Реферат: Классификация объектов нечисловой природы на основе непараметрических оценок плотности
В СССР в середине 70-х годов активно ведутся работы по статистическому анализу нечисловых данных [1]. В настоящее время во Всесоюзном центре статистических методов и информатики мы при разработке методических документов и программных продуктов по прикладной статистике делим ее на четыре части соответственно виду обрабатываемых статистических данных: на статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику временных рядов и случайных процессов, статистику объектов нечисловой природы (другими словами, статистику нечисловых данных).
Вероятностный и статистический анализ нечисловых данных сопровождали теорию вероятностей и математическую статистику с самого начала их развития. Типичными примерами являются урновые схемы и изучение рождаемости. Испытание Бернулли- вероятностная модель простейшего объекта нечисловой природы. Наиболее массовым применением статистических методов является, видимо, выборочный контроль качества продукции по альтернативному признаку (т. е. по признаку «годен” — “не годен»), относящийся, очевидно, к статистике объектов нечисловой природы [2].
Развитие прикладных исследований привело к необходимости рассмотрения в качестве статистических данных различных объектов нечисловой природы. Этот термин применяем к объектам, которые нецелесообразно рассматривать как описанные числами. Другими словами, речь идет об элементах пространства, не являющихся линейными (векторными). Примеры: бинарные отношения (ранжировки, разбиения, толерантности и т. д.); множества; нечеткие множества; результаты измерений в шкалах, отличной от абсолютной; как обобщение перечисленных объектов — элементы пространств общей природы. Для результатов наблюдений, являющихся объектами нечисловой природы, рассматривают [1] классические задачи статистики: описание данных (включая классификацию) оценивание (параметров, характеристик, плотности распределения, регрессионной зависимости и т. д.).
Математический аппарат статистики объектов нечисловой природы основан не на свойстве линейности пространства, а на применении симметрик и метрик в нем, поэтому существенно отличается от классического.
В прикладных работах наиболее распространенный пример объектов нечисловой природы — разнотипные данные. В этом случае реальный объект описывается вектором, часть координат которого — значения количественных признаков, а часть — качественных (номинальных и порядковых).
Основная цель настоящего раздела — обосновать новый подход [3] к классификации в пространствах произвольной природы, основанный на построении не параметрических оценок плотности распределений вероятности в таких пространствах [4].
" Пусть - измеримое пространство,. и />. суть -конечные меры на ., причем абсолютно непрерывна относительно, т. е. из равенства… =0 следует равенство =0, где… В этом случае на существует неотрицательная измеримая функция такая, что
для любого Функция называется производной Родона-Никодима меры по мере, а в случае, когда - вероятностная мера, также плотностью вероятности по отношению к. " [5]
Будем считать, что в пространстве объектов нечисловой природы фиксирована некоторая мера, а мера соответствует распределению Р случайного элемента со знаниями в измеримом пространстве, т. е.
Если — пространство из конечного числа точек, то в качестве меры можно использовать считающую меру (приписывающую единичный вес каждой точке), т. е., или
В случае считающей меры значение плотности в точке совпадает с вероятностью попасть в точку, т. е.
Многие методы классификации используют расстояния или меры близости между объектами или признаками. Такие методы пригодны и для классификации объектов нечисловой природы, лишь бы в соответствующем пространстве было определено расстояние или мера близости. Таким образом, широко известные иерархические агломеративные алгоритмы ближайшего соседа, дальнего соседа, средней связи и др., результатом работы которых являются дендрограммы, на самом деле относятся к статистике объектов нечисловой природы.
Не пытаясь рассмотреть все многообразие методов классификации в статистике объектов нечисловой природы (см., например, [6, 7]), сосредоточимся на тех из них, которые используют плотности распределения и их оценки. Зная плотности распределения классов, можно решать основные задачи классификации — как задачи выделения кластеров, так и задачи диагностики. В задачах кластер-анализа можно находить моды плотности и принимать их за центры кластеров или за начальные точки итерационных методов типа динамических сгущений. В задачах диагностики (дискриминации, распознавания образов с учителя) можно принимать решения о классификации объектов на основе отношения плотностей, соответствующих классам. При неизвестных плотностях представляется естественным использовать их состоятельные оценки. Корректность такой постановки, как правило, нетрудно обосновать, например, в стиле [8]. Таким образом, для переноса на пространства произвольной природы основных методов классификации рассматриваемого типа достаточно уметь оценивать плотность распределения вероятности в таких пространствах.
Методы оценивания плотности вероятности в пространствах общего вида предложен и первоначально изучены в [4]. В частности, в задачах классификации объектов нечисловой природы предлагаем использовать непараметрические ядерные оценки плотности типа Парзена-Розенблатта (этот вид оценок и его название введены нами в [4]):
,
где К: - ядерная функция - выборка по которой оценивается плотностью, - расстояние между элементом выборки и точкой, в которой оценивается плотность последовательность показателей размытости такова, что при 0 и n/>, а - нормирующий множитель, обеспечивающий выполнение условия
Оценки типа Парзена-Розенблатта — частный случай линейных оценок [4]. В теоретическом плане они выделяются тем, что удается получать результаты такого же типа, что в классическом одномерном случае (), но, разумеется, с помощью совсем иного математического аппарата.
Одна из основных идей состоит в том, чтобы согласовать между собой расстояние и меры. А именно, рассмотрим шары радиуса
и их меры
Предположим, что как функция при фиксированном непрерывна и строго возрастает. Введем функцию
Это — монотонное преобразование расстояния, а потому - метрика или симметрика (т. е. неравенство треугольника может быть не выполнено), которую, как и, можно рассматривать как меру близости между и />.
Введем
.
Поскольку определена однозначно, то
^
где ., а потому
Переход от к /> напоминает классическое преобразование, использованное Н. В. Смирновым,, переводящее случайную величину с непрерывной функцией распределения в случайную величину, равномерно распределенную на [ 0, 1]. Оба рассматриваемых преобразования существенно упрощают дальнейшие рассмотрения.
Преобразование зависит от точки, что не влияет на дальнейшие рассуждения, поскольку ограничиваемся изучением сходимости в точке.
Функцию, для которой мера шара радиуса равна, называют [4] естественным показателем различия или естественной метрикой. В случае пространства и евклидовой метрики имеем
где -объем шара единичного радиуса в .
Поскольку можно записать, что
где
то переход от к /> соответствует переходу от к />. Выгода от такого перехода заключается в том, что утверждения приобретают более простую формулировку.
ТЕОРЕМА 1. Пусть - естественная метрика,
/>
Плотность непрерывна в и ограничена на, причем. Тогда, оценка является состоятельной, т. е. по вероятности при ,
Теорема 1 доказана в [4]. Однако остается открытым вопрос о скорости сходимости ядерных оценок, т. е. о поведении величины
и об оптимальном выборе показателей размытости .
Введем круговое распределение и круговую плотность .
ТЕОРЕМА 2. Пусть ядерная функция непрерывна и при />. Пусть круговая плотность допускает разложение
причем остаточный член равномерно ограничен [0, 1,...., ]. Пусть
Тогда
Величина достигает минимума, равного
при
что совпадает с классическими результатами для (см. [9, с316]). Заметим, что для уменьшения смещения оценки приходится применять знакопеременные ядра .
В случае дискретных пространств естественных метрик не существует. Однако можно получить аналоги теорем 1 и 2 переходя к пределу не только по объему выборки, но и по параметру дискретности .
Пусть — последовательность конечных пространств, — расстояния в
для любого .
Положим
,
,
,
Тогда функции кусочно постоянны и имеют скачки в некоторых точках, причем .
ТЕОРЕМА 3. Если при /> (другими словами, при />), то существует последовательность параметров дискретности такая, что при, />, справедливы заключения теорем 1 и 2.
ПРИМЕР 1. Пространство всех подмножеств конечного множества из /> элементов допускает [10, Пар 4. 3] аксиоматическое введение метрики, где /> - символ симметрической разности множеств. Рассмотрим непараметрическую оценку плотности типа Парзена — Розенблатта, где /> - функция нормального стандартного распределения. Можно показать, что эта оценка удовлетворяет условиям теоремы 3 .
ПРИМЕР 2. Рассмотрим пространство функций, определенных на конечном множестве со значениями в конечном множестве. Это пространство можно интерпретировать как пространство нечетких множеств [11]. Очевидно,. Будем использовать расстояние. Непараметрическая оценка плотности имеет вид: .
Если, />, то при выполнены условия теоремы 3, а потому справедливы теоремы 1 и 2.
. ПРИМЕР 3. Рассматривая пространства ранжировок объект непреов, в качестве расстояния между ранжировками и />. Тогда. не стремиться к 0 при ., условия теоремы 3 не выполнены.
Пространства разнотипных признаков — это декартово произведение непрерывных и дискретных пространств. Для него возможны различные постановки. Пусть, например, число градаций качественных признаков остается постоянным. Тогда непараметрическая оценка плотности сводится к произведению частоты попадания в точку в пространстве качественных признаков на классическую оценку Парзена-Розенблатта в пространстве количественных переменных. В общем случае расстояние можно, например, рассматривать как сумму евклидова расстояния между количественными факторами, расстояния между номинальными признаками (, если и />, если ) и расстояния между порядковыми переменными (если и /> - номера градаций., то .
Наличие количественных факторов приводит к непрерывности и строгому возрастанию, а потому для непараметрических оценок плотности в пространствах разнотипных признаков справедливы теоремы 1 — 3.
Литература
1.Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях.-М.Наука,1979.-296 с.
2.Орлов А.И. Экспертные оценки / Вопросы кибернетики. Вып.58.-М.: Научный Совет СССР по комплексной проблеме «Кибернетика», 1979.С.17-33.
3.Орлов А.И. / Тезисы докладов Четвертой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике: Том 2.-Вильнюс, Вильнюсский госуниверситет, 1985.С.278-280.
4.Орлов А.И. / Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях.-М.Наука, 1985.С.58-92.
5.Орлов А.И. / Статистика. Вероятность. Экономика.-М.Наука,1985. С.99-107.
6.Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1987.Т.58. N3.С.90-91.
7.Орлов А.И. /Надежность и контроль качества. 1987.N6.С.54-59.
8.Рекомендации. Прикладная статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики.- М.: ВНИИС,1987.-64 с.
9.Кривцов В.С., Фомин В.Н., Орлов А.И. / Стандарты и качество. 1988.N3.С.32-36.
11.Колмогоров А.Н. Статистический приемочный контроль при допустимом числе дефектных изделий, равном нулю. — Л.: ДНТП, 1951. — 22 с.
12. Гнеденко Б.В. Математика и контроль качества продукции.- М.: Знание, 1978. — 64 с.
13. Беляев Ю.К. Вероятностные методы выборочного контроля.-М.: Наука, 1975. — 408 с.
14. Лумельский Я.П. Статистические оценки результатов контроля качества. — М.: Из-во стандартов, 1979. — 200 с.
15. Орлов А.И. Современные проблемы кибернетики: Прикладная статистика. — М.: Знание, 1981. с 3-14.
16. Статистические методы анализа экспертных оценок / Ученые записки по статистике, т. 29, -М.: Наука, 1977-384 с. 17.
17.Экспертные оценки в системных исследованиях / Сборник трудов. — Вып. 4. — М.: ВНИИСИ, 1970 — 120 с.
18. Экспертные оценки / Вопросы кибернетики. — Вып. 58. — М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме / «Кибернетика». 1979. — 200 с.