Реферат: Шпоры по математическому анализу
--PAGE_BREAK--8. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.Рассмотрим функцию у=f
(х), непрерывную на отрезке [a,b]. По теореме Вейерштрасса эта функция принимает наибольшее и наименьшее значения на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться либо в точках локального экстремума (x2, x3, x4, x5,), либо на концах промежутка. Находим точки, подозрительные на экстремум (х1, x2, x3, x4, x5,)
.Вычисляем значения функции в этих точках и на концах промежутка [a,b]. Из полученных чисел выбираем самое большое и самое маленькое. Это не предусматривает применения достаточных условий экстремума в точке х1, где локального экстремума не существует, т.е. проделана лишняя работа. Однако, как правило, экономнее вычислять значения функции во всех точках, подозрительных на экстремум, вместо того, что бы отбирать из них с помощью достаточных условий лишь те точки, в которых локальный экстремум действительно есть. Иногда описанную задачу называю глобальный экстремум.
9. Нахождение асимптот графиков функции.
Говорят, что точка движется по кривой в бесконечность, если расстояние этой точки до начала координат неограниченно возрастает.
Определение: Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки, движущейся по кривой в бесконечность, до этой прямой стремится к нулю.
Нахождение вертикальных ас:
Ищутся конечные значения х=а, при которых
<img width=«101» height=«36» src=«ref-1_304250155-358.coolpic» v:shapes="_x0000_s1089">
Существование такого значения часто связано с обращением в нуль знаменателя дроби.
Нахождение наклонных асимптот.
Пусть y = kx+b -асимптота кривой y=f(x) при x→+∞ (как на рисунке). Угол φсохраняет постоянное значение, α=φ. Из ∆ KLM
KM=MLּcos α. Поэтому KM и
MLстремятся к нулю одновременно. ML=f(x)-(kx+b), следовательно (1):
<img width=«89» height=«20» src=«ref-1_304250513-263.coolpic» v:shapes="_x0000_s1102">
Преобразуем это равенство, вынеся х за скобки:
<img width=«91» height=«25» src=«ref-1_304250776-300.coolpic» v:shapes="_x0000_s1103">
При x→∞ такое равенство возможно только тогда, когда: <img width=«91» height=«25» src=«ref-1_304250776-300.coolpic» v:shapes="_x0000_s1104 _x0000_s1105">
<img width=«91» height=«25» src=«ref-1_304250776-300.coolpic» v:shapes="_x0000_s1106">
<img width=«44» height=«25» src=«ref-1_304251676-228.coolpic» v:shapes="_x0000_s1108">
Здесь
Поэтому
<img width=«72» height=«25» src=«ref-1_304251904-272.coolpic» v:shapes="_x0000_s1109">
Следовательно (получаем (2)),
<img width=«56» height=«25» src=«ref-1_304252176-244.coolpic» v:shapes="_x0000_s1110">
Вычислив k, находимb. Из равенства (1)(получаем (3)
<img width=«72» height=«20» src=«ref-1_304252420-258.coolpic» v:shapes="_x0000_s1111">
Существование пределов (2) и (3) не только необходимо, но и достаточно, чтобы прямая y=kx+bбыла асимтотой кривой y=f(x).В частности, при k=0асимптота будет горизонтальной. Кривая не имеет наклонной асимптоты, если не существует хотя бы один из пределов (2) и (3).
13. Первообразная. Теорема о двух первообразных одной функции.
Определение: Функция F(x)называется первообразной для функции f(x)на интервале (a,b), если на этом интервале существует производная F'(x)и F'(x)=f(x).
Теорема: Если F1(x)иF2(x) — первообразные для одной и той же функции f(x), то их разность есть величина постоянная.
Докозательство: По условию F'1(x)=F'2(x)=f(x)обозначим:Ф
(x)= F1(x)
-
F2(x). Очевидно, Ф'(x)равняется нулю во всем промежутке (a,b), где определены первообразные F1(x)иF2(x). Для любых х1, x2,Î(a,b)по формуле Лагранжа Ф(х1)
-Ф(х2
)
=Ф
'(c)(b-a). ноФ
'(c)=0
,т.к. сÎ(a,b), следовательно Ф(х1
)=
Ф(х2
). Это означает, что Ф(х) сохраняет постоянное значение на промежутке (a,b), т.е. F1(x) -
F2(x)=С.
Следствие: Если для функции f(x)первообразной на интервале (a,b) является функция F(x), то ее любая другая первообразная для f(x)имеет вид F(x)+C, где С — произвольная постоянная.
14. Неопределенный интеграл. Табличные интегралы.
Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x)называется совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ∫ f(x)dx, где ∫- знак интеграла, f(x)dx — подынтегральное выражение,f(x)— подынтегральная функция.
Из определения вытекает, что
<img width=«73» height=«24» src=«ref-1_304252678-269.coolpic» v:shapes="_x0000_s1112">
И следовательно d(∫f(x)dx)=f(x)dx.С другой стороны, ∫F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C.
Если F(x)— какая-нибудь первообразная для f(x), то учитывая приведенное выше следствие, можно написать: ∫ f(x) dx = F(x)+C, где С- произвольная постоянная. Путем дифференцирования обеих частей равенства легко доказать справедливость следующих свойств:
1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx(постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).
2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx(интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).
10. Схема исследования функции с помощью дифференциального исчисления и построения графика.
Исследование функции y=f(x)проводится по плану:
1. Находится ООФ.
2. Вычисляются нули функции y=f(x)
,т.е. значения х1, x2…, при которых f(x1)=0, f(x2)=0…Между нулями функция, как правило сохраняет знак, так, непрерывная функция не может сменить знак не обратившись в ноль. Устанавливают где f(x)>0
и
f(x)<0.
3. вычисляются производная f'(x)и находятся ее нули и знак в промежутках между нулями. В том промежутке, где f'(x)>0, функция возрастает, где f'(x)<0 — убывают. Попутно выявляются локальные экстремумы функции.
4. Вычисляется вторая производная f''(x)и с ее помощью находятся промежутки выпуклости (f''(x)<0),вогнутости (f''(x)>0)и точка перегиба (f''(x)=0).
5. Определяются вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Рекомендуется вычислять значения самой функции в тех точках, где f'(x) иf''(x) обращаются в нуль и наносить соответствующие точки на график. Затем нанесеные точки плавно соединяется прямой с учетом всех результатов исследования. Если функция обладает свойством четности или нечетности, то можно использовать это обстоятельство при исследовании (или после исследования для частичной проверки правильности построения графика).
21. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.
Если функция y=f(x)непрерывна на отрезке[a,b], то найдется такая точка ξÎ(a,b), что справедливо равенство:
<img width=«83» height=«28» src=«ref-1_304252947-267.coolpic» v:shapes="_x0000_s1114">
Теорема верна и при b<a.
Доказательство: Проведем его для случая a<b. Пусть m и M— наименьшее и наибольшее значение функции f(x)на отрезке [a,b] (для непревной функции они существуют по теореме Вейерштраса). По следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b]функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M.То выполняются неравенства: (на этом следствие из теоремы закончилось, но к нему относится ниже написанное неравенство))
<img width=«105» height=«28» src=«ref-1_304253214-289.coolpic» v:shapes="_x0000_s1115">
можно записать
<img width=«76» height=«31» src=«ref-1_304253503-300.coolpic» v:shapes="_x0000_s1145"> <img width=«105» height=«28» src=«ref-1_304253214-289.coolpic» v:shapes="_x0000_s1116">
Поделив это неравенство на полжительное число b-a, получим:
<img width=«83» height=«28» src=«ref-1_304254092-285.coolpic» v:shapes="_x0000_s1117">
Непрерывная функция f(x) принимает всякое значение промежуточное между наименьшим mи наибольшим Mзначениями. Поэтому существует такое число x(a<x<b), что
<img width=«165» height=«28» src=«ref-1_304254377-381.coolpic» v:shapes="_x0000_s1118">
Чтд.
22. Классы интегрируемых функций. Функция Дирихле.
интегрируемость не является свойством, присущим всем функциям. В этом убеждает следующий пример. Рассмотрим функцию f(x), называемой функцией Дирихле:
<img width=«171» height=«25» src=«ref-1_304254758-420.coolpic» v:shapes="_x0000_s1178">
Сделаем произвольное разбиение Rотрезка [a,b].На любом частичном отрезке [xi, xi+1] найдетсяи как рациональная точка xi.Так, и иррациональная точка hi.Составим две интегральные суммы:sRи
<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_304255178-190.coolpic» v:shapes="_x0000_s1126">
Пусть
<img width=«116» height=«25» src=«ref-1_304255368-327.coolpic» v:shapes="_x0000_s1127 _x0000_s1128">
При lR→0 предел интегральных сумм вида :sRравен b-a, в то время, как для
<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_304255178-190.coolpic» v:shapes="_x0000_s1131">
равен нулю. Итак, для интегральных сумм разного вида пределы получаются различные, зависящие от выбора точек на отрезках [xi, xi+1]. Это означает, что функция Дирихле не интегрируемая.
З класса функции:
1. Функции непрерывные на отрезке [a,b].
2. Функции имеющие не более конечного числа разрывов 1-го рода на отрезке [a,b]. (их называют кусочно-непрерывными)
3. Функции монотонные на отрезке [a,b](у функции этого класса число разрывов может быть бесконечным).
23. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его непрерывности.
Теорма: Если функция f(x)интегрируема на отрезке [a,b], то функция
<img width=«95» height=«29» src=«ref-1_304255885-288.coolpic» v:shapes="_x0000_s1132">
непрерывна на этом отрезке.
Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆хÎ
[a,b]
.Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:
<img width=«155» height=«22» src=«ref-1_304256173-267.coolpic» v:shapes="_x0000_s1133 _x0000_s1135 _x0000_s1136 _x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139 _x0000_s1140">
<img width=«76» height=«28» src=«ref-1_304256440-251.coolpic» v:shapes="_x0000_s1158">
a x0 x х+∆х
b
<img width=«164» height=«49» src=«ref-1_304256691-546.coolpic» v:shapes="_x0000_s1143">
<img width=«53» height=«28» src=«ref-1_304257237-248.coolpic» v:shapes="_x0000_s1144">
Получим:
По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем
<img width=«105» height=«28» src=«ref-1_304253214-289.coolpic» v:shapes="_x0000_s1146">
…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b]функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M.То выполняются неравенства:
(на этом следствие из теоремы закончилось)
получаем:
<img width=«136» height=«31» src=«ref-1_304257774-364.coolpic» v:shapes="_x0000_s1147">
Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x)
.Отметим, что для подынтегральной функции f(x)точка х может быть точкой разрыва.
24. Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом.
Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная от интеграла
<img width=«101» height=«29» src=«ref-1_304258138-290.coolpic» v:shapes="_x0000_s1148">
По переменному верхнему пределу xсуществует и равна подынтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е. F'(x)=f(x)
Доказательство: Дадим аргументу х приращение
∆х так, чтобы х+∆хÎ
(a,b)
.Для приращения ∆F функции F(x)воспользуемся формулой
<img width=«53» height=«28» src=«ref-1_304257237-248.coolpic» v:shapes="_x0000_s1149">
<img width=«83» height=«28» src=«ref-1_304258676-267.coolpic» v:shapes="_x0000_s1150">
и применим теорему о среднем значении ( Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξÎ(a,b), что справедливо равенство:
Теорема верна и при b<a.) получим:
<img width=«147» height=«28» src=«ref-1_304258943-332.coolpic» v:shapes="_x0000_s1151">
Число xзаключено между числами х и х+∆х и при стремлении ∆х к нулю ξ стремится к х.
Перейдем к вычислению производной F'(x).
<img width=«176» height=«27» src=«ref-1_304259275-416.coolpic» v:shapes="_x0000_s1152">
Последнее равенство основано на непрерывности функции f(x)в любой точке х промежутка (a,b).
Следствие: Всякая функция f(x), непрерывная на промежутке (a,b),имеет первообразную на этом промежутке.
<img width=«101» height=«29» src=«ref-1_304258138-290.coolpic» v:shapes="_x0000_s1154">
Действительно, первообразной для такой функции является функция
Предыдущая теорема устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом. Можно написать:
<img width=«79» height=«29» src=«ref-1_304259981-267.coolpic» v:shapes="_x0000_s1155">
25. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть F(x)-произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b].Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):
<img width=«67» height=«28» src=«ref-1_304260248-242.coolpic» v:shapes="_x0000_s1156">
( в качестве числа х0взято число а).
<img width=«79» height=«28» src=«ref-1_304260490-252.coolpic» v:shapes="_x0000_s1157">
В этом тождестве положим х=а и получим ,
Откуда С = -F(a).Формула (1) примет вид:
Заменяя здесь хна b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:
<img width=«76» height=«28» src=«ref-1_304260742-254.coolpic» v:shapes="_x0000_s1159">
Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:
<img width=«72» height=«25» src=«ref-1_304260996-256.coolpic» v:shapes="_x0000_s1160">
26. Интегрирование по частям в определнном интеграле.
Пусть uи v— непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vduв пределах от a до b.
<img width=«71» height=«28» src=«ref-1_304261252-275.coolpic» v:shapes="_x0000_s1161">
<img width=«76» height=«28» src=«ref-1_304260742-254.coolpic» v:shapes="_x0000_s1162">
В левой части применим формулу Ньютона-Лейбница:
<img width=«47» height=«28» src=«ref-1_304261781-249.coolpic» v:shapes="_x0000_s1163">
Получим:
Получим формулу интегрирования по частям:
<img width=«63» height=«28» src=«ref-1_304262030-278.coolpic» v:shapes="_x0000_s1164">
продолжение
--PAGE_BREAK--27. Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема: при замене переменной х на tпо формуле x=φ(t)равенство (1)
<img width=«92» height=«28» src=«ref-1_304262308-310.coolpic» v:shapes="_x0000_s1165">
Справедливо при условиях:
1. φ(α) = а, φ(β) = b,
2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],
3 f(x)непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)]определена непрерывна на отрезке [α,β].
<img width=«79» height=«28» src=«ref-1_304262618-255.coolpic» v:shapes="_x0000_s1166">
Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+Cправая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница
Получаем
<img width=«169» height=«28» src=«ref-1_304262873-357.coolpic» v:shapes="_x0000_s1167">
(по условию 1)
правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.
30. Интегралы с бесконечными пределами.
Определение определенного интеграла по конечному промежутку[a,b]неприменимо к случаю бесконечного промежутка, например [a, +∞). Дело в том, что нельзя промежуток [a, +∞) разделить на конечное число частичных промежутков [xi, xi+1] конечной длины, чледовательно, нельзя составить сумму интегральную сумму. Понятие интеграла с бесконечным пределом вводится на основе понятий опредленного интеграла и понятия предела.
Определение: Предположим, что функция y=f(x)определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема в любом промежутке [a,b] (b>a).Если существует конечный предел
<img width=«52» height=«20» src=«ref-1_304263230-228.coolpic» v:shapes="_x0000_s1169"> <img width=«41» height=«16» src=«ref-1_304263458-215.coolpic» v:shapes="_x0000_s1170">
То это предел называют несобственным интегралом от функции f(x)на промежутке от а до +∞ и обозначают
Аналогично определяется интеграл от -∞ до b:
<img width=«92» height=«20» src=«ref-1_304263673-266.coolpic» v:shapes="_x0000_s1171">
Интеграл от -∞ до +∞ можно определить так:
<img width=«109» height=«25» src=«ref-1_304263939-313.coolpic» v:shapes="_x0000_s1172">
Где с — произвольное число.
Когда несобственный интеграл существует, говорят, что он существует или что он сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.
40. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.
Теорема: Пусть функция z=f(x,y)имеет экстремум в точке (x0, у0).Если в этой точке существуют частные производные по х и по у, то они равны нулю.
Докаательство: Оно может быть сведено к применению известной теоремы для функции одной переменной. В наших условиях функция f(x,y0) имеет экстремумв точке x0, т.к. неравенство f(х0
+
∆х,
y
+∆у)≤
f
(х0,
y
),иначе ∆f≤0
Или ∆f≥0 должно, в частности, выполнятся и при ∆у=0.Поэтому, d/dx∙f(x,y0)=0 при х=х0, а это то же самое, что f'x
(х0,
y
)=0.Аналогично устанавливается, что f'у
(х0,
y
)=0. Экстремум возможен и тогда, когда одна или обе частные производные не существуют, что тоже является необходимым условием экстремума. Т.о., необходимые условия экстремума формулируются так: для каждой из частных производных выполняется одно из двух — лиюл она существует и равна нулю, либо она не существует.
31. Предел и непрерывность функции двух переменных.
Определение: Число А называется пределом по совакупности переменных функции f(x,y)при стремлении х к х0и у к у0, если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек (x,y), координаты которых удовлетворяют неравенствам │ х — х0│<δ, │ y — y│<δ( за исключением, быть может, точки (х0, y
)), выполняется неравенство │f(x,y)-A│<ε. Применяется обозначение
<img width=«72» height=«21» src=«ref-1_304264252-243.coolpic» v:shapes="_x0000_s1195">
Заметим, что точка (х0, y
)может не принадлежать ООФ f(x,y).
Пусть функция f(x,y) определена в области D.
Определение. Если выполняются три условия:
1. (х0,
y
)
Î
D;
2. существует
<img width=«102» height=«22» src=«ref-1_304264495-298.coolpic» v:shapes="_x0000_s1196 _x0000_s1197">
3.
то функция называется непрерывной в точке (х0, y
).
Определение: Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функцию называют разрывной в точке (х0, y
), а саму точку называют точкой разрыва.
Определение: Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой плоскости.
Определение: Функция z = f(x,y)называется непрерывной в точке (х0, y
), если при стремлении к нулю приращений ∆х, ∆у, независимых переменных стремится к нулю полное приращение ∆zфункции f(x,y) (здесь предполагается выполнение условий 1 и 2.) (∆z — полное приращение).
42. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа для функции двух переменных.
В этом методе не требуется выражать явноy через х, однако используется то обстоятельство, что в случае предполагаемой замены yна g(x)дело сводится к безусловному экстремуму функции одной переменной.
Итак, находим полную прозводную от z по х, считая yфункцией х:
<img width=«64» height=«27» src=«ref-1_304264793-294.coolpic» v:shapes="_x0000_s1179">
В точках экстремума dz:dx=0, следовательно (1),
<img width=«57» height=«27» src=«ref-1_304265087-279.coolpic» v:shapes="_x0000_s1180">
Применим снова правило дифференцирования сложной функции к уравнению φ(x,y)=0. Будем предполагать при этом, что у заменен той самой функцией х, которая неявно задается уравнением. Такая замена превращает уравнение φ(x,y)=0 в тождество. Получим (2):
<img width=«124» height=«31» src=«ref-1_304265366-452.coolpic» v:shapes="_x0000_s1181 _x0000_s1182">
Умножим (2) на неопределенный множитель λ и сложим с (1):
<img width=«133» height=«31» src=«ref-1_304265818-438.coolpic» v:shapes="_x0000_s1183">
Мы будем предполагать, что в точке экстремума ¶
j
¸
¶
у
¹
.Тогда существует число l, при котором ¶
f
¸
¶
y +
l
(
¶
j
¸
¶
у
) = 0в этой точке. Из равенства (3) следует, что в этой точке ¶
f
¸
¶
х +
l
(
¶
j
¸
¶
х
) = 0
Мы приходим к необходимым условиям экстремума (4):
<img width=«57» height=«65» src=«ref-1_304266256-393.coolpic» v:shapes="_x0000_s1184">
В этой системе из трех уранений три неизвестные величины x, y и l. Из системы находятся одна или несколько точек (х, у). Что касается l, то этот множитель играет вспомогательную роль и дальше не требуется. Найденные точки (х, у) проверяют на наличие в них экстремума и его вид (максимум или минимум). В случае необходимости вычисляются значения f(x,y)на концах промежутка, ограничивающего изменение х при описании кривой АВ. Часто из существа задачи легко решается вопрос, с каким из значений — наибольшим или наименьшим — мы имеем дело. Проведенные рассуждения обосновывают метод Лагранжа, который состоит в следующем.
Составляется вспомогательная функция
F (x,y,
l
) = f(x,y) +
l
j
(x,y)(5), называемая функцией Лагранжа. Для нее выписываются как для функции трех переменных необходимые условия абсолютного экстремума:
<img width=«77» height=«16» src=«ref-1_304266649-248.coolpic» v:shapes="_x0000_s1185">
При этом получается в точности система (4).
Коэффициент lназывают множителем Лагранжа.
Метод Лагранжа допускает обобщение на функции большего числа переменных. Так, в задаче на условный экстремум функции u=f(x,y,z) с ограничениями j1(x,y,z)=0 и j2(x,y,z)=0 функция Лагранжа имеет вид:
F(x,y,z, l1, l2) = f(x,y,z) + l1j1(x,y,z)+ l2j2(x,y,z).
Нулю приравниваются все произвоные по x,y,z, l1, l2.
41. Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных.
Обратимся к формуле Тейлора (вопр. 11). Нас интересует случай, когда необходимые условия экстремума выполняются, т.к. в противном случае вопрос решается однозначно — экстремума нет. Поэтому будем считать:
<img width=«112» height=«16» src=«ref-1_304266897-278.coolpic» v:shapes="_x0000_s1186">
И, перенеся f(
х0,y0
)в левую часть, получим слева
<img width=«5» height=«1» src=«ref-1_304267175-141.coolpic» v:shapes="_x0000_s1187">
Кроме того, обозначим
<img width=«127» height=«33» src=«ref-1_304267316-374.coolpic» v:shapes="_x0000_s1188">
<img width=«124» height=«24» src=«ref-1_304267690-316.coolpic» v:shapes="_x0000_s1189">
Приводим к формуле:
Положим u = AΔx2 + 2B∆xΔy +CΔy2 При ρ→0 квадратичная форма uубывает со скоростью р2, т.е. быстрее. Поэтому в достаточно малой окрестности точки (
х0
,, y
),будет выполнятся неравенство 1/2│u│>│R│(если uне обратится в нуль). Это означает, что знак приращения совпадает со знаком u. Разумеется, в точках, где u=
, знаки ∆f
и
Rсовпадают. Имеются 3 возможности:
1. Величина uсохраняет знак, обращаясь в нуль только при ∆x=∆y=0. Такая квадратичная форма называется знакоопределенной. В этом случае сохраняет знак и приращение ∆f . При ∆f≤0 в точке (
х0
,, y
) имеется максимум, а при ∆f≥0— минимум.
2. В любой оокрестности точки (
х0
,, y
)величина uпринимает как положительные, так и отрицательные значения. Такая квадратичная форма называется знакопеременной. В этом случае меняет знак и приращение ∆f. Экстремума нет.
3. Величина uсохраняет знак, но обращается в нуль не только в начале координат. Такая квадратичная форма называется знакопостоянной. В этом случае никакого вывода сделать нельзя без исследования остаточного члена. Если в точках названной прямой остаточный член меняет знак, то экстремума нет, если сохраняет тот же знак, что и величина u — экстремум есть, если сохраняет знак противоположный u — экстремума нет.
Дело свелось теперь к установлению условий, при которых квадратичная форма uявляется знакоопределенной, знакопеременной или знакопостоянной. Если А = С = 0, В ¹0, то u= В∆х∆у, и квадратичная форма является знакопеременной. При совпадении знаков ∆х и ∆у она имеет знак В, при несовпалении — знак противоположный знаку В. В этом случае экстремума нет. Если к тому же В = 0, вопрос об экстремуме решается путем исследования остаточного члена Rв каждом конкретном случае.
<img width=«183» height=«83» src=«ref-1_304268006-780.coolpic» v:shapes="_x0000_s1190">
Пусть теперь хотя бы одна из величин А, С отлична от нуля. Положим для определенности, что А ≠ 0. Преобразуем форму u: вынесем за скобки А, прибавим и вычтем (В¸А ∆у)2. Первые три слагаемых представляют полный квадрат, два последних приводим к общему знаменателю:
1. Если В2 — АС <0, то форма знакоопределенная. Действительно,
<img width=«124» height=«29» src=«ref-1_304268786-369.coolpic» v:shapes="_x0000_s1191">
Поэтому выражение в квадратных скобках неотрицательно и может обратится в нуль только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Второе обращается в 0 лишь при ∆у=0. В этом случае первое слагаемое будет равно 0 только при ∆х=0. Очевидно, что знак знакоопределенной формы uсовпадает со знаком числа А.
2. Если В2 — АС >0, то форма знакопеременная. Действительно, выражение в квадратных скобках останется ∆x2и если ∆х≠0., то ∆x2 > 0; при ∆у≠0 можно взять ∆х = -В/А∆у и выражение в квадратных скобках будет отрицательным.
3. Если В2 — АС = 0, то форма знакопостоянная. В скобках останется выражение (∆х+В/А∆у)2, которое неотрицательно. Но в нуль оно обращается не только при ∆х=∆у=0, а и тогда, когда ∆х = -В/А∆у, при любом ∆у.
33. Частные производные.
Наряду с полным приращением функции вводится понятие частных приращений по х ∆хz и по у ∆уz. Они определяются формулами, где приращение дается только одной из переменных.
Определение: Частной производной функции f(x,y)по х называется предел отношения частного приращения ∆хz к приращению ∆х, когда х→0 (если этот предел существует)(1)
<img width=«129» height=«24» src=«ref-1_304269155-348.coolpic» v:shapes="_x0000_s1199">
Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y)по у. Для частной производной функции нескольких переменных, производную функции одной переменной называют переменной иногда обыкновенной.
Формуле (1) можно дать такое толкование: у функции f(x,y)фиксируется значение переменной у и получается, что f(x,y)становится функцией одной переменной х, а частная производная — обыкновенной производной этой функции. Так же истолковывается формула для f'y(x,y) с той разницей, что f(x,y)рассматривается как функция одной переменной у. Мы приходим к следующему правилу.
Для вычисления частной производной по х следует переменную у (или другие переменные, если их несколько) считать постоянной и вычислять производную по х как обыкновенную.
Аналогично формулируется правило вычисления частной производной по у.
32. Свойства непрерывных функций двух переменных.
<img width=«108» height=«17» src=«ref-1_304269503-286.coolpic» v:shapes="_x0000_s1200">
1. Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области Dа) ограничена в области
б) достигает в этой области наибольшего М и наименьшего mзначений.
2. Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть снова непрерывная функция, если в последнем случае делитель не принимает нулевого значения.
19. Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл.
<img width=«45» height=«19» src=«ref-1_304269789-215.coolpic» v:shapes="_x0000_s1207"> <img width=«167» height=«23» src=«ref-1_304270004-486.coolpic» v:shapes="_x0000_s1198">
Определение: Пусть дана функция y=f(x)
,ограниченная на отрезке [a,b](a<b). Сделаем разбиение Rэтого отрезка точками хi: а<х0
<
x1< x2<…< xn,=b.
Обозначим
<img width=«61» height=«23» src=«ref-1_304270490-248.coolpic» v:shapes="_x0000_s1206">
На каждом промежутке [xi, xi+1] выберем произвольную точку ξi. Величину
Называют интегральной суммой.
Если существует предел интегральной суммы sRпри λR→0. Независящий от выбора разбиений Rи выбора точек ξi, то он называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b]и обозначается (1)
<img width=«32» height=«25» src=«ref-1_304270738-212.coolpic» v:shapes="_x0000_s1208">
Добавление к определению:
1. При a>bполагают
<img width=«72» height=«25» src=«ref-1_304270950-250.coolpic» v:shapes="_x0000_s1209">
2. принимают
<img width=«44» height=«25» src=«ref-1_304271200-220.coolpic» v:shapes="_x0000_s1210">
В интеграле (1) числа aи bназываются соответственно нижними и верхними пределами интегрирования. Если функция f(x)
≥0на отрезке [a,b], то геометрический смысл определенного интеграла — это площадь криволинейной трапеции. Пусть на промежутке [a,b]задана ограниченная функцияy=f(x),будем считать ее положительной.(рис 1)
Фигура aABb, ограниченная графиком функции y=f(x)
, отрезком [a,b] оси х и перпендикулярами аА и bBк оси х, называется криволинейной трапецией. Измерить ее площадь непосредственно путем установления того, сколько раз в этой фигуре укладывается единица измерения площади (квадрат со стороной, равной единице), и доли этой единицы невозможно из-за криволинейной верхней границы.
Разобьем отрезок [a,b] на части (не обязательно равные) точками хi(i = 0,n): а=х0<
x1< x2<…< xn=b.Это разбиение назовем R. Длину наибольшего отрезка назовем
<img width=«96» height=«19» src=«ref-1_304271420-259.coolpic» v:shapes="_x0000_s1211">
На каждом из частичных отрезков [xi, xi+1] выберем произвольную точку
<img width=«55» height=«15» src=«ref-1_304271679-230.coolpic» v:shapes="_x0000_s1212">
И построим прямоугольник с высотой f(ξi). В результате получится ступенчатая фигура, ограниченная сверху ломаной линией L.Ее площадь назовем sR. Если теперь увеличивать число делений разбиения Rтак, что бы λR→0, то ломаная Lбудет все теснее прижиматься к кривой АВ. Это дает возможность ввести следующее определние.
Определение: Площадью криволинейной трапеции aA
А
b называется предел, к которому стремится площадьsRступенчатой фигуры когда число делений разбиения Rне ограничено возрастает и λR→0 (Если этот предел существует и не зависит от способа получения разбиения Rи выбора точек ξi).
продолжение
--PAGE_BREAK--28. Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла.
<img width=«32» height=«25» src=«ref-1_304270738-212.coolpic» v:shapes="_x0000_s1213">
f(x)≥0
Рассмотрим два случая.
1. площадь Sзаштрихованной фигуры на рис 1, а, где функция y=f(x) на отдельных промежутках принимает отрицательное значение, выражается формулой:
<img width=«117» height=«25» src=«ref-1_304272121-312.coolpic» v:shapes="_x0000_s1214">
<img width=«139» height=«25» src=«ref-1_304272433-330.coolpic» v:shapes="_x0000_s1215">
2. Площадь S фигуры ограничена графиками функции y=f(x)и y=g(x), а так же прямыми АВ и CD (рис 2) вычисляется по формуле:
<img width=«40» height=«23» src=«ref-1_304272763-229.coolpic» v:shapes="_x0000_s1216">
Определение: Пусть дана дуга кривой АВ. Нанесем на нее произвольные точки Mi(i=0,n) и соединим их хордами (рис 3). Периметр полученной ломаной обозначим Pn.Будем увеличивать число точек Miна дуге. Длиной дуги кривой АВ называется предел периметра Pn, когда длина наибольшей хорды стремится к нулю (если этот предел существует и не зависит от выбора вершин ломаной). Если дуга задана уравнением y=f(x)на промежутке [a,b](ищем длину дуги l). Будем считать функцию f(x)непрерывно дифференцируемой. Положенеи произвольных точек Mi определим выбрав абциссы этих точек, т.е. сделав разбиение Rотрезка [a,b]точками а=х0<
x1< x2<…< xn=b.Длину хорды, соединяющей точки Mi и Mi+1 обозначим ∆li.Ее проекциями на оси координат будут ∆хi ∆уi. Очевидно,
<img width=«121» height=«37» src=«ref-1_304272992-382.coolpic» v:shapes="_x0000_s1217">
Покажем, как нахождение предела периметра Pnсводится к вычислению интеграла. Представим ∆li в нужном виде:
По формуле конечных приращений Лагранжа
<img width=«167» height=«15» src=«ref-1_304273374-329.coolpic» v:shapes="_x0000_s1218">
<img width=«79» height=«21» src=«ref-1_304273703-268.coolpic» v:shapes="_x0000_s1219">
Поставив это выражение ∆уi в формулу ∆li, полуим
<img width=«83» height=«24» src=«ref-1_304273971-292.coolpic» v:shapes="_x0000_s1220">
Таким образом (1),
<img width=«76» height=«21» src=«ref-1_304274263-270.coolpic» v:shapes="_x0000_s1221">
Если составить интегральную сумму для функции
<img width=«76» height=«23» src=«ref-1_304274533-262.coolpic» v:shapes="_x0000_s1222">
с полученными выше точками ξi, то придем к выражению (1), т.е.
<img width=«45» height=«19» src=«ref-1_304269789-215.coolpic» v:shapes="_x0000_s1223">
кроме того стремление к нулю наибольшей хорда ∆li влечет за собой стремление к нулю
<img width=«109» height=«21» src=«ref-1_304275010-284.coolpic» v:shapes="_x0000_s1224">
поэтому
(если этот предел существует).
<img width=«71» height=«25» src=«ref-1_304275294-248.coolpic» v:shapes="_x0000_s1225">
Но по нашим предположениям функция f'(x), а следовательно и функция g(x)непрерывна. Непрерывная функция интегрируема, значит, упомянутый предел существует. Мы доказали, что
<img width=«68» height=«25» src=«ref-1_304275542-265.coolpic» v:shapes="_x0000_s1226">
Подставляя выражение g(x), получаем формулу длины дуги:
29. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.
Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной сверху графиком непрерывной функции y=f(x). (рис 1) Нахождение объема Vэтого тела сведем к вычислению интеграла.
Делаем разбиение Rотрезка [a,b]точками а=х0<
x1< x2<…< xn=b.На отрезке [xi, xi+1] строим прямоугольник высотой f(xi). При вращении этого прямоугольника получается цилиндр с радиусом основания f(xi)и высотой ∆xi. Его объем равен π[f(xi)]²∆xi. Построим такие же целиндры для каждого промежутка [x0,x1], [x1,x2],…[xn-1,xn].Все цилиндры в совакупности образуют тело, назовем его объем Vn.
Определение: Если существует предел Vn, когда
<img width=«48» height=«15» src=«ref-1_304275807-211.coolpic» v:shapes="_x0000_s1227">
Стремится к нулю, не зависящей от выбора разбиений R, то этот предел называю объемом тела вращения.
Очевидно,
<img width=«68» height=«23» src=«ref-1_304276018-264.coolpic» v:shapes="_x0000_s1228">
Данная сумма является интегральной суммой для функции,
<img width=«33» height=«16» src=«ref-1_304276282-213.coolpic» v:shapes="_x0000_s1229">
Которая непреывна по условию. Следовательно, интеграл сществует. Формула для объема тела вращения имеет вид:
<img width=«63» height=«16» src=«ref-1_304276495-240.coolpic» v:shapes="_x0000_s1230">
Площадь поверхности вращения.
Если площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ (рис 1) задана непрерывна дифференцируемой функций y=f(x), обазначить через Р, то
<img width=«96» height=«25» src=«ref-1_304276735-297.coolpic» v:shapes="_x0000_s1231">
15. Основные свойства неопределенного интеграла.
1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx(постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).
2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx(интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).
16. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенной интеграле.
Замена переменной.
Будем полагать функции f(u)и φ'(x)непрерывными. Замена переменной производится по формуле:
<img width=«93» height=«15» src=«ref-1_304277032-270.coolpic» v:shapes="_x0000_s1232">
Формула проверяется дифференциалом обеих частей равенства по x(правая часть дифференцируется как сложная функция).
Интегрирование по частям:
Пусть u и v являются функциями x. Умножив обе части равенства (uv)'=u'v+uv'на dx, получим d(uv)=vdu+udv.Интегрируя приходим к формуле интегрирования по частям
<img width=«57» height=«13» src=«ref-1_304277302-222.coolpic» v:shapes="_x0000_s1233">
1 Матрицы и действия с ними
Матрицейпорядка m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая mстрок и nстолбцов. Квадратная матрица порядка m — m=n. Составляющие матрицу числа называют ее элементами.
Сложение матриц.
<img width=«41» height=«31» src=«ref-1_304277524-350.coolpic» v:shapes="_x0000_s1235"><img width=«41» height=«31» src=«ref-1_304277874-343.coolpic» v:shapes="_x0000_s1234">При сложения, должны быть равны порядки матриц.
<img width=«12» height=«12» src=«ref-1_304278217-198.coolpic» v:shapes="_x0000_s1242"><img width=«12» height=«12» src=«ref-1_304278415-205.coolpic» v:shapes="_x0000_s1241"> а11 а12 в11 в12 _
а21 а22 в21 в22 _
<img width=«108» height=«31» src=«ref-1_304278620-383.coolpic» v:shapes="_x0000_s1243"> а11+в11 а12 +в12
а21+в21 а12 + в12
<img width=«69» height=«31» src=«ref-1_304279003-374.coolpic» v:shapes="_x0000_s1244">Умножение матриц на число.
<img width=«50» height=«31» src=«ref-1_304279377-354.coolpic» v:shapes="_x0000_s1236"> а11 а12 ва11 ва12
в а21 а22 = ва21 ва22
<img width=«41» height=«31» src=«ref-1_304279731-356.coolpic» v:shapes="_x0000_s1237">Умножение матриц друг на друга.
<img width=«50» height=«31» src=«ref-1_304280087-366.coolpic» v:shapes="_x0000_s1238"><img width=«2» height=«2» src=«ref-1_304280453-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1240">а11 а12 в11 в12 _
а21 а22 в21 в22 _
<img width=«146» height=«41» src=«ref-1_304280620-466.coolpic» v:shapes="_x0000_s1239">
а11в11+а12 в21 а11в12+а12в22
а21 в11+а22 в21 а21в12+а22в22
2 Правила вычисления определителей второго и третьего порядков.
Определитель(детерминал) матрицы — число, которое ставится в соответствие этой квадратной матрице.
Порядок определителя
— порядок соответствующей матрицы.
Определение определителя 2-го порядка.
<img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304281086-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1246"><img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304281242-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1245">а11 а12 _
а21 а22 _ а11 а22 - а21 а12
а11 а22 — главная диагональ
а21 а12 — побочная диагональ
<img width=«2» height=«41» src=«ref-1_304281396-158.coolpic» v:shapes="_x0000_s1247">Определение определителя 3-го порядка.
<img width=«2» height=«40» src=«ref-1_304281554-152.coolpic» v:shapes="_x0000_s1251"><img width=«2» height=«40» src=«ref-1_304281554-152.coolpic» v:shapes="_x0000_s1250">а11 а12 а13
а21 а22 а23 = а11 а22 а33 + а21 а32 а13 +
а31 а32 а33 + а12 а23 а31 — а13 а22 а31 —
— а23 а32 а11 — а21 а12 а33
3 Миноромэлемента аij определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, который получается путем вычеркивания в определителе третьего порядка i-той строки и j-ого столбца, т.е. строки и столбца, в котором находится данные элемент аij
а
ij
занимает четное место, если сумма i+j является четной и наоборот нечетное место, если сумма является нечетным числом.
Алгебраическим дополнением (А
ij
)элемента аij называется минор этого элемента взятый с "+" еслиаij — четное и с "-", если аij — нечетное.
<img width=«2» height=«40» src=«ref-1_304281554-152.coolpic» v:shapes="_x0000_s1249"><img width=«2» height=«40» src=«ref-1_304281554-152.coolpic» v:shapes="_x0000_s1248">а11 а12 а13
а21 а22 а23 = а11А11+а12А12+а13А13
а31 а32 а33
4. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
<img width=«12» height=«21» src=«ref-1_304282162-229.coolpic» v:shapes="_x0000_s1252"> а1х + в1у =с1 ·в2 -для искл.
а2х + в2у =с2 ·(-в1) неизв. у
или
·а2 -для искл.
·(-а1) неизв. х.
IIсложим полученные уравнения, получим
х( а1в2 — а2в1) = с1в2 — с2в1
или (при исключении х)
у( а1в2 — а2в1) = а1с2 — а2с1
III По формуле определения определителя 2-го порядка, можно заменить коэфициенты уравнения.
<img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304282391-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1254"><img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304282544-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1253"> а1 в1
Д = — осн. опред-ль системы
<img width=«31» height=«98» src=«ref-1_304282697-522.coolpic» v:shapes="_x0000_s1259"> а2 в2
<img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304282391-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1256"><img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304282544-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1255"> с1 в1
Дх =
с2 в2
доп. опред-ли
<img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304282391-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1258"><img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304282544-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1257"> а1 с1
Ду =
а2 с2
х=Дх¸Д у= Ду¸Д
Основной определитель составляется из коэфициентов при неизвестных а Дх и Ду получаются путем замены свободными членами соответственно первого и второго столбцов основного определителя.
5.Геометрическое истолкование линейной системы двух уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.
<img width=«21» height=«50» src=«ref-1_304283831-391.coolpic» v:shapes="_x0000_s1263"><img width=«31» height=«40» src=«ref-1_304284222-364.coolpic» v:shapes="_x0000_s1262"><img width=«70» height=«2» src=«ref-1_304284586-158.coolpic» v:shapes="_x0000_s1261"><img width=«2» height=«60» src=«ref-1_304284744-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1260">
I
- у системы 1 решение.
<img width=«50» height=«60» src=«ref-1_304284899-477.coolpic» v:shapes="_x0000_s1267"><img width=«31» height=«41» src=«ref-1_304285376-377.coolpic» v:shapes="_x0000_s1266"><img width=«60» height=«2» src=«ref-1_304285753-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1265"><img width=«2» height=«69» src=«ref-1_304285908-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1264"> II
а1¸а2=в1¸в2=k
c1¸с2¹k
k(а1х + в1у) = k c1
пусть х0у0 — какое-нибудь решение 2-го уравнения, подставляем:
k(а1х0+в1у0)=kc1¹с2Þ
решение второго уравнеиня не удовлетворяет первое.
продолжение
--PAGE_BREAK--Противоречивая система — не имеет решений.
______________________________________________________________________
а1/а2=в1/в2=c1/с2=k
второе уравнение равно первому умноженному на какое-либо число или второе уравнение является следствием первого.
Неопределенной системой называется система, имеющая бесконечное количество значений.
<img width=«89» height=«41» src=«ref-1_304286065-411.coolpic» v:shapes="_x0000_s1282 _x0000_s1283 _x0000_s1284">
6. Геометрическое истолкование линейной системы трех уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.
В пространстве Oxyzкаждому из уравнений соответствует плоскость. Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения этих плоскостей.
1. Основной определитель Д¹
. По правилу Крамера находится единственное решение системы. Геометрически — это координаты единственной точки пересечения всех трех плоскостей.
2. Д=0Много возможностей.
<img width=«12» height=«40» src=«ref-1_304286476-293.coolpic» v:shapes="_x0000_s1268">А) все три плоскости совпадают.
х+2у+z=2 2-ое и 3-е мы полу-
3х+6у+3z=6 чаем из 1-го, умно-
2х+4у+2z=4 жая их на 3 и 2 соответственно.ÞСистема неопределена. Отбрасываем 2 и 3 ур. и из оставшегося вычисляемz=2-х-2у. Давая различные значения х и у, вычислим соответствующее значение zи получим решение системы Таких решений бесконечное множество.
Б) Две плоскости совпадают, а 3-я их пересевает по одной прямой (т.е. не сливается с ними)Þможно отбросить одно уравнение, оставив уравнения любых двух несливающихся плоскостей. Эта система явл. неопред: значение одной из неизвестных задается произвольно, две другие вычисляются из упомянутой системы. Аналогичный результат получается, когда 3 плоскоти пересекаются по одной прямой, попарно не совпадая.
Если 1 и 3 сложить, то получится 2. И наоборот, если из 3-1, то получим 2.
В) 2 или 3 плоскости ||
При этом когда 2 ||, третья либо их пересекает, либо совпадает с одной из нихÞсистема противоречива.
Г) плоскости попарно пересекаются. Линии пересечения|| между собой (их 3)Þсистема противоречива.
*** Если в однородной системе все миноры 2-го порядка =0, решение зависит от 2х параметров., или хотябы один отличен от нуля, то решение зависит от одного пораметра.
7. Сложение векторов, умножение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось. Коллиниарность и комплиментарность векторов.
Векторомназывается величина, которая характеризуется не только численным значением, но и направлением в пространстве. Модулем |ā|или длиной вектора а наз его числ. зн-ие. Если |ā|=0, вектор называют нулевым..
Проекция вектора на ось.
Пусть в пространстве даны вектор ĀВ и ось Ох. Опустим ^на ось Ох и з точек А и В, т.е. спроектируем эти точки на ось Ох. Обозначим проекции через А' и В' Вектор A'B'называют компонентой вектора АВ по оси Ох. Проекцией вектора АВ на ось Ох называется длинна компоненты, взятая со знаком "+", если направление оси и компоненты совпадают, и со знаком "-" если направления противоположны.
Сложение и вычитание векторов
Сумма векторов ā и в определяется с помощью параллелограмма. Они выпускаются из одной точки и достраивается параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма есть сумма векторов ā и в.
<img width=«42» height=«41» src=«ref-1_304286769-389.coolpic» v:shapes="_x0000_s1269"> Сумма векторов так же определяется по правилу многоугольника — к концу первого вектора подставляют начало другого и соединяется начало первого и конец второго.
Разность векторов
с=а-в в+с=а а с
в
Умножение вектора на скаляр.
λ-число (скаляр)
ā — вектор λā=с
Произведением λā называется вектор, длинна которого равна |ā|·|λ|, а направление такое же, как и у вектора ā если λ>0, и противоположное, если λ<0.
Векторы называются коллиниарными, если они лежат на совпадающих прямых.
Если векторы ā и в коллиниарны (ā¹0; в¹0), то они пропорциональны, т.е. существует такое положительное или отрицательное число l, что а=lв.
Три вектора называются компланарными, если их можно уложить на одну плоскость.
9
. Скалярное произведение и его свойства.
Скалярным произведением векторов а и в называют произведение их длин и косинуса угла между ними.
(а,b)=|a|×|b|×cos(a,b)
Свойства:
1. Коммуникативность. (а, в)=(в, а)
2. Дистрибутивность. (а+в)×(с)=(а×с)+(в×с)
3. (lа, в)=(а,lв) — скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.
4. Скалярное произведение (а, в) равно 0 тогда и только тогда, когда они ^или один из них=0
Док-во: cos 90 = 0
8. Длина и направляющие косинусы вектора, заданного координатами. Орты. Радиус-вектор точки.
Векторы единичной длины, направленные по осям координат называют ортами и обозначают i (по оси Ох)j (по оси Оу). В 3х-мерном пространстве берется еще k (по оси z)Проекции ах и ау вектора а на оси х и у называют координатами вектора а. Углы вектора а с осями координат — aи b, тогда ах =|a|×cosa — направляющие
ау=|a|×cosb косинусы
a
,
b
— задают направление.
Величины cosaи cosbназываются направляющимикосинусами вектора а. Зная координаты ах и ау, можно вычислить модуль и направляющие косинусы: cosa= ах¸|a|, cosb=ау¸|a|
Очевидно, что |a| = Öах2 +ау2
Вектор ОМ, выходящий из (0;0) и оканчивающийся в т. М(х, у) называют радиус-вектором т.М. Координаты х и у т.М. так же являются координатами вектора r=ОМ. Поэтому r=хi+уj. Принято так же писать r ={х, у}
Длина вектора в 3х-мерном пространстве измеряется по формуле
|a|= Öах2 +ау2 +аz2
Векторное произведение и его свойства.
Результатом векторного умножения вектров является вектор. Векторное произведение векторов а и в обозначается так: [а, в]или а´в.
Векторным произведением векторов а и в называется вектор с= [а, в], для кот.:
1. длина численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. |c|= |a|×|b|×sin(ab)
2. прямая, несущая вектор, ^каждому из перемножаемых векторов, т.е. плоскости указанного параллелограмма
3. направление на этой прямой выбирается так, что бы при взгляде с конца вектора с поворот первого множителя а на наименьший угол до совмещения со вторым множителем в производился бы против часовой стрелки ( такая тройка векторов а, в, с, называется правой)
Если а и в коллиниарны, то с=0 и вопрос о направлении с отпалдает.
Свойства:
1. в´а = — а´в, т.е. векторное умножение некоммуникативно
2. [lа,в]=[а,lв]=l[а, в]
3. (а+в)´с=а´с+с´в, т.е. векторное умножение дистрибутивно
<img width=«2» height=«40» src=«ref-1_304287158-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1270"><img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304287313-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1279"><img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304287470-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1278"><img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304287470-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1276"><img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304287470-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1275"><img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304287313-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1273"><img width=«2» height=«31» src=«ref-1_304287313-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1274"><img width=«2» height=«40» src=«ref-1_304288249-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1271">
<img width=«2» height=«12» src=«ref-1_304288404-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1277"> i j k ауаz ах аz ах ау
<img width=«2» height=«2» src=«ref-1_304280453-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1272">а´в= ахауаz =i вувz — j вхвz +kвхву
вхвувz
11. Смешанное произведение векторов. Его геометрический смысл.
Под смешанным произведением (векторно-скалярным) векторов а, в, с, понимают число авс=[а, в]×с
Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть S=[а, в]
|S|— площадь основания паралл-да
H-высота паралл-да
H= |c| ×|cosj|, где j— острый или тупой угол между векторами S и С.
авс=(s,c)=|s|×|c|×j= |s|×(±H)=±V — объем параллелепипеда.
Знак "+" получается, если тройка а, в, с правая и "-", если леваяÞАбсолютная величина смешанного произведения авс численно равна объему парал-да, построенного на векторах а, в, с.
Исходя из геом. Смысла, получаем необходимое и дополнительное условие компланарности векторов а, в, с, а именно авс=0
Координатная формула величины см. произведения векторов.
а={ахауаz}, в={вхвувz}, с={схсусz}:
<img width=«2» height=«40» src=«ref-1_304281554-152.coolpic» v:shapes="_x0000_s1281"><img width=«2» height=«40» src=«ref-1_304281554-152.coolpic» v:shapes="_x0000_s1280"> ахауаz
авс= вхвувz
схсусz
12.Формулы расстояния между двумя точками и длина отрезка в заданном отношении.
Расстояние между точками М1 и М2вычисляется как модуль |М1 М2| вектора М1 М2.
М1 М2=|М1 М2|=√(х2 -х1)2 + (у2 -у1)2
Нахождение координат точки, делящей отрезок М1 М2 в заданном отношении М1N¸NМ2= p(число р задано)
Известно, что ||прямые K1М1 ;
NL ; K2М2рассекают стороны угла M2AK2 на пропорциональные отрезки:
p=М1N¸NМ2=K1L¸LK2 или х-х1¸х2-х1=pÞх=х1+pх2¸1+p;y=у1 +pу2¸1+p
в частности координаты середины отрезка (p=1)
x=х1 +х2¸2
у= у1 +у2¸2
13. прямая линия на плоскости: общее уравнение, уравнение с угловым коэфициентом, уравнение в отрезках.
Общее уравнение прямой линии — Ах+Ву+С=0, где коэфициенты А, В, С — какие-либо числа, переменные х, у называют текущимикоординатами точки, лежащей на прямой. Некотоорые коэфициенты могут равняться 0, однако хотя бы одно из чисел А, В должно быть отлично от 0, т.е. А2+В2¹0, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты
у=
k
х+в— уравнение прямой с угловым коэфициентом
k=tga, где a— меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с положительным направлением оси Ох (0<a<p;a¹p/2)
<img width=«31» height=«59» src=«ref-1_304289030-393.coolpic» v:shapes="_x0000_s1287"><img width=«2» height=«59» src=«ref-1_304289423-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1285"> геом. смысл коэфицтентов
<img width=«69» height=«2» src=«ref-1_304289576-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1286">
уравнение в отрезках
заданы ненулевые отрезки а и в, отсекаемые прямой на осях координат. По условию точки (а;0) и (0; в) лежат на прямой. Воспользуемся уравнением
<img width=«21» height=«2» src=«ref-1_304289733-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1290"><img width=«21» height=«2» src=«ref-1_304289887-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1288"><img width=«11» height=«2» src=«ref-1_304290040-152.coolpic» v:shapes="_x0000_s1289"> х — х1 у — у1
х2-х1 у2 — у1
где х1=а у1=0
х2=0 у2=в
14. Уравнение прямой, проходящей через одну заданную точку, через 2 точки.
у — у1=k(х — х1)
уравнение прямой: у=kх+в
Если мы преобразуем первоначальное уравнение у — у1=k(х — х1), то получим у=kх+( у1-kх1)Оно удовлетворяет условия уравнения прямой: у=kх+в, т.к.
1. его степень первая, а значит оно может быть прямой,
2. прямая проходит через точку (х1; у1), т.к. координаты этой точки удовлетворяют уравнению: 0=0
3. роль коэфициента в играет выражение у1-kх1
Прямая с уравнением у — у1=k(х — х1) проходит через 1 точку. Потребуем, что бы и вторая точка лежала на этой прямой, т.е. что бы выполнялось равенство у2 — у1=k(х2 — х1). Отсюда находим k= у2 — у1¸х2 — х1и подставим в уравнение:
у — у1 = у2 — у1¸х2 — х1×(х — х1) или
х — х1¸х2 — х1= у — у1¸у2 — у1
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Свойства пространства с некоторыми компактифицированными измерениями
3 Сентября 2013
Реферат по математике
Исследование взаимосвязей показателей финансовых рынков
20 Июня 2015
Реферат по математике
Геометрическая пирамида и её проекция
3 Сентября 2013
Реферат по математике
Нарисна геометрія
3 Сентября 2013