Реферат: Геометрические характеристики поперечных сечений

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;layout-grid-mode:both">Основы конструирования приборов

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;font-weight:normal">Реферат по теме

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;layout-grid-mode:both">Геометрические характеристикипоперечных сечений <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;layout-grid-mode:both">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;font-weight:normal">Студента группы ИУ3-32

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-weight:normal">Кондратова Николая

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;layout-grid-mode:both">Статические моменты сечения<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; font-weight:normal">Возьмем некоторое поперечное се­чение бруса (рис. 1). Свяжемего с системой координат х, у и рас­смотримдва следующих интеграла:

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис. 1

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/1295/image002.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/1295/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1027"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">                                                                                    (1)

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">гдеиндекс F у знака интеграла указываетна то, что интегрирование ведется по всей площади сечения. Каждый из интеграловпредстав­ляет собой сумму произведений, элементарных площадок

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> dF<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> на рас­стояние до соответствующей оси (х или у). Первый интеграл называется статическиммоментом сечения относительно оси х,а второй — относительно оси у.Размерность статического момента см3.При параллельном переносе осей величины статических моментов меняются.Рассмотрим две пары параллельных осей<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">x1<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">,<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">y1<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> x2, y2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Пустьрасстояние между осями <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">x1<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">x2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">равно <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> а между осями <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">y2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">y2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> равно а (рис. 2). Положим, что площадьсечения F и статические моментыотносительно осей<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> x1<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и y<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">1<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> т. е.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> Sx1,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Sy1<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">заданы. Требуется определить<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Sx2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Sy2.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Очевидно,х

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> x1<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">— а, <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">  y2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> y1 —<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">.<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Искомые статические мо­менты будутравны

<img src="/cache/referats/1295/image007.gif" v:shapes="_x0000_s1029"> <img src="/cache/referats/1295/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1030">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US">

<img src="/cache/referats/1295/image010.gif" v:shapes="_x0000_s1032">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">или

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<img src="/cache/referats/1295/image012.gif" v:shapes="_x0000_s1031">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Такимобразом, при параллельном переносе

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">осейстатический момент меняется на величину, равную произведению площади F на расстояние между осями.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рассмотримболее детально, например, первое из полученных выра­жений:

<img src="/cache/referats/1295/image012.gif" v:shapes="_x0000_s1033">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Величина

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> может быть любой:как положительной, так и отрицательной. Поэтому ее всегда можно подобрать(причем единственным образом) так, чтобы произведение<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> bF<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> было равно<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> Sx1.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Тогдастатический момент<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Sx2,<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> относительно оси <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">x<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> обращается внуль.

<img src="/cache/referats/1295/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1035"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Ось,относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди семейства параллельныхосей она является единственной, и расстояние до этой оси от некоторой, про­извольновзятой, оси х

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">1<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">равно

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис.2

<img src="/cache/referats/1295/image016.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Аналогично для другого семействапараллельных осей

<img src="/cache/referats/1295/image018.gif" v:shapes="_x0000_s1036"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Точкапересечения центральных осей называется центромтяже­сти сечения. Путем поворота осей можно показать, что статическиймомент относительно любой оси, проходящейчерез центр тяжести, равен нулю.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Нетрудноустановить тождественность данного определения и обычного определения центратяжести как точки приложения равно­действующих сил веса. Если уподобитьрассмотренное сечение одно­родной пластинке, то сила веса пластинки во всехточках будет пропорциональна элементарной площади dF, а момент сил веса

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">относительнонекоторой оси — пропорционален статическому мо­менту. Этот момент сил весаотносительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. В нульобращается, следовательно, и статический момент относительно центральной оси.

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;layout-grid-mode:both">Моменты инерции сечения

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Вдополнение к статическим моментам рассмотрим еще три сле­дующих интеграла:

<img src="/cache/referats/1295/image022.gif" v:shapes="_x0000_s1037"> <img src="/cache/referats/1295/image023.gif" v:shapes="_x0000_s1038"> <img src="/cache/referats/1295/image024.gif" v:shapes="_x0000_s1039">


                                                                                                                                                                              (2)

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Черезх и у обозначены текущие координаты эле­ментарной площадки

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> dF<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> в произвольно взятой системе координатх, <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">y<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. Первые дваинтеграла называются осевыми момен­тамиинерции сечения относительно осей хи <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">y<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> соответственно. Третий интегралназывается центробежным моментом инерции сеченияотносительно осей х, у. Размерностьмоментов инерции см4.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Осевыемоменты инерции всегда положительны, поскольку поло­жительной считается площадьdF. Центробежный момент инерции можетбыть как положительным, так и отрицательным, в зависи­мости от расположения сеченияотносительно осей х, у.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Выведемформулы преобразования моментов инерции при парал­лельном переносе осей. Будемсчитать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осейх1 и

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">y1<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.Требуется определить моменты инерции относительно осей <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">x2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">y2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/1295/image028.gif" v:shapes="_x0000_s1040"> <img src="/cache/referats/1295/image029.gif" v:shapes="_x0000_s1041"> <img src="/cache/referats/1295/image030.gif" v:shapes="_x0000_s1042">


                                                                                                                                                                          (3)

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Подставляя сюда х

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> = <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">x1<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">— а и <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">y2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> y1<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">—<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">b<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и раскрывая скобки (согласно (1) и(2)) находим <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<img src="/cache/referats/1295/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1043"> <img src="/cache/referats/1295/image035.gif" v:shapes="_x0000_s1044"> <img src="/cache/referats/1295/image036.gif" v:shapes="_x0000_s1045"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Еслиоси

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">x1<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">y1<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> — центральные, то<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> Sx1 <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">= <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">S<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">y1<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> = 0. Тогда

<img src="/cache/referats/1295/image039.gif" v:shapes="_x0000_s1047"> <img src="/cache/referats/1295/image040.gif" v:shapes="_x0000_s1048"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">                                                                                                    (4)

<img src="/cache/referats/1295/image042.gif" v:shapes="_x0000_s1049"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">


Следовательно, при параллельном переносе осей (еслиодна из осей — центральная) осевые моменты инерции меняются на величину, равнуюпроизведению площади на квадрат расстояния между осями.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Изпервых двух формул (4) следует, что в семействе парал­лельных осей минимальныймомент инерции получается относи­тельно центральной оси (а = 0 или Ь = 0).Поэтому легко запом­нить, что при переходе от центральных осей к нецентральнымосе­вые моменты инерции увеличиваются и величины

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> a2F<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> b2F<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> следует к моментам инерции прибавлять,а при переходе от нецентральных осей к центральным — вычитать.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Приопределении центробежного момента инерции по формулам (

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">4<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">) следует учитывать знак величин а и <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">b<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Можно, однако, и сразу установить, в какую сторону меняется величина<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> Jxy<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> при параллельном пере­носе осей. Дляэтого следует иметь в виду, что часть площади, находя­щаяся в I и IIIквадрантах системы координат<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> x1y1<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,дает поло­жительное значение центробежного момента, а части, находящиеся в II иIV квадрантах, дают отрицательные значения. Поэтому при переносе осей прощевсего устанавливать знак сла­гаемого abFв соответствии с тем, ка­кие из четырех слагаемых площадей увеличиваются икакие — уменьшают­ся.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">ГЛАВНЫЕ ОСИ ИГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Рис. 3

<img src="/cache/referats/1295/image044.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1050"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Посмотрим,как изменяют­ся моменты инерции при по­вороте осей координат. Поло­жим, данымоменты инерции некоторого сечения относительно осей х, у (не обязательно центральных). Требуется определить

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Ju,Jv<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Juv<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> —<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">моменты инерции относительно осей и,<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> v,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">повернутых относительно первой системы на угол a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> (рис. 3).

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Проектируем замкнутый четырехугольник ОАВСО на оси и и v. Так как проекцияломаной линии равна проекции замыкающей, на­ходим:

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">u = y sin

a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> +x cos a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">,    v = y cos a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> — x sin a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> 

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Ввыражениях

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> (3)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,подставив вместо <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">x1 иy1 соответственно u <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">v, исключаем u <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">v<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/1295/image048.gif" v:shapes="_x0000_s1051"> <img src="/cache/referats/1295/image049.gif" v:shapes="_x0000_s1052"> <img src="/cache/referats/1295/image050.gif" v:shapes="_x0000_s1053"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">откуда

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/1295/image053.gif" v:shapes="_x0000_s1054"> <img src="/cache/referats/1295/image054.gif" v:shapes="_x0000_s1055"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">                                                                                                                     (5)

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/1295/image056.gif" v:shapes="_x0000_s1056"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">


Рассмотрим два первых уравнения. Складывая ихпочленно, получим, что сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимноперпендикулярных осей не зависит от угла a и при пово­роте осей остается постоянной. При этом

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">x2 + y2 =

r<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">2<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">где

r<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> — расстояние от начала координат доэлементарной площадки (рис. <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">3<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">).Таким образом,

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">                                              Jx+ Jy = Jp

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">где

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> Jp—<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> полярный момент инерции

<img src="/cache/referats/1295/image058.gif" v:shapes="_x0000_s1057"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">


<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">величина которого, естественно, независит от поворота осей ху.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Сизменением угла поворота осей

a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> каждая из величин<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US"> Ju<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Jv <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">меняется,а сумма их остается неизменной. Следовательно, сущест­вует такое a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">,<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> при котором одиниз моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время какдругой момент инер­ции принимает минимальное значение.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Дифференцируявыражение

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Ju<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> (5) по a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и приравнивая произ­водную нулю,находим

<img src="/cache/referats/1295/image060.gif" v:shapes="_x0000_s1058"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">                                                                                                         (6)

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US">

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Приэтом значении угла

a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">один из осевых моментов будет наиболь­шим, а другой — наименьшим. Одновременноцентробежный момент инерции<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> Juv<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; font-variant:small-caps"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">при указанном угле a<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">  обращается в нуль, что легко устанавливаетсяиз третьей формулы (5).

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Оси,относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моментыпринимают экстремальные значения, назы­ваются главными осями. Если они к тому же являются централь­ными, то тогдаони называются главными центральнымиосями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Дляопределения этого первые две формулы (5) перепишем в виде

<img src="/cache/referats/1295/image062.gif" v:shapes="_x0000_s1059"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/1295/image064.gif" v:shapes="_x0000_s1060"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">


<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Далееисключаем при помощи выражения (6) угол

a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. Тогда

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<img src="/cache/referats/1295/image066.gif" v:shapes="_x0000_s1061"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">


Верхний знак соответствует максимальному моментуинерции, а нижний — минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе ина чертеже показано положение главных осей, нетрудно установить, которой издвух осей соответствует максимальный и которой — минимальный мо­мент инерции.

<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Еслисечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет главной.Центробежныймомент инерции части сечения, расположенной по одну сторону от оси, будет равенмоменту части, расположенной по другую сторону, но противоположен ему по знаку.Сле­довательно, Jху= 0 иоси х и у являются глав­ными.

еще рефераты
Еще работы по материаловедению