Реферат: Основы расчёта оболочек

--PAGE_BREAK--3.Определение толщины стенки оболочки

3.1 Найдём допускаемое напряжение материала оболочки:
<img width=«267» height=«47» src=«ref-1_1181807514-586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">
3.2 Определим толщину стенки:
<img width=«132» height=«48» src=«ref-1_1181808100-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">,

<img width=«227» height=«44» src=«ref-1_1181808490-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">


<img width=«373» height=«355» src=«ref-1_1181808999-6225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">
3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Условие задачи: Построить эпюры безмоментных напряжений <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1181815224-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> и <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1181815327-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> для сферического сосуда (рис. 1), полностью заполненного жидкостью.

Исходные данные:

Радиус оболочки: <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1181721866-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> м;

Плотность жидкости (окислитель):        

<img width=«111» height=«24» src=«ref-1_1181815585-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">;
Толщина стенки оболочки:
<img width=«103» height=«24» src=«ref-1_1181815817-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">.


 <img width=«298» height=«261» src=«ref-1_1181816025-2174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

Рис. 1. Схема оболочки
Выполнение расчёта
1. Выводы расчётных зависимостей для верхней полусферы

В верхней полусфере отсечём часть оболочки нормальным коническим сечением с углом <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1181818199-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> при вершине конуса и составим уравнение равновесия отсеченной части оболочки (рис. 2):
<img width=«241» height=«25» src=«ref-1_1181818306-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">,
где <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1181818694-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> – равнодействующая сил давления жидкости <img width=«25» height=«17» src=«ref-1_1181707905-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> на стенку оболочки в проекции на

вертикальную ось.

Жидкость действует на стенку оболочки переменным давлением. Равнодействующую сил давления жидкости на вертикальную ось определим по формуле:
<img width=«143» height=«25» src=«ref-1_1181818892-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">,
где <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1181819158-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">– объём цилиндра; <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_1181819277-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">– объём шарового сегмента, рис. 2.

<img width=«231» height=«27» src=«ref-1_1181819389-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> 

<img width=«221» height=«51» src=«ref-1_1181819793-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">,
где <img width=«91» height=«21» src=«ref-1_1181820321-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> — высота столба жидкости в расчётном сечении.
 <img width=«349» height=«202» src=«ref-1_1181820516-2646.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">

Рис. 2. Расчётная схема
Получаем:
<img width=«465» height=«53» src=«ref-1_1181823162-1052.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">.
Из уравнения равновесия после подстановки выражения для силы <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1181818694-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> имеем:

<img width=«353» height=«45» src=«ref-1_1181824305-685.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">.
Отсюда меридиональное напряжение:
<img width=«273» height=«44» src=«ref-1_1181824990-599.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">.


Определим кольцевое напряжение <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1181815327-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">. Для этого обратимся к уравнению Лапласа, учитывая, что для сферической оболочки R
1
=
R
2
=
R::
<img width=«103» height=«44» src=«ref-1_1181825689-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">,
где <img width=«165» height=«21» src=«ref-1_1181825980-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">  — давление жидкости в рассматриваемом сечении оболочки.

После подстановки в уравнение Лапласа <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1181815224-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188"> получаем:
<img width=«365» height=«44» src=«ref-1_1181826362-734.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">.
Принимая угол <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1181827096-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1181827096-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">, равным 10˚, в таблицу 1.
Таблица 1


2. Выводы расчётных зависимостей для нижней полусферы
<img width=«316» height=«223» src=«ref-1_1181830094-2836.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">

Рис. 3. Расчётная схема
Отсечём нормальным коническим сечением часть сферы (рис. 3). Вес жидкости в объёме шарового сегмента <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_1181832930-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> и равнодействующая от гидростатического давления жидкости <img width=«25» height=«17» src=«ref-1_1181707905-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">, находящейся выше рассматриваемого сечения, уравновешиваются реакцией опоры Nи результирующим меридиональным усилием от погонных меридиональных сил, распределённых по круговому контуру шарового сегмента в сечении <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1181827096-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">. Отсюда получим следующее уравнение равновесия:
<img width=«323» height=«25» src=«ref-1_1181833241-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">,
где <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1181833716-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">  — реакция опоры, равная весу жидкости в объёме шара.
<img width=«372» height=«41» src=«ref-1_1181833813-662.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">Н;
<img width=«165» height=«21» src=«ref-1_1181834475-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">  — гидростатическое давление жидкости;

<img width=«120» height=«24» src=«ref-1_1181834760-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">  — площадь поперечного сечения;

<img width=«304» height=«51» src=«ref-1_1181835006-754.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">  — вес жидкости в объёме шарового сегмента.

После подстановки получим:
<img width=«591» height=«75» src=«ref-1_1181835760-1539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">

Отсюда имеем:
<img width=«275» height=«44» src=«ref-1_1181837299-602.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">.
Для нижней части полусферы <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1181815327-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> определяем из уравнения Лапласа:
<img width=«117» height=«41» src=«ref-1_1181838001-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">, где <img width=«165» height=«21» src=«ref-1_1181838283-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">.
Отсюда:
<img width=«365» height=«44» src=«ref-1_1181838568-745.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">.
Принимая угол <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1181827096-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1181827096-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">, равным 10˚, в таблицу 2.
Таблица 2



    продолжение
--PAGE_BREAK--Выводы
В опорной точке сферы безмоментные напряжения обращаются в бесконечность. Это является следствием обращения в ноль площади сечения, по которой действуют напряжения <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1181815224-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">. В реальных условиях сосредоточенных в точке сил не существует, и поэтому эта особенность имеет место лишь в расчётной схеме.


<img width=«306» height=«447» src=«ref-1_1181842459-5772.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">

Рис. 4. Эпюра напряжений <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1181815224-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> и <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1181815327-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">
4. РАСЧЁТ СФЕРИЧЕСКОГО ТОПЛИВНОГО БАКА С ОПОРОЙ ПО ЭКВАТОРУ
Условие задачи: Сферический топливный бак с опорой по экватору, заполненный жидкостью, находится под давлением наддува (рис.1, рис. 2).

Цель расчёта: Определить толщину стенки и массу конструкции бака при заданных размерах и нагрузке.


<img width=«504» height=«276» src=«ref-1_1181848434-4039.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">

Исходные данные:

Радиус оболочки: <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1181721866-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> м;

Плотность жидкости (горючее):     <img width=«104» height=«24» src=«ref-1_1181791791-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">;

Давление наддува: <img width=«121» height=«24» src=«ref-1_1181852855-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">;

Уровень жидкости: <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_1181853112-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">;

Коэффициент осевой перегрузки: <img width=«56» height=«24» src=«ref-1_1181853305-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">;

Коэффициент безопасности: <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1181792015-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">;

Материал оболочки:

марка ВТ6С (О);

предел прочности <img width=«103» height=«23» src=«ref-1_1181792150-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">;

плотность <img width=«124» height=«25» src=«ref-1_1181853810-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">.

Примечание:Для упрощения принимаем: <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_1181854066-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">.

Выполнение расчёта

1. Расчёт оболочки над опорой

Формулы для расчёта погонных меридиональных <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_1181787267-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"> и кольцевых <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1181797925-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> усилий над опорой <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_1181854439-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> от действия давления жидкости и давления наддува имеют вид:


<img width=«304» height=«51» src=«ref-1_1181854630-730.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">;

<img width=«372» height=«51» src=«ref-1_1181855360-829.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">,
где <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1181792664-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> – угол, отсчитываемый в плоскости меридиана от верхнего полюса;

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1181856283-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> – ускорение свободного падения.
Принимая угол <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1181792664-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения кольцевых и меридиональных усилий с шагом угла <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1181792664-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">, равным 10˚, в таблицу 1.
Таблица 1



2. Расчёт оболочки под опорой

Выведем расчётные формулы для погонных меридиональных и кольцевых усилий от действия давления жидкости и давления наддува под опорой топливного бака <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_1181854439-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">. Составим уравнение равновесия внешних и внутренних сил для выделенного сечения оболочки (рис. 2) в проекции на вертикальную ось <img width=«28» height=«21» src=«ref-1_1181857075-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">. Получим:


<img width=«124» height=«25» src=«ref-1_1181857187-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">,
где <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1181857437-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> – давление в рассматриваемом сечении; S– площадь расчётного поперечного сечения;

<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1181857545-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">– вес жидкости в шаровом сегменте, отсечённом нормальным коническим сечением с углом <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1181792664-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">;

<img width=«31» height=«25» src=«ref-1_1181857751-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">– равнодействующая погонных меридиональных усилий <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_1181787267-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> в проекции на ось <img width=«28» height=«21» src=«ref-1_1181857075-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">.

Давление <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1181857437-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"> в произвольном сечении оболочки равно давлению наддува плюс давление столба жидкости над рассматриваемым сечением:
<img width=«159» height=«24» src=«ref-1_1181858215-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">,
где h– высота столба жидкости от зеркала жидкости до расчётного сечения.
<img width=«208» height=«24» src=«ref-1_1181858496-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">,

<img width=«168» height=«24» src=«ref-1_1181805114-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">,
где <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1181805394-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">  — радиус рассматриваемого сечения.

Определим вес жидкости в шаровом сегменте: <img width=«119» height=«24» src=«ref-1_1181859296-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">,

где <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1181859517-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">– объём шарового сегмента, отсечённого нормальным коническим сечением с углом <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1181792664-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">.


<img width=«227» height=«45» src=«ref-1_1181859704-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">.
Спроектируем погонные меридиональные усилия <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_1181787267-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> в расчётном сечении на вертикальную ось <img width=«28» height=«21» src=«ref-1_1181857075-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">: <img width=«115» height=«27» src=«ref-1_1181860438-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">.

Величина равнодействующей <img width=«35» height=«25» src=«ref-1_1181860683-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> от распределённых по кольцу радиуса rмеридиональных сил <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_1181787267-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308"> определяется по формуле:
<img width=«277» height=«27» src=«ref-1_1181860929-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">.
Окончательно получаем <img width=«176» height=«27» src=«ref-1_1181861360-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">.

Принимая угол <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1181792664-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1181792664-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">, равным 10˚, в таблицу 2.

Таблица 2

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1181792664-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">, град

<img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1181857437-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">, МПа

S, м2

<img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1181859517-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">,<img width=«21» height=«21» src=«ref-1_1181862166-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">

<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1181857545-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">, Н

90

0,2809

3,976

2,982

81910

80

0,2863

3,856

2,213

60790

70

0,2915

3,511

1,512

41530

60

0,2964

2,982

0,932

25600

50

0,3008

2,333

0,503

13810

40

0,3046

1,643

0,226

6201

30

0,3077

0,994

0,077

2107

20

0,3099

0,465

0,016

437,881

10

0,3113

0,120

0,001027

28,215



0,3118







 
Подставляем полученные выражения <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1181857437-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">, S, <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1181857545-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">, <img width=«32» height=«25» src=«ref-1_1181862603-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> в уравнение равновесия и преобразовываем.

Получаем формулу для вычисления погонных меридиональных усилий:
<img width=«305» height=«51» src=«ref-1_1181862727-752.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">.


Подставляя полученное выражение <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_1181787267-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> в уравнение Лапласа, определим погонные кольцевые усилия <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1181797925-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">. Уравнения Лапласа в усилиях имеет вид:
<img width=«103» height=«49» src=«ref-1_1181863711-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">,
где <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1181798445-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">,<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_1181798547-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> – главные радиусы кривизны оболочки; <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1181857437-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">– давление в рассматриваемом сечении.

Для сферического бака R
1
=
R
2
=
R, поэтому уравнение Лапласа принимает вид:
<img width=«116» height=«27» src=«ref-1_1181864344-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">.
Подставив выражение <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_1181787267-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> в уравнение Лапласа и проведя преобразования, получим формулу для вычисления <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1181797925-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">:
<img width=«367» height=«51» src=«ref-1_1181864824-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">.
Принимая угол <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1181792664-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332"> в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1181792664-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">, равным 10˚, в таблицу 3.
Таблица 3



Погонные усилия в сферическом баке принимают наибольшее значение в нижнем полюсе. Кроме того, в нижнем полюсе <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_1181787267-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337"> = <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1181797925-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">. Сравнивая результаты вычислений значений <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_1181787267-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">, <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1181797925-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"> на экваторе для участков над опорой и под опорой, делаем вывод: усилия <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_1181787267-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">, <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1181797925-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342"> терпят разрыв.
Определение толщины стенки бака
Расчёт на прочность производим по максимальным погонным усилиям.

Определяем напряжения в нижнем полюсе бака: <img width=«131» height=«45» src=«ref-1_1181866868-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">,

где <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1181867189-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">– толщина стенки бака.
Подставив в эти формулы выражения для погонных меридиональных и кольцевых усилий, получим:
<img width=«233» height=«44» src=«ref-1_1181867278-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">.
Минимальную толщину оболочки можно получить по формуле:
<img width=«563» height=«47» src=«ref-1_1181867771-1254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">,
где <img width=«243» height=«47» src=«ref-1_1181869025-532.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347"> – допускаемые напряжения.

Определяем массу оболочки бака:

<img width=«373» height=«25» src=«ref-1_1181869557-578.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">,
где <img width=«273» height=«25» src=«ref-1_1181870135-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349"> – площадь поверхности оболочки;

<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1181870568-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">– плотность материала оболочки.

Построим эпюру погонных усилий <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_1181787267-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">,<img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1181797925-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352"> (рис. 3):
<img width=«327» height=«303» src=«ref-1_1181870907-4962.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">

Рис. 3. Эпюра погонных усилий <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_1181787267-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">,<img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1181797925-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">
    продолжение
--PAGE_BREAK--