Реферат: Спектр оператора Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

--PAGE_BREAK--            Рассмотрим насколько примеров резольвент операторов.
            Пример 1: Возьмём оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное, как было сказано выше, его можно задать матрицей коэффициентов:
<shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image085.wmz» o:><img width=«79» height=«48» src=«dopb76985.zip» v:shapes="_x0000_i1100">, тогда
<shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image087.wmz» o:><img width=«288» height=«55» src=«dopb76986.zip» v:shapes="_x0000_i1101">
С помощью нехитрых преобразований находим обратную матрицу, тем самым резольвенту этого оператора:
<shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image089.wmz» o:><img width=«165» height=«88» src=«dopb76987.zip» v:shapes="_x0000_i1102">,
здесь хорошо видно, что оператор, заданный этой матрицей не существует при <shape id="_x0000_i1103" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image091.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb76946.zip» v:shapes="_x0000_i1103">=1, то есть это собственное значение оператора А.
            Пример 2: Рассмотрим линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций на отрезке [a,b] на себя. Пусть это будет оператор умножения на функцию g(x). Тогда резольвента этого оператора запишется в следующем виде: <shape id="_x0000_i1104" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image092.wmz» o:><img width=«268» height=«44» src=«dopb76988.zip» v:shapes="_x0000_i1104">, такой оператор непрерывен, если функция g(x) не принимает значение <shape id="_x0000_i1105" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image094.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb76946.zip» v:shapes="_x0000_i1105"> на отрезке [a,b], в противном случае <shape id="_x0000_i1106" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image094.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb76946.zip» v:shapes="_x0000_i1106"> будет являться собственным значением. То есть спектр этого оператора состоит из значений функции g(x) на отрезке [a,b]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при <shape id="_x0000_i1107" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image095.wmz» o:><img width=«64» height=«21» src=«dopb76989.zip» v:shapes="_x0000_i1107"> существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет.
            Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А:<shape id="_x0000_i1108" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image097.wmz» o:><img width=«92» height=«21» src=«dopb76990.zip» v:shapes="_x0000_i1108"> (для краткости будем писать вместо f(x) просто f). Рассмотрим резольвенту этого оператора: <shape id="_x0000_i1109" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image099.wmz» o:><img width=«133» height=«27» src=«dopb76991.zip» v:shapes="_x0000_i1109">, то есть мы должны найти обратный оператор к оператору: <shape id="_x0000_i1110" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image101.wmz» o:><img width=«153» height=«23» src=«dopb76992.zip» v:shapes="_x0000_i1110">, для чего надо решить дифференциальное уравнение относительно <shape id="_x0000_i1111" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image103.wmz» o:><img width=«20» height=«21» src=«dopb76993.zip» v:shapes="_x0000_i1111">. Решим уравнение <shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image105.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb76994.zip» v:shapes="_x0000_i1112"> методом Бернулли:
<shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image107.wmz» o:><img width=«123» height=«112» src=«dopb76995.zip» v:shapes="_x0000_i1113">;
<shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image109.wmz» o:><img width=«108» height=«41» src=«dopb76996.zip» v:shapes="_x0000_i1114"><shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image111.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb76997.zip» v:shapes="_x0000_i1115">;
<shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image113.wmz» o:><img width=«61» height=«27» src=«dopb76998.zip» v:shapes="_x0000_i1116">; <shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image115.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb76999.zip» v:shapes="_x0000_i1117">; <shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image117.wmz» o:><img width=«61» height=«24» src=«dopb77000.zip» v:shapes="_x0000_i1118">; <shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image119.wmz» o:><img width=«93» height=«24» src=«dopb77001.zip» v:shapes="_x0000_i1119">; <shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image121.wmz» o:><img width=«140» height=«29» src=«dopb77002.zip» v:shapes="_x0000_i1120">, откуда <shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image123.wmz» o:><img width=«253» height=«29» src=«dopb77003.zip» v:shapes="_x0000_i1121">,
тогда <shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image125.wmz» o:><img width=«227» height=«29» src=«dopb77004.zip» v:shapes="_x0000_i1122">. Видно, что резольвента существует и непрерывна, когда существует и непрерывен интеграл.
Резольвентное множество. Спектр Пусть А – оператор, действующий в В-пространстве. Если <shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image076.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb76946.zip» v:shapes="_x0000_i1123"> регулярна, т.е. оператор <shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image074.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb76980.zip» v:shapes="_x0000_i1124"> существует и ограничен, то при достаточно малом <shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image127.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb77005.zip» v:shapes="_x0000_i1125"> оператор <shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image129.wmz» o:><img width=«104» height=«24» src=«dopb77006.zip» v:shapes="_x0000_i1126"> тоже существует и ограничен, т.е. точка <shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image076.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb76946.zip» v:shapes="_x0000_i1127">+<shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image127.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb77005.zip» v:shapes="_x0000_i1128"> тоже регулярна. Таким образом, регулярные точки образуют открытое множество. Докажем это.
            Теорема: Резольвентное множество <shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image131.wmz» o:><img width=«37» height=«21» src=«dopb77007.zip» v:shapes="_x0000_i1129"> открыто, функция резолвента <shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image133.wmz» o:><img width=«21» height=«24» src=«dopb77008.zip» v:shapes="_x0000_i1130"> аналитична в этой области.
Доказательство:
Пусть <shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image076.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb76946.zip» v:shapes="_x0000_i1131"> - фиксированная точка в <shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image135.wmz» o:><img width=«37» height=«21» src=«dopb77007.zip» v:shapes="_x0000_i1132"> и <shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image111.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb76997.zip» v:shapes="_x0000_i1133"><shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image136.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb77009.zip» v:shapes="_x0000_i1134"> - любое комплексное число, такое, что <shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image138.wmz» o:><img width=«71» height=«29» src=«dopb77010.zip» v:shapes="_x0000_i1135">. Покажем, что <shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image140.wmz» o:><img width=«89» height=«21» src=«dopb77011.zip» v:shapes="_x0000_i1136">. Оператор <shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image142.wmz» o:><img width=«205» height=«23» src=«dopb77012.zip» v:shapes="_x0000_i1137"> должен иметь обратный, если <shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image140.wmz» o:><img width=«89» height=«21» src=«dopb77011.zip» v:shapes="_x0000_i1138">. Этот обратный оператор, если он существует, будет выглядеть так:
<shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image144.wmz» o:><img width=«377» height=«63» src=«dopb77013.zip» v:shapes="_x0000_i1139">.
Рассмотрим эту дробь как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда она представима в виде ряда
<shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image146.wmz» o:><img width=«141» height=«45» src=«dopb77014.zip» v:shapes="_x0000_i1140">.
Мы предполагали, что <shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image138.wmz» o:><img width=«71» height=«29» src=«dopb77010.zip» v:shapes="_x0000_i1141">, то <shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image148.wmz» o:><img width=«59» height=«27» src=«dopb77015.zip» v:shapes="_x0000_i1142">, следовательно, этот ряд сходится. Покажем, то <shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image150.wmz» o:><img width=«45» height=«25» src=«dopb77016.zip» v:shapes="_x0000_i1143"> это резольвента <shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image152.wmz» o:><img width=«41» height=«31» src=«dopb77017.zip» v:shapes="_x0000_i1144">:
<shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image154.wmz» o:><img width=«443» height=«69» src=«dopb77018.zip» v:shapes="_x0000_i1145">,
отсюда и следует, что <shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image140.wmz» o:><img width=«89» height=«21» src=«dopb77011.zip» v:shapes="_x0000_i1146"> и что <shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image152.wmz» o:><img width=«41» height=«31» src=«dopb77017.zip» v:shapes="_x0000_i1147">=<shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image150.wmz» o:><img width=«45» height=«25» src=«dopb77016.zip» v:shapes="_x0000_i1148"> аналитична в точке <shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image156.wmz» o:><img width=«40» height=«21» src=«dopb77019.zip» v:shapes="_x0000_i1149">
Доказано.
Следовательно, спектр, т.е. дополнение этого множества – замкнутое множество, и резольвента аналитична на бесконечности.
            Следствие: Если <shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image158.wmz» o:><img width=«36» height=«21» src=«dopb77020.zip» v:shapes="_x0000_i1150"> равно расстоянию от <shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image160.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb76946.zip» v:shapes="_x0000_i1151"> до спектра <shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image161.wmz» o:><img width=«37» height=«21» src=«dopb77021.zip» v:shapes="_x0000_i1152">, то
<shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image163.wmz» o:><img width=«79» height=«44» src=«dopb77022.zip» v:shapes="_x0000_i1153">, <shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image165.wmz» o:><img width=«64» height=«21» src=«dopb77023.zip» v:shapes="_x0000_i1154">.
Таким образом, <shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image167.wmz» o:><img width=«63» height=«27» src=«dopb77024.zip» v:shapes="_x0000_i1155"> при <shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image169.wmz» o:><img width=«67» height=«21» src=«dopb77025.zip» v:shapes="_x0000_i1156"> и резольвентное множество есть естественная область аналитичности <shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image171.wmz» o:><img width=«21» height=«24» src=«dopb77008.zip» v:shapes="_x0000_i1157">.
Доказательство:
В доказательстве предыдущей теоремы мы видели, что если <shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image138.wmz» o:><img width=«71» height=«29» src=«dopb77010.zip» v:shapes="_x0000_i1158">, то <shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image140.wmz» o:><img width=«89» height=«21» src=«dopb77011.zip» v:shapes="_x0000_i1159">. Следовательно, <shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image172.wmz» o:><img width=«85» height=«29» src=«dopb77026.zip» v:shapes="_x0000_i1160">, от куда и следует доказываемое утверждение.
Доказано.
Резольвента как функция от <shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image001.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb76946.zip» v:shapes="_x0000_i1161"> А сейчас рассмотрим резольвенту как функцию от<shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image174.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb76946.zip» v:shapes="_x0000_i1162"> и докажем несколько утверждений о её свойствах и особенностях. Для доказательства следующего утверждения нам понадобится следующая теорема.
            Теорема 5: Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что <shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image175.wmz» o:><img width=«45» height=«27» src=«dopb76976.zip» v:shapes="_x0000_i1163">. Тогда оператор <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image176.wmz» o:><img width=«59» height=«25» src=«dopb77027.zip» v:shapes="_x0000_i1164"> существует, ограничен и представляется в виде
<shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image178.wmz» o:><img width=«113» height=«45» src=«dopb77028.zip» v:shapes="_x0000_i1165">.
Доказательство:
Так как <shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image180.wmz» o:><img width=«25» height=«27» src=«dopb76961.zip» v:shapes="_x0000_i1166"><1, то <shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image181.wmz» o:><img width=«141» height=«45» src=«dopb77029.zip» v:shapes="_x0000_i1167">.Пространство Е полно, так что из сходимости ряда <shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image183.wmz» o:><img width=«52» height=«45» src=«dopb77030.zip» v:shapes="_x0000_i1168"> вытекает, что сумма ряда <shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image185.wmz» o:><img width=«44» height=«45» src=«dopb77031.zip» v:shapes="_x0000_i1169"> представляет собой ограниченный линейный оператор. Для любого n имеем
<shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image187.wmz» o:><img width=«245» height=«45» src=«dopb77032.zip» v:shapes="_x0000_i1170">;
переходя к пределу при <shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image189.wmz» o:><img width=«47» height=«15» src=«dopb77033.zip» v:shapes="_x0000_i1171"> и учитывая, что <shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image191.wmz» o:><img width=«124» height=«31» src=«dopb77034.zip» v:shapes="_x0000_i1172">, получаем
<shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image193.wmz» o:><img width=«201» height=«45» src=«dopb77035.zip» v:shapes="_x0000_i1173">,
что и означает, что <shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image178.wmz» o:><img width=«113» height=«45» src=«dopb77028.zip» v:shapes="_x0000_i1174">.
Доказано.
            Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве и <shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image195.wmz» o:><img width=«19» height=«27» src=«dopb77036.zip» v:shapes="_x0000_i1175">><shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image197.wmz» o:><img width=«25» height=«27» src=«dopb76961.zip» v:shapes="_x0000_i1176">, то <shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image076.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb76946.zip» v:shapes="_x0000_i1177"> – регулярная точка.
Доказательство:
Так как, очевидно, что <shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image198.wmz» o:><img width=«152» height=«41» src=«dopb77037.zip» v:shapes="_x0000_i1178">,
то
<shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image200.wmz» o:><img width=«291» height=«47» src=«dopb77038.zip» v:shapes="_x0000_i1179">
При <shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image197.wmz» o:><img width=«25» height=«27» src=«dopb76961.zip» v:shapes="_x0000_i1180"><<shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image195.wmz» o:><img width=«19» height=«27» src=«dopb77036.zip» v:shapes="_x0000_i1181"> этот ряд сходится (см. теорему 5), т.е. оператор <shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image202.wmz» o:><img width=«47» height=«19» src=«dopb77039.zip» v:shapes="_x0000_i1182"> имеет ограниченный обратный. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image197.wmz» o:><img width=«25» height=«27» src=«dopb76961.zip» v:shapes="_x0000_i1183"> с центром в нуле.
Доказано.
Из выше доказанной теоремы вытекает разложение резольвенты в ряд Лорана на бесконечности
<shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image204.wmz» o:><img width=«97» height=«47» src=«dopb77040.zip» v:shapes="_x0000_i1184">
При <shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image197.wmz» o:><img width=«25» height=«27» src=«dopb76961.zip» v:shapes="_x0000_i1185"><<shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image195.wmz» o:><img width=«19» height=«27» src=«dopb77036.zip» v:shapes="_x0000_i1186"> этот ряд сходится. Но <shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image197.wmz» o:><img width=«25» height=«27» src=«dopb76961.zip» v:shapes="_x0000_i1187"> – это наименьшее из чисел С, удовлетворяющих неравенству:
<shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image206.wmz» o:><img width=«85» height=«27» src=«dopb77041.zip» v:shapes="_x0000_i1188">
Аf=Cf, если С – собственное значение, то и <shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image208.wmz» o:><img width=«85» height=«27» src=«dopb77042.zip» v:shapes="_x0000_i1189">, то для наибольшего по модулю из собственных значений неравенство будет иметь место, с другой стороны, это число будет наименьшим. Следовательно, ряд <shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image204.wmz» o:><img width=«97» height=«47» src=«dopb77040.zip» v:shapes="_x0000_i1190"> будет сходиться при <shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image197.wmz» o:><img width=«25» height=«27» src=«dopb76961.zip» v:shapes="_x0000_i1191"><<shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image210.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb77043.zip» v:shapes="_x0000_i1192">(А), где <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image212.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb77043.zip» v:shapes="_x0000_i1193">(А) – наибольший модуль собственных значений оператора А. Величина <shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image212.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb77043.zip» v:shapes="_x0000_i1194">(А) называется спектральным радиусом оператора А.
            Теорема 8: <shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image212.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb77043.zip» v:shapes="_x0000_i1195">(А)=<shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image213.wmz» o:><img width=«149» height=«56» src=«dopb77044.zip» v:shapes="_x0000_i1196">.
Для доказательства воспользуемся теоремой Коши-Адамара, сформулируем её. Теорема Коши-Адамара: Положим <shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image215.wmz» o:><img width=«125» height=«33» src=«dopb77045.zip» v:shapes="_x0000_i1197">, <shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image217.wmz» o:><img width=«125» height=«36» src=«dopb77046.zip» v:shapes="_x0000_i1198">. Рассмотрим степенной ряд <shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image219.wmz» o:><img width=«95» height=«48» src=«dopb77047.zip» v:shapes="_x0000_i1199">. Тогда он сходится всюду в круге <shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image221.wmz» o:><img width=«75» height=«27» src=«dopb77048.zip» v:shapes="_x0000_i1200"> и расходится всюду вне этого круга.
Доказательство:
Рассмотрим разложение резольвенты в ряд Лорана как степенной ряд:
<shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image223.wmz» o:><img width=«252» height=«47» src=«dopb77049.zip» v:shapes="_x0000_i1201">.
По теореме Коши-Адамара его радиус сходимости равен числу
<shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image213.wmz» o:><img width=«149» height=«56» src=«dopb77044.zip» v:shapes="_x0000_i1202">, но с другой стороны радиус сходимости ряда Лорана резольвенты есть спектральный радиус.
Доказано.
Уравнение Гильберта: <shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image225.wmz» o:><img width=«239» height=«25» src=«dopb77050.zip» v:shapes="_x0000_i1203">.
Доказательство:
Возьмем <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image227.wmz» o:><img width=«88» height=«23» src=«dopb77051.zip» v:shapes="_x0000_i1204">. Учитывая, что <shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image229.wmz» o:><img width=«101» height=«24» src=«dopb77052.zip» v:shapes="_x0000_i1205">, получаем следующее:
<shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image231.wmz» o:><img width=«433» height=«51» src=«dopb77053.zip» v:shapes="_x0000_i1206">, что и требовалось доказать.
Доказано.
Следствие из уравнения Гильберта: <shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image233.wmz» o:><img width=«218» height=«52» src=«dopb77054.zip» v:shapes="_x0000_i1207">.
Доказательство:
Оно вытекает из уравнения Гильберта: действительно, возьмём <shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image235.wmz» o:><img width=«75» height=«21» src=«dopb77055.zip» v:shapes="_x0000_i1208">, тогда получим по уравнению Гильберта, что произведение <shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image237.wmz» o:><img width=«37» height=«25» src=«dopb77056.zip» v:shapes="_x0000_i1209"> равно отношению приращения функции к приращению аргумента, то есть <shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image239.wmz» o:><img width=«151» height=«41» src=«dopb77057.zip» v:shapes="_x0000_i1210">, перейдя к пределу при <shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image241.wmz» o:><img width=«55» height=«19» src=«dopb77058.zip» v:shapes="_x0000_i1211"> получаем нужное равенство.
Доказано.
Теорема 9: <shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image243.wmz» o:><img width=«105» height=«44» src=«dopb77059.zip» v:shapes="_x0000_i1212">.
Доказательство:
Докажем это равенство методом математической индукции, опираясь на предыдущее утверждение:
                                                                              I.      если k=1, то получаем следствие из уравнения Гильберта
<shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image245.wmz» o:><img width=«172» height=«25» src=«dopb77060.zip» v:shapes="_x0000_i1213">.
                                                                           II.      Пусть для k=n равенство выполнено, то есть <shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image247.wmz» o:><img width=«125» height=«25» src=«dopb77061.zip» v:shapes="_x0000_i1214">.
                                                                        III.      Докажем, что для k=n+1, оно тоже имеет место:
<shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image249.wmz» o:><img width=«395» height=«56» src=«dopb77062.zip» v:shapes="_x0000_i1215">
Получили, что если равенство выполняется для n, то оно выполняется и для n+1, то по аксиоме индукции оно выполняется и для всех натуральных чисел, что и требовалось доказать.
Доказано.
            Таким образом, мы получили, что резольвента – функция бесконечно дифференцируемая.
Теорема 10: Зная все производные резольвенты, мы можем разложить её в ряд Тейлора в окрестности точки <shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15320.files/image251.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb77063.zip» v:shapes="_x0000_i1216">:
<shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15320.files/image253.wmz» o:><img width=«140» height=«45» src=«dopb77064.zip» v:shapes="_x0000_i1217">.
Напомним формулу разложения функции в ряд Тейлора:
<shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15320.files/image255.wmz» o:><img width=«185» height=«49» src=«dopb77065.zip» v:shapes="_x0000_i1218">, подставляя в эту формулу соответствующие элементы резольвенты, получаем нужное равенство.
Введение в нестандартный анализ Что такое бесконечно малые? Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины постоянные. Достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные, а просто как очень маленькие, почти равные нулю.
Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует называть бесконечно малым? Предположим, что это положительное число <shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image257.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb77066.zip» v:shapes="_x0000_i1219">, если оно меньше всех положительных чисел. Легко понять, что такого не бывает: если <shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image259.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb77066.zip» v:shapes="_x0000_i1220"> больше нуля, то оно является одним из положительных чисел, поэтому наше определение требует, чтобы число <shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image260.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb77066.zip» v:shapes="_x0000_i1221"> было меньше самого себя. Поэтому потребуем, чтобы <shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image261.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb77066.zip» v:shapes="_x0000_i1222"> было наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое <shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image262.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb77066.zip» v:shapes="_x0000_i1223"> должно изобразиться самой левой точкой множества <shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image263.wmz» o:><img width=«39» height=«23» src=«dopb77067.zip» v:shapes="_x0000_i1224">. К сожалению числа <shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image265.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb77066.zip» v:shapes="_x0000_i1225"> с указанными свойствами тоже нет и быть не может: число <shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image266.wmz» o:><img width=«24» height=«32» src=«dopb77068.zip» v:shapes="_x0000_i1226"> будет положительным числом, меньшим <shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image268.wmz» o:><img width=«14» height=«16» src=«dopb77069.zip» v:shapes="_x0000_i1227">.
Более точное определение бесконечной малости числа <shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image270.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb77070.zip» v:shapes="_x0000_i1228">>0 <shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image272.wmz» o:><img width=«13» height=«25» src=«dopb77071.zip» v:shapes="_x0000_i1229">, которое мы будем использовать в<shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image272.wmz» o:><img width=«13» height=«25» src=«dopb77071.zip» v:shapes="_x0000_i1230">дальнейшем таково. Будем складывать число <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image274.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb77070.zip» v:shapes="_x0000_i1231"> с самим собой, получая числа <shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image275.wmz» o:><img width=«28» height=«17» src=«dopb77072.zip» v:shapes="_x0000_i1232">+<shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image277.wmz» o:><img width=«155» height=«19» src=«dopb77073.zip» v:shapes="_x0000_i1233"> и т. д. Если все полученные числа окажутся меньше 1, то число <shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image279.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb77070.zip» v:shapes="_x0000_i1234"> и будет называться бесконечно малым. Другими словами, если <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image280.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb77070.zip» v:shapes="_x0000_i1235"> бесконечно мало, то сколько раз не откладывай отрезок длины <shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image281.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb77070.zip» v:shapes="_x0000_i1236"> вдоль отрезка длины 1, до конца не дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому <shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image282.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb77070.zip» v:shapes="_x0000_i1237"> можно переписать в такой форме
1<<shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image283.wmz» o:><img width=«165» height=«41» src=«dopb77074.zip» v:shapes="_x0000_i1238">
Таким образом, если число <shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image285.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb77070.zip» v:shapes="_x0000_i1239"> бесконечно мало, то число <shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image286.wmz» o:><img width=«24» height=«32» src=«dopb77075.zip» v:shapes="_x0000_i1240"> бесконечно велико в том смысле, что оно больше любого из чисел: 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т.д. Из сказанного можно видеть, что существование бесконечно малых противоречит так называемой аксиоме Архимеда, которая утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно отложить меньший из них (А) столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (В).
Вывод таков: если мы хотим рассматривать бесконечно малые, мы должны расширить множество R действительных чисел до некоторого большего множества *R. Элементы этого нового множества мы будем называть гипердействительными числами. В нём аксиома Архимеда не выполняется, и существуют бесконечно малые числа, такие, что, сколько их не складывай с собой, сумма будет всё время оставаться меньше 1. Нестандартный, или неархимедов, анализ изучает множество гипердействительных чисел *R.
Какие требования естественно предъявлять к гипердействительным числам?
1). Чтобы множество гипердействительных чисел содержало все обыкновенные действительные числа: R <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image288.wmz» o:><img width=«19» height=«15» src=«dopb77076.zip» v:shapes="_x0000_i1241">*R.
2).Чтобы над гипердействительными числами можно было выполнять обычные операции: любые два гипердействительные числа нужно уметь складывать, умножать, вычитать и делить, причем так, чтобы выполнялись обычные свойства сложения и умножения. Кроме того, нужно уметь сравнивать гипердействительные числа по величине, т.е. решить какое из них больше.
Пусть имеется некоторое множество Р, в нём выделены некоторые элементы 0 и 1 и определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, ставящие в соответствие двум любым элементам <shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image290.wmz» o:><img width=«16» height=«18» src=«dopb77077.zip» v:shapes="_x0000_i1242"> и <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image292.wmz» o:><img width=«16» height=«23» src=«dopb77078.zip» v:shapes="_x0000_i1243"> множества Р их сумму <shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image294.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb77079.zip» v:shapes="_x0000_i1244"> , произведение <shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image296.wmz» o:><img width=«36» height=«22» src=«dopb77080.zip» v:shapes="_x0000_i1245">, разность <shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image298.wmz» o:><img width=«36» height=«19» src=«dopb77081.zip» v:shapes="_x0000_i1246"> и частное <shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image300.wmz» o:><img width=«24» height=«32» src=«dopb77082.zip» v:shapes="_x0000_i1247"> (если <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image302.wmz» o:><img width=«40» height=«21» src=«dopb77083.zip» v:shapes="_x0000_i1248">). Пусть при этом перечисленные операции обладают всеми обычными свойствами.
(1) <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image304.wmz» o:><img width=«85» height=«19» src=«dopb77084.zip» v:shapes="_x0000_i1249">;
(2) <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image306.wmz» o:><img width=«153» height=«21» src=«dopb77085.zip» v:shapes="_x0000_i1250">;
(3) <shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image308.wmz» o:><img width=«60» height=«19» src=«dopb77086.zip» v:shapes="_x0000_i1251">;
(4) <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image310.wmz» o:><img width=«69» height=«19» src=«dopb77087.zip» v:shapes="_x0000_i1252">;
(5) <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image312.wmz» o:><img width=«92» height=«21» src=«dopb77088.zip» v:shapes="_x0000_i1253">;
(6) <shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image314.wmz» o:><img width=«127» height=«21» src=«dopb77089.zip» v:shapes="_x0000_i1254">;
(7) <shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image316.wmz» o:><img width=«51» height=«19» src=«dopb77090.zip» v:shapes="_x0000_i1255">;
(8) <shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image318.wmz» o:><img width=«147» height=«21» src=«dopb77091.zip» v:shapes="_x0000_i1256">;
(9) <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image320.wmz» o:><img width=«75» height=«32» src=«dopb77092.zip» v:shapes="_x0000_i1257"> (если <shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image322.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb77093.zip» v:shapes="_x0000_i1258">).
В таком случае множество Р называется полем. Пусть на поле Р введён порядок, т. е. для любой пары не равных друг другу элементов <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image324.wmz» o:><img width=«14» height=«16» src=«dopb77094.zip» v:shapes="_x0000_i1259"> и <shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image326.wmz» o:><img width=«15» height=«22» src=«dopb77095.zip» v:shapes="_x0000_i1260"> определено, который из них больше. При этом выполняются такие свойства:
(10) если <shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image328.wmz» o:><img width=«39» height=«20» src=«dopb77096.zip» v:shapes="_x0000_i1261"> и <shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image330.wmz» o:><img width=«41» height=«21» src=«dopb77097.zip» v:shapes="_x0000_i1262"> , то <shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image332.wmz» o:><img width=«36» height=«17» src=«dopb77098.zip» v:shapes="_x0000_i1263">;
(11) если <shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image334.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb77099.zip» v:shapes="_x0000_i1264">, то <shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image336.wmz» o:><img width=«84» height=«20» src=«dopb77100.zip» v:shapes="_x0000_i1265"> для любого <shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image338.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb77101.zip» v:shapes="_x0000_i1266">;
(12) если  <shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image340.wmz» o:><img width=«39» height=«20» src=«dopb77096.zip» v:shapes="_x0000_i1267">, <shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image341.wmz» o:><img width=«37» height=«20» src=«dopb77102.zip» v:shapes="_x0000_i1268">, то <shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image343.wmz» o:><img width=«74» height=«20» src=«dopb77103.zip» v:shapes="_x0000_i1269">;
      если <shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image345.wmz» o:><img width=«40» height=«20» src=«dopb77104.zip» v:shapes="_x0000_i1270">, <shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image347.wmz» o:><img width=«39» height=«20» src=«dopb77105.zip» v:shapes="_x0000_i1271">, то <shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image349.wmz» o:><img width=«74» height=«20» src=«dopb77106.zip» v:shapes="_x0000_i1272">.
В таком случае говорят, что введенный порядок превращает Р в упорядоченное поле. Упорядоченное поле Р является неархимедовым тогда и только тогда, когда в нём есть положительные бесконечно малые элементы. Упорядоченное поле Р называется расширением поля действительных чисел R, если Р содержит все действительные числа и, кроме того, операции и порядок из Р, рассматриваемые на элементах их R, совпадают с обычными арифметическими операциями и обычным порядком на действительных числах.
Пример неархимедовой числовой системы Построим пример неархимедова упорядоченного поля, являющегося расширением поля действительных чисел.
Предположим, что искомое расширение *R уже построено, и исследуем его строение. Элементы множества *R мы будем называть гипердействительными числами. Среди них содержатся и все действительные числа. Чтобы отличить их, будем называть действительные числа (элементы R) стандартными, а остальные гипердействительные числа (элементы *R/R)—нестандартными.
По нашему предположению, поле *R содержит бесконечно малые числа, не равные нулю. Гипердействительное число <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image351.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb77107.zip» v:shapes="_x0000_i1273"> называется бесконечно малым, если все суммы
<shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image353.wmz» o:><img width=«55» height=«30» src=«dopb77108.zip» v:shapes="_x0000_i1274"> <shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image355.wmz» o:><img width=«81» height=«29» src=«dopb77109.zip» v:shapes="_x0000_i1275"> <shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image357.wmz» o:><img width=«105» height=«28» src=«dopb77110.zip» v:shapes="_x0000_i1276"> и т. д.
меньше 1. Здесь через <shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image359.wmz» o:><img width=«21» height=«34» src=«dopb77111.zip» v:shapes="_x0000_i1277">обозначен модуль гипердействительного числа <shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image361.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb77112.zip» v:shapes="_x0000_i1278">, определяемый так: <shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image363.wmz» o:><img width=«75» height=«56» src=«dopb77113.zip» v:shapes="_x0000_i1279"><shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image365.wmz» o:><img width=«40» height=«53» src=«dopb77114.zip» v:shapes="_x0000_i1280">  <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image367.wmz» o:><img width=«43» height=«52» src=«dopb77115.zip» v:shapes="_x0000_i1281">.
Отметим, что стандартное число 0 также оказывается, согласно этому определению, бесконечно малым. Но все остальные бесконечно малые числа не могут быть стандартными. Это следует из того, что для стандартных чисел справедлива аксиома Архимеда.
Наряду с бесконечно малыми в поле *R существуют и бесконечно большие. Мы называем гипердействительное число А бесконечно большим, если
<shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image369.wmz» o:><img width=«227» height=«28» src=«dopb77116.zip» v:shapes="_x0000_i1282"> и т.д.
Если, <shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image371.wmz» o:><img width=«16» height=«18» src=«dopb77117.zip» v:shapes="_x0000_i1283"> бесконечно мало, но отлично от нуля, то число <shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image373.wmz» o:><img width=«51» height=«32» src=«dopb77118.zip» v:shapes="_x0000_i1284"> бесконечно велико. Верно и обратное, если число А бесконечно велико, то число <shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image375.wmz» o:><img width=«51» height=«32» src=«dopb77119.zip» v:shapes="_x0000_i1285"> бесконечно мало. Отсюда следует, что все бесконечно большие числа нестандартны.
Гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, называются конечными. Каждое конечное гипердействительное число <shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image377.wmz» o:><img width=«16» height=«18» src=«dopb77077.zip» v:shapes="_x0000_i1286"> можно представить в виде <shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image378.wmz» o:><img width=«40» height=«21» src=«dopb77120.zip» v:shapes="_x0000_i1287"> где <shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image380.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb77121.zip» v:shapes="_x0000_i1288"> – стандартное число, а <shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image382.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb77066.zip» v:shapes="_x0000_i1289"> –- бесконечно малое. Пусть <shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image383.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb77122.zip» v:shapes="_x0000_i1290"> – конечное гипердействительное число. Разобьём действительные числа на два класса: меньшие <shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image385.wmz» o:><img width=«16» height=«18» src=«dopb77077.zip» v:shapes="_x0000_i1291"> и большие <shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image386.wmz» o:><img width=«13» height=«18» src=«dopb77123.zip» v:shapes="_x0000_i1292">. Т.к. <shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image388.wmz» o:><img width=«16» height=«18» src=«dopb77077.zip» v:shapes="_x0000_i1293"> конечно, то оба класса не пусты. По “аксиоме полноты“ существует действительное число <shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image389.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb77124.zip» v:shapes="_x0000_i1294">, разделяющее эти классы. Легко видеть, что <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image391.wmz» o:><img width=«60» height=«19» src=«dopb77125.zip» v:shapes="_x0000_i1295"> будет бесконечно малым. Число <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image393.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb77121.zip» v:shapes="_x0000_i1296"> называется стандартной частью конечного гипердействительного числа <shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image394.wmz» o:><img width=«13» height=«18» src=«dopb77123.zip» v:shapes="_x0000_i1297">. Обозначается это так:<shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image395.wmz» o:><img width=«60» height=«21» src=«dopb77126.zip» v:shapes="_x0000_i1298">. Таким образом, множество конечных гипердействительных чисел разбивается на классы. Эти классы называются монадами. Монадой стандартного числа <shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image397.wmz» o:><img width=«13» height=«19» src=«dopb77121.zip» v:shapes="_x0000_i1299"> называется множество всех бесконечно близких к нему гипердействительных чисел.
Обсудив структуру нестандартного “микромира”, скажем несколько слов о строении нестандартного “макромира”. Их можно разбить на классы (“галактики”), каждый из которых устроен, подобно множеству всех конечных гипердействительных чисел. Среди галактик нет ни самой большой, ни самой малой; между любыми двумя галактиками есть бесконечно много других галактик.
Что ещё нужно знать о бесконечно малых? Рассмотрим, что получается в результате построения поля гипердействительных чисел.
Прежде всего, мы получаем неархимедово расширение поля действительных чисел. Кроме того, “каждому объекту стандартного мира” поставлен в соответствие его аналог в “нестандартном мире”. Именно нестандартным аналогом любого действительного числа является оно само; любому подмножеству А множества R соответствует подмножество *А множества *R, каждой функции f из R в R соответствует функция *f из *R в *R, каждой двуместной функции g из R в R соответствует функция *g из *R в *R и т. д. Разумеется, эти аналоги *A, *f,*g не произвольны, а должны обладать некоторыми специальными свойствами: так, *А<shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15320.files/image398.wmz» o:><img width=«55» height=«20» src=«dopb77127.zip» v:shapes="_x0000_i1300">, на действительных числах f и *f совпадают, так что *f является продолжением для f, а *g– продолжением для g. При этом оказывается выполненным так называемый принцип переноса, утверждающий, грубо говоря, что в стандартном универсуме истинны те же утверждения формального языка, что и в нестандартном универсуме. Типичное использование состоит в том, что мы доказываем желаемый результат в нестандартном универсуме, а потом, заметив, что результат выразим в языке, заключаем, что он выполнен также в стандартном универсуме.
    продолжение
--PAGE_BREAK--