Реферат: Евклідова і неевклідова геометрії

--PAGE_BREAK--I. Аксіоми приналежності

I, 1. Які б не були дві крапки A і B, існує пряма a, що належать ці крапки.

I, 2. Які б не були дві крапки A і B, існує не більше одній прямій, який належать ці крапки.


I, 3. Кожній прямій a належать принаймні дві крапки. Існують принаймні три крапки, що не належать одній прямій.

Зазначені три аксіоми вичерпують список аксіом приналежності планіметрії. Наступні п'ять аксіом разом із зазначеними трьома завершують список аксіом приналежності стереометрії.

I, 4. Які б не були три крапки A, B і C, що не належать одній прямій, існує площина ?, що належать ці три крапки. Кожної площини належить хоча б одна крапка.


I, 5. Які б не були три крапки A, B і C, що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, який належать ці крапки.

I, 6. Якщо дві приналежні прямі a різні крапки A і B належать деякій площині ?, те кожна приналежній прямій a крапка належить зазначеній площині.


I, 7. Якщо існує одна крапка A, що належить двом площинам? і ?, те існує принаймні ще одна крапка B, що належить обом цим площинам.


I, 8. Існують принаймні чотири крапки, що не належать однієї площини.

З метою використання звичної для нас геометричної лексики домовимося ототожнювати між собою наступні вираження: 1) «крапка А належить прямій a (площини α)», 2) «пряма а (площина α) проходить через крапку А» 3) «крапка А лежить на прямій а (площини α)» 4) «крапка А є крапкою прямій а (площини α)» і тому подібні.

Теорема 1. Дві різні прямі не можуть мати більше однієї загальної крапки.

Теорема 2. Дві площини або зовсім не мають загальних крапок, або мають загальну пряму, на якій лежать всі їхні загальні крапки.

Теорема 3. Площина й не лежача на ній пряма не можуть мати більше однієї загальної крапки.

Теорема 4. Через пряму й не лежачу на ній крапку, або через дві різні прямі із загальною крапкою проходить одна й тільки одна площина.

Теорема 5.Кожна площина містить принаймні три крапки.

II. Аксіоми порядку

II, 1. Якщо крапка B прямій а лежить між крапками А и С тієї ж прямої, то А, У и С — різні крапки зазначеної прямої, причому В лежить також і між С и А.

II, 2. Які б не були дві різні крапки А и С, на обумовленій ними прямій існує принаймні вона крапка В така, що З лежить між А и В.

II, 3. Серед будь-яких трьох крапок, що лежать на одній прямій існує не більше однієї крапки, що лежить між двома іншими.

Сформульовані три аксіоми ставляться до розташування об'єктів на прямій і тому називаються лінійними аксіомами порядку. Нижче остання аксіома порядку ставиться до розташування геометричних об'єктів на площині. Для того, щоб сформулювати цю аксіому, уведемо поняття відрізка.

Пари різних крапок А и В назвемо відрізком і будемо позначати символом АВ або ВА. Крапки прямій, обумовленої А и В, що лежать між ними, будемо називати внутрішніми крапками, або просто крапками відрізка АВ. Інші крапки зазначеної прямої будемо називати зовнішніми крапками відрізка АВ.

II, 4 (Аксіома Паша). Якщо А, У и С — три крапки, що не лежать на одній прямій, і а — якась пряма в площині, обумовленої цими крапками, не утримуюча ні однієї із зазначених крапок і минаюча через деяку крапку відрізка АВ, то ця пряма проходить також або через деяку крапку відрізка АС, або через деяку крапку відрізка ВР.

Підкреслимо, що з одних аксіом порядку II, 1 — 4 ще не випливає, що будь-який відрізок має внутрішні крапки. Однак залучаючи ще аксіоми приналежності I, 1 — 3 можна довести наступне твердження:

Теорема 6. Які б не були дві різні крапки А и В на прямій, ними обумовленої, існує принаймні одна крапка С, що лежить між А и В.

Теорема 7. Серед будь-яких трьох крапок однієї прямої завжди існує одна крапка, що лежить між двома іншими.

Теорема 8. Якщо крапки А, У и С не належать одній прямій і якщо деяка пряма а перетинає які-небудь два з відрізків АВ, ВР і АС, то ця пряма не перетинає третій із зазначених відрізків.

Теорема 9. Якщо В лежить на відрізку АС, і С — на відрізку ВD, то В и С лежать на відрізку АD.

Теорема 10. Якщо З лежить на відрізку АD, а В — на відрізку АС, то В лежить також на відрізку АD, а С — на відрізку BD.

Теорема 11. Між будь-якими двома крапками прямої існує нескінченно багато інших її крапок.

Теорема 12. Нехай кожна із крапок С и D лежить між крапками А и В. Тоді якщо М лежить між С и D, те М лежить і між А и В.

Теорема 13. Якщо крапки С и D лежать між крапками А и В, то всі крапки відрізка СD належать відрізку АВ (у цьому випадку ми будемо говорити, що відрізок СD лежить усередині відрізка АВ).

Теорема 14. Якщо крапка З лежить між крапками А и В, то 1) ніяка крапка відрізка АС не може бути крапкою відрізка CВ, 2) кожна відмінна від Із крапка відрізка АВ належить або відрізку АС, або відрізку СВ.

Зазначені твердження дозволяють упорядкувати множину крапок будь-якій прямій і вибрати на цій прямій напрямок.

Будемо говорити, що дві різні крапки А и В прямій a лежать по різні сторони (по одну сторону) від третьої крапки Про ту ж пряму, якщо крапка Про лежить (не лежить) між А и В.

Із зазначених вище тверджень випливає наступна теорема.

Теорема 15. Довільна крапка Про кожну пряму а розбиває всі інші крапки цієї прямої на два непустих класи так, що будь-які дві крапки прямій а, що належать тому самому класу, лежать по одну сторону від ПРО, а будь-які дві крапки, що належать різним класам, лежать по різні сторони від О.

Таким чином, завдання на будь-якій прямій двох різних крапок О и Е визначає на цієї прямий промінь або напівпряму ОЕ, що володіє тим властивістю, що будь-яка її крапка й крапка Е лежать по одну сторону від О.

Вибравши на прямій а дві різні крапки О и Е, ми можемо тепер визначити порядок проходження крапок на прямій за наступним правилом: 1) якщо А и В – будь-які крапки променя ОЕ, то будемо говорити, що А передує В, якщо А лежить між О и В, 2) будемо говорити, що крапка Про передує будь-якій крапці променя ОЕ, 3) будемо говорити, що будь-яка крапка, що належить тій же прямій і не приналежна лучу ОЕ, передує як крапці ПРО, так і будь-яку крапку променя ОЕ, 4) якщо А и В — будь-які крапки, що не належать лучу ОЕ, то ми будемо говорити, що А передує В, якщо В лежить між А и О.

Легко перевірити, що для обраного нами порядку проходження крапок прямій а справедлива властивість транзитивності: якщо А передує В, а В передує З, те А передує С.

Аксіоми, наведені вище, дозволяють упорядкувати й крапки, що належать довільної площини ?.

Теорема 16. Кожна пряма а, що належить площини α, розділяє не лежачі на ній крапки цієї площини на два непустих класи так, що будь-які дві крапки А и В з різних класів визначають відрізок АВ, що містить крапку прямій а, а будь-які дві крапки А и А’ з одного класу визначають відрізок АА’, усередині якого не лежить жодна крапка прямій а.

У відповідність із твердженням цієї теореми ми можемо говорити, що крапки А и А’ (одного класу) лежать у площині αпо одну сторону від прямій а, а крапки А и В (різних класів) лежать у площині αпо різні сторони від прямій а.

III. Аксіоми конгруентності

III, 1. Якщо А и В – дві крапки на прямій а, А’ – крапка на тій же прямій або на іншій прямій а', то по дану від крапки А’ сторону прямій а' найдеться, і притім тільки одна, крапка В’ така, що відрізок А'’ конгруентний відрізку АВ. Кожний відрізок АВ конгруентний відрізку ВА.

III, 2. Якщо відрізки А'' і А”B” конгруентні тому самому відрізку АВ, то вони конгруентні й між собою.

III, 3. Нехай АВ і ВР — два відрізки прямій а, що не мають загальних внутрішніх крапок, А'' і B'' — два відрізки тій же прямій, або іншій прямій а', що також не мають загальних внутрішніх крапок. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А'', а відрізок ВР конгруентний відрізку B'', те відрізок АС конгруентний відрізку А''.

Сформульовані три аксіоми ставляться до конгруентності відрізків. Для формулювання наступних аксіом нам знадобляться поняття кута і його внутрішніх крапок.

Пари напівпрямих h і k, що виходять із однієї й тієї ж крапки О и не лежачих на одній прямій, називається кутом і позначається символом <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_1662284226-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038"> або <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_1662284376-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">.

Якщо напівпрямі задаються двома своїми крапками ОА й ОВ, то ми будемо позначати кут символом <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1662284525-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"> або <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1662284664-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">. У силу теореми 4 будь-які два промені h і k, тридцятилітні кут <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_1662284226-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">, визначають, і притім єдину, площина α.

Внутрішніми крапками <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_1662284226-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> будемо називати ті крапки площини α, які, по-перше, лежать по ту сторону від прямої, що містить промінь h, що й будь-яка крапка променя k, і, по-друге, лежать по ту сторону від прямої, що містить промінь k, що й будь-яка крапка променя h.

III, 4. Нехай дані <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_1662284226-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> на площині α, пряма а' на цій же або на якій-небудь іншій площині α’ і задана певна сторона площини α’ відносно прямій а'. Нехай h’ – промінь прямій а', що виходить із деякої крапки О’. Тоді на площині α’ існує один і тільки один промінь k’ такий, що <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_1662284226-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> конгруентний <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1662285400-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">, і при цьому всі внутрішні крапки <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1662285400-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047"> лежать по задану сторону від прямій а'. Кожний кут конгруентний самому собі.

III, 5. Нехай А, У и С – три крапки, що не лежать на одній прямій, А’, B’ і С’ – інші три крапки, що також не лежать на одній прямій. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А'’, відрізок АС конгруентний відрізку А'’ і <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1662285718-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> конгруентний <img width=«61» height=«19» src=«ref-1_1662285854-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">, те <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1662286005-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> конгруентний <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1662286143-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> і <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1662286293-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"> конгруентний <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1662286430-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">

Домовимося тепер про порівняння неконгруентних відрізків і кутів.

Будемо говорити, що відрізок АВ більше відрізка А'', якщо на прямій, обумовленої крапками А и В, найдеться лежача між цими крапками крапка З така, що відрізок АС конгруентний відрізку А'В'. Будемо говорити, що відрізок АВ менше відрізка А'', якщо відрізок А'' більше відрізка АВ.

Символічно той факт, що відрізок АВ менше відрізка А'' (конгруентний відрізку А'') будемо записувати так:
АВ<A'' (AB=A'').
Будемо говорити, що <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1662284525-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> більше <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1662286720-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">, якщо в площині, обумовленої <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1662284525-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">, найдеться промінь ОС, всі крапки якого є внутрішніми крапками <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1662284525-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">, такий, що <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_1662287147-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058"> конгруентний <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1662286720-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">. Будемо говорити, що <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1662284525-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060"> менше <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1662286720-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">, якщо <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1662286720-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> більше <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1662284525-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">.

За допомогою аксіом приналежності, порядку й конгруентності можна довести цілий ряд теорем елементарної геометрії. Сюди ставляться: 1) три широко відомі теореми про конгруентність (рівності) двох трикутників, 2) теорема про конгруентність вертикальних кутів, 3) теорема про конгруентність всіх прямих кутів, 4) теорема про одиничність перпендикуляра, опущеного із крапки на пряму, 5) теорема про одиничність перпендикуляра, проведеного до даної крапки прямій, 6) теорема про зовнішній кут трикутника, 7) теорема про порівняння перпендикуляра й похилої.

IV. Аксіоми безперервності

За допомогою аксіом приналежності, порядку й конгруентності ми зробили порівняння відрізків, що дозволяє укласти, яким із трьох знаків <, = або > зв'язані ці відрізки.

Зазначених аксіом, однак, недостатньо 1) для обґрунтування можливості виміру відрізків, що дозволяє поставити у відповідність кожному відрізку певне речовинне число, 2) для обґрунтування того, що зазначена відповідність є взаємно однозначним.

Для проведення такого обґрунтування варто приєднати до аксіом I, II і III дві аксіоми безперервності.

IV, 1 (аксіома Архімеда). Нехай АВ і СD – довільні відрізки. Тоді на прямій, обумовленої крапками А и В існує кінцеве число крапок А1, А2, ..., Аn, розташованих так, що крапка А1 лежить між А и А2, крапка А2 лежить між А1 і А3, ..., крапка Аn-1 лежить між Аn-2 і Аn, причому відрізки АА1, А1А2, ..., Аn-1An конгруентні відрізку CD і крапка В лежить між А и Аn.

IV, 2 (аксіома лінійної повноти). Сукупність всіх крапок довільної прямої а не можна поповнити новими об'єктами (крапками) так, щоб 1) на поповненій прямій були визначені співвідношення «лежить між» і «конгруентний», визначений порядок проходження крапок і справедливі аксіоми конгруентності III, 1 — 3 і аксіома Архімеда IV, 1, 2) стосовно колишніх крапок прямій певні на поповненій прямій співвідношення «лежить між» і «конгруентний» зберігали старий зміст.

Приєднання до аксіом I, 1 – 3, II і III, 1- 3 аксіоми Архімеда дозволяє поставити у відповідність кожній крапці довільної прямої а певне речовинне число х, називане координатою цієї крапки, а приєднання ще й аксіоми лінійної повноти дозволяє затверджувати, що координати всіх крапок прямій а вичерпують множину всіх речовинних чисел. Користуючись цим, можна обґрунтувати метод координат.

V. Аксіома паралельності

Сама остання аксіома грає в геометрії особливу роль, визначаючи поділ геометрії на дві логічно несуперечливі й взаємно виключають один одного системи: Евклідову й неевклідову геометрії.

У геометрії Евкліда ця аксіома формулюється так.

V.Нехай а – довільна пряма й А – крапка, що лежить поза прямій а, тоді в площині α, обумовленою крапкою А и прямої а існує не більше одній прямій, що проходить через А и не перетинає а.

Довгий час геометри намагалися з'ясувати, чи не є аксіома паралельності наслідком всіх інших аксіом. Це питання було вирішено Миколою Івановичем Лобачевским, що довів незалежність аксіоми V від аксіом I — IV.

По-іншому результат Лобачевского можна сформулювати так: якщо до аксіом I – IV приєднати твердження, що заперечує справедливість аксіоми V, те наслідку всіх цих положень будуть становити логічно несуперечливу систему (неевклідову геометрію Лобачевского).

Систему наслідків, що випливають із одних тільки аксіом I — IV звичайно називають абсолютною геометрією. Абсолютна геометрія є загальною частиною як евклідової, так і неевклідової геометрий, тому що всі пропозиції, які можуть бути доведені тільки за допомогою аксіом I — IV, вірні як у геометрії Евкліда, так і в геометрії Лобачевского.

Доказ несуперечності аксіоматики Гильберта

Щоб довести несуперечність якоїсь теорії Х, необхідно з матеріалу інший, свідомо несуперечливої, теорії А побудувати така модель, у котрої виконуються всі аксіоми теорії Х. Якщо ц удасться, теорію Х можна вважати несуперечливої. Отже, для того, щоб довести несуперечність гильбертовой системи, необхідно побудувати таку модель евклідової геометрії, у якій виконувалися б всі аксіоми, запропоновані Гильбертом.

Для побудови такої моделі, необхідна вищезгадана свідомо несуперечлива теорія. У моделі, побудованої Гильбертом, такою теорією служить теорія дійсних чисел. Ідея побудови моделі складалася в розгляді системи координат на площині. У такій системі кожній крапці М площини відповідають два числа х и в – її координати. Щоб зрозуміти суть побудови моделі забудемо про площину й наявної на ній координатній системі, «крапками» будемо називати впорядковані пари дійсних чисел (х; у) тобто пари (х; у) і (в; х) з різними х и в будемо вважати різними. Тепер спробуємо визначити «пряму». Згадаємо, що кожна пряма описується в координатах лінійним рівнянням виду ax + by + c = 0, де хоча б один з коефіцієнтів a і b відмінний від нуля. Наприклад, рівняння прямій, не паралельної осі ординат, має вигляд в = kx + l, або, що те ж саме, ax + by + c = 0, де a = k, b = -1, c = l. Якщо ж пряма паралельна осі ординат, їй відповідає рівняння x = p (тобто рівняння ax + by + c = 0, де a = 1, b = 0, c = -p;). При цьому якщо всі коефіцієнти рівняння ax + by + c = 0 помножити на те саме число k ≠ 0, те отримане рівняння буде описувати ту ж пряму. Ми ж у своїй моделі будемо називати «прямій» будь-яке лінійне рівняння виду ax + by + c = 0, у якому хоча б один з коефіцієнтів a і b відмінний від нуля, причому коефіцієнти розглядаються з точністю до ненульового множника пропорційності (при k ≠ 0 рівняння ax + by + c = 0 і (ak)x + (bk)y + kc = 0 уважаються однієї й тій же прямій).

Далі, «крапка» (х1; в1) лежить на «прямій», якщо числа х1 і в1 задовольняють зазначеному рівнянню. Як бачимо, для визначення «прямих», «крапок» і розташування «крапок» на «прямій» досить обпертися на теорію дійсних чисел. Легко перевірити, що в зазначеній моделі виконуються, наприклад, такі аксіоми:

1. Через дві різні «крапки» проходить «пряма»

2. На «прямій» є не менш двох «крапок»

Легко визначити випадок, при якому одна із трьох «крапок» лежить на «прямій» «між» двома іншими. Коли A(x1; y1), B(x2; y2) і C(x3;y3) – три «крапки», що лежать на одній «прямій», «крапка» B уважається розташованої «між» A і C за умови, що число x2 укладено між числами x1 і x3 (якщо x1 = x2 = x3, то y2 укладено між y1 і y3). Тоді очевидно, що

3. Із трьох «крапок», що лежать на одній «прямій», одна й тільки одна розташована між двома іншими.

Виконуються й інші аксіоми порядку (зокрема, аксіома Паша). Помітимо, що ми спеціально не ілюструємо зміст аксіом кресленнями, оскільки при чисто аксіоматичному викладі не слід використовувати звичні геометричні подання.

Будемо говорити, що дві «прямі» a1x + b1y + c1 = 0 і a2x + b2y + c2 = 0 «паралельні», якщо коефіцієнти a1, b1 і a2, b2 пропорційні. Це можна коротко записати рівністю a1b2 – a2b1 = 0. Неважко перевірити, що дві «паралельні» «прямі» або не мають ні однієї загальної «крапки», або збігаються (у звичайній геометрії теж часто приймають, що пряма паралельна самої собі). Більше того,

4. Через будь-яку «крапку» A1(x1; y1) проходить одна й тільки одна «пряма», паралельна даної «прямій» Ax + By + C = 0.

Інакше кажучи, у зазначеній моделі виконується аксіома паралельності. Можна тут говорити й про довжини відрізків, і про величини кутів. Наприклад, «відстанню» між двома «крапками» A1(x1; y1) і A2(x2; y2) називається число
A1A2 = <img width=«161» height=«29» src=«ref-1_1662288010-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">
Далі, у звичній евклідовій геометрії справедлива теорема косинусів:


cos C = <img width=«128» height=«44» src=«ref-1_1662288342-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">


(величина кута З дорівнює арккосинусу правої частини рівності. Можна заперечити, що тригонометричні функції (і, зокрема, косинус) визначаються геометрично й обійтися без звичайної евклідової геометрії в цьому випадку неможливо.


Однак це невірно. У математичному аналізі доводиться, що функція cos x задається нескінченним рядом
cos x= <img width=«137» height=«44» src=«ref-1_1662288725-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">,
який сходиться для будь-якого дійсного x. Таким чином, у розглянутій моделі припустимо говорити й про відстані, і про величини кутів.

Так само легко перевірити, що в ній виконуються й аксіоми конгруентності (зокрема, перша й друга ознаки рівності трикутників). У підсумку всі гильбертови аксіоми (які виявляють собою розвиток і уточнення аксіом Евкліда) у розглянутій моделі виконуються. Це й означає, що система аксіом евклідової геометрії умовно несуперечлива. Інакше кажучи, вона несуперечлива, якщо несуперечливо теорію дійсних чисел.
    продолжение
--PAGE_BREAK--1.4 Інші системи аксіом геометрії
Повернемося, однак, до евклідової геометрії. У цей час систему аксіом Гильберта часто заміняють еквівалентної їй системою. Ми приведемо ті групи аксіом однієї такої системи, по яких вона відрізняється від вищевикладеної системи (групи аксіом порядку й руху, що заміняє в цій системі групу аксіом конгруентності).

Перевага цієї системи полягає в тім, що вона дозволяє простіше й швидше одержати первісні геометричні факти, краще, як здається, описує властивості основних геометричних об'єктів з погляду звичних уявлень.

II. Аксіоми порядку

Будемо думати, що на прямій є два напрямки, взаємно протилежних один одному, і по відношенню кожному з них кожна пара крапок А и В перебуває у відомому відношенні, що виражається словом «передувати». Це відношення позначається знаком <, так що вираження «А передує В» можна символічно записати так:


А < B.
Потрібно, щоб зазначене відношення для крапок на прямій задовольняло нижченаведеним п'яти аксіомам.

II, 1.Якщо А < У в одному напрямку, то В < А в протилежному напрямку.

II, 2. В одному із двох напрямків А < У виключає В < А.

II, 3. В одному із двох напрямків якщо А < У и В < З, те А < С.

II, 4. В одному із двох напрямків для кожної крапки В найдуться крапки А и С такі, що А < B < C.

Кожне із тверджень аксіом II, 2 — 4 ставиться до одному із двох напрямків на прямій. По аксіомі II, 1 воно вірно також і для протилежного напрямку.

Перш ніж сформулювати останню аксіому, визначимо деякі поняття. Нехай а – пряма й А – крапка на ній. При фіксованому напрямку на прямій крапка А розбиває її на дві частини (напівпрямі), для кожної крапки Х однієї з них Х < А, а для кожної крапки Х іншій напівпрямій А < X. Очевидно, ця розбивка прямої на частині не залежить від обраного на ній напрямку (аксіома II, 1).

Нехай А и В – дві крапки прямій а. Якщо для крапки Із прямої а виконується умова А < C < В або В < C < А, то ми будемо говорити, що крапка З лежить між крапками А и В. Очевидно, властивість крапки лежати між двома даними не залежить від напрямку на прямій. Частина прямій а, всі крапки якої лежать між А и В, ми будемо називати відрізком АВ, а крапки А и В – кінцями відрізка.

II, 5. Пряма а, що лежить у площині ?, розбиває цю площину на дві напівплощини так, що якщо X і Y — дві крапки однієї напівплощини, то відрізок XY не перетинається із прямій а, якщо ж X і Y належать різним напівплощинам, то відрізок XY перетинається із прямій а.

З аксіом приналежності (зв'язку), які в цій системі аксіом аналогічні аксіомам приналежності Гильберта, і аксіом порядку виводяться наступні наслідки.

Теорема 1.Серед крапок А, В, З на прямій а одна й тільки одна лежить між двома іншими.

Теорема 2. Кожний відрізок містить принаймні одну крапку.

Теорема 3. Якщо В — крапка відрізка АС, то відрізки АВ і ВР належать АС, тобто кожна крапка відрізка АС і кожна крапка відрізка ВР належить відрізку АС.

Теорема 4.Якщо В — крапка відрізка АС і X — крапка того ж відрізка, відмінна від В, то вона належить або відрізку АВ, або ВР.

Теорема 5. Нехай α – площина, і а – лежача на ній пряма, b – інша пряма, або напівпряма, або відрізок у тій же площині α.

Тоді, якщо b не перетинає а, те всі крапки b лежать по одну сторону від а, тобто в одній з напівплощин, обумовлених прямій а.

Нехай А, У и С — три крапки, що не лежать на одній прямій. Фігура, складена із трьох відрізків АВ, ВР і АС називається трикутником, крапки А, У и С — вершинами трикутника, а відрізки АВ, ВР і АС — сторонами трикутника.

Теорема 9.Нехай АВС – трикутник у площині αі а — пряма в цій площині, не минаюча ні через одну із крапок А, В, С. Тоді якщо ця пряма перетинає сторону АВ, те вона перетинає й притім тільки одну із двох інших сторін ВР або АС.

Не можна не помітити, що остання наведена теорема майже аналогічна аксіомі Паша, що входить у систему Гильберта (див. сторінку 9), і відрізняється від її тільки тим, що в аксіомі не затверджується одиничність другої пересічної сторони трикутника.

III. Аксіоми руху

У даній системі група аксіом конгруентності замінена цією групою аксіом. Втім, треті групи аксіом обох систем в остаточному підсумку виконують ту саму задачу, визначаючи різними способами ті самі явища (група аксіом конгруентності в Гильберта визначає відносини конгруентності прямо, аксіоми руху — через свої наслідки).

Отже, будемо вимагати, щоб існували такі відбиття крапок, прямих і площин на крапки, прямі й площини, іменовані рухами, що задовольняють наступним аксіомам.

III, 1. Кожний рух Н зберігає відношення приналежності.

Тобто, якщо крапка А належить прямій а (площини α), те її образ при русі Н (позначуваний НА) належить образу прямої На (відповідно образу площини Нα).

III, 2.Кожний рух Н зберігає відношення порядку на прямій.

Це означає, як, напевно, уже догадався читач, що кожному із двох напрямків на прямій а можна зіставити такий напрямок на прямій На, що щораз, коли для крапок X і Y прямій а має місцеX < Y, для відповідних їм крапок прямої На має місце HX < HY.

Із цих двох аксіом треба, що кожний рух переводить напівпряму в напівпряму, напівплощина в напівплощину.

III, 3. Руху утворять групу.

Це значить:

а) Зіставлення Н0 кожному елементу х (крапці, прямій, площини) його самого є рух. Цей рух називається тотожним.

б) Якщо рух Н1 зіставляє довільному елементу х елемент y, а рух Н2 зіставляє y елемент z, те зіставлення елементу х елемента z є рух. Воно позначається Н2Н1 і називається добутком рухів.

в) Для кожного руху Н існує рух Н-1 таке, що Н-1Н=Н0. Рух Н-1 будемо називати зворотним.

III, 4. Якщо при русі Н пряма h, як ціле, і її початкова крапка А залишаються нерухливими, то всі крапки напівпрямій h залишаються нерухливими.

III, 5. Для кожної пари крапок А и В існує рух Н, котре переставляє їх місцями: НА=В, НВ=А

III, 6. Для кожної пари променів h, k (напівпрямих), що виходять із однієї крапки, існує рух Н, їх що переставляє: Нh=k, Hk=h.

III, 7. Нехай αі β– будь-які площини, а й b – прямі в цих площинах, А и В – крапки на прямих а й b. Тоді існує рух, що переводить крапку А в У, задану напівпряму прямій а, обумовлену крапкою А, — у задану напівпряму прямій b, обумовлену крапкою В, задану напівплощину площини α, обумовлену прямій а, – у задану напівплощину площини β, обумовлену прямій b.

Теорема 10.Нехай α– площина, і а – приналежна їй пряма. Тоді якщо рух Н переводить кожну з напівплощин площини α, обумовлених прямій а, у себе й залишає нерухливими крапки прямій а, те воно є тотожним.

Дійсно, тотожний рух Н0 має зазначеними в теоремі властивостями Н, а отже, по аксіомі III, 7 збігається з ним.

Визначимо тепер поняття конгруентності. Фігуру F1 ми будемо називати конгруентній фігурі F2, якщо існує рух Н, що переводить F1 в F2: HF1=F2. Із групових властивостей руху (аксіома III, 3) випливають наступні властивості відносини конгруентності:

Кожна фігура F конгруентна сама собі.

Дійсно, тотожний рух Н0 переводить F в F.

Якщо фігура F1 конгруентна F2, то фігура F2 конгруентна F1.

Справді, якщо Н – рух, що переводить фігуру F1 в F2, то рух Н-1 переводить фігуру F2 у фігуру F1.

Якщо фігура F1 конгруентна F2, а фігура F2 конгруентна фігурі F3, то фігура F1 конгруентна F3.

Дійсно, якщо Н' – рух, що переводить фігуру F1 в F2, а Н'' – рух, що переводить фігуру F2 в F3, то рух Н''Н' переводить F1 в F3.

Уперше подібну систему запропонував через десять після появи гильбертовой аксіоматики Фрідріх Шур.

Через ще десять років німецький математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Ельмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, – 8.12.1955, Цюріх) створив векторну аксіоматику геометрії. У Вейля первісними є поняття «крапка» і «вектор», а пряма й відрізок визначаються з їхньою допомогою. Є аксіоми додавання векторів (означаючі, що вектори утворять комутативну групу), аксіоми множення вектора на дійсне число, аксіоми відкладання векторів (зокрема, аксіома трикутника: <img width=«103» height=«24» src=«ref-1_1662289048-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">), аксіоми скалярного добутку векторів і аксіома розмірності (для планіметрії в ній затверджується: якщо дані три ненульових вектори <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_1662289273-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">, <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_1662289367-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069"> і <img width=«12» height=«24» src=«ref-1_1662289461-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">, те який-небудь із них виражається у вигляді комбінації двох інших: <img width=«79» height=«27» src=«ref-1_1662289551-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">). При заданих крапці А и ненульовому векторі <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_1662289273-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072"> пряма (А, <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_1662289273-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">) визначається як множина всіх крапок М, для яких вектор<img width=«32» height=«23» src=«ref-1_1662289927-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074"> пропорційний <img width=«13» height=«24» src=«ref-1_1662289273-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">, тобто найдеться таке дійсне число t, що <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_1662290155-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">. Далі визначаються відрізки, кути, багатокутники, окружність і інші фігури: наприклад, відстань між А и В – як квадратний корінь зі скалярного квадрата вектора <img width=«27» height=«23» src=«ref-1_1662290326-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">, тобто <img width=«111» height=«28» src=«ref-1_1662290446-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">. Теорема Піфагора легко доводиться за допомогою скалярного добутку, а аксіома паралельності — за допомогою векторного визначення прямої й аксіоми рівномірності.

На закінчення відзначимо, що гильбертова аксіоматика повністю уточнила не цілком зроблену систему аксіом, створену Евклідом більше двох тисяч років тому. Аксіоматика Фрідріха Шура й аксіоматика Германа Вейля зв'язали геометрію з поняттями групи перетворень і векторного простору, які відіграють найважливішу роль у багатьох розділах сучасної математики, фізики, економіки, хімії, біології й інших областей знання.




Глава II. Неевклідові геометрії в системі Вейля

2.1 Елементи сферичної геометрії
У цьому пункті розглянуті елементи так званої сферичної геометрії — геометрії сфери Евклідова простору. Найкоротшими (геодезичними) або прямими лініями на сфері є більші окружності, тобто такі окружності, площини яких проходять через центр даної сфери.

Тому що будь-які два більших кола перетинаються, то в сферичній геометрії не здійснюється ні постулат Евкліда, ні аксіома паралельності Лобачевского. У цій геометрії не виконується також ряд інших фактів абсолютної геометрії.

Наприклад, прямі в сферичній геометрії замкнуті й на них неможливо встановити поняття крапки, що лежить «між» для трьох крапок, тому що кожну із цих крапок на окружності можна вважати крапкою, що лежить між двома іншими. Дві крапки на великому колі визначають два відрізки й прямі мають кінцеву довжину. Таким чином, аксіоми порядку в сферичній геометрії повинні описувати властивості циклічного розташування крапок на прямій. І все-таки, незважаючи на зазначені розходження в сферичній геометрії є багато властивостей, аналогічних відповідним властивостям в евклідовій геометрії й геометрії Лобачевского. Ці геометрії, включаючи й геометрію досить малих шматків сфери, в основних питаннях не протиставляються між собою, а копіюють один одного.

Візьмемо на сфері три крапки А, В,
З, що не лежать в одній площині із центром Продану сферу. Сукупність цих крапок і дуг АВ, ВР і АС більших окружностей, менших півоберту, називається сферичним трикутником АВС. Крапки А, В, С називаються вершинами сферичного трикутника, а дуги, АВ, ВР, АС — його сторонами. Кутом А сферичним трикутником АВС називається, кут між дотичними, проведеними до дуг АВ і АС у крапці їхнього перетинання А.Очевидно, цей кут є лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами більших окружностей АВі АС. Ясно, що сферичний трикутник можна одержати за допомогою тригранного кута, якщо перетнути його сферою, центр якої буде збігатися з вершиною даного кута. Справді, у перетинанні сфери із гранями даного тригранного кута одержимо сферичний трикутник.

Зі шкільного курсу геометрії відомо, що в тригранному куті будь-який його плоский кут менше суми двох інших плоских кутів і більше їхньої різниці. У геометрії сфери цій пропозиції відповідає наступна теорема. У всякому сферичному трикутнику кожна сторона менше суми двох інших його сторін і більше їхньої різниці.

На підставі цієї теореми, як і у звичайній планіметрії, доводиться, що в сферичному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і, обернено, проти більшого кута лежить більша сторона.

У цій геометрії є сферичні двукутники — фігури більше прості, чим сферичні трикутники. Сферичний двукутник по визначенню, представляє частину сфери, обмежену двома більшими півколами, що перетинаються у двох діаметрально протилежних крапках.

Симетрія сфери щодо діаметральної площини й поворот її навколо діаметра на даний кут, мабуть, являють собою приклади перетворень сфери, при яких відстані між будь-якими двома крапками дорівнює відстані між їхніми образами. Приведемо загальне визначення.

Перетворення сфери, при яких зберігаються відстані між будь-якими двома її крапками, називаються рухами.Сферична геометрія вивчає властивості фігур, що зберігаються при будь-яких рухах сфери.

Полярні трикутники

Усяка площина <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1662290713-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">, що проходить через центр сфери, перетинає цю сферу по великій окружності. Кінці А, А' діаметра, перпендикулярного площини
<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1662290713-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">, називаються полюсами цієї окружності. У цьому випадку більша окружність називається полярою крапок А и А'.

Очевидно, всі крапки поляри вилучені від свого полюса на відстань, рівне <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1662290889-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">R/2, де R позначає радіус даної сфери. Ясно також, що якщо дана крапка вилучена від двох крапок великої окружності на відстань <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1662290889-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">R/2, то вона є полюсом цієї великої окружності. Перейдемо тепер до визначення полярного трикутника.

Якщо вершини трикутника АВС є полюсами сторін іншого сферичного трикутника А1У1С1
, то цей останній називається полярним трикутником стосовно даного.

Таким чином, радіус-вектор <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1662291067-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> перпендикулярний векторам <img width=«31» height=«27» src=«ref-1_1662291182-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"> і <img width=«32» height=«27» src=«ref-1_1662291313-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">, тобто
<img width=«218» height=«34» src=«ref-1_1662291446-849.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">
Аналогічно будемо мати
<img width=«403» height=«33» src=«ref-1_1662292295-886.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">
Звідси треба, що якщо трикутник А1У1С1 буде полярним до трикутника АВС, то трикутник АВС у свою чергу буде полярним стосовно трикутника А1У1С1.

Таким чином, сферичні трикутники АВС і А1У1С1, взаємно полярні один одному.

Будемо позначати вершини й кути сферичного трикутника більшими буквами латинського алфавіту А, В, С, а протилежні їм сторони — відповідними малими буквами того ж алфавіту а, Ь, с. Вершини й протилежні їм сторони полярного трикутника будемо позначати тими ж буквами з індексами А1, В1, С1, відповідно a1, b1, c1.

Лінійні елементи трикутника тут і в подальших формулах входять у вигляді відносин до радіуса сфери, тому доцільно ввести наступне поняття наведеної довжини. Відстань між двома крапками на сфері, віднесене до її радіуса, будемо називати наведеною відстанню.

Доведемо наступну пропозицію про взаємно полярні трикутники.

Теорема. Кут одного сферичного трикутника й відповідна йому наведена сторона взаємно полярного трикутника доповнюють один одного до <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1662290889-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">, тобто
<img width=«156» height=«47» src=«ref-1_1662293270-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">
і т.д. Тому що
<img width=«160» height=«47» src=«ref-1_1662293716-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> (*)
Те з (*) треба, що
<img width=«261» height=«68» src=«ref-1_1662294262-1216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">
Таким чином, виводимо
<img width=«239» height=«47» src=«ref-1_1662295478-829.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">
Аналогічно доводяться інші рівності:
<img width=«365» height=«47» src=«ref-1_1662296307-780.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">




Перейдемо до висновку деяких формул сферичної геометрії.

Формули прямокутного трикутника в сферичній геометрії

Перейдемо до висновку деяких формул сферичної геометрії. Нехай в евклідовому просторі нам дана сфера радіуса R. Візьмемо на ній прямокутний трикутник AВС зі сторонами a, b, з, які будуть дугами більших кіл відповідно ВР, СА й АВ, причому вмовимося вважати <img width=«59» height=«31» src=«ref-1_1662297087-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">(мал. 2). Останнє означає, що дотичні в крапці З, проведені до більших дуг СА, СВ, перпендикулярні. З'ясуємо зв'язок між лінійними й кутовими елементами даного прямокутного трикутника.

Опустимо із крапки В перпендикуляри ВР1, і ВА1на прямі ОС і ОА Евклідова простору. Із трикутника ОВС1, маємо
<img width=«115» height=«47» src=«ref-1_1662297243-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"> (*)
Аналогічно із трикутників OBA1і BA1C1 треба, що
<img width=«128» height=«76» src=«ref-1_1662297646-658.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> (**)
Крім із цих трьох співвідношень BC1 і BA1, одержимо
<img width=«143» height=«47» src=«ref-1_1662298304-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> (1.1)
Формула (1.1) показує, що синус наведеного катета рівняється синусу наведеної гіпотенузи, помноженому на синус протилежного кута трикутника.

У попереднім міркуванні підстава С1, перпендикуляра ВР1, може збігатися із центром сфери або бути лівіше його на діаметрі ОС. Але можна переконатися, що одержувані нижче формули, як і формула (1.1), будуть завжди справедливі. До речі відзначу ще раз, що розглядаються тільки такі сферичні трикутники, які визначаються його вершинами й найменшими дугами більших окружностей, попарно їх з'єднуючими.

З'ясуємо зв'язок гіпотенузи c з катетами а й b. Із трикутника ОВС1, маємо
<img width=«119» height=«47» src=«ref-1_1662298841-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"> (1.2)
Далі із трикутника ОВА1і ОС1А1треба, що
<img width=«283» height=«47» src=«ref-1_1662299290-820.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">
Крім із отриманих трьох рівностей ОС1і ОА1будемо мати

<img width=«153» height=«47» src=«ref-1_1662300110-653.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">. (1.3)
Ця формула виражає теорему Піфагора: косинус наведеної гіпотенузи прямокутного трикутника рівняється добутку косинусів наведених катетів. Аналогічним образом виводяться інші формули. Наприклад, із прямокутного трикутника А1ВР1треба, що
<img width=«117» height=«25» src=«ref-1_1662300763-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"> (1.4)
Далі, тому що
<img width=«157» height=«29» src=«ref-1_1662301014-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">


те з (1.2) маємо
<img width=«144» height=«47» src=«ref-1_1662301411-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> (1.5)
З іншого боку,
<img width=«109» height=«47» src=«ref-1_1662301912-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> (1.6)
З (*, 1.4- 1.6) випливає, що
<img width=«127» height=«47» src=«ref-1_1662302323-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> (1.7)
Поряд із цією формулою справедлива також парна формула
<img width=«128» height=«47» src=«ref-1_1662302797-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> (1.7')
Перемножуючи останні два співвідношення, одержимо
<img width=«232» height=«47» src=«ref-1_1662303271-770.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">
Відкидаючи ненульові співмножники й застосовуючи теорему Піфагора, остаточно будемо мати
<img width=«145» height=«47» src=«ref-1_1662304041-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> (1.8)


Візьмемо тепер інше вираження А1С1через соs A. Тому що
<img width=«137» height=«25» src=«ref-1_1662304553-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">
те з (**) і (1.5-1.6), маємо
<img width=«196» height=«47» src=«ref-1_1662304959-765.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">
Звідси треба, що
<img width=«145» height=«47» src=«ref-1_1662305724-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> (1.9)
З (1.1) випливає також, що
<img width=«147» height=«47» src=«ref-1_1662306258-545.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">
Останні дві рівності дають
<img width=«240» height=«47» src=«ref-1_1662306803-882.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">
Або
<img width=«149» height=«47» src=«ref-1_1662307685-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> (1.10)




Доведені формули прямокутного трикутника можна виписати, користуючись так званим правилом Непера. Щоб сформулювати це правило, умовимося розташовувати елемент прямокутного трикутника а, В, з, А, bу зазначеному на циклічному порядку.

Для кожного із цих елементів попередній і наступний елементи називаються     продолжение
--PAGE_BREAK--прилеглими, а інші два елементи — протилежними. Для катета b, наприклад, елементи a, Абудуть прилеглими, а елементи з,
В — протилежними. Прилеглими елементами для гіпотенузи є кути A і В, а протилежними — катети ай b.

Сформулюємо тепер правило Непера. Косинус будь-якого елемента сферичного прямокутного трикутника рівняється добутку синусів протилежних елементів або добутку котангенсів прилеглих елементів. Якщо під знаком функції коштує катет, то тригонометрична функція міняється на суміжну — синус а косинус, тангенс на котангенс і навпаки. Помітимо також, що у всіх формулах довжини катетів і гіпотенузи діляться на радіус сфери R.

Формули косокутного трикутника в сферичній геометрії

Одержимо сНачало теорему косинусів. Нехай АВСдовільний сферичний трикутник. Опустимо з вершини Увисоту ВD. Застосовуючи до трикутника ВDСтеорему Пифагора, одержимо
<img width=«192» height=«47» src=«ref-1_1662308285-739.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">,
деd=AD, a=BC, b=BC, AB=c.

Перепишемо попередню рівність, другий множник формули косинуса різниці:
<img width=«369» height=«47» src=«ref-1_1662309024-1329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">.(1.11)


Перший і третій множники в першому члені правої частини по теоремі Піфагора дають <img width=«47» height=«47» src=«ref-1_1662310353-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">. Спростимо другий член у правій частині. Тому що
<img width=«343» height=«47» src=«ref-1_1662310666-1247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">,
те заміняючи <img width=«37» height=«47» src=«ref-1_1662311913-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> по формулі (1.9) на <img width=«80» height=«47» src=«ref-1_1662312090-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">, одержимо
<img width=«291» height=«47» src=«ref-1_1662312483-1059.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">
Таким чином, з (1.11) треба, що
<img width=«299» height=«47» src=«ref-1_1662313542-1070.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> (1.12)
Ця залежність, що виражає сторону сферичного трикутника через дві інші сторони в косинус протилежного кута, називається теоремою косинусів.

Доведемо тепер теорему синусів. Із прямокутного трикутника АВ і ВDС (мал. 6) одержуємо
<img width=«355» height=«47» src=«ref-1_1662314612-1030.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">
Звідси треба, що
<img width=«113» height=«71» src=«ref-1_1662315642-649.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">


Якщо опустити тепер висоту з вершини А, то будемо мати
<img width=«259» height=«47» src=«ref-1_1662316291-809.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">
Отже
<img width=«175» height=«71» src=«ref-1_1662317100-889.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> (1.13)
Ці залежності сторін і синусів протилежних кутів становлять теорему синусів сферичного трикутника АВС.

Друга теорема косинусів

Припустимо, що сферичний трикутник А1У1С1, є полярним до даного трикутника АВС. Застосовуючи до нього теорему косинусів, одержимо
<img width=«320» height=«47» src=«ref-1_1662317989-1145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">
Але в силу формул (див. Полярні трикутники), маємо
<img width=«351» height=«47» src=«ref-1_1662319134-823.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">
Заміняючи в попередній рівності сторони й кути тільки що виписаними вираженнями, одержимо
<img width=«524» height=«47» src=«ref-1_1662319957-1671.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">


Або
<img width=«303» height=«47» src=«ref-1_1662321628-961.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130"> (*)
Формула й становить зміст 2-й теореми косинусів: Косинус кута сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів двох інших кутів, узятому зі зворотним знаком, і складеному з добутком синусів тих же кутів на косинус наведеної протилежної сторони. Аналогічні дві формули можна одержати круговою заміною лінійних і кутових елементів даного трикутника АВС.

Із другої теореми косинусів треба, що в сферичній геометрії не існує нерівних трикутників з відповідно рівними кутами. Інакше кажучи, якщо кути, одного сферичного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого сферичного трикутника, те такі трикутники рівні.

На закінчення встановимо лише збіг формул сферичної геометрії для фігур з малими лінійними розмірами з відповідними формулами евклідової геометрії.

Про сферичну геометрію в малому

Нехай лінійні розміри а, b, зі сферичного трикутника малі в порівнянні з радіусом сфери R. Очевидно, ці умови можна здійснити за рахунок малості зазначених лінійних розмірів або за рахунок вибору досить великого значення R. З формули, що виражає теорему косинусів, треба
<img width=«496» height=«53» src=«ref-1_1662322589-1386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">
З огляду на в цій рівності члени до другого порядку малості включно, одержимо теорему косинусів евклідової геометрії:


<img width=«196» height=«25» src=«ref-1_1662323975-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> (1.14)
У випадку прямокутного сферичного трикутника з кутом маємо cos A=0 і формула (1.12) у межі приводить до співвідношення
<img width=«99» height=«25» src=«ref-1_1662324436-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">,
тридцятимільйонну теорему Піфагора в геометрії Евкліда. Це рівність треба також з (1.14) при <img width=«69» height=«20» src=«ref-1_1662324639-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">.

Тому що при малих розмірах наведених сторін їхні синуси в першому наближенні пропорційні аргументам, то з (1.13) випливають два зв'язки
<img width=«143» height=«41» src=«ref-1_1662324920-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">,
теорему синусів в евклідовій геометрії.

Отже, формули сферичної геометрії для фігур з малими лінійними розмірами в порівнянні з радіусом сфери збігаються з відповідними формулами евклідової геометрії. Аналогічний результат одержимо нижче при розгляді формул геометрії Лобачевского.
2.2 Еліптична геометрія на площині
Були показані найпростіші факти сферичної геометрії, у якій усякі дві прямі перетинаються у двох діаметрально протилежних крапках. Для того, щоб звільнитися від зазначеного недоліку й прийти до нової геометрії, у якій прямі мали б не більше однієї загальної крапки, умовимося вважати всяку пару діаметрально протилежних крапок сфери за одну крапку. Отриману нову поверхню після такого ототожнення пар крапок сфери будемо називати еліптичною площиною й позначати символом S2.

Ясно, що одержимо ту ж площину, якщо будемо будувати множини векторів Евклідова простору відношенню еквівалентності в якій <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1662325358-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"><img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> тоді й тільки тоді, коли вектори <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> й<img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> непропорційні.

Прямі еліптичної площини виходять із більших кіл у результаті зазначеного ототожнення пара крапок і будуть як і раніше замкнутими лініями. Але побудована площина S2 стала принципово новим об'єктом математичного дослідження.

Залишаючись замкнутою поверхнею, вона втратила властивість двобічності. Еліптична площина є однобічною поверхнею, тобто, розфарбовуючи яку-небудь одну сторону цієї поверхні, розфарбуємо її по обидва боки. В еліптичній геометрії відсутнє поняття крапки, що лежить між двома іншими, якщо вони інцідентні прямій, тому що дві крапки на прямій визначають два взаємно додаткових відрізки. У цій геометрії можна встановити поняття поділу двох пар крапок А, У и М, N, інцідентних прямій. Пари A, Bрозділяє пари М, N, якщо крапки М, N лежать у різних відрізках, певних на даній прямій крапками А и В. Можна переконатися, що пари крапок A, У розділяє пари М, N тоді й тільки тоді, коли подвійне відношення


 (АВМ) = АМ/ВМ: АN/ВN


чотирьох крапок А, В, М, N негативно.

Зрозуміло, еліптичну площину можна уявити собі також у вигляді півсфери, у якої діаметрально протилежні крапки екватора вважаються за одну крапку. Об'єкти нової моделі перебувають у певних зіставленнях з об'єктами відомої моделі на сфері. Завдяки цьому без звертання до аксіом виводимо, що ці дві моделі реалізують ту саму геометрію.

Проектування із центра о Евклідова простору на площину, дотичну до сфери в крапці З, де ОС<img width=«33» height=«20» src=«ref-1_1662325800-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">, переводить прямі еліптичної площини в прямі евклідової площини <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_1662325997-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">. Якщо до крапок дотичної площини приєднати невласні крапки, то побудоване центральне проектування буде взаємно однозначним відображенням всіх крапок еліптичної площини на всі крапки розширеної евклідової (проективної) площини. Не будемо виписувати систему аксіом еліптичної геометрії й помітимо лише, що її можна одержати з аксіом проективної геометрії й аксіом конгруентності.

Всі поняття площини S2 переводяться по відображенню в деякі поняття двомірної проективної геометрії. Зіставлення відповідних геометричних образів отриманої проективної моделі характеризується наступною таблицею:



«крапка»

крапка проективної площини

«пряма»

пряма проективної площини

«рівність відрізків»

рівність прообразів відрізків



Велике достоїнство проективної моделі полягає в тому, що крапки й прямі в ній зображуються звичними для нас образами. Однак, при вивченні властивостей конгруентних фігур сферична модель стає більше зручною.

Помітимо також, що прямі й площини зв'язування о Евклідова простору визначають нову модель площини S2, що відповідають геометричні образи якої представляються наступною таблицею:



S2

Зв'язування прямих і площин в Е3

«крапка»

Площина зв'язування

«поділ двох пар крапок»

Поділ двох пар прямих того самого пучка прямих

«відстань між двома крапками»

Величина, пропорційна куту, між двома прямими зв'язування



Реалізація еліптичної площини у вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені, дозволяє на цій площині ввести координати (х, в, z), зв'язані співвідношенням
x2+y2+z2=R2;


де Rназивається радіусом кривизни, а зворотна величина квадрата радіуса — кривизною. У цих координатах відстань а між двома крапками А (х1, в1, z1) і В(х2,
в2, z2 ) визначається по формулі
<img width=«253» height=«47» src=«ref-1_1662326165-751.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">. (2.1)
Відношення відстані між крапками до радіуса кривизни називається наведеною відстанню. Дві крапки площини S2 називаються полярними, якщо відповідним цим крапкам прямі тривимірного Евклідова простору ортогональні. Інакше кажучи, полярні крапки характеризуються тим, що наведена відстань між ними рівняється <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1662326916-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">. Відрізок прямій, обмежений полярно сполученими крапками, називається напівпрямій. Пряма складається із двох напівпрямих і має довжину, рівну <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1662290889-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">. Очевидно, геометричне місце крапок, полярних даній крапці А (х1, в1, z1), утворить пряму
<img width=«172» height=«25» src=«ref-1_1662327119-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> (2.1')
Ця пряма називається полярою крапки A, а крапка А — полюсом прямій (2.1').

Прямі, перпендикулярні прямій, перетинаються в її полюсі. Обернено, усяка пряма, що проходить через полюс даної прямої, буде перпендикулярної до цієї прямої. Звідси треба, що через кожну крапку площини, відмінну від полюса даної прямої, можна провести єдиний перпендикуляр до цієї прямої. Ці властивості безпосередньо випливають із визначення полюсів і поляр.

У геометрії S2 можна побудувати взаємно однозначне відображення між крапками й прямими, при якому кожній крапці відповідає її полярна пряма, а кожній прямій — її полюс. Таке відображення називається полярним відображенням. В еліптичній площині одиничної кривизни полярне відображення переводить дві прямі а, b у такі крапки А, В, що відстань між цими крапками рівняється куту між даними прямими. Звідси випливає так званий принцип подвійності в еліптичній планіметрії: якщо в якій-небудь теоремі еліптичної геометрії замінити слова «крапка», «пряма», «відстань» і «кут» відповідно на слова «пряма», «крапка», «кут» і «відстань», те в результаті одержимо також справедливу пропозицію в цій геометрії. Прикладом двоїстих пропозицій, тобто пропозицій, що виходять одне з іншого, зазначеного правила є наступне: будь-які дві крапки визначають пряму, їм інцідентну; будь-які дві прямі визначають крапку, їм інцідентну.

Знайдемо тепер відстані між двома нескінченно близькими крапками М (х,
в, z) і M’ (х + dх, в + dу, z + dz). З формули (2.1) треба, що
<img width=«339» height=«47» src=«ref-1_1662327513-1002.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">. (2.2)
Звідки з точністю до нескінченно малих другого порядку включно маємо
ds=-2(xdx+ydy+zdz).


З огляду на, що координати крапки (х + dх, в + dу, z
+ dz) задовольняють рівності
(х + dх)2 +(в + dу)2+ (z
+ dz)2=R2,


будемо мати
2(хdх + уdу
+ zdz) + dx2 + dу2 + dz2 = 0.

ds2 = dx2 + dу2 + dz2.(2.2')




Отримана формула приводить до очевидного висновку про те, що в малому геометрія еліптичної площини збігається зі сферичною геометрією. Зокрема, формули (1.12) і (1.13) відповідно теорему косинусів і синусів, справедливі й в еліптичній геометрії. Формула 2.2' показує також, що руху еліптичної площини S2 представляються обертаннями й відбиттями Евклідова простору E3 навколо Начало координат. Зазначені рухи визначаються ортогональними матрицями. Так називаються матриці, у яких сума квадратів елементів кожного стовпця рівняється одиниці, а сума добутків відповідних елементів різних стовпців рівняється нулю. Тому що матриці, що відрізняються знаками, індуцірують те саме рух в еліптичній площині, то група рухів останньої зв'язана.

Площа трикутників в еліптичній геометрії

Нехай в еліптичній площині даний трикутник AВС, позначеної на мал. 8 номером I. Як відомо, на даній площині породжуються ще три трикутники з тими ж вершинами. Ці трикутники позначені на малюнку номерами II, III, IV. Тому що вcя еліптична площина кінцева й має площу, рівну 2<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1662290889-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> R2, то площа частини площини, обмеженої вертикальними кутами А трикутника I, рівняється
<img width=«129» height=«52» src=«ref-1_1662328604-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">
Аналогічно, площа частин еліптичної площини, обмежених вертикальними кутами В и С трикутника AВС, рівні 2R2B, 2R2С. З іншого боку, сума всіх трьох знайдених площ становить площу всієї еліптичної площини з доданою подвоєною площею SАВСданого трикутника АВС. У результаті одержуємо
<img width=«252» height=«29» src=«ref-1_1662329115-638.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">.


Звідси випливає, що
SАВС = R2(A + B + C -<img width=«17» height=«16» src=«ref-1_1662329753-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> ). (2.3)
Ця формула показує, що площа трикутника пропорційна його дефекту. Можна довести, що в геометрії Лобачевского площа трикутника АВС визначається по формулі, аналогічної (2.3),
SАВС = k2(<img width=«17» height=«16» src=«ref-1_1662329753-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> — A — B — C ),
де k— радіус кривизни.

Окружність

Окружністю називається геометричне місце крапок М(х,
в, z), що відстоять від даної крапки А(х1, в1,z1) на дану відстань r. Крапка A називається центром окружності, r — її радіусом.

До поняття окружності можна прийти іншим шляхом, відправляючись від пучків прямих і відповідних крапок на прямих даного пучка. Ці допоміжні поняття тут уводяться так само, як у геометрії Лобачевского. Сукупність прямих, що перетинаються в даній крапці A, називається пучком прямих першого роду. Крапка А називається центром пучка. Пучком прямих другого роду називаються прямі площини, перпендикулярні даній прямій а. Неважко переконатися, що ці пучки двоїсті один одному. Справді, поляра центра пучка прямих першого роду ортогональне перетинає всі прямі пучка й розглянута сукупність прямих є пучком прямих другого роду. Обернено, прямі пучка другого роду проходять через полюс осі пучка й становлять пучок прямих першого роду. Таким чином, усякий пучок прямих одночасно є пучком першого й другого роду. Припустимо, що крапки М и N лежать відповідно на прямих тиn даного пучка прямих. Ці крапки М, N називаються відповідними, якщо відрізок МN утворить рівні однобічні кути із прямими т и n. Найпростіша крива тут визначається так само, як у планіметрії Лобачевского. Ця крива по визначенню є множиною крапок, що відповідають крапці М на прямій т даного пучка. Отримана в такий спосіб найпростіша крива одночасно є окружністю радіуса rіз центром у крапці А и еквидистантой з висотою r' = <img width=«18» height=«16» src=«ref-1_1662330067-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">
R/2 — r. Можна встановити, що окружність ортогональне розсікає прямі свого пучка.

З (2.1) треба, що рівняння окружності із центром у крапці А(х1,
в1,z1) і радіусом r< <img width=«18» height=«16» src=«ref-1_1662330067-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">
R/2 приводиться до виду:
<img width=«257» height=«47» src=«ref-1_1662330381-739.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> . (2.4)
Наявність подвійного знака пояснюється тим, що права частина позитивна, а вираження в дужках може мати значення різних знаків.

Помітимо, що множина крапок, віддалених від двох крапок A, В, складається із двох взаємно перпендикулярних прямих, що проходять через полюс прямій, певної даними крапками. Одна із цих прямих ділить навпіл один відрізок АВ, а інша — додатковий. Звідси випливає існування однієї й тільки однієї окружності, описаної біля заданого трикутника АВС. Зокрема, три крапки, що не належать прямій, визначають на еліптичній площині чотири трикутники. Таким чином, через три крапки А, В, З, що не лежать на одній прямій, можна провести чотири окружності, які на сферичній моделі визначаються наступними трійками крапок: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, де А', В', С' позначають крапки, діаметрально протилежні відповідно до крапок А, В, С.

Розглянемо коротенько властивості пар окружностей в еліптичній площині. У сферичній геометрії дві окружності, як і в евклідовій площині, можуть не перетинатися один з одним, стосуватися або перетинатися у двох крапках. В еліптичній геометрії властивості пара окружностей більше різноманітні. Щоб переконатися в цьому, припустимо, що еліптична площина інтерпретована у вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені. У цьому випадку, окружність еліптичної площини представляється на такій сфері у вигляді двох окружностей, що лежать у паралельні й рівновіддалених від центра сфери площинах. Обернено, дві окружності, отримані від перетинання сфери симетричними щодо її центра площинами, зображують в еліптичній геометрії одну окружність. Зроблені зауваження дозволяють скласти уявлення про нові випадки взаємних положень двох окружностей у порівнянні зі сферичною або евклідовою планіметрією.

    продолжение
--PAGE_BREAK--2.3 Геометрія Лобачевского в системі Вейля
Про псевдоевклідові планіметрії

а) В евклідовій площині, як відомо, формула квадрата відстані між двома крапками М(х1, х2) і N(в1, в2) у декартовой, прямокутній системі координат представляється у вигляді
d(M,N)2=(y1 — x1)2+(y2 — x2)2. (3.1)
Кут <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1662331120-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> між векторами ОМ і ОN обчислюється зі співвідношення
<img width=«223» height=«59» src=«ref-1_1662331214-882.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">. (3.2)
Перша формула по суті виражає теорему Піфагора для прямокутного трикутника з катетами, рівними абсолютним величинам <img width=«131» height=«28» src=«ref-1_1662332096-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> і гіпотенузою МN. Друга ж формула представляє собою формулу косинуса різниці кутів, утворених відповідно ОМ іON c координатним вектором <img width=«20» height=«31» src=«ref-1_1662332444-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">.

Тепер змінимо формули (3.1) і (3.2) і будемо визначати відстань між зазначеними двома крапками й величини даних кутів по формулах відповідно


d(M,N)=(y1 — x1)2 — (y2 — x2)2(3.3)

<img width=«221» height=«59» src=«ref-1_1662332553-850.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> (3.4)
Колишні пари крапок тепер будуть мати інші відстані» а колишні кути — інші величини. Це по суті нова своєрідна двомірна геометрія.

Щоб підкреслити наявність іншої метрики й не плутати нові відстані й величини кутів зі старими, умовимося називати координатну площину (x1, x2)формулами (3.3), (3.4) псевдоевклідовою площиною.

б) Для більшої аналогії з евклідовою геометрією доцільно ввести новий скалярний добуток векторів як добуток їхніх довжин на косинус кута між ними. Ясно, що цей добуток векторів відрізняється від звичайного скалярного добутку тих же векторів, тому що довжини векторів (відстань між початкової його й кінцевої крапками) і косинус кута розуміється в змісті псевдоевклідової геометрії.

Не будемо далі перераховувати наслідків з формул (3.3), (3.4) і дамо аксіоматичне визначення псевдоевклідової геометрії. Робиться це в такий спосіб.

Замість аксіоми IV, 3 вейлевської аксіоматики, у якій говориться про те, що скалярний квадрат вектора ненегативний, уводиться інша аксіома IV, 3' про існування ненульових векторів першого, другого, і третього типів, скалярні квадрати яких відповідно позитивні, негативні й дорівнюють нулю.

Всі інші аксіоми Вейля зберігаються без зміни в псевдоевклідової геометрії. Звичайно, припускаємо, що аксіоми розмірності III відповідним чином погоджені. Якщо мова йде про площину, то в аксіомі III, 1 затверджується існування двох лінійно незалежних векторів, а в аксіомі III, 2 затверджується, що всякі три вектори лінійно залежні.

Сукупність крапок називається псевдоевклідовою площиною, якщо ці крапки і їхні впорядковані пари (вільні вектори) задовольняють аксіомам груп /--///, IV, 1, 2, 3', V. Очевидно, вектори псевдоевклідової площини задовольняють аксіомам /--///- IV — 1, 2, 3' і утворять двомірний псевдоевклідовий векторний простір.

У псевдоевклідової геометрії афінна частина повністю  збігається з афінної частиною евклідової геометрії. Але в метричних питаннях геометрії ці значно відрізняються друг  від друга, метрика простору по суті визначається аксіомами скалярного добутку векторів і серед них важливу роль грає саме аксіома IV, 3'.

в) Скалярний добуток двох векторів <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">, <img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> у змісті псевдоевклідової геометрії будемо позначати символом <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">П.<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">Вектори <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">, <img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> називаються перпендикулярними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Як і раніше число <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">П<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> називається скалярним квадратом вектора <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">; корінь квадратний з <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">П<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> якого називається довжиною вектора й позначається через |<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">|.Таким чином,
<img width=«87» height=«37» src=«ref-1_1662334569-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">,
Ясно, що довжина вектора буде позитивної, чисто мнимий або нульовий, якщо відповідно скалярний квадрат <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">П<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> >0, <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">П<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> <0 або <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">П<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> =0. Вектори позитивної й чисто мнимої довжини називають також відповідно просторовими йтимчасовими.

Ненульові вектори, довжини яких дорівнюють нулю, називаються ізотропними.

Уведемо поняття прямокутної декартовой системи координат. Прямокутної декартовой системою координат або просто прямокутною системою координат псевдоевклідової площини називається така афінна система координат, вектори <img width=«55» height=«39» src=«ref-1_1662335427-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> якої одиничні або взаємно перпендикулярні.

Отже, один з координатних векторів псевдоевклідової площини, наприклад, <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1662335735-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> буде одиничним, а іншої – мнимо одиничним Таким чином, скалярний добуток координатних векторів прямокутної системи координат визначаються рівностями
<img width=«270» height=«36» src=«ref-1_1662335955-804.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">. (3.5)
Очевидно, скалярний добуток двох векторів
<img width=«244» height=«29» src=«ref-1_1662336759-476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">
і квадрат довжини вектора <img width=«13» height=«23» src=«ref-1_1662337235-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> в прямокутній системі координат обчислюються по формулах виду
<img width=«151» height=«29» src=«ref-1_1662337324-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> (3.6)

<img width=«120» height=«29» src=«ref-1_1662337681-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> (3.7)
За відстань між двома крапками M(х1, х2) і N(y1, y2) визначенню приймається довжина вектора <img width=«35» height=«27» src=«ref-1_1662337939-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">:
d(M,N)2=(y1 — x1) — (y2 — x2)2.


Величиною кута між векторами <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188"> й<img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> називається число, певне по формулі
<img width=«156» height=«60» src=«ref-1_1662338282-805.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> (3.8)


У правій частині (3.8) чисельник позитивний, а знаменник при неізотропних векторах <img width=«13» height=«23» src=«ref-1_1662337235-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">, <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1662339176-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> може бути позитивним і негативним.

Якщо вектори <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">, <img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> однієї природи, тобто обидва множники в знаменнику одночасно просторові або тимчасові, те<img width=«81» height=«28» src=«ref-1_1662339472-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">, якщо ж один з векторів просторовий, а інший тимчасовий, то <img width=«81» height=«28» src=«ref-1_1662339907-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">.

Неважко далі довести, що чисельник в (3.8) не менше знаменника. Дійсно, якщо координати векторів <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197"> і<img width=«16» height=«27» src=«ref-1_1662340441-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> будуть відповідно (х1, х2) і(в1, в2) у деякій прямокутній системі координат, те
<img width=«315» height=«33» src=«ref-1_1662340541-795.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">.
Отже, якщо вектори<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">, <img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> одночасно будуть просторовими або тимчасовими, те
<img width=«180» height=«60» src=«ref-1_1662341535-880.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">. (3.9)
Думаючи в цьому випадку <img width=«161» height=«23» src=«ref-1_1662342415-622.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">, одержимо
<img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1662343037-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">. (3.10)
У псевдоевклідової площини існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора, якщо напрямний вектор буде просторова, тимчасова або ізотропним, те пряма називається відповідно до просторової, тимчасовий або ізотропної.

г) Перейдемо тепер до визначення поняття окружності.

Окружністю в псевдоевклідової площини називається множина її крапок, що відстоять від даної крапки, називаної центром на те саме відстань
r; величина
rназивається радіусом окружності. Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрі окружності, переконаємося, що координати поточної крапки (х1, х2) даної окружності задовольняють рівнянню
<img width=«99» height=«29» src=«ref-1_1662343187-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">.
У цій геометрії існує три типи окружностей — окружності речовинного, чисто мнимого й нульового радіусів. На мал. 13 окружності нульового радіуса зображуються з погляду евклідової геометрії бісектрисами координатних кутів, окружності речовинного радіуса — гіперболами, що перетинають вісь Ох1і окружність чисто мнимого радіуса — гіперболами, що перетинають вісь Ох2.

д) На закінчення розглянемо коротенько руху в псевдоевклідової площини. Рух визначається як перетворення, що відповідають крапки якого мають ті самі координати щодо вихідної й довільно заданої прямокутних систем координат. Як і в евклідовій геометрії доводиться, що рух є ізометрією й, обернено, усяка ізометрія є рухом. Ізометрія визначається як перетворення, що зберігає відстань між двома довільними крапками. Як і в геометрії евклідової площини, руху можна розділити

на власні рухи — руху з визначником <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1662343399-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> = 1 і невласні — руху з визначником <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1662343399-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> = — 1. Але тепер кожну із цих сукупностей у свою чергу можна розділити на дві сукупності. Щоб переконатися в цьому, відзначимо попередньо наступні два зауваження.

По-перше, ясно, що просторові, тимчасові й ізотропні вектори при рухах залишаються відповідно просторовими, тимчасовими й ізотропними.

По-друге, при безперервних обертаннях навколо даної крапки вектори ізотропного конуса відокремлюють у цій крапці тимчасові вектори від просторових.


Перейдемо тепер до подальшого поділу на частині рухів псевдоевклідової площини. Неважко бачити, що у формулах
<img width=«117» height=«55» src=«ref-1_1662343743-681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"> (3.11)
визначальне обертання, величина <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_1662325997-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> не звертається в нуль. Справді, припустимо, що в (3.11) коефіцієнт <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_1662325997-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> рівняється нулю. У такому випадку просторовий вектор {1, 0} при обертанні (3.11), перейшов би у вектор {0, <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1662344760-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">}, що є тимчасовим, що неможливо. Таким чином, при змінах координатних векторів <img width=«45» height=«32» src=«ref-1_1662344960-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">, викликуваних безперервними обертаннями, коефіцієнт <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1662290713-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> буде постійним.

Отже, всі рухи діляться на чотири типи залежно від значення визначника перетворення <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1662343399-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214"> = 1 або <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1662343399-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"> = — 1 і знака <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_1662325997-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216"> > 0 або <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_1662325997-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> < 0.

Представниками цих чотирьох типів будуть, наприклад, руху з матрицями:
<img width=«244» height=«48» src=«ref-1_1662345944-704.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">
Псевдоевклідовий тривимірний простір

а) узагальнимо побудови псевдоевклідової площини на тривимірні простори. Аксіоми псевдоевклідового тривимірного простору збігаються з аксіомами Вейля псевдоевклідової площини, за винятком аксіом розмірності III. Тепер в аксіомі III-I мова йде про існування трьох лінійно незалежних векторів, а в аксіомі III, 2 — усякі чотири вектори лінійно залежні.

Скалярний добуток двох векторів <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">, <img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> у псевдоевклідовом просторі будемо позначати, як і у випадку псевдоевклідової площини, символом <img width=«39» height=«29» src=«ref-1_1662346847-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">. Вектори<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">, <img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">  — перпендикулярні, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Число <img width=«37» height=«25» src=«ref-1_1662347193-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> називається скалярним квадратом вектора. Довжиною вектора <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225"> називається корінь квадратний зі скалярного квадрата цього вектора й позначається через <img width=«20» height=«33» src=«ref-1_1662347427-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">:


<img width=«87» height=«37» src=«ref-1_1662334569-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">.
Підкореневе вираження може бути
<img width=«37» height=«25» src=«ref-1_1662347193-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">>0,<img width=«37» height=«25» src=«ref-1_1662347193-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"><0, і <img width=«37» height=«25» src=«ref-1_1662347193-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> = 0. Довжини векторів відповідно до цим випадкам будуть речовинні, чисто мнимі й нульові. Вектори речовинної довжини називаються також просторовими, вектори чисто мнимої довжини — тимчасовими й вектори нульової довжини — ізотропними.

У псевдоевклідовом просторі вводиться прямокутна система координат. По визначенню так називається афінна система координат, вектори якої <img width=«77» height=«36» src=«ref-1_1662348244-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> одиничні й взаємно перпендикулярні. Будемо розглядати так званий простір Минковського, у якому із трьох координатних векторів прямокутної системи координат два одиничні, а третій — мнимо одиничний. Будемо вважати, що
<img width=«379» height=«35» src=«ref-1_1662348623-907.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> (3.12)
У цій системі координат скалярний добуток двох векторів і квадрат довжини вектора<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">, мабуть, обчислюються по формулах виду
<img width=«176» height=«60» src=«ref-1_1662349626-666.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">




І квадрат довжини вектора<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">, мабуть, обчислюються по формулах виду
<img width=«197» height=«29» src=«ref-1_1662350388-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">, (3.13)

<img width=«156» height=«29» src=«ref-1_1662350747-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">. (3.14)
За відстань між двома крапками М(x1, x2, x3) і N(y1, y2, y3) по визначенню приймається довжина вектора <img width=«35» height=«27» src=«ref-1_1662337939-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">, тобто
<img width=«360» height=«37» src=«ref-1_1662351192-1096.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">. (3.15)


Величиною кута між векторами <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> й<img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> називається число, певне по формулі
<img width=«156» height=«60» src=«ref-1_1662338282-805.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">.
Якщо вектори <img width=«20» height=«27» src=«ref-1_1662353292-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">, <img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> однієї природи, тобто обоє просторові або тимчасові, то <img width=«81» height=«28» src=«ref-1_1662339472-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">. Більше того, <img width=«79» height=«28» src=«ref-1_1662353937-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">, якщо для х, у виконується нерівність Коші й <img width=«79» height=«28» src=«ref-1_1662354352-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">, якщо нерівність це не виконується. Думаючи в останньому випадку <img width=«97» height=«23» src=«ref-1_1662354764-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">, одержимо <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1662343037-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">.

б) У псевдоевклідовом просторі існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора. Тут існують також три види площин залежно від природи її нормального вектора.

в) Докладніше розглянемо питання про сфери. Сферою псевдоевклідова простору П3називається множина крапок цього простору, що відстоять від даної крапки А, називаної центром сфери, на те саме відстань r. Величина r називається радіусом сфери.

Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрі сфери, переконаємося в тім, що координати х1, х2, х3поточні крапки сфери радіуса r задовольняють рівнянню
<img width=«137» height=«29» src=«ref-1_1662355362-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">. (3.17')
Ясно, що перші два координатних вектори прямокутної системи тут передбачаються одиничними, а третій вектор — мнимо одиничним.

У псевдоевклідовом просторі існують три типи сфери речовинного, чисто мнимого й нульового радіуса.

Рівняння сфери речовинного радіуса rзбігається (3.17'), у якому величина rречовинна. Якщо сфера чисто мнимого радіуса r = ki, де kречовинне, то рівняння (3.17') приводиться до виду
<img width=«149» height=«29» src=«ref-1_1662355624-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> (3.17)
Якщо ж сфера буде нульового радіуса, то з (3.15) треба, що
<img width=«129» height=«29» src=«ref-1_1662355900-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">. (3.18)
Рівняння (3.18) в евклідовому просторі є рівнянням конуса, а попередні два — рівняння гіперболоїдів.

Ясно, що конус (3,18) складається з асимптот сфер (3.17, 17'), що мають центр на Начало координат. Очевидно, асимптотичеський конус сфери збігається з ізотропним конусом її центра. З рівняння (3.15) треба також, що на сферах псевдоевклідова простори є прямолінійні утворюючі — прямі цілком лежачі на сфері.

Очевидно, лінією перетинання сфери із площиною є  окружність. Якщо січна площина проходить через Начало  Координат, то радіус окружності приймає значення, рівне  радіусу сфери. Одержувані в такий спосіб окружності сфери називаються більшими окружностями.

За сферичну відстань <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1662356249-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> між двома крапками М (<img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> ), N (<img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">) сфери приймаємо відстань по великій окружності, що з'єднує дані крапки.Очевидно, ця відстань рівняється добутку радіуса сфери на значення кута, утвореного радіусами векторами <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1662325262-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">,<img width=«16» height=«28» src=«ref-1_1662325498-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">. Отже, сферична відстань <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1662356249-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> визначається по формулі
<img width=«100» height=«52» src=«ref-1_1662357005-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">. (3.19)
Якщо сфера чисто мнимого радіуса r = ki, то формула (3.19) приводиться до виду
<img width=«112» height=«52» src=«ref-1_1662357480-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">.
    продолжение
--PAGE_BREAK--