Реферат: Балансовая модель
--PAGE_BREAK--С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.
Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).
Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.
Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.
Так, например, если
0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6' )
А= , то Е — А =
0.6 0.9 -0.6 0.1
запишется в виде 0.1 -0.8 х1 у1 или в развернутой форме
-0.6 0.1 х2 у2
0.1х1 — 0.8х2 = у1 ( a)
-0.6х1 + 0.1х2 = у2
Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение
-0.5х1 — 0.7х2 = у1 + у2,
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1и х2, если только у1>0 и у2>0( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).
Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).
Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.
Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е — А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0
,то оно имеет для любогоУ
>0 единственное неотрицательное решение.
При этом оказывается, что обратная матрица ( Е — А ) будет обязательно неотрицательной.
Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е — А ) имеет обратную матрицу.
Обозначив обратную матрицу ( Е — А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде
_ _
х = S·У ( 7 )
Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E — A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.
Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:
x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn
x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn ( 8 )
………………………………
xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn
ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
ЗАТРАТЫ.
Выясним экономический смысл элементовSikматрицы S.
Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.
1
_ 0
У1 = :
0
Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим
1 S11
_ 0 S21 _
х = S : = : = S1
0 Sn1 0
_ 1
задавшись ассортиментным вектором У2 = 0 , получим
:
0
0 S12
_ 1 S22 _
х = S : = : = S2
0 Sn2
Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k
-й отрасли, составит
0 S1k
_ : S2k _
х = S 1 = : = Sk , ( 9 )
: Snk
0
т.е. k
-йстолбец матрицы S.
Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:
Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k
-йотрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2kи т.д., в i
-йотрасли выпустить xi=Sikи, наконец, в n
-й отрасли выпустить xn=Snkединиц продукции.
Так при этом виде конечного продукта производства только единица k
-го продукта, то величиныS1k,S2k, …, Sik, …, Snk,представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n
-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы
k
-гопродукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ankна единицу продукции k
-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k
-йотраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i
-й отрасли поступала бы только в k
-юотрасль в количестве aik, то производство k
-йотрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a1k), 2-й отрасли (a2k) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i
-й отрасли ( ai1, ai2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2
Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.
Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4100=40? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 ( см п.2 ):
0.8х1 — 0.4х2 = 0
-0.55х1 + 0.9х2 = 1
Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S12учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4
Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.
Итак, величина Sikхарактеризует полные затраты продукции i
-йотрасли для производства единицы конечного продукта k
-йотрасли, включающие как прямые (aik ),так и косвенные ( Sik — aik )затраты.
Очевидно, что всегда Sik > aik.
Если необходимо выпустить уkединиц k
-гоконечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):
x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk ,
что можно записать короче в виде:
_ _
x = Sk·yk ( 10 )
Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент-
_ у1
ным вектором У = : , то валовый выпуск k
-й отрасли xk, необходимый для его
уn
обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца Skна вектор У, т.е.
_ _
xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y , ( 11 )
а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы Sна вектор У.
Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.
Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = ( Dх1, Dх2, …, Dхn) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = ( Dу1, Dу2, …, Dуn)по формуле:
_ _
Dх = S·DУ , ( 12 )
Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:
0.2 0.4
А =
0.55 0.1
Следовательно,
1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4
Е — А = =
-0.55 1 -0.1 -0.55 0.9
Определитель этой матрицы
0.8 -0.4
D [ E — A ] = = 0.5
-0.55 0.9
Построим присоединенную матрицу ( Е — А )*. Имеем:
0.9 0.4
( Е — А )* = ,
0.55 0.8
откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:
1 0.9 0.4 1.8 0.8
S= ( Е — А )-1 = ––– =
0.5 0.55 0.8 1.1 1.6
Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S11=0.8 иS21=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а11=0.2 и а21=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.
Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0.8 и S22=1.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.
Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей.
Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из равенства ( 7 ):
х2
_ _ 1.8 0.8 480 1000
х = S·У = · =
1.1 1.6 170 800 .
ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.
Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.
Обозначим затраты труда в k
-юотрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений – через xn+2,k( где k = 1, 2, …, n ).Подобно тому как вводились прямые затраты aik,
xn+1,k
введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = ––––– ,и
xk
xn+2,k
капиталовложений an+2,k = –––––, представляющих собой расход соответствующего
xk
ресурса на единицу продукции, выпускаемую k
-йотраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:
a11 a12 … a1k … a1n
a21 a22 … a2k … a2n основная часть матрицы
…………………………………
А' = ai1 ai2 … aik … ain
…………………………………
an+1,1 an+1,2 … an+1,k … an+1,n
an+2,1 an+2,2 … an+2,k … an+2,n дополнительные строки
При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.
Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.
_ 1
У = 0
:
0 .
Для этого требуется валовый выпуск продукции
S11
_ _ S21
x = S1 = :
Sn1
Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,kпрямых затрат труда как затрат на единицу продукции k
-йотрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1.Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:
_ _
Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1 ,
т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим an+1,на 1-й столбец матрицы S.
Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k
-йотрасли, составят:
_ _
Sn+1,k = an+1Sk ( 13 )
Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:
_ _
Sn+2,k = an+2Sk ( 14 )
Теперь можно дополнить матриц S
строками, состоящими из элементов Sn+1,kи Sn+2,k,образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:
S11 S12 … S1k … S1n матрица коэффициентов
S21 S22 … S2k … S2n полных внутрипроизводст.
………………………………… затрат
S'= Si1 Si2 … Sik … Sin
………………………………… ( 15 )
Sn+1,1 Sn+1,2 … Sn+1,k … Sn+1,n дополнительные строки
Sn+2,1 Sn+2,2 … Sn+2,k … Sn+2,n
Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.
Очевидно,
xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn , ( 16 )
xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,
т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S
'
вектор У.
Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:
x1
x2
_ : _
x = xn = S'У ( 17 )
xn+1
xn+2
Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2,k( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3
Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:
0.2 0.4
А' = 0.55 0.1
0.5 0.2
1.5 2.0
<img width=«2» height=«233» src=«ref-1_1939074347-84.coolpic» v:shapes="_x0000_s1048"> Таблица 3
<img width=«127» height=«60» src=«ref-1_1939080390-255.coolpic» v:shapes="_x0000_s1082"><img width=«2» height=«233» src=«ref-1_1939080645-84.coolpic» v:shapes="_x0000_s1044"><img width=«2» height=«233» src=«ref-1_1939080645-84.coolpic» v:shapes="_x0000_s1052"><img width=«3» height=«233» src=«ref-1_1939080813-84.coolpic» v:shapes="_x0000_s1056"><img width=«3» height=«233» src=«ref-1_1939080813-84.coolpic» v:shapes="_x0000_s1040"><img width=«2» height=«233» src=«ref-1_1939074347-84.coolpic» v:shapes="_x0000_s1036"><img width=«568» height=«2» src=«ref-1_1939081065-93.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028"> № отраслей потребление итого конечный валовый
<img width=«3» height=«214» src=«ref-1_1939081158-84.coolpic» v:shapes="_x0000_s1064"><img width=«195» height=«3» src=«ref-1_1939081242-83.coolpic» v:shapes="_x0000_s1060"> № затрат продукт выпуск
отраслей 1 2
<img width=«568» height=«2» src=«ref-1_1939081325-93.coolpic» v:shapes="_x0000_s1032">
1 100 160 260 240 500
<img width=«568» height=«2» src=«ref-1_1939074970-93.coolpic» v:shapes="_x0000_s1068">
2 275 40 315 85 400
<img width=«568» height=«2» src=«ref-1_1939081511-121.coolpic» v:shapes="_x0000_s1072">
труд 250 80 330
<img width=«568» height=«2» src=«ref-1_1939081632-93.coolpic» v:shapes="_x0000_s1076">
капиталовложе- 750 800 1550
ния
<img width=«568» height=«2» src=«ref-1_1939081511-121.coolpic» v:shapes="_x0000_s1079">
Обратная матрица S = ( E — A )-1была уже подсчитана в предыдущем пункте.
На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( Sn+1,k=S3,k ):
_ _
S31 = a3·S1 = 0.5 ·1.8 + 0.2 ·1.1 = 1.12 ;
_ _
S32 = a3·S2 = 0.5 ·0.8 + 0.2 ·1.6 = 0.72
и капиталовложений Sn+2,k = S4,k:
_ _
S41 = a4·S1 = 1.5 ·1.8 + 2.0 ·1.1 = 4.9 ;
_ _
S42 = a4·S2 = 1.5 ·0.8 + 2.0 ·1.6 = 4.4 .
Таким образом, расширенная матрица S
'коэффициентов полных затрат примет вид:
1.8 0.8
S'= 1.1 1.6
1.12 0.72
4.9 4.4
Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором
У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1и
85
капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1,12 ·240 + 0.72 ·85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = xn = 4.9 ·240 + 4.4 ·85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.
Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям
( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.
При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).
Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда
170
_ х1 1.8 0.8 1000
х = х2 = 1.1 1.6 480 = 800
х3 1.12 0.72 170 600
х4 4.9 4.4 3100
Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс.руб.
Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по менеджменту
Реферат по менеджменту
Менеджмент оборотных средств
2 Сентября 2013
Реферат по менеджменту
Фінансова діяльність підприємств житлового господарства
22 Июня 2015
Реферат по менеджменту
Менеджмент та система управління
2 Сентября 2013
Реферат по менеджменту
Поняття та види часу відпочинку Щорічні відпустки
2 Сентября 2013