Реферат: Дослідження універсальних абелевих алгебр

--PAGE_BREAK--3. Формаційні властивості нильпотентних алгебр
Як ми вже відзначали, усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевскому різноманіттю й використовуються стандартні позначення й визначення з[1].

Нагадаємо, що для <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489"> й <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1517026257-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490"> – конгруенції на алгебрі <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491"> – говорять, що <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1517026257-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492"> централізує <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493"> (записується: <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1517034567-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">), якщо на <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"> існує така конгруенція <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1517034846-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">, що:
1) із <img width=«131» height=«21» src=«ref-1_1517035003-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497"> завжди треба
<img width=«72» height=«21» src=«ref-1_1517035268-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">
2) для будь-якого елемента <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1517035444-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499"> завжди виконується


<img width=«128» height=«21» src=«ref-1_1517035610-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">
3) якщо <img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1517093927-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">, те
<img width=«41» height=«17» src=«ref-1_1517036135-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">
Очевидно, що для будь-якої конгруенції <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503"> на алгебрі <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504"> конгруенція <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_1517047617-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505"> централізує <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">. У цьому випадку <img width=«89» height=«24» src=«ref-1_1517094674-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">.

Помітимо, що якщо <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508"> й <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1517026257-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509"> – конгруенції на групі <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510"> й <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1517095158-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">, те для нормальних підгруп <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1517095349-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512"> і <img width=«59» height=«25» src=«ref-1_1517095507-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513"> групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514"> й будь-яких елементів <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1517095770-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">, <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1517095898-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> мають місце наступні співвідношення:
<img width=«125» height=«21» src=«ref-1_1517096026-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">

<img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1517096289-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">

<img width=«147» height=«24» src=«ref-1_1517096546-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">
Тоді
<img width=«151» height=«24» src=«ref-1_1517096849-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">
і в силу транзитивності <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1517034846-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521"> із цих співвідношень треба, що
<img width=«152» height=«24» src=«ref-1_1517097323-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">
По визначенню 2.1 одержуємо, що
<img width=«175» height=«25» src=«ref-1_1517097642-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">
Наступне визначення центральності належить Сміту .

Визначення 3.1. <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1517034567-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">, якщо існує така <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_1517098166-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">, що для будь-якого <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1517098373-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526">,
<img width=«131» height=«29» src=«ref-1_1517098493-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527">
Доведемо, що визначення 2.1. еквівалентно визначенню 3.1. <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_1517098166-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528"> означає умову 1) з визначення 2.1. И навпаки, умова 1) означає, що <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_1517098166-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529">.

Нехай <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530"> і <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1517026257-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531"> – конгруенції, що задовольняють визначенню 2.1. З умови 2) треба, що для будь-якого елемента <img width=«57» height=«25» src=«ref-1_1517099376-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">,
<img width=«293» height=«29» src=«ref-1_1517099539-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">
Доведемо зворотне включення.

Нехай <img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1517100079-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">. Тому що <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1517035444-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">, те з умови 2) треба, що
<img width=«127» height=«21» src=«ref-1_1517100500-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">
У силу транзитивності <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1517034846-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537"> маємо
<img width=«124» height=«21» src=«ref-1_1517100917-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">
і, виходить, у силу умови 3) <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1517101178-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">. Отже
<img width=«133» height=«29» src=«ref-1_1517101290-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">
Покажемо, що з визначення 3.1. випливають умови 2) і 3) визначення 2.1. Якщо <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1517035444-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">, те


<img width=«240» height=«29» src=«ref-1_1517101750-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">
Це означає <img width=«124» height=«21» src=«ref-1_1517102202-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">.

Для <img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1517093927-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544"> одержуємо, що
<img width=«181» height=«29» src=«ref-1_1517102718-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545">
звідки <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1517103076-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">.

Відповідно до роботи

Визначення 3.2. Алгебра <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547"> називається нильпотентною, якщо існує такий ряд конгруенції
<img width=«187» height=«25» src=«ref-1_1517103282-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">
називаний центральним, що
<img width=«273» height=«25» src=«ref-1_1517103585-513.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">
Лема 3.1. Будь-яка підалгебра нильпотентної алгебри нильпотентна.

Доказ:

Нехай <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517018420-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550"> – підалгебра нильпотентной алгебри <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">. Тому що <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552"> має центральний ряд
<img width=«187» height=«25» src=«ref-1_1517103282-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">
те для кожного <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1517104676-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554"> на алгебрі <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_1517104837-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555"> існує конгруенція <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1517104995-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556"> задовольняючому визначенню 2.1. А саме, з




<img width=«225» height=«28» src=«ref-1_1517105086-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">
завжди треба
<img width=«267» height=«32» src=«ref-1_1517105527-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">
1) для будь-якого елемента
<img width=«161» height=«28» src=«ref-1_1517106043-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">
завжди виконується
<img width=«219» height=«28» src=«ref-1_1517106376-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">
2) якщо
<img width=«203» height=«28» src=«ref-1_1517106808-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">
и
<img width=«157» height=«28» src=«ref-1_1517107215-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">
те
<img width=«99» height=«28» src=«ref-1_1517107519-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">
Помітимо, що надалі, для скорочення запису, будемо враховувати той факт, що


<img width=«161» height=«28» src=«ref-1_1517106043-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">
тоді й тільки тоді, коли
<img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1517108081-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">
Побудуємо наступний ряд конгруенції на алгебрі <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517018420-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">:
<img width=«195» height=«25» src=«ref-1_1517108350-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">
де
<img width=«169» height=«25» src=«ref-1_1517108680-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">
Покажемо, що цей ряд є центральним. Для цього на алгебрі <img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1517108969-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569"> для кожного <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1517104676-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570"> визначимо бінарне відношення <img width=«29» height=«24» src=«ref-1_1517109286-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571"> в такий спосіб:
<img width=«203» height=«28» src=«ref-1_1517109411-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">
тоді й тільки тоді, коли
<img width=«207» height=«28» src=«ref-1_1517109833-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">
Покажемо, що <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1517110244-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574"> – конгруенція на алгебрі <img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1517108969-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">. Нехай
<img width=«320» height=«28» src=«ref-1_1517110497-564.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576">




Тоді
<img width=«228» height=«28» src=«ref-1_1517111061-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577">
і для кожної <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1517111502-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">-арної операції <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517074944-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579"> маємо
<img width=«400» height=«28» src=«ref-1_1517111685-667.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">
Отже,
<img width=«400» height=«28» src=«ref-1_1517112352-679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">
Отже, <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1517110244-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582"> – підалгебра алгебри <img width=«60» height=«25» src=«ref-1_1517113128-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">.

Очевидно, що для будь-якого елемента <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1517113307-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584"> має місце
<img width=«211» height=«28» src=«ref-1_1517113489-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">
Таким чином, відповідно до леми 2.3, <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1517110244-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586"> – конгруенція на алгебрі <img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1517108969-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">.

Нехай
<img width=«211» height=«28» src=«ref-1_1517113489-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">
Тоді <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1517114610-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589"> й тому що <img width=«131» height=«24» src=«ref-1_1517114788-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">,

те
<img width=«75» height=«24» src=«ref-1_1517115063-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591">


Якщо <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1517115246-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">, то <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1517114610-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593"> й, виходить,
<img width=«219» height=«28» src=«ref-1_1517115603-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">
<img width=«217» height=«28» src=«ref-1_1517116032-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">
Нехай, нарешті,
<img width=«363» height=«28» src=«ref-1_1517116474-651.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">
Тоді
<img width=«203» height=«28» src=«ref-1_1517106808-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">
і тому що
<img width=«267» height=«28» src=«ref-1_1517117532-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">
Отже,
<img width=«99» height=«28» src=«ref-1_1517118000-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">
Отже, конгруенція <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1517110244-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600"> задовольняє визначенню 2.1. для кожного <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1517104676-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">. Лема доведена.

Лема 3.2. Нехай <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602"> і <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1517026257-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603"> – конгруенції на алгебрі <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">,
<img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1517034567-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">


і <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1517056277-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606"> – ізоморфізм, певний на алгебрі <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607">.

Тоді для будь-якого елемента <img width=«69» height=«24» src=«ref-1_1517056463-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608"> відображення
<img width=«128» height=«24» src=«ref-1_1517119328-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609">
визначає ізоморфізм алгебри <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1517038014-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610"> на алгебру <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1517057004-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">, при якому
<img width=«99» height=«29» src=«ref-1_1517119817-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">
Доказ:

Очевидно, що <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517060370-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613"> – ізоморфізм алгебри <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1517038014-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614"> на алгебру <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1517057004-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615">, при якому конгруенції <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1517026257-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616"> й <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617"> ізоморфні відповідно конгруенціям <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1517120562-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618"> і <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_1517120665-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">.

Тому що <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1517034567-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">, те існує конгруенція <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1517034846-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621"> на алгебрі <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">, що задовольняє визначенню 2.1. Ізоморфізм <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517060370-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623"> алебри <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624"> на алгебру <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_1517120665-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625"> індуцирує у свою чергу ізоморфізм <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1517121468-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626"> алгебри <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_1517059162-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627"> на алгебру <img width=«39» height=«24» src=«ref-1_1517121666-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628"> такий, що
<img width=«212» height=«24» src=«ref-1_1517121805-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">
для будь-яких елементів <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1517122188-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">, <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1517122356-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">.

Але тоді легко перевірити, що <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_1517122520-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632"> – конгруенція на алгебрі <img width=«39» height=«24» src=«ref-1_1517121666-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633"> ізоморфна конгруенції <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1517034846-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">. Це й означає, що
<img width=«99» height=«29» src=«ref-1_1517119817-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">
Лема доведена.

Лема 3.3. Фактор-Алгебра нильпотентной алгебри нильпотентна.




Доказ:

Нехай
<img width=«196» height=«25» src=«ref-1_1517123164-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">
центральний ряд алгебри <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">. Покажемо, що для будь-якої конгруенції <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1517026257-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638"> на алгебрі <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639"> ряд
<img width=«279» height=«27» src=«ref-1_1517123745-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">
є центральним, тобто
<img width=«277» height=«25» src=«ref-1_1517124240-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">
для кожного <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1517104676-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">. У силу відомих теорем про ізоморфизмах для алгебр (див., наприклад, теореми II.3.7, II.3.11 ) і леми 3.2., досить показати, що
<img width=«168» height=«25» src=«ref-1_1517124938-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">
Нехай <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_1517104995-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644"> – конгруенція на алгебрі <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_1517104837-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">, що задовольняє визначенню 2.1. Визначимо бінарне відношення <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1517110244-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646"> на алгебрі <img width=«61» height=«25» src=«ref-1_1517125634-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647"> в такий спосіб
<img width=«248» height=«32» src=«ref-1_1517125815-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">
тоді й тільки тоді, коли найдуться такі елементи <img width=«92» height=«23» src=«ref-1_1517126344-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649">, що




<img width=«88» height=«24» src=«ref-1_1517126542-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">

<img width=«92» height=«24» src=«ref-1_1517126746-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651">

<img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1517126956-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652">

<img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1517127174-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">

<img width=«220» height=«28» src=«ref-1_1517127393-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">
Безпосередньою перевіркою переконуємося, що <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1517110244-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655"> – конгруенція на алгебрі <img width=«61» height=«25» src=«ref-1_1517125634-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656">.

У такий спосіб залишилося показати, що <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1517110244-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657"> задовольняє визначенню 2.1.

Нехай
<img width=«248» height=«32» src=«ref-1_1517125815-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">
тоді зі співвідношення
<img width=«217» height=«28» src=«ref-1_1517128730-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659">
треба, що
<img width=«119» height=«24» src=«ref-1_1517129162-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660">
Тому що
<img width=«225» height=«24» src=«ref-1_1517129406-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661">

те <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1517129808-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">. Отже,


<img width=«199» height=«32» src=«ref-1_1517130002-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663">
Нехай <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1517129808-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664">. Тоді для деякого елемента <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1517130629-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">, <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_1517130752-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666"> і <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1517130921-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667">.

Таким чином,
<img width=«203» height=«28» src=«ref-1_1517131086-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668">
отже,
<img width=«244» height=«32» src=«ref-1_1517131509-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669">
Тому що <img width=«117» height=«24» src=«ref-1_1517132029-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">, те це означає, що
<img width=«245» height=«32» src=«ref-1_1517132279-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">
Нехай
<img width=«252» height=«32» src=«ref-1_1517132803-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">
де
<img width=«184» height=«32» src=«ref-1_1517133331-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673">

Покажемо, що <img width=«121» height=«32» src=«ref-1_1517133717-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674">. У силу визначення <img width=«29» height=«24» src=«ref-1_1517109286-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675"> найдуться <img width=«92» height=«23» src=«ref-1_1517126344-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">, що
<img width=«88» height=«24» src=«ref-1_1517126542-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677">

<img width=«92» height=«24» src=«ref-1_1517126746-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678">

<img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1517126956-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">

<img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1517127174-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680">

<img width=«220» height=«28» src=«ref-1_1517127393-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681">
При цьому мають місце наступні співвідношення:
<img width=«220» height=«28» src=«ref-1_1517135608-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682">

<img width=«211» height=«28» src=«ref-1_1517136041-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683">
Отже,
<img width=«272» height=«28» src=«ref-1_1517136461-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684">
Але тоді по визначенню 3.2.
<img width=«157» height=«28» src=«ref-1_1517136973-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">
А тому що <img width=«92» height=«24» src=«ref-1_1517137296-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686">, те
<img width=«365» height=«32» src=«ref-1_1517137506-654.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687">
Тепер з того, що

<img width=«185» height=«24» src=«ref-1_1517138160-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688">
треба, що




<img width=«125» height=«32» src=«ref-1_1517138508-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689">
Лема доведена.

Доказ наступного результату здійснюється простою перевіркою.

Лема 3.4. Нехай <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1517138796-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690"> – конгруенція на алгебрі <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1517016144-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691">, <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1517104676-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692">. Полога
<img width=«188» height=«24» src=«ref-1_1517139155-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">
тоді й тільки тоді, коли <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_1517139495-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694"> для кожного <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1517104676-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695">, одержуємо конгруенцію <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1517026257-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696"> на алгебрі <img width=«103» height=«24» src=«ref-1_1517139900-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697">.

Лема 3.5. Прямий добуток кінцевого числа нильпотентних алгебр нильпотентне.

Доказ:

Очевидно, досить показати, що якщо <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1517140112-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698">, <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517018420-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699"> і <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1517140356-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700"> – нильпотентне алгебри, те <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701"> – нильпотентна алгебра.

Нехай
<img width=«193» height=«25» src=«ref-1_1517140539-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702">

<img width=«189» height=«25» src=«ref-1_1517140865-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">
центральні ряди алгебр <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517018420-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704"> і <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1517140356-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705"> відповідно. Якщо <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1517141351-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">, те, ущільнивши перший ряд повторюваними членами, одержимо центральний ряд алгебри <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517018420-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707"> довжини <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517012848-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708">. Таким чином, можна вважати, що ці ряди мають однакову довжину, рівну <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517012848-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">.

Побудуємо тепер ряд конгруенції на алгебрі <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1517140112-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710"> в такий спосіб:
<img width=«196» height=«25» src=«ref-1_1517141876-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711">




де <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1517142196-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712"> тоді й тільки тоді, коли <img width=«69» height=«24» src=«ref-1_1517142413-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713">, <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_1517142597-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714">, <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1517104676-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715">.

Покажемо, що останній ряд є центральним, тобто <img width=«136» height=«25» src=«ref-1_1517142926-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716"> для довільного <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1517104676-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">. Тому що
<img width=«268» height=«25» src=«ref-1_1517143368-489.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718">
те на алгебрах <img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1517108969-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719"> і <img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1517144013-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720"> відповідно задані конгруенції <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1517144163-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721"> й <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1517144260-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722">, що задовольняють визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517060370-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723"> на алгебрі <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_1517104837-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724"> в такий спосіб:
<img width=«341» height=«28» src=«ref-1_1517144601-615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725">
і тільки тоді, коли
<img width=«235» height=«28» src=«ref-1_1517145216-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">
и
<img width=«228» height=«28» src=«ref-1_1517145690-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">

Легко безпосередньою перевіркою переконатися, що <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517060370-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728"> – конгруенція на алгебрі <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_1517104837-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729">. Залишилося показати, що <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517060370-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730"> задовольняє визначенню 2.1.

Нехай має місце
<img width=«344» height=«28» src=«ref-1_1517146468-625.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">
Тоді відповідно до уведеного визначення <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517060370-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732">
<img width=«235» height=«28» src=«ref-1_1517145216-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733">

<img width=«228» height=«28» src=«ref-1_1517145690-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734">
звідки треба, що
<img width=«276» height=«28» src=«ref-1_1517148102-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735">
т.е.
<img width=«227» height=«28» src=«ref-1_1517148618-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736">
Нехай
<img width=«227» height=«28» src=«ref-1_1517148618-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737">
Це означає
<img width=«155» height=«24» src=«ref-1_1517149500-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738">

Але тоді
<img width=«231» height=«28» src=«ref-1_1517149805-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739">
и
<img width=«225» height=«28» src=«ref-1_1517150274-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740">
Отже,
<img width=«337» height=«28» src=«ref-1_1517150713-610.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">


Нехай має місце
<img width=«335» height=«28» src=«ref-1_1517151323-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742">
Це означає, що
<img width=«229» height=«28» src=«ref-1_1517151923-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743">
<img width=«224» height=«28» src=«ref-1_1517152387-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744">
Виходить, <img width=«105» height=«28» src=«ref-1_1517152815-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745"> і <img width=«103» height=«28» src=«ref-1_1517153067-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746">, тобто <img width=«165» height=«28» src=«ref-1_1517153302-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747">. Лема, доведена.

Як відомо, спадкоємною формацією називається клас алгебр, замкнутих відносно фактор-алгебр, підпрямих добутків і відносно підалгебр.

Результати, отримані в лемах 3.1, 3.3, 3.5 можна сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 7Клас всіх нильпотентних алгебр мальцевського різноманіття є спадкоємною формацією.

Визначення 3.3. <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517012848-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748">-арна група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749"> називається нильпотентной, якщо вона має такий нормальний ряд
<img width=«157» height=«24» src=«ref-1_1517153821-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750">
що
<img width=«103» height=«23» src=«ref-1_1517154086-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751">
и




<img width=«125» height=«24» src=«ref-1_1517154310-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">
для кожного <img width=«99» height=«21» src=«ref-1_1517154569-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753">.

Тому що конгруенції на <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517012848-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754">-арних групах попарно перестановочні (дивися, наприклад, ), те це дає можливість використовувати отримані результати в дослідженні таких груп.

Лема 3.6. Нехай <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755"> – <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517012848-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">-арна група. <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757"> і <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517018420-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758"> – нормальні підгрупи групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759"> й <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1517155292-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760">.

Тоді <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1517095158-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761">, де <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762"> й <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1517026257-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763"> конгруенції, індуковані відповідно підгрупами <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764"> й <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517018420-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765"> на групі <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">.

Доказ:

Підгрупи <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767"> й <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517018420-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768"> індуцирують на групі <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769"> конгруенції <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770"> й <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1517026257-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771">, обумовлені в такий спосіб:
<img width=«328» height=«24» src=«ref-1_1517156594-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772">

<img width=«325» height=«24» src=«ref-1_1517157063-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773">
<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517074944-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774"> – <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517012848-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775">-арна операція.

Визначимо на <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776"> бінарне відношення <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1517034846-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777"> в такий спосіб:
<img width=«133» height=«23» src=«ref-1_1517157966-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778">
тоді й тільки тоді, коли існують такі послідовності елементів <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_1517158243-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779"> і <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_1517158391-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780"> з <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517012932-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1781"> і <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517018420-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1782"> відповідно, що
<img width=«108» height=«24» src=«ref-1_1517158731-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1783">

<img width=«116» height=«24» src=«ref-1_1517158941-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1784">

<img width=«108» height=«24» src=«ref-1_1517159167-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1785">


Покажемо, що <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1517034846-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1786"> – підалгебра алгебри <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_1517059162-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1787">. Для скорочення запису будемо надалі опускати <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517012848-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1788">-арний оператор <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517074944-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1789">.

Нехай
<img width=«356» height=«25» src=«ref-1_1517159825-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1790">

<img width=«369» height=«25» src=«ref-1_1517160422-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1791">

<img width=«371» height=«25» src=«ref-1_1517161057-605.coolpic» v:shapes="_x0000_i1792">
Тому що <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1517161662-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1793">, те
<img width=«381» height=«25» src=«ref-1_1517161791-569.coolpic» v:shapes="_x0000_i1794">
Тому що <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1517162360-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1795">, те
<img width=«372» height=«25» src=«ref-1_1517162490-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1796">
Тому в силу того, що <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1517163074-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1797">,
<img width=«405» height=«25» src=«ref-1_1517163261-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1798">

<img width=«216» height=«25» src=«ref-1_1517163891-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1799">
Отже, <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1517034846-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1800"> – підалгебра алгебри <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_1517059162-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1801">.

Нехай <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_1517158391-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1802"> – нейтральна послідовність групи <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1517018420-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1803">, а, отже, і групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1804">. Тоді з визначення бінарного відношення <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1517034846-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1805"> треба, що
<img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1517165033-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1806">
Тим самим довело, що <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1517034846-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1807"> – конгруенція на <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1517025563-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1808">.

Тo, що <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1517034846-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1809"> задовольняє визначенню 2.1, очевидно. Лема доведена.

Лема 3.7. Нехай <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1810"> – нильпотентна <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1517012848-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1811">-арна група. Тоді <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1812"> задовольняє визначенню 2.1.

Доказ:

Тому що <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_1517165924-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1813"> для кожного <img width=«99» height=«21» src=«ref-1_1517154569-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1814">, те <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1517166250-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1815"> індуцирує конгруенцію <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1517138796-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1816"> на <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1817">. У такий спосіб <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1818"> володіє поруч конгруенції, що у силу леми 3.6 буде центральним. Лема доведена.

Зокрема, для довільної бінарної групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1819"> звідси треба, що <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1820"> нильпотентна тоді й тільки тоді, коли, <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1517095063-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1821"> задовольняє визначенню 3.2. У цьому випадку теорема 3.2 просто констатує той факт, що клас всіх нильпотентних груп утворить спадкоємну формацію.
    продолжение
--PAGE_BREAK--