Реферат: Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ

МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА











М.П. Данилевський, А.В. Якунін


ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

(Навчальний посібник із завданнями

для самостійної роботи студентів спеціальностей

6.090603 – “Електротехнічні системи електроспоживання”,

6.090605 – “Світлотехніка і джерела світла”,

6.092202 – ”Електричний транспорт”)


Харків – ХНАМГ – 2007

УДК 517.3
Данилевський М.П., Якунін А.В.
Елементи теорії функцій комплексної змінної (Навчальний посібник із завданнями для самостійної роботи студентів спеціаль­ностей 6.090603 – “Електро­тех­нічні системи електроспоживання”, 6.090605 – “Світло­тех­ніка і джерела світла”, 6.092202 – ”Електричний транс­порт”). – Харків: ХНАМГ, 2007. – 120 с.


Рецензент: д.ф.-м.н., проф. М.Й. Кадець


Рекомендовано кафедрою вищої математики,

протокол № 9 від 27.04.2007 р.


Рекомендовано Вченою радою Харківської національної академії міського господарства як навчальний посібник, протокол № 8 від 27.04.2007 р.


З м і с т
Передмова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 3

1. Комплексні числа та дії над ними . . . . . . . . .

. . . 3

1.1. Поняття комплексного числа . . . . . . . . . . .

. . . 3

1.2. Дії над комплексними числами

в алгебраїчній формі . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . . 4

1.3. Геометрична інтерпретація. Модуль і аргумент

комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . . 6

1.4. Тригонометрична і показникова форми

комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . . 8

1.5. Дії над комплексними числами

в тригономет­ричній і показниковій формах . . . . .


. . 11

1.6. Многочлени. Розкладання на множники.

Розв’язання квадратних рівнянь . . . . . . . . . . .


. . 14

2. Топологія множини комплексних чисел.

Комплексні функції дійсної змінної . . . . . . . . .


. . 17

2.1. Відстань між точками. Окіл точки. Нескінченно

віддалена точка. Розширена комплексна площина .


. . 17

2.2. Область та її межа . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 19

2.3. Комплексні функції дійсної змінної.

Лінії на комплексній площині . . . . . . . . . . . . .


. 20

2.4. Диференціювання та інтегрування комплексної

функції дійсної змінної . . . . . . . . . . . . . . . .


. 23

3. Функції комплексної змінної. Похідна. Поняття

аналітичної функції. Конформне відображення . . .


. . 25

3.1. Поняття функції комплексної змінної. Границя

та неперервність . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . 25

3.2. Похідна. Умови Коші – Рімана . . . . . . . . .

. 27

3.3. Поняття аналітичної функції. Зв’язок

аналітичних функцій з гармонічними . . . . . . . .


. . 30

3.4. Геометричний зміст модуля й аргументу

похідної. Поняття про конформне відображення . .


. . 34

4. Деякі елементарні функції

комплексної змінної та їх властивості . . . . . . . .


. . 39

4.1. Лінійна функція . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 39

4.2. Степенева і коренева функції . . . . . . . . . . .

. . 39

4.3. Показникова функція . . . . . . . . . . . . . . .

. . 40

4.4. Тригонометричні та гіперболічні функції . . . .

. . 42

4.5. Логарифмічна функція . . . . . . . . . . . . . .

. . 44

5. Інтеграл функції комплексної змінної . . . . . . .

. . 47

5.1. Поняття комплексного інтеграла . . . . . . . . .

. . 47

5.2. Первісна функції комплексної змінної.

Інтегральна теорема Коші . . . . . . . . . . . . . . .


. . 49

5.3. Інтегральна формула Коші та її наслідки . . . .

. . 52

6. Ряди функцій комплексної змінної . . . . . . . . .

. . 57

6.1. Основні поняття про ряди

з комплексними членами . . . . . . . . . . . . . . .


. . 57

6.2. Степеневі ряди. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . .

. . 60

6.3. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 64

6.4. Ізольовані особливі точки та їх класифікація . .

. . 72

7. Лишки та їх застосування . . . . . . . . . . . . . .

. . 77

7.1. Поняття лишку. Основна теорема про лишки . .

. . 77

7.2. Обчислення інтегралів за допомогою лишків . .

. . 82

7.3. Функції від матриці та їх обчислення

за допомогою лишків . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . 86

7.4. Логарифмічна похідна та її лишки.

Принцип аргументу . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . 88

8. Фазові криві диференціальних рівнянь . . . . . .

. . 89

8.1. Лінійне однорідне диференціальне рівняння зі сталим комплексним коефіцієнтом і його розв’язок


. . 89

8.2. Фазові криві лінійного однорідного

диферен­ціального рівняння . . . . . . . . . . . . .


. . 90

9. Плоске векторне поле. Комплексний потенціал . .

. . 93

9.1. Спеціальні плоскі векторні поля.

Комплексний потенціал . . . . . . . . . . . . . . . .


. . 93

9.2. Елементарні точкові особливості векторного

поля – джерело (витік) і вихор. Точковий диполь .


. . 96

10. Запитання для самоконтролю . . . . . . . . . . .

. . 98

11. Індивідуальні завдання для самостійної роботи .

. . 101

Рекомендована література . . . . . . . . . . . . . . .

. . 118


Навчальне видання


Микола Прокопович Данилевський,

Анатолій Вікторович Якунін

Елементи теорії функцій
комплексної змінної

(Навчальний посібник із завданнями для самостійної

роботи студентів спеціальностей 6.090603 – “Електротехнічні системи електроспоживання”, 6.090605 – “Світлотехніка

і джерела світла”, 6.092202 – ”Електричний транспорт”)


Відповідальний за випуск: С.О. Станішевський


Редактор: М.З. Аляб’єв


План 2007, поз. 8 Н

_____________________________________________________

Підп. до друку 23.05.07 Формат 60х84 1/16

Папір офісний. Друк на ризографі.

Обл.-вид. арк. 6,5 Тираж 100 прим.

Зам. №

______________________________________________________


ХНАМГ, 61002, Харків, вул. Революції, 12

_____________________________________________________

Сектор оперативної поліграфії ІОЦ ХНАМГ

ХНАМГ, 61002, Харків, вул. Революції, 12