Реферат: Многомерные и многосвязные системы

Контрольная работа

«Многомерные и многосвязные системы»

Задание

Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:

1. Передаточную функцию />;

2. Частотную передаточную функцию />;

3. Годограф;

4. Импульсную характеристику />;

5. Переходную характеристику />;

6. ЛАЧХ />;

7. ФЧХ />.

Составить структурную схему системы.

Дано:

/>;

/>.

Решение:

1. Передаточная функция

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:

/>,

/>.

Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:

/>; (1)

/>, (2)

где

/>; />; />

– лапласовы преобразования координат состояния />, выходных /> и входных /> сигналов.

Преобразуем уравнение (1):

Выносим за скобки:

где

/> – единичная матрица.

Умножаем слева на обратную матрицу:

Откуда получаем:

/>.

Подставляем в уравнение (2):

Получаем:

Выражение /> называют передаточной функцией системы.

Находим её:

Находим обратную матрицу:

Подставляем:

/>.

2. Частотная передаточная функция

Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции />:

/>,

получаем:

/>.

Выделим действительную и мнимую части:

/>,

для этого умножим числитель и знаменатель /> на комплексно – сопряжённый знаменатель:

/>;

/>.

3. Годограф

Годограф – это график частотной передаточной функции /> на комплексной плоскости при изменении частоты /> от нуля до бесконечности.

Изменяя частоту, производим расчёт действительной /> и мнимой /> частей частотной передаточной функции.

Результат расчёта записываем в таблицу 1.

Таблица 1. Расчёт годографа

--PAGE_BREAK--

2,8750000

0,0000000

-0,0512719

0,4570747

200

-0,00018

0,020008

2,7230769

0,9846154

-0,0163435

0,2074170

300

-0,000078

0,013336

1,9500000

1,9000000

-0,0075500

0,1355448

400

-0,000044

0,010001

0,8344828

1,9862069

-0,0043030

0,1009350

500

-0,000028

0,008001

0,2250000

1,5500000

-0,0027705

0,0804792

600

-0,000019

0,006667

0,0130624

1,1611030

-0,0019302

0,0669441

700

-0,000014

0,005715

-0,0500000

0,9000000

-0,0014209

0,0573176

800

-0,000019

0,005000

-0,0645030

0,7269777

-0,0010893

0,0501171

900

-0,000009

0,004445

-0,0634615

0,6076923

-0,0008614

0,0445267

1000

-0,000007

0,004000

-0,0578113

0,5216604

100

-0,0006982

0,0400600

2000

-0,000002

0,002000

Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.

/>
Рис. 1. Годограф

4. Импульсная характеристика

Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

/>.

Найдём полюса передаточной функции:

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию на простые дроби:

/>.

Используя табличные значения, находим:

/>,

/>.

Таким образом, получаем:

/>.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.

Таблица 2. Импульсная характеристика

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

-4

11,28

62,69

100,8

-167,1

-1236

-2395

2097

23854

54578

-15944

Строим график импульсной характеристики – рис. 2.

Рис. 2. Импульсная характеристика

5. Переходная характеристика

Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р:

/>.

Найдём полюса передаточной функции:

/>; />.

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби:

/>.

Приводим к общему знаменателю:

/>.

Приравниваем коэффициенты при равных степенях р:

/>,

/>.

Откуда находим:

/>,

/>.

Используя табличные значения, находим:

/>,

/>.

Таким образом, получаем:

/>.

Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 3.

Таблица 3. Переходная характеристика

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

0,654

17,59

62,52

69,32

-243

-1209

-1744

3830

24151

42653

Строим график переходной характеристики – рис. 3.

/>
Рис. 3. Переходная характеристика

6. ЛАЧХ

Для получения ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции:

/>.

далее находим 20 десятичных логарифмов от найденного модуля:

/>.

Это и есть выражение для ЛАЧХ.

Расчёт значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 4. Размерность ЛАЧХ – децибелы (дБ).

продолжение
--PAGE_BREAK--

Таблица 4. ЛАЧХ

-1

0,1

9,17406

0,1

1,25893

9,20891

1,2

15,8489

-11,426

-0,9

0,12589

9,17482

0,2

1,58489

9,08243

1,3

19,9526

-13,614

-0,8

0,15849

9,17601

0,3

1,99526

8,70564

1,4

25,1189

-15,738

-0,7

0,19953

9,17788

0,4

2,51189

7,83066

1,5

31,6228

-17,818

-0,6

0,25119

9,18077

0,5

3,16228

6,23375

1,6

39,8107

-19,869

-0,5

0,31623

9,18519

0,6

3,98107

3,94960

1,7

50,1187

-21,902

-0,4

0,39811

9,19182

0,7

5,01187

1,26946

1,8

63,0957

-23,923

-0,3

0,50119

9,20135

0,8

6,30957

-1,5050

1,9

79,4328

-25,936

-0,2

0,63096

9,21400

0,9

7,94328

-4,1982

100

-27,944

-0,1

0,79433

9,22792

-6,7459

2,1

125,893

-29,950

9,23483

1,1

12,5893

-9,1470

2,2

158,489

-31,953

Строим график ЛАЧХ – рис. 4.

/>
Рис. 4. ЛАЧХ

7. ФЧХ

ФЧХ – угол поворота вектора /> на комплексной плоскости в зависимости от частоты:

/>.

Расчёт значений ФЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 5. Размерность ФЧХ – радианы (рад).

продолжение
--PAGE_BREAK--

Таблица 5. ФЧХ

-1

0,1

0,03263

0,1

1,25893

0,44997

1,2

15,8489

1,66382

-0,9

0,12589

0,04110

0,2

1,58489

0,58831

1,3

19,9526

1,64958

-0,8

0,15849

0,05177

0,3

1,99526

0,77030

1,4

25,1189

1,63592

-0,7

0,19953

0,06524

0,4

2,51189

0,99225

1,5

31,6228

1,62384

-0,6

0,25119

0,08227

0,5

3,16228

1,22480

1,6

39,8107

1,61359

-0,5

0,31623

0,10383

0,6

3,98107

1,42316

1,7

50,1187

1,60513

-0,4

0,39811

0,13123

0,7

5,01187

1,56064

1,8

63,0957

1,59824

-0,3

0,50119

0,16622

0,8

6,30957

1,63913

1,9

79,4328

1,59268

-0,2

0,63096

0,21126

0,9

7,94328

1,67427

100

1,58822

-0,1

0,79433

0,26981

1,68250

2,1

125,893

1,58466

0,34696

1,1

12,5893

1,67633

2,2

158,489

1,58182

Строим график ФЧХ – рис. 5.

Рис. 5. ФЧХ

8. Структурная схема системы

Записываем матричные уравнения системы:

/>;

/>.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Подставляем исходные данные:

/>;

/>.

Производим умножение матриц:

/>,

/>.

Получили систему уравнений, на основе которой строим структурную схему – рис. 6.

Рис. 6. Структурная схема системы

Часть 2:

Осуществить синтез замкнутой системы с собственными числами

{–1; –4; ± 5j}.

Построить наблюдатель полного порядка.

Дано:

/>,

/>.

Решение:

1. Синтез замкнутой системы

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:

/>,

/>.

Пусть управление линейно зависит от координат состояния системы:

/>,

где

/>– входной командный сигнал,

К – матрица коэффициентов обратной связи.

После замыкания эта система имеет структуру, изображённую на рис. 7.

Рис. 7. Структура исходной системы

Движение системы описывается линейным дифференциальным уравнением:

/>.

Таким образом, динамические свойства системы полностью определяются матрицей А – ВК, её характеристическими числами.

Характеристический многочлен исходной системы равен:

/>.

Спектр характеристических чисел (корни характеристического многочлена):

/>.

Желаемый характеристический многочлен замкнутой системы />по условию имеет 4 собственных числа, но наша исходная система имеет третий порядок, поэтому одно из собственных чисел необходимо убрать, убираем собственное число (–1), тогда:

/>.

Пусть матрица коэффициентов обратной связи />, тогда характеристический полином замкнутой системы:

/>.

Приравниваем коэффициенты при равных степенях многочленов />и />:

/>,

/>.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

/>,

/>.

Искомое управление принимает вид:

/>.

Структура синтезированной системы представлена на рис. 8.

Она построена по уравнениям:

/>,

/>.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Рис. 8. Структура синтезированной системы

2. Построение наблюдателя полного порядка

Система

называется асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального состояния х(0) и всех />оценка />с ростом времени асимптотически приближается к вектору состояния />.

Найдём структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку восстановления />и найдём модель её изменения:

/>.

Затем потребуем, чтобы />при всех />и />.

Это равенство возможно при:

/>,

/>.

Таким образом, структура асимптотического наблюдателя полного порядка определяется моделью вида:

/>.

На рис. 9 изображена структура системы и её наблюдателя.

Рис. 9. Структура системы с наблюдателем

Задача синтеза наблюдателя системы состоит в том, чтобы найти матрицу />. Это можно сделать, исходя из условия асимптотической сходимости оценки />к вектору состояния />при любых начальных состояниях наблюдателя и системы.

Пусть ошибка восстановления />, тогда

/>.

Ошибка восстановления описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с матрицей /> и ненулевыми начальными условиями, а поэтому асимптотическая сходимость ошибки к нулю возможна тогда и только тогда, когда собственные числа матрицы />, которые называют полюсами наблюдателя, располагаются в левой полуплоскости.

Пусть матрица

/>,

тогда матрица

/>.

Полюса наблюдателя определяются уравнением:

/>/>.

Переходные процессы в наблюдателе будут несравнимы с процессами в системе, если полюса наблюдателя будут значительно левее полюсов системы. Поскольку характеристические числа замкнутой системы равны:

{– 4; ± 5j},

то расположим полюса наблюдателя в точках:

/>.

Желаемый характеристический полином наблюдателя принимает вид:

/>,

что будет иметь место тогда, когда:

/>,

/>.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

/>;

/>.

Находим матрицу: