на свій робочий аркуш звичайною операцією копіювання або переміщення. Існує також можливість створення власної електронної книги, але для цього потрібне додаткове програмне забезпечення.

Обчислювальні можливості MathCAD можуть бути розширені через взаємодію з іншими програмами, у т. ч. Excel, Word, AutoCAD тощо. Наприклад, обчислення MathCAD можуть бути вставлені на аркуш Excel як фрагмент документа MathCAD, а розрахунки Excel можуть бути вставлені як фрагменти електронної таблиці прямо в документ MathCAD із можливістю їх подальшого редагування. Можна використовувати механізм OLE і можливості Visual Basic для інтеґрації обчислень MathCAD із іншими програмами.

В останніх версіях MathCAD підтримується тісна інтеґрація з Web, тобто є можливість зберігати документи MathCAD у форматі HTML, відправляти документи електронною поштою і т. д. Крім того, можна використовувати цей пакет як засіб браузинга – перегляду – математичних ресурсів Web (завдяки вбудованій в Центр ресурсів MathCAD версії Microsoft Internet Explorer), – або як засіб обміну даними чи для спільної роботи з колегами (завдяки MathCAD Collaboratory).

Програмний пакет MathCAD дозволяє вирішити безліч завдань, пов’язаних із веденням бізнесу, плануванням, фінансами, статистикою. Наявність убудованих фінансових функцій, можливість робити табличні обчислення, використовувати диференціальні й інтеґральні характеристики економічних процесів визначає MathCAD поряд із Excel як найбільш популярні інструменти обробки економічної інформації.

Для підвищення ефективності роботи користувачу необхідно вийти за межі MS-додатків. Опанування програми MathCAD дозволить надалі взяти на озброєння й інші програми обробки економічної інформації.


^ 1. ВСТУП ДО MATHCAD



Інтерфейс MathCAD;

курсор вводу;

математичний реґіон;

текстовий реґіон;

форматування реґіонів;

захист інформації;

настройка інтерфейсу;

оператори;

типи даних;

математичні вирази;

убудовані функції;

представлення результату обчислень;

символьні обчислення.


Опанування програми MathCAD розширює арсенал інструментів обробки бізнес-інформації, створення електронних документів. Користувачу, який успішно освоїв роботу з додатками Word, Excel, Access, Power Point та інше, не важко буде зрозуміти основні принципи роботи з MathCAD, оскільки всі навички, набуті раніше при роботі з іншими програмами, знайдуть тут своє застосування.

^ ІНТЕРФЕЙС MATHCAD

Інтерфейс MathCAD подібний до інших Windows-додатків. У верхньому рядку вікна можна прочитати назву програми й ім’я завантаженого документа, нижче розташований рядок Головного меню.

MathCAD містить три панелі інструментів – дві загальноприйняті: панель Стандартна з розташованими на ній кнопками найбільш загальних команд та опцій і панель Форматування, що відповідає за вигляд введеної текстової інформації. Під цими двома панелями може відображатися лінійка. Третя панель – Математика – зазвичай «плаває» у вікні документа, хоча можна і припаркувати її у верхній частині вікна. Вона містить кнопки виклику основних операцій, дій, позначок MathCAD; кожна з кнопок відкриває свою власну, спеціалізовану, панель інструментів.

Унизу вікна знаходиться рядок стану, у якому відображаються різного роду службові повідомлення. Більшу ж частину вікна програми займає біле робоче поле, для зручності розбите на аркуші.

Для виводу на екран (або приховання) названих вище елементів інтерфейсу, як завжди, призначене меню Вигляд.

MathCAD працює з документами. З погляду користувача, документ – це чистий аркуш паперу, на якому можна розміщувати блоки («реґіони») трьох основних типів: математичні вирази, текстові фрагменти та графічні області.

При бажанні можна змінити колір аркушів документів. Для цього в меню ^ Формат / Колір виберіть пункт Фоновий (Format / Color / Background). У палітрі, що з’явилася, Визначити найбільш приємний для Вас відтінок. Дуже багато користувачів віддають перевагу роботі з інверсною (зворотною) заливкою, тому що при цьому хід розв’язання стає більш наочним, оскільки біла область формул і виразів різко виділяються на тлі екрана. Для того щоб перейти до такого оформлення, виконайте команду Вигляд / Реґіони (View / Regions).

Можна виділити кольором («підсвітити») тільки один якийсь реґіон. Для цього з контекстного меню виділеного реґіону оберіть команду Properties і на закладці Відображення увімкніть прапорець опцій Підсвічування реґіону. Кнопка Вибір кольору дозволяє змінити колір цього підсвічування.

Виділення, видалення, переміщення та копіювання реґіонів робиться аналогічно іншим додаткам Windows. Також аналогічно діють операції з буфером обміну (у т. ч. і за допомогою комбінацій клавіш, загальноприйнятих у Windows – Ctrl+C, Ctrl+V, Ctrl+X або Ctrl+Ins, Shift+Ins, Shift+Del). А от скасувати можна тільки одну останню дію (Ctrl+Z або Alt+Backspace), і то далеко не завжди.

Іноді блоки (реґіони) накладаються один на одний. У цьому випадку зручною є команда меню ^ Формат / Розділити реґіони. Для вирівнювання кількох виділених реґіонів по вертикалі чи горизонталі служить команда меню Формат / Прив’язати реґіони (Format / Align regions).

Щоб вставити декілька порожніх рядків між реґіонами, використовуйте комбінацію клавіш Ctrl+F9, а для видалення кількох рядків – Ctrl+F10.

^ КУРСОР ВВОДУ

Крім звичайної для всіх додатків Windows позначки миші (mouse pointer), на білому полі робочої області неважко помітити маленький червоний хрестик – курсор вводу (crosshair) , що позначає місце вставки тексту або формули. Щоб перемістити його в іншу точку екрана, клацніть лівою клавішею миші, попередньо перемістивши позначку в потрібну область. При введенні символів із клавіатури курсор перетвориться на синій кут – лінії вводу (editing lines) , що позначають режим вводу формули. Поставивши неприпустимий у формулі пробіл, Ви перейдете в режим редагування тексту. Відповідно, курсор набуде вигляду червоної вертикальної лінії – лінії вводу тексту (text insertion point) , а текстовий фрагмент буде виділений рамкою з трьома маркерами в правому нижньому куті .

^ МАТЕМАТИЧНИЙ РЕґІОН

Для набору формул просто встановіть курсор вводу в необхідне місце документа й надрукуйте формулу в такому вигляді, який вона мала б у звичайній математичній нотації. При вводі формули вона обрамовується спеціальними лініями вводу – синім кутом. Від його розміру та розташування залежить позиція вводу чергового символу. Так, якщо слідом за виразом ex надрукувати +1 у тому випадку, коли кут обрамовує символ х (), результатом буде ex+1. Якщо ж кут виділяє вираз ex цілком (), то результат буде мати вигляд ex+1.

Розмір цих ліній вводу змінюється за допомогою клавіші пробілу та/або клавіш зі стрілками. Орієнтація кута (правий чи лівий) – за допомогою клавіші Ins.

Розташування нетекстових блоків у документі має принципове значення – зліва направо і зверху вниз. Наприклад, щоб одержати значення функції за деякого значення аргументу, аргумент повинен бути визначеним вище або лівіше самої функції. Інакше буде видане повідомлення про помилку: «Variable or function is not defined above» – «Змінна або функція не визначена вище».

^ ТЕКСТОВИЙ РЕґІОН

Для вводу текстового коментарю необхідно ввести знак подвійної лапки ", потім уводити текст. Однак можна відразу починати набір тексту в місці розташування курсору вводу, – спочатку MathCAD буде вважати набраний текст математичним реґіоном, але при введенні першого ж пробілу реґіон буде вважатися текстовим.

Закінчивши набір тексту, просто клацніть мишею поза межами тексту. Не натискайте Enter – це призведе до набору нового рядка тексту в цьому ж реґіоні.

При досягненні кінця рядка відбувається автоматичний перенос на наступний. Текстова область, як і будь-яка інша, може бути переміщена на робочому аркуші або скопійована в буфер. Маркери текстової області дозволяють змінювати її розміри.

У текстову область можна вставляти формули. Для цього застосовується меню Вставка / Математичний реґіон або комбінація клавіш Ctrl+Shift+A.

^ ФОРМАТУВАННЯ РЕґІОНІВ

Форматування текстового реґіону означає вибір для нього опцій шрифтового й абзацного оформлення. Зосереджено ці опції в меню Формат / Текст, Формат / Абзац або контекстному меню Шрифт, Абзац, Нижній індекс, Верхній індекс. Можна об’єднати ці настройки, створивши свій стиль користувача (Формат / Стиль або контекстне меню Стиль).

Можливості форматування математичного реґіону зосереджені в меню Формат / Обчислення.

Для встановлення позицій табуляції зазвичай використовується лінійка або меню Формат / Табуляція.

^ ЗАХИСТ ІНФОРМАЦІЇ

MathCAD надає можливість заборонити перерахунок, редагування даних або навіть приховати частину документа.

Для окремих математичних реґіонів можна заборонити їх подальші обчислення (перерахунок), вибравши в контекстному меню команду Properties і встановивши прапорець опцій «Вимкнути оцінку» («Disable evaluation») на закладці Обчислення. Такий математичний реґіон позначається справа чорним маркером: .

Щоб заборонити будь-які зміни в певній частині документа або приховати її, спочатку треба виділити цю частину: установіть курсор трохи вище від початку бажаної області й виберіть команду Вставка / Область. У документ будуть вставлені дві горизонтальні лінії, переміщуючи які, слід обмежити бажаний фрагмент.

Усі припустимі дії з цією областю зосереджені в меню ^ Формат / Область або в контекстному меню. Область можна заблокувати від внесення будь-яких змін (команда Блокувати, або Lock), – при цьому всі дані залишаються видимими на екрані, але їх не можна редагувати. Можна «згорнути» (тобто приховати) усі дані області, щоб вони не були видні в документі (команда Стиснути, або Collapse).

При блокуванні області можна визначити пароль для скасування цієї дії – тоді з лівого краю заблокованої області відображається замок.

Скасування блокування і стиснення робиться аналогічно до їх встановлення (команди ^ Формат / Область / Розблокувати або Розширити).

Можна визначити будь-яке число різних областей у документі, однак забороняється вкладати одну область в іншу.

^ НАСТРОЙКА ІНТЕРФЕЙСУ

Для того щоб настроїти інтерфейс програми, відкриємо необхідні панелі інструментів (Toolbars). При першому завантаженні у верхньому лівому куті вікна програми неважко помітити маленьку панель Math (математична), що містить посилання на всі інші робочі панелі MathCAD.





Коротко розглянемо їх призначення:



Калькулятор.



Логічні операції.



Графіки.



Програмування.



Матриці.



Грецький алфавіт.



Панель обчислень.



Символьні обчислення.



Математичний аналіз.








1. Панель Calculator (Калькулятор). Містить різні арифметичні оператори, найбільш часто використовувані функції, цифри та деякі службові символи.

2. Панель Graph (Графіки). Містить посилання, що викликають області для різних типів графіків і діаграм, а також інструменти їх дослідження.

3. Matrix (Матриця). На цій панелі знаходяться оператори роботи з матрицями та векторами.

4. Calculus (Обчислення). Панель містить різні оператори аналізу: знаки інтеграла і похідної, підсумовування і множення, а також символ нескінченності.

5. Boolean (Булеві). На цій панелі знаходяться різні логічні оператори.

6. Symbolic (Символьні). Містить оператори різного роду символьних перетворень та обчислень.

7. Панель Greek (Грецькі). На ній ви можете знайти малі й великі грецькі літери.

8. Programming (Програмування). На цій панелі розташовані елементи мови програмування MathCAD.

9. Evaluation (Вираження). Містить оператори вводу/виводу, а також символи бінарного й унарних операторів користувача.

До основних елементів математичних виразів MathCAD відносяться типи даних, оператори, функції й керуючі структури.

ОПЕРАТОРИ

Оператори – елементи MathCAD, за допомогою яких можна створювати математичні вирази. До них, наприклад, відносяться символи арифметичних операцій, знаки обчислення сум, добутків, похідної та інтеграла тощо.

Оператор визначає:

дію, що повинна виконуватися за наявності тих або інших значень операндів;

скільки, де та які операнди повинні бути введені в оператор.

Операнд – число або вираз, на який діє оператор. Наприклад, у виразі 5! + 3 число 3 і вираз 5! – операнди оператора + (плюс), а число

5 – операнд оператора факторіал (!). Після позначення операндів оператори стають виконуваними за документом блоками.

^ ТИПИ ДАНИХ

До типів даних відносяться числові константи, звичайні та системні змінні, масиви (вектори й матриці) та дані файлового типу.

Константами називають пойменовані об’єкти, що зберігають деякі значення, які не можуть бути змінені. Змінні є пойменованими об’єктами, що мають деяке значення, яке може змінюватися по ходу виконання програми. Тип змінної визначається її значенням; змінні можуть бути числовими, рядковими, символьними і т. д. Імена констант, змінних та інших об’єктів називають ідентифікаторами. Ідентифікатори в MathCAD являють собою набір латинських або грецьких літер та цифр. Ідентифікатори чутливі до регістра.

Для визначення змінної (присвоєння значення) використовується знак присвоювання :=, для набору якого досить натиснути клавішу двокрапки:



Зверніть увагу на різницю між знаками рівності та присвоювання. = – це команда «обчислити вираз»; := – оператор присвоювання, він застосовується, щоб присвоїти значення якійсь змінній.


^ Правило видимості – значення локальної змінної доступне правіше й нижче за її визначення.

Крім локальних змінних, у MathCAD існують глобальні. Глобальні змінні доступні скрізь на робочому аркуші й уводяться знаком . Для його набору використовується клавіша ~. Наприклад, увівши N~100, отримаємо: N100.

Приклад 1.

Уведемо два однотипні вирази: М + 1= та N + 1=, нижче визначимо значення змінних M та N: одну локально (М:=100), іншу – глобально (N100). Перший вираз (М + 1=) MathCAD не зможе обчислити й видає помилку, оскільки локальна змінна М визначена тільки правіше й нижче за присвоювання їй значення. Другий вираз (N + 1=) буде обчислений і виданий результат 101.

У MathCAD існує поняття ранжируваних змінних, тобто тих, що набувають цілого діапазону значень (іноді їх називають ранжируваними змінними). Для вводу цих значень використовується знак «..». Уводиться він не за допомогою двох крапок, а клавішею «;». Присвоювання x:=1..10 означає, що х буде пробігати всі цілі значення від 1 до 10 включно. Якщо крок зміни значень не дорівнює 1, треба зазначити спочатку перше, потім після коми друге значення й після «..» – кінцеве. Присвоювання y:=7,0.5.. 9 означає, що y буде набувати значень 7, 7.5, 8, 8.5 і 9.

^ МАТЕМАТИЧНІ ВИРАзи

При записі виразів використовується звичайна математична нотація. Для зручності набору можна використовувати арифметичну палітру або палітру математичного аналізу (викликаються кнопками панелі інструментів «Математика»). Часто використовувані математичні символи можна набирати за допомогою клавіатури:

для набору показника степені натисніть ^;

для набору нижнього індексу використовується [. При цьому сама квадратна дужка не відображається, а змінює позицію курсору;

для набору звичайних дробів використовуйте звичайну операцію ділення /;

для прискореного набору квадратного кореня застосовується клавіша \;

для прискореного набору кореня n-ого степеня застосовуються клавіші Ctrl+\ ;

для введення літер грецького алфавіту можна використовувати відповідні літери латинського алфавіту, після яких відразу натиснути клавіші Ctrl+G. Для набору числа  – окрема комбінація Ctrl+Shift +p;

для набору знака підсумовування – Ctrl+Shift+4;

для набору знака добутку – Ctrl+Shift+3;

для вставлення порожнього рядка – Ctrl+F9;

для видалення порожнього рядка – Ctrl+F10.

Наприкінці виразу ставиться знак рівності «=». Уведення закінчується клавішею Enter або слід клацнути мишею поза визначенням.



^ УБУДОВАНІ ФУНКЦІЇ

У MathCAD дуже широкий вибір убудованих функцій:

тригонометричні (sin, cos, tan, cot, sec, asin, acos, atan і т. п.), гіперболічні (cosh, sinh …);

експоненціальні та логарифмічні (exp, ln, log);

імовірнісні та статистичні (групи функцій Random Numbers – випадкові величини різних розподілів, Probability Distribution – функції розподілів імовірностей, Probability Density – функції щільності розподілу, Statistics – функції розрахунку медіани, моди, кореляції та коваріації, стандартної помилки і стандартного відхилення тощо);

функції регресії та згладжування (група функцій Regression and Smoothing);

інтерполяції та прогнозування (група Interpolation and Prediction);

комбінаторні (Number Theory/Combinatorics – число сполучень, перестановок, НСД, НСК, залишок від ділення);

округлення (Truncations and Round-Off);

рядкові;

роботи з векторами й масивами;

функції посилання та підстановки;

розв’язання рівнянь і систем рівнянь;

розв’язання диференціальних рівнянь;

фінансові та ін.

Можна набирати їх «від руки» або вставляти за допомогою меню Вставка / Функція або кнопки f(x).

^ ПРЕДСТАВЛЕННЯ РЕЗУЛЬТАТУ ОБЧИСЛЕНЬ

Для зміни вигляду представлення результату служить меню Формат / Результат (його можна викликати, просто двічі клацнувши клавішею миші по виразу):

якщо Ви хочете змінити кількість знаків результату обчислень після десяткової крапки, установіть параметр ^ Точність відображення (або Кількість десят. крапок);

щоб збільшити значення, із якого починається експоненціальне представлення результатів, змініть параметр ^ Поріг експоненти. Якщо при цьому вибрати команду «Встановити як умовчання», поріг експоненти буде дорівнювати 5 для всіх формул документа.



^ СИМВОЛЬНІ ОБЧИСЛЕННЯ

Символьний процесор MathCAD дозволяє одержувати розв’язання багатьох задач у символьному вигляді. Зокрема, можна символьно диференціювати й інтегрувати, розв’язувати в символьному вигляді рівняння й системи рівнянь, згортати й розгортати многочлени, спрощувати вирази, робити підстановки, проводити різні перетворення та багато іншого.

Приклад 2.

Значення інтеграла у числовому й символьному вигляді мають такий вигляд:

(числовий варіант);

(символьний).

Для проведення символьних операцій служить меню Символіка або панель інструментів Символіка. І меню, і панель містять однакові команди. Однак між ними є деяка відмінність. Якщо використовуються команди, зосереджені в меню Символіка, то символьному процесору невідомі ніякі змінні, визначені в документі.

Команди, розташовані на панелі інструментів Символіка, виконують так звані «живі» символьні перетворення, тобто враховують значення змінних на аркуші документа.

Розглянемо символьні операції, розташовані в меню Символіка. Для деяких із них потрібно попередньо виділити весь вираз, для інших – тільки частину виразу або одну змінну в ньому. Перша частина меню символьних розрахунків містить команди:

^ Обчислення (Розрахунки) – перетворити вираз:

(1) Символьно (Shift+F9) – виконати символьне перетворення виділеного виразу;

(2) З плаваючою комою… – обчислити виділений вираз у дійсних числах;

(3) Комплексно – виконати обчислення в комплексному вигляді;

(4) Спростити – спростити виділений вираз шляхом скорочення подібних доданків, приведення до спільного знаменника, використання основних тригонометричних тотожностей тощо;

(5) Розширити – розкрити вираз (наприклад, (х+y)(х–y) дасть x2–y2);

(6) Фактор – розкласти число або вираз на множники (наприклад, для x2 –y2одержимо (х+y)(х–y));

(7) Зібрати (Подібні) – зібрати доданки, подібні до виділеної частини виразу, яка може бути окремою змінної або функцією зі своїм аргументом. Результатом буде вираз, поліноміальний щодо вибраного виразу. Повинна бути виділена частина виразу;

(8) Поліноміальні коефіцієнти – за заданою змінною знайти коефіцієнти полінома, апроксимуючого вираз, у якому ця змінна використана. Повинна бути виділена змінна.

Якщо у виразі виділена змінна, то стають доступними команди підменю Символіка / Змінні, наприклад:

(9) Розв’язати – знайти значення виділеної змінної, за яких вираз, що її містить, стає рівним нулю, тобто розв’язати рівняння;

(10) Підставити – замінити зазначену змінну вмістом буфера обміну;

(11) Диференціювати – диференціювати вираз, що містить виділену змінну, за цією змінною (інші змінні розглядаються як константи);

(12) Інтеґрувати – інтеґрувати весь вираз, що містить змінну, за цією змінною.

У меню ^ Символіка / Матриця зосереджені операції з виділеними матрицями:

(13) Транспонування (Перемістити) – одержати транспоновану матрицю;

(14) Інвертування – одержати зворотну матрицю;

(15) Визначник (Детермінант) – обчислити детермінант (визначник) матриці.

Результати символьних операцій з матрицями часто виявляються надто громіздкими й тому є погано доступними для огляду.

Вище перераховані не всі команди символьного процесора, а найчастіше застосовувані.

На наочність обчислень впливає стиль представлення їх результатів. Команда ^ Символіка / Стиль Обчислень дозволяє задати виведення результату символьної операції під основним виразом, поруч із ним або замість нього.




Знак символьної рівності  можна вставити й без меню та панелі інструментів, комбінацією клавіш Ctrl+. (крапка). Комбінація клавіш Ctrl+Shift+. вставляє знак символьної рівності разом із маркером для зазначення ключового слова, яке саме символьне перетворення слід виконувати. Такий вираз має вигляд: . Замість маркера можуть бути вставлені ключові слова:

Simplify (див. вище символьну команду 4);

Expand (див. 5);

Factor (див. 6);

Collect (див. 7);

Coeffs (див. 8);

Solve (див. 9);

Substitute (див. 10) та ін.

Усі ці та багато інших ключових слів можна вставити відразу з панелі інструментів Символіка.


^ ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ



За допомогою якого оператора можна обчислити вираз?

Як вставити текстову область у документ MathCAD?

Чим відрізняється глобальне й локальне визначення змінних? За допомогою яких операторів вони визначаються?

Яка різниця у використанні оператора присвоювання «:=» та знака рівності «=»?

Як змінити формат чисел для всього документа?

Як змінити формат чисел для окремого виразу?

Які види функцій у MathCAD Вам відомі?

Як вставити вбудовану функцію в документ MathCAD?

За допомогою яких операторів можна обчислити інтеграли, похідні, суми та добутки?

Як визначити ранжируванні змінні з довільним кроком? Який крок за умовчання?

Назвіть способи виконання символьних операцій у MathCAD.

Що необхідно зробити з виразом перед застосуванням символьних перетворень у командному режимі?

Назвіть символьні операції з виділеними виразами.

Назвіть символьні операції з виділеними змінними.

Назвіть символьні операції з виділеними матрицями.

Які параметри визначає стиль представлення результатів обчислень, як їх задати?



^ ПРАКТИЧНА РОБОТА № 1



MathCAD часто використовують як «суперкалькулятор». Економіка стала однією з найбільш математизованих наук. Економісту необхідно майстерно володіти мистецтвом обчислень.

Обчисліть вирази:

1212; sin()-cos(); ; ; log2 32; lg 1000; ln e; tg(/4);

Знайдіть числове значення виразу з точністю до двох знаків після коми:

: при

Потрібно обчислити для кожного зі значень х = 1, 3, 5 такі функції.



Уставте розрив сторінки (меню ^ Вставка) і розрахуйте формули ще раз, використовуючи ранжируванні змінні. Для цього визначте три функції від х: y(x):= ... f(x):= ... g(x):= ... , а потім присвойте значення х як ранжируванній змінній.

Після команди y(х)= будуть розраховані значення y для всіх значень х. Аналогічно для команд g(х)= та f(х)= .

Перетворіть за допомогою операції Розширити (Еxpand – розкласти по степенях) вираз: .

Спростіть вираз за допомогою операції Спростити (Simplify):

; 5F+2F-Fcos(0).

Проаналізуйте дію команд Розширити й Зібрати з меню Символіка для виразу 6t2(t+1)(u+2), виділивши в першому випадку весь вираз, а в другому – змінну t.

Економічні обчислення.

^ Аналіз виробництва продукції.

Організуйте з початку сторінки текстовий блок і введіть нижченаведений текст. Нижні індекси в перших абзацах тексту вводьте за допомогою меню Формат / Текст. Використовуйте копіювання, табуляцію. Формули (1)–(4) уведіть як формульні блоки (математичні реґіони) і відключіть їх обчислення. Для вводу змінних із текстовим індексом (наприклад, Ja) використовуйте точку: J.a (текстовий індекс – це не просто прикраса, він є складовою частиною імені змінної).

Елімінування способом абсолютних різниць.

Результативний показник J = a*b*c*d.

Підрахунок будується на послідовній заміні базисних значень факторних показників a0, b0, c0, d0 на їх відхилення a1–a0, b1–b0, c1–c0, d1–d0, а потім на фактичний рівень цих показників a1, b1, c1, d1:

Ja=(a1–a0)*b0*c0*d0 (1)

Jb=a1*(b1–b0)*c0*d0 (2)

Jc=a1*b1*(c1–c0)*d0 (3)

Jd=a1*b1*c1*(d1–d0) (4)

Застосувавши вищеописаний метод елімінування, проаналізуйте вплив на випуск продукції таких чинників:

зміна середньооблікової кількості працівників (показник А);

зміна числа днів, відпрацьованих одним працівником (показник В);

зміна середньоденного виробітку (показник С).

Вихідні дані: у лютому було випущено продукції на 2880 тис. грн, а в березні – на 2930,2 тис. грн. При цьому середньооблікова кількість працівників зменшилася зі 100 чоловік до 98 чоловік, і загальне число відпрацьованих усіма працівниками днів зменшилося з 2400 до 2254.

Вказівка. Визначити для кожного місяця середнє число днів, відпрацьоване одним працівником (b0 і b1), та його середньоденний виробіток (с0 та с1). Значення показників а0 й а1 подано в умові. Потім зробіть обчислення за формулами, аналогічними (1), (2), (3).

Відповідь оформіть у вигляді текстового блоку. Абзаци цього блоку пронумеруйте за допомогою нумерованого списку (меню ^ Формат / Параграф). Розрахункові формули та результати вставте в цей текстовий блок. Для включення в текстовий блок формульного просто виберіть меню Вставка / Математичний реґіон. Для запобігання відображення результатів у експоненціальному вигляді встановіть поріг експоненти, рівним 7.

На скільки міг би збільшитися випуск продукції за рахунок зростання продуктивності праці і чому не відбулося даного зростання? Розрахуйте відповідь (у вигляді s:=) у правій частині документа. Нижче в лівій частині розмістіть текстовий блок відповіді, включивши до нього формульний блок вигляду s=. Розмістіть всю задачу на одній сторінці А4. Використовуйте попередній перегляд.

Оцінка грошей у часі.

Вставте розрив сторінки й організуйте текстовий і формульний блок:

Формула Фішера:

зводить разом чинники інфляції й ризику при оцінці інвестиційних проектів.


Оцініть сьогоднішню вартість планованих прибутків і зробіть висновок про доцільність інвестицій для таких умов (без урахування інфляції).

Вартість інвестиції, розрахованої на 8 років, – $4000. Ставка дисконту, що відбиває ризик інвестиції, – 15% річних. Графік основних надходжень: прибуток надходить із 3-ого року – $500, 4 рік – $800, 5 рік – $1200, 6 рік – $1500, 7 рік – $2000, 8 рік – $2000.

Вказівка. Розрахуйте величини PV3, PV4, …, PV8 при  = 15%, а потім чисту дисконтну вартість майбутніх прибутків: NPV = Pvi – I, де I – вартість інвестиції. Порівняйте значення NPV із 0.

Розв’яжіть цю ж задачу в Excel і вставте діапазон Excel із розв’язанням двічі в праву частину документа MathCAD: за допомогою впровадження та за допомогою зв’язування (через буфер обміну й команди Вставити та Спец. Вставка).

Оформіть колонтитули документа. У нижньому колонтитулі встановіть нумерацію сторінок, починаючи з першої, із вирівнюванням по центру. У верхньому зазначте назви з вирівнюванням по правому краю: на першій сторінці – Обчислення в MathCAD; на наступних – Економічні задачі.

^ РОЗВ’ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ



Функція root( ) розв’язання довільних рівнянь;

функція polyroots( ) розв’язання поліноміальних рівнянь;

функції розв’язання систем рівнянь find( ), minerr( );

символьне розв’язання рівнянь і систем рівнянь;

ідентифікатор solve.



^ ФУНКЦІЯ ROOT(…)

Для розв’язання рівнянь у MathCAD існують декілька функцій у розділі Solving.

Для розв’язання довільних рівнянь виду f(x)=0 застосовується функція root( ), що має чотири аргументи. Перші два аргументи обов’язкові: функція лівої частини рівняння f(x) і змінна рівняння x. Третій та четвертий аргументи вказують інтервал, на якому буде знайдений розв’язок. Наприклад, щоб знайти корені рівняння 3*cos(2*x)=0.52 на інтервалі [0.5, 0.9], варто задати функцію root(3*cos(2*x)–0. 52, x, 0.5, 0.9).

Можна не вказувати останні два аргументи, але тоді треба перед викликом функції надати деяке початкове значення шуканій змінній. Наприклад, для розв’язання рівняння x3+24*x–8=2 можна написати x:=7.5, а потім викликати функцію root(x2+24*x–10, x). Початкове значення буде вказувати функції root( ), звідки починати пошук розв’язку.

Можна спочатку визначити деяку функцію f(x), а потім використовувати її ім’я як перший аргумент:


;

.


^ ФУНКЦІЯ POLYROOTS(…)

Для розв’язання поліноміальних рівнянь існує окрема функція polyroots(…), яка має один аргумент – вектор коефіцієнтів рівняння. При цьому перший елемент вектора – вільний член рівняння. Для цієї функції не потрібно зазначати ні початкове значення змінної, ні діапазон пошуку. Так, для розв’язання наведеного вище рівняння x3+24*x–8=2 правильніше використовувати функцію . (Перша пара дужок відноситься до функції, друга – задає вектор коефіцієнтів).

Можна було б спочатку присвоїти значення вектора коефіцієнтів певній змінній, а потім використовувати цю змінну як аргумент:

.

Можна використовувати MathCAD і для автоматичної побудови вектора коефіцієнтів полінома. Для цього треба виділити назву змінної х у записаному поліномі (без рівності 0) і викликати меню Символіка / Багатономінальні коефіцієнти (очевидно, мається на увазі «поліноміальні коефіцієнти»).

^ ФУНКЦІЇ FIND(…), Lsolve(…), Minerr(…)

Ці функції призначені для розв’язання систем рівнянь, однак одне рівняння – це теж, по суті, система (з одного рівняння), отже, ці функції можуть бути застосовані для розв’язання одиночного рівняння (див. опис функції find( ) у п. 2, minerr( ) – у п. 2.5, lsolve( ) – у п. 3.6.

^ ПОШУК КОРЕНІВ ЗА ДОПОМОГОЮ БЛОКУ GIVEN ... FIND(…)

Багато задач економіки зводиться до розв’язання систем рівнянь. Системи лінійних рівнянь краще розв’язувати матричним методом або за допомогою функції lsolve( ) (див. п. 3.6). Однак існують й інші функції (незамінні для нелінійних рівнянь), що шукають розв’язання методом ітерацій. Тому перед їх викликом варто задавати початкову ітерацію.

Для виклику функції find( ) спочатку треба встановити початкові значення змінних, потім написати ключове слово given, зазначити всі рівняння або нерівності (крім ), а потім тільки викликати функцію find( ). Число аргументів повинно дорівнювати числу невідомих.

При вводі рівнянь для знака = використовується логічний знак рівності з панелі інструментів Логічні або комбінація Ctrl =.

w:=0; x:=0; y:=0; z:=0.

Ключове слово given, рівняння й нерівності, що йдуть за ним, та якийсь вираз, що містить функцію find, називають блоком розв’язання рівнянь.

Вирази, що є неприпустимими всередині блоку розв’язання: обмеження зі знаком ; ранжируваний аргумент або вирази, що містять ранжируваний аргумент у будь-якій формі; нерівності виду a < b < c (замість них слід записати дві нерівності: a < b і b < c).





Функція припиняє пошук розв’язання тоді, коли досягнута задана точність пошуку. Точність обчислень задається системною змінною TOL, рівною за умовчання 0,001 і визначеною в меню Математика / Опції. Якщо потрібне більш точне розв’язання системи, це значення варто зменшити, однак при цьому збільшиться час розв’язання системи.

Оскільки розв’язок шукається методом ітерацій, то за наявності декількох коренів, мабуть, буде знайдено лише розв’язок, найближчий до заданого початкового значення змінних.

^ ПОШУК КОРЕНІВ ЗА ДОПОМОГОЮ БЛОКУ GIVEN ... MINERR(...)

Функція minerr( ) знаходить значення змінних, що найбільше наближаються до розв’язку системи рівнянь. Вона також шукає розв’язання метод