Реферат: Экспертные оценки в управлении
--PAGE_BREAK--Экспертное оценивание важности объектовОчень часто в процессе экспертизы суждение экспертов представляется в количественной форме (в виде чисел). Примерами могут служить оценка качества изделия в некоторой шкале (например, десятибальной), оценка уровня мастерства спортсменов на соревнованиях и т.п. Важно, что в экспертизах с количественными оценками необходима определенная математическая обработка экспертных оценок, например, выставление среднего балла. Иногда в целях защиты от возможной некомпетентности или предвзятости экспертов используется более сложная обработка – например, отбрасывание наибольшей и наименьшей оценок и расчет среднего балла по оставшимся оценкам. В данном разделе мы рассмотрим некоторые вычислительные процедуры обработки экспертных оценок при определении важности некоторых объектов. В качестве объектов такого рода могут, например, рассматриваться показатели эффективности в многокритериальных задачах выбора решений.
А. Усреднение экспертных оценок
Пусть экспертам необходимо сравнить <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1649742360-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025"> объектов. Предположим, что существует набор чисел <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_1649742451-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">, характеризующих истинные значения важности исследуемых объектов. При этом предполагается, что наиболее важному объекту соответствует наибольшее по величине число из набора <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_1649742451-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">, а наименее важному – наименьшее. Естественно, числа <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_1649742451-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028"> неизвестны экспертам и ЛПР. При оценке важности объектов абсолютные значения чисел не имеют значения и ранжирование объектов по важности определяются относительными величинами чисел совокупности <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_1649742451-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">. В связи с этим, будем считать, что
<img width=«164» height=«48» src=«ref-1_1649743127-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">
Пусть важность объектов оценивают <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1649743585-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031"> экспертов. Обозначим через <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1649743669-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032"> оценку важности <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1649743778-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">- го объекта <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1649743858-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">, данную <img width=«13» height=«20» src=«ref-1_1649744015-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">- м экспертом <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1649744103-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">. Полученные оценки представим в виде матрицы
<img width=«167» height=«99» src=«ref-1_1649744265-868.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">, (6.1)
в которой число строк соответствует числу объектов, а число столбцов числу экспертов. Поскольку оценки важности одного и того же объекта, полученные от разных экспертов, могут не совпадать (числа в строках, вообще говоря, различны), то возникает задача определения показателей важности <img width=«81» height=«25» src=«ref-1_1649745133-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">, представляющих собой усредненное мнение всех <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1649743585-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> экспертов.
Определение значений <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_1649745397-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"> по матрице <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1649745562-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> можно осуществить, выбирая в качестве меры близости между <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1649745654-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"> и элементами соответствующей строки среднеквадратическую
<img width=«153» height=«55» src=«ref-1_1649745762-661.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> (6.2)
Величины <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_1649745397-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> выбираются таким образом, чтобы среднее квадратическое отклонение <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1649746588-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> было минимальным. При этом необходимо обеспечить, чтобы <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_1649745397-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046"> удовлетворяли условию нормировки:
<img width=«121» height=«30» src=«ref-1_1649746842-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">.
В результате усредненные показатели важности рассчитываются по формулам вида
<img width=«169» height=«48» src=«ref-1_1649747109-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> (6.3)
Таким образом, относительные оценки важности объектов вычисляются как среднеарифметические оценок, выставленных всеми экспертами. Отметим, что полученный результат является простейшим и применяется в тех случаях, когда ЛПР уверено в одинаковой компетентности и объективности экспертов.
Если у ЛПР нет уверенности в равном уровне компетентности экспертов, то применяется более сложная процедура обработки экспертных оценок. Вводятся коэффициенты компетентности экспертов <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1649747592-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">, отвечающие условиям
<img width=«172» height=«58» src=«ref-1_1649747732-688.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> (6.4)
При этом формула (6.3) обобщается и принимает вид:
<img width=«218» height=«55» src=«ref-1_1649748420-639.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> (6.5)
Представим последнее равенство в матричной форме. Для этого введем векторы-столбцы
<img width=«215» height=«25» src=«ref-1_1649749059-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">
где верхний символ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1649749504-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> обозначает операцию транспонирования. В результате формула (6.5) примет следующий вид:
<img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1649749595-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> (6.6)
сли компетентность экспертов известна, то расчет усредненных оценок важности следует производить по формулам (6.5) или (6.6). Очевидно, в случае одинаковой компетентности экспертов
<img width=«149» height=«41» src=«ref-1_1649749862-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">формула (6.5) сводится к (6.3).
Более сложным (и реалистическим) является случай, когда коэффициенты компетентности неизвестны и подлежат определению. Обычно в этом случае используется рекуррентный метод расчета с использованием матрицы экспертных оценок <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1649750153-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">, который мы кратко опишем ниже.
Обозначим через <img width=«125» height=«25» src=«ref-1_1649750320-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> вектор коэффициентов компетентности на <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1649750654-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">- м шаге вычислений <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1649750743-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">. Примем, что на первом шаге
<img width=«125» height=«49» src=«ref-1_1649750927-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">
Для <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1649750654-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">- го шага оказываются справедливыми соотношения
<img width=«95» height=«24» src=«ref-1_1649751452-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> (6.7)
<img width=«121» height=«24» src=«ref-1_1649751797-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">, (6.8)
где <img width=«31» height=«24» src=«ref-1_1649752196-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> — нормирующий множитель, вычисляемый из условия:
<img width=«184» height=«29» src=«ref-1_1649752322-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">
Подставляя (6.7) в (6.8) получим более удобное для использования соотношение:
<img width=«121» height=«24» src=«ref-1_1649752704-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">, (6.9)
где квадратная симметрическая матрица <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1649753076-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> называется матрицей взаимосвязи экспертных оценок и определяется равенством:
<img width=«64» height=«24» src=«ref-1_1649753229-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> (6.10)
Для иллюстрации работы вышеописанного алгоритма приведем простой пример.
экспертиза объект оценка
Пример 1
Пусть два объекта исследуется тремя экспертами (<img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1649753509-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">), причем матрица экспертных оценок имеет вид
<img width=«135» height=«48» src=«ref-1_1649753671-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">
Можно видеть, что первый и второй эксперты оценивают важность обоих объектов одинаково (при этом второй объект признается заметно более важным, чем первый (0,8 против 0,2)), тогда как третий эксперт придерживается противоположного мнения. Определим коэффициент компетентности каждого эксперта и вычислим (с учетом компетентности) оценки важности объектов. Для этого сначала по формуле (6.10) находим матрицу взаимосвязи экспертных оценок <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_1649754218-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> и проводим итерационный расчет вплоть до достижения сходимости.
Проведем решение в Excel. Сначала создадим форму для решения примера в соответствии с Рис. 6.1.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1
Матрица A
Матрица AT
n =
3
2
0,2
0,2
0,8
3
0,8
0,8
0,2
4
5
6
7
0,2
0,8
0,2
0,2
0,8
0,68
0,68
0,32
8
0,2
0,8
X
0,8
0,8
0,2
=
0,68
0,68
0,32
9
0,8
0,2
0,32
0,32
0,68
10
11
Матрица B
12
13
14
15
X
=
16
17
18
19
20
X
=
21
22
23
24
25
X
=
26
27
28
29
(2)
0,2
0,2
0,8
X
=
30
0,8
0,8
0,2
31
32
33
(3)
0,2
0,2
0,8
X
=
34
0,8
0,8
0,2
35
36
37
(4)
0,2
0,2
0,8
X
=
38
0,8
0,8
0,2
39
Рис. 6.1 Форма для решения примера 1
В ячейках E2:F4 рассчитаем матрицу <img width=«32» height=«29» src=«ref-1_1649754407-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">, после чего скопируем полученные элементы матрицы в диапазон ячеек A7:B9.
Произведение матриц <img width=«56» height=«23» src=«ref-1_1649754610-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> разместим в диапазоне H7:J9, после чего также скопируем элементы данной матрицы и разместим их в диапазоне C14:E16.
В диапазон A14:A16 введем значения компетентности экспертов в первом приближении (во все ячейки введем формулу =1/$I$1).
Далее введем в ячейки 14-39 строк следующие формулы
Очевидно, большинство указанных формул может быть получено простым копированием.
После проведения соответствующих расчетов, получим следующий результат (Рис.6.2).
Следует отметить, что в данном случае наблюдается достаточно быстрая сходимость (3-4 итерации).
Таким образом, получаем значения коэффициентов компетентности экспертов, а также усредненные показатели важности объектов. Следует отметить, что, несмотря на простоту используемого алгоритма, задача решается с достаточно высокой точностью и не требует использования программирования.
Матрица B
0,3333
0,68
0,68
0,32
0,3333
0,56
0,3333
0,68
0,68
0,32
X
0,3333
=
0,56
0,3333
0,32
0,32
0,68
0,3333
0,44
1,56
0,3590
0,68
0,68
0,32
0,3590
0,5785
0,3590
0,68
0,68
0,32
X
0,3590
=
0,5785
0,2821
0,32
0,32
0,68
0,2821
0,4215
1,5785
0,3665
0,68
0,68
0,32
0,3665
0,5839
0,3665
0,68
0,68
0,32
X
0,3665
=
0,5839
0,2671
0,32
0,32
0,68
0,2671
0,4161
1,5839
(2)
0,2
0,2
0,8
X
0,3333
=
0,4000
0,8
0,8
0,2
0,3333
0,6000
0,3333
(3)
0,2
0,2
0,8
X
0,3590
=
0,3692
0,8
0,8
0,2
0,3590
0,6308
0,2821
(4)
0,2
0,2
0,8
X
0,3665
=
0,3602
0,8
0,8
0,2
0,3665
0,6398
0,2671
Рис. 6.2 Результат рекурсивного расчета коэффициентов
компетентности экспертов и усредненных оценок важности
объектов для примера 1
Дальнейшее вычисление практически не изменяет результат.
продолжение
--PAGE_BREAK--Б. Попарное сравнение объектов
Часто затруднительно напрямую оценить важность некоторого объекта среди ряда других. Подобная ситуация может иметь место при наличии объектов различной природы. Например, среди ранжируемых показателей эффективности могут быть показатели, имеющие определенное стоимостное выражение, а также показатели этического, эстетического рода и т.п. Указанное затруднение преодолевается посредством попарного сравнения объектов по степени их влияния на достижение цели. При этом эксперт должен вынести суждение о том, насколько с точки зрения достижения цели один объект важнее второго. Анализируя совокупность объектов, эксперт определяет численное предпочтение одного объекта перед другим по некоторой заранее выбранной шкале отсчета. Простым примером может служить выбор места работы выпускником ВУЗа. Выпускник должен оценить, насколько для него уровень оплаты труда, например, важнее, чем перспективы продвижения по служебной лестнице и т.д.
Пусть эксперт анализирует <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1649742360-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074"> объектов. Сравнивая их попарно между собой, он определяет <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_1649754956-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075"> чисел <img width=«173» height=«25» src=«ref-1_1649755057-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">, каждое из которых характеризует, по мнению эксперта, относительную значимость <img width=«13» height=«20» src=«ref-1_1649755338-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">- го объекта по сравнению с <img width=«13» height=«20» src=«ref-1_1649744015-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">- м. Величина <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_1649755506-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> представляет оценку (приближенное значение) истинной значимости <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1649755616-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080"> сравниваемых объектов. Совокупность экспертных оценок можно записать в виде квадратной матрицы
<img width=«190» height=«116» src=«ref-1_1649755723-1004.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">
Элементы этой матрицы (относительные значимости объектов) можно рассматривать как отношения истинных важностей
<img width=«160» height=«48» src=«ref-1_1649756727-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> (6.11)
При оценке относительных значимостей <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_1649755506-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> используется обычно девятибальная шкала (см. табл.6.1).
Таблица 6.1Девятибалльная шкала относительной важности объектов
Степень важности
Определение
Пояснения
1
Объекты одинаково важны
Оба объекта вносят одинаковый вклад в достижение цели
3
Один объект немного важнее другого
Есть основания предпочесть один объект другому, но их нельзя считать неопровержимыми
5
Один объект существенно важнее другого (сильное превосходство)
Существуют веские свидетельства того, что один из объектов более важен
7
Один объект явно важнее другого
Имеются неопровержимые свидетельства превосходства одного объекта над другим
9
Один объект абсолютно важнее другого
Превосходство одного объекта над другим не вызывает сомнения
2, 4, 6, 8
Значения, приписываемые промежуточным суждениям
Используются, когда выбор между двумя соседними нечетными числами затруднителен
Из формулы (6.11) следует, что из общего числа всех элементов матрицы попарного сравнения независимыми являются лишь
<img width=«67» height=«41» src=«ref-1_1649757202-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">
Во-первых, диагональные элементы матрицы равны единице. Во-вторых, при изменении порядка сравнения оценка относительной значимости объекта должна меняться на обратную
<img width=«61» height=«49» src=«ref-1_1649757417-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> (6.12)
Это означает, что элементы матрицы попарного сравнения, расположенные симметрично относительно главной диагонали, представляют собой взаимно обратные числа.
Чрезвычайно важным является требование транзитивной согласованности элементов матрицы <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1649757628-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">, которое означает, что должны выполняться условия
<img width=«84» height=«28» src=«ref-1_1649757784-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> (6.13)
Данные условия могут быть доказаны с помощью определения (6.11).
Матрица попарного сравнения объектов, элементы которой удовлетворяют условиям (6.11) – (6.13), называется согласованной. Следует отметить, что при попарном сравнении объектов эксперту не всегда удается выполнить условие транзитивной согласованности. В принципе, допускается некоторая степень несогласованности матрицы попарных сравнений.
По матрице попарного сравнения <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1649757998-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">, составленной экспертом, легко могут быть оценены важности объектов <img width=«89» height=«24» src=«ref-1_1649758088-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">. Используя соотношение (6.11) легко показать, что в случае согласованной матрицы <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1649757998-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">справедливы соотношения
<img width=«144» height=«47» src=«ref-1_1649758355-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">
<img width=«145» height=«51» src=«ref-1_1649758685-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">
………………
<img width=«144» height=«51» src=«ref-1_1649759047-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">
Приведем простой пример. Пусть матрица попарного сравнения имеет вид
<img width=«128» height=«75» src=«ref-1_1649759397-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">
Легко убедиться в том, что данная матрица удовлетворяет условиям согласованности; расчет дает
<img width=«208» height=«24» src=«ref-1_1649759906-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">
Если матрица не является согласованной, то нахождение вектора оценок
<img width=«120» height=«25» src=«ref-1_1649760255-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1649760595-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">
следует вычислять как нормированный собственный вектор матрицы <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1649760668-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"> , соответствующий ее наибольшему собственному числу. Часто расчеты подобного рода проводятся рекуррентно. Пусть
<img width=«155» height=«25» src=«ref-1_1649760831-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">
— начальное приближение искомого вектора <img width=«13» height=«20» src=«ref-1_1649761252-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">. Итерационный процесс описывается уравнением
<img width=«200» height=«25» src=«ref-1_1649761408-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"> (6.14)
Полагая <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_1649761893-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">, получим первое приближение:
<img width=«131» height=«25» src=«ref-1_1649762005-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">
где в правой части после умножения <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1649760668-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> на <img width=«27» height=«21» src=«ref-1_1649762563-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> получается некоторый вектор <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_1649762749-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">. После нормировки он представляется в виде
<img width=«85» height=«25» src=«ref-1_1649762930-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">
где <img width=«31» height=«25» src=«ref-1_1649763252-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> — нормирующая константа, <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_1649763384-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109"> — нормированный вектор (т.е. вектор, сумма составляющих которого равна единице).
Определив <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_1649763384-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">, подставим его в правую часть уравнения (3.14) и повторяем вычисления.
Как правило, итерационный процесс продолжается до тех пор, пока величины <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1649750654-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> — го приближения не будут отличаться от соответствующих величин <img width=«32» height=«19» src=«ref-1_1649763837-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">-го приближения не более, чем на <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_1649763946-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"> (обычно принимают <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_1649764056-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">). Скорость сходимости итерационного процесса зависит от выбора начального приближения. Часто в качестве <img width=«27» height=«21» src=«ref-1_1649762563-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115"> выбирают первый столбец матрицы <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1649760668-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">.
Пример. Для матрицы попарного сравнения
<img width=«128» height=«75» src=«ref-1_1649759397-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">
вычислим с помощью итерационной процедуры максимальное собственное число и соответствующий ему собственный вектор. В качестве начального приближения возьмем первый столбец матрицы. Получим
<img width=«225» height=«75» src=«ref-1_1649765081-1027.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">
Суммируя составляющие, найдем первое приближение для максимального собственного числа
<img width=«100» height=«41» src=«ref-1_1649766108-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">.
Тогда
<img width=«160» height=«75» src=«ref-1_1649766392-805.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">
Вычисляя второе приближение, получим
<img width=«251» height=«75» src=«ref-1_1649767197-1147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">
Суммируя компоненты этого вектора, получим
<img width=«52» height=«25» src=«ref-1_1649768344-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">
Поэтому
<img width=«168» height=«75» src=«ref-1_1649768507-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">
Дальнейшие вычисления не меняют результат.
Приведем пример расчета в Excelматрицы попарных сравнений в случае несогласованной исходной матрицы.
Пример 2.
Исходная матрица попарных сравнений имеет вид
<img width=«122» height=«70» src=«ref-1_1649769341-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">
Легко убедиться в том, что данная матрица не является согласованной.
Введем расчетные формулы в соответствии с Рис. 6.3. Как и в предыдущем примере, итерационный расчет будем проводить при использовании в качестве начального приближения первого столбца исходной матрицы попарных сравнений.
<img width=«567» height=«494» src=«ref-1_1649769807-70188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">
Рис. 6.3 Формулы и исходные данные для решения примера 2
Расчет показывает (см. ниже), что в данном случае согласованные результаты получаются (с достаточно высокой точностью) уже после 2-3 итераций. После четвертой итерации результаты практически не изменяются. Таким образом, данный простейший алгоритм позволяет существенно упростить процедуру расчета матрицы попарных сравнений в случае, когда исходная матрица является несогласованной.
Результаты расчетов для случая несогласованной исходной матрицы попарных сравнений
Первое приближение
<img width=«29» height=«35» src=«ref-1_1649839995-189.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026">
<img width=«27» height=«33» src=«ref-1_1649840184-215.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027">
1
4
9
1
3
0,661
0,25
1
7
X
0,25
=
1,278
0,282
0,111111
0,142857
1
0,111111
0,258
0,057
4,536
Второе приближение
<img width=«30» height=«34» src=«ref-1_1649840399-190.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028">
<img width=«28» height=«32» src=«ref-1_1649840589-268.coolpic» v:shapes="_x0000_s1029">
0,661
2,300
0,694
0,282
=
0,845
0,255
0,057
0,171
0,051
<img width=«32» height=«38» src=«ref-1_1649840857-199.coolpic» v:shapes="_x0000_s1030">3,316
<img width=«26» height=«32» src=«ref-1_1649841056-269.coolpic» v:shapes="_x0000_s1031">
Третье приближение
0,694
2,176
0,695
0,255
0,788
0,252
0,051
0,165
0,053
3,130
Четвертое приближение
<img width=«28» height=«30» src=«ref-1_1649841325-182.coolpic» v:shapes="_x0000_s1032">
<img width=«26» height=«30» src=«ref-1_1649841507-265.coolpic» v:shapes="_x0000_s1033">
0,695
2,177
0,694
0,252
0,795
0,253
0,053
0,166
0,053
3,138044
продолжение
--PAGE_BREAK--В. Сложные экспертизы. Метод дерева целей
Сложные экспертизы находят широкое применение при прогнозировании и планировании в экономике, политике, широкомасштабных научных исследованиях и т.п. Как правило, они не дают прямых указаний о предпочтительности выбора того или иного решения и не оценивают последствия различных решений. Главным предназначением сложных экспертиз является оценка осуществимости тех или иных явлений и событий, а также определение их вероятных сроков и последовательности свершения. Располагая информацией такого рода, ЛПР может найти решения, способствующие (или – при необходимости – препятствующие) появлению анализируемых событий. Вследствие чрезвычайной сложности исследуемых явлений и – как правило – их значительной удаленности во времени от проводимой экспертизы, намного более корректно говорить о вероятностях (шансах) реализации того или другого явления, а не о конкретных сроках его реализации.
Следует отметить, что к строгому математическому понятию вероятности экспертные оценки такого рода можно отнести лишь условно, т.к. речь идет не о массовых событиях, а, как правило, об уникальных. В связи с этим указанные экспертные оценки получили название интуитивных вероятностей. Интуитивные вероятности представляют собой своеобразную форму нечеткого представления экспертных оценок сложных ситуаций. Следует отметить, что нестрогость понятия интуитивной вероятности не означает ее “неполноценности” и ее использование дает результаты, хорошо согласующиеся с реальностью. Исчисление интуитивных вероятностей проводится по используемым в теории вероятностей правилам.
Использование экспертами интуитивных вероятностей вызывает необходимость формулировки самих вопросов в вероятностном смысле. Например, вместо вопроса “Когда произойдет событие?”, следует задать вопрос “Какова вероятность того, что событие произойдет до какого-то момента времени?”. Следует отметить, что часто даже в данной постановке эксперт или эксперты не в состоянии дать достаточно обоснованный ответ. В таких случаях проводят декомпозицию (расчленение) анализируемых явлений и событий на более простые, оценка которых не столь сложна. Далее обрабатывают полученные от экспертов оценки и на ее основе пытаются ответить на вопрос.
Таким образом, в основе сложных экспертиз лежит декомпозиция исходной сложной проблемы на составляющие, проведение по ним совокупности простых экспертиз с последующей обработкой полученных экспертных оценок. В настоящее время существует несколько типов сложных экспертиз, например, метод дерева целей, метод решающих матриц, метод “Дельфи” и ряд других. Мы ограничимся рассмотрением сложной экспертизы “Метод дерева целей”.
Исследуемое событие обозначим как <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1649745562-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> и назовем заключительным. Группа экспертов должна произвести декомпозицию данного события на составляющие и определить, таким образом, дерево целей. При этом каждый член экспертной группы должен указать промежуточные события <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_1649841864-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">, от реализации которых зависит осуществление события <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1649745562-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">. Следует отметить, что нумерация событий при этом никак не связана с очередностью их реализации, важностью и прочими характеристиками. Неосуществление любого из них делает невозможным осуществление заключительного события. Часто для обеспечения полноты перечня событий <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_1649841864-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129"> в состав экспертной группы привлекаются специалисты различного профиля.
Как правило, события <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_1649841864-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130"> также оказываются сложными для непосредственной оценки экспертами и, в свою очередь, могут быть представлены как результат осуществления других, более простых событий <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1649842514-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">, где первый индекс <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1649743778-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> указывает на связь перечисленных событий с событием<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1649842703-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">, а второй <img width=«24» height=«21» src=«ref-1_1649842804-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">- является номером события в связке. Назовем события <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_1649841864-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> промежуточными событиями первого уровня; <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1649842514-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> — промежуточными событиями второго уровня <img width=«153» height=«24» src=«ref-1_1649843205-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">. Если экспертные оценки промежуточных событий второго уровня получить также затруднительно, то процесс декомпозиции продолжается и вводятся события третьего, четвертого и т.д. уровней.
Полученные в результате декомпозиции исходного события результаты представляют графически, причем события изображаются кружками, а связи между событиями – стрелками. В результате получается граф событий (Рис.6.4), по виду напоминающий перевернутое дерево (отсюда – дерево целей).
<img width=«556» height=«442» src=«ref-1_1649843452-6068.coolpic» v:shapes="_x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071"><img width=«552» height=«437» src=«ref-1_1649849520-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">
После формирования дерева целей экспертам необходимо оценить безусловные интуитивные вероятности событий, находящихся на нижних уровнях. Эти оценки используются для расчета вероятности <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_1649849593-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">того, что к назначенному сроку <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1649749504-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> реализуется заключительное событие <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1649745562-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">. Расчет осуществляется на базе основных теорем теории вероятностей.
Анализ дерева целей позволяет сделать вывод о том, что заключительное событие <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1649745562-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> является некоторой комбинацией промежуточных состояний первого уровня, что можно представить следующим равенством
<img width=«158» height=«28» src=«ref-1_1649850010-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> (6.15)
Вид функции <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1649850458-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> определяется характером логической взаимосвязи заключительного события <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1649745562-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> с промежуточными <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_1649841864-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">. Событие <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1649745562-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> осуществится, если реализуется каждое из промежуточных событий <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_1649841864-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">. Поэтому
<img width=«147» height=«30» src=«ref-1_1649851114-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">
Так как события <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_1649841864-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> реализуются независимо друг от друга, то, согласно теореме о вероятности произведения независимых событий получим:
<img width=«360» height=«26» src=«ref-1_1649851574-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> (6.16)
Далее мы можем записать систему соотношений вида:
<img width=«277» height=«30» src=«ref-1_1649852120-628.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">, (6.17)
в которых функция <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_1649852748-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> учитывает взаимосвязь событий первого уровня <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1649842703-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> с соответствующими событиями второго уровня. Предположим, что в рассматриваемом нами случае событие <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1649852955-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> осуществится, если произойдет хотя бы одно из событий <img width=«104» height=«25» src=«ref-1_1649853057-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">. При этом предположении
<img width=«170» height=«29» src=«ref-1_1649853296-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">
Так как события <img width=«104» height=«25» src=«ref-1_1649853057-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">, вообще говоря, совместны, то для расчета вероятности события <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1649852955-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> удобно перейти к противоположным событиям
<img width=«289» height=«28» src=«ref-1_1649853960-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">
где учтено, что событие, противоположное сумме событий, равно произведению противоположных событий.
Обычно работы по реализации программ, приводящих к событиям типа <img width=«104» height=«25» src=«ref-1_1649853057-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">, осуществляются независимо друг от друга, вследствие чего события <img width=«103» height=«27» src=«ref-1_1649854685-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">являются независимыми. В связи с этим на основании теоремы о вероятности произведения независимых событий получим:
<img width=«367» height=«27» src=«ref-1_1649854937-638.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">
или, используя свойство вероятности противоположного события
<img width=«433» height=«47» src=«ref-1_1649855575-890.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">
Действуя аналогичным образом, можно выразить все остальные вероятности событий первого уровня через вероятности связанных с ними событий второго уровня.
Вычисления производятся до тех пор, пока вероятность <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_1649849593-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">не будет выражена через вероятности событий самых нижних уровней.
Помимо вероятностных характеристик событий с помощью дерева целей могут быть оценены временные затраты, стоимостные и другие показатели реализации соответствующих событию <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1649745562-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> программ (проектов).
Достоинством метода дерева целей является наглядность взаимосвязей между составляющими исследуемой сложной проблемы. Для реализации экспертизы необходимо привлекать большое число экспертов различных специальностей. Поэтому деятельность соответствующих экспертных групп должна быть надлежащим образом организована. С этой целью по указанию ЛПР создается специальная экспертная группа со следующими функциями:
· Осуществление предварительного анализа сложной проблемы и декомпозиция проблемы на составляющие;
· Формирование экспертных групп для уточнения первоначального варианта расчленения, формулировки вопросов для экспертов и определения методики проведения простых экспертиз по каждому из вопросов;
· Определение первоначального состава экспертных групп для проведения всех простых экспертиз;
· Проведение совокупности простых экспертиз;
· Предварительный анализ экспертных оценок и проведение в случае необходимости дополнительных туров экспертного оценивания;
· Обработка результатов и выработка рекомендаций для ЛПР.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по производству