Реферат: Геометрия в пространстве
--PAGE_BREAK--<img width=«288» height=«228» src=«ref-1_287383930-182.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1048"> <img width=«194» height=«110» src=«ref-1_287384112-393.coolpic» v:shapes="_x0000_s1052"><img width=«196» height=«4» src=«ref-1_287384505-187.coolpic» v:shapes="_x0000_s1056"><img width=«281» height=«86» src=«ref-1_287384692-1535.coolpic» v:shapes="_x0000_s1050"> Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости α
(рис. 3). Вне плоскости α есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскостьβ. Она отлична от плоскости α, так как содержит С и имеет с α две общие точки. Значит,β пересекается сα по прямой, которой, как и l, принадлежат А,В. По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.
Путем несложных доказательств мы находим, что:
· На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.
<img width=«36» height=«36» src=«ref-1_287376880-147.coolpic» v:shapes="_x0000_s1602">
--PAGE_BREAK--<img width=«2» height=«38» src=«ref-1_287414388-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1218"><img width=«2» height=«86» src=«ref-1_287414553-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1217"><img width=«2» height=«158» src=«ref-1_287414710-163.coolpic» v:shapes="_x0000_s1216"><img width=«183» height=«12» src=«ref-1_287414873-253.coolpic» v:shapes="_x0000_s1215"><img width=«2» height=«62» src=«ref-1_287415126-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1214"><img width=«2» height=«38» src=«ref-1_287415291-164.coolpic» v:shapes="_x0000_s1213"><img width=«184» height=«31» src=«ref-1_287415455-420.coolpic» v:shapes="_x0000_s1212"><img width=«195» height=«12» src=«ref-1_287415875-252.coolpic» v:shapes="_x0000_s1211"><img width=«2» height=«134» src=«ref-1_287416127-170.coolpic» v:shapes="_x0000_s1210"><img width=«2» height=«74» src=«ref-1_287416297-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1209"><img width=«197» height=«67» src=«ref-1_287416464-590.coolpic» v:shapes="_x0000_s1208"><img width=«424» height=«146» src=«ref-1_287417054-2734.coolpic» v:shapes="_x0000_s1207"> <img width=«612» height=«348» src=«ref-1_287419788-251.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1161">изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.
В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в исключительном случае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллельные прямые так и остаются параллельными, сохраняется здесь и отношение длин параллельных отрезков, хотя сами длины и изменяются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку основного свойства параллельной проекции:
· Если АВ =
k
CD, а
A¹,
B¹,
C¹ и
D¹- проекции точек
A,
B,
C и
D, то
A¹
B¹=
k
C¹
D¹.
Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство — совпадение не только длин, но и направлений (рис. 7). Таким образом, если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель
k
в равенстве
AX
=
kAB
на параллельной проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трёх точек, не лежащих на одной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек пространства.
<img width=«36» height=«36» src=«ref-1_287376880-147.coolpic» v:shapes="_x0000_s1605">В то же время изображением данной тройки точек, т. е. треугольника, может служить треугольник любой заданной формы. В этом легко убедиться: проведём через сторону Поданного треугольника ЛВС любую плоскость а, построим в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС на
α
вдоль прямой
l
= СС¹ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равнобедренный прямоу-гольный треугольник и достроив его до квадрата
ABCD
, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм. Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной пирамиды могуг быть любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, вместе с соединяющими их отрезками.
<img width=«396» height=«360» src=«ref-1_287420186-212.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1233"> Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём, например, отношения, в которых треугольное сечение A¹BD нашего куба (рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В¹С¹. Посмотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ¹, а точнее говоря, спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА¹С¹С. Понятно, чтопроекцией будет сам прямоугольник АА¹С¹С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;
<img width=«36» height=«36» src=«ref-1_287376880-147.coolpic» v:shapes="_x0000_s1615"><img width=«36» height=«36» src=«ref-1_287376880-147.coolpic» v:shapes="_x0000_s1606"> <img width=«122» height=«170» src=«ref-1_287420692-822.coolpic» v:shapes="_x0000_s1257"><img width=«122» height=«170» src=«ref-1_287421514-824.coolpic» v:shapes="_x0000_s1256"><img width=«242» height=«170» src=«ref-1_287422338-1236.coolpic» v:shapes="_x0000_s1255"><img width=«2» height=«170» src=«ref-1_287423574-163.coolpic» v:shapes="_x0000_s1254"><img width=«242» height=«170» src=«ref-1_287423737-539.coolpic» v:shapes="_x0000_s1253"><img width=«134» height=«158» src=«ref-1_287424276-1244.coolpic» v:shapes="_x0000_s1252"><img width=«110» height=«86» src=«ref-1_287425520-570.coolpic» v:shapes="_x0000_s1251"><img width=«26» height=«134» src=«ref-1_287426090-729.coolpic» v:shapes="_x0000_s1250"><img width=«146» height=«62» src=«ref-1_287426819-750.coolpic» v:shapes="_x0000_s1249"><img width=«110» height=«74» src=«ref-1_287427569-665.coolpic» v:shapes="_x0000_s1248"><img width=«2» height=«158» src=«ref-1_287428234-173.coolpic» v:shapes="_x0000_s1247"><img width=«134» height=«218» src=«ref-1_287428407-1559.coolpic» v:shapes="_x0000_s1246"><img width=«146» height=«62» src=«ref-1_287429966-480.coolpic» v:shapes="_x0000_s1245"><img width=«110» height=«74» src=«ref-1_287430446-445.coolpic» v:shapes="_x0000_s1244"><img width=«2» height=«158» src=«ref-1_287414710-163.coolpic» v:shapes="_x0000_s1243"><img width=«134» height=«62» src=«ref-1_287431054-457.coolpic» v:shapes="_x0000_s1242"><img width=«2» height=«158» src=«ref-1_287414710-163.coolpic» v:shapes="_x0000_s1241"><img width=«122» height=«74» src=«ref-1_287431674-461.coolpic» v:shapes="_x0000_s1240"><img width=«2» height=«158» src=«ref-1_287414710-163.coolpic» v:shapes="_x0000_s1239"><img width=«122» height=«74» src=«ref-1_287431674-461.coolpic» v:shapes="_x0000_s1238"><img width=«134» height=«62» src=«ref-1_287431054-457.coolpic» v:shapes="_x0000_s1237"> продолжение
--PAGE_BREAK-- <img width=«624» height=«324» src=«ref-1_287433216-244.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1235">рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а точки Р и Q станут серединами отрезковА1)и В
iCi
. Очевидно, что на нашем рисунке
A
¹
Q
= 3
PB
, а значит, РМ:
MQ
= 1: 3. В силу основного свойства параллельной проекции, эторавенство верно и в пространстве. Та же проекция позволяет найти отношение между частями любого проведённого в кубе отрезка, накоторые он рассекается плоскостью
A
¹
BD
: в частности, отрезок
KQ
, где К — середина АВ. вновь делится ею в отношении 1: 3, а диагональ АС, — в отношении 1:2.
Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя в пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется построить треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов АОВ, ВОСк СОАточки Р, Q и
R
.
<img width=«134» height=«254» src=«ref-1_287433460-1397.coolpic» v:shapes="_x0000_s1296"><img width=«134» height=«134» src=«ref-1_287434857-576.coolpic» v:shapes="_x0000_s1295"><img width=«326» height=«86» src=«ref-1_287435433-824.coolpic» v:shapes="_x0000_s1294"><img width=«242» height=«218» src=«ref-1_287436257-1540.coolpic» v:shapes="_x0000_s1293"><img width=«98» height=«38» src=«ref-1_287437797-557.coolpic» v:shapes="_x0000_s1292"> <img width=«86» height=«206» src=«ref-1_287438354-1270.coolpic» v:shapes="_x0000_s1284"><img width=«170» height=«62» src=«ref-1_287439624-492.coolpic» v:shapes="_x0000_s1283"><img width=«86» height=«146» src=«ref-1_287440116-878.coolpic» v:shapes="_x0000_s1282"><img width=«146» height=«38» src=«ref-1_287440994-320.coolpic» v:shapes="_x0000_s1281"><img width=«146» height=«170» src=«ref-1_287441314-845.coolpic» v:shapes="_x0000_s1280"><img width=«26» height=«218» src=«ref-1_287442159-1002.coolpic» v:shapes="_x0000_s1279"> <img width=«86» height=«206» src=«ref-1_287443161-1284.coolpic» v:shapes="_x0000_s1271"><img width=«170» height=«62» src=«ref-1_287444445-869.coolpic» v:shapes="_x0000_s1270"><img width=«86» height=«146» src=«ref-1_287445314-951.coolpic» v:shapes="_x0000_s1269"><img width=«146» height=«38» src=«ref-1_287440994-320.coolpic» v:shapes="_x0000_s1268"><img width=«146» height=«170» src=«ref-1_287441314-845.coolpic» v:shapes="_x0000_s1267"><img width=«26» height=«218» src=«ref-1_287442159-1002.coolpic» v:shapes="_x0000_s1266"> Это очень трудная задача. Но если мы догадаемся посмотреть на её чертёж (рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на его гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б; кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость ОАВ; получаем точки R¹ и Q¹. Плоскость искомого сечения пересекает плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.
<img width=«36» height=«36» src=«ref-1_287376880-147.coolpic» v:shapes="_x0000_s1607"> <img width=«624» height=«432» src=«ref-1_287448579-273.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1265">
IV
. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.
До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте, нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие перпендикулярности, известное из планиметрии.
Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через точку Р, то говорят, что данные прямая и плоскость перпендикулярны.
Например, ясно, что ребро АА¹ нашего куба перпендикулярно основанию АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно того, что АА¹ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости,
· Если прямая
l перпендикулярна двум пересекающимся прямым
a и
b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей
a и
b.
Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны параллельные им прямые, проходящие через произвольно взятую точку, в частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:
· Через данную точку в пространстве можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.
Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно ортогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при решении задач о расстояниях и углах в пространстве.
<img width=«36» height=«36» src=«ref-1_287376880-147.coolpic» v:shapes="_x0000_s1608"> Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):
· Наклонная
a к плоскости перпендикулярна к прямой
l в этой плоскости тогда, когда её проекция а¹ на плоскость перпендикулярна
l.
Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому, что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.
<img width=«384» height=«408» src=«ref-1_287448999-216.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1315">Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали А
C
¹ на основание перпендикулярна диагонали основания
BD
; по теореме о трёх перпендикулярах, и сама диагональ АС¹ перпендикулярна BD. По такой же причине перпендикулярны АС¹ и А¹В. Отсюда следует, что диагональ перпендикулярна «треугольному сечению»
A
¹
BD
.
продолжение
--PAGE_BREAK-- В стереометрии помимо обычных плоских
<img width=«36» height=«36» src=«ref-1_287376880-147.coolpic» v:shapes="_x0000_s1609"><img width=«76» height=«40» src=«ref-1_287449362-245.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис. 12» v:shapes="_x0000_s1394"> <img width=«2» height=«194» src=«ref-1_287449607-178.coolpic» v:shapes="_x0000_s1385"><img width=«278» height=«74» src=«ref-1_287449785-770.coolpic» v:shapes="_x0000_s1384"><img width=«62» height=«170» src=«ref-1_287450555-985.coolpic» v:shapes="_x0000_s1383"><img width=«170» height=«50» src=«ref-1_287451540-705.coolpic» v:shapes="_x0000_s1382"><img width=«110» height=«122» src=«ref-1_287452245-947.coolpic» v:shapes="_x0000_s1381"><img width=«170» height=«146» src=«ref-1_287453192-798.coolpic» v:shapes="_x0000_s1380"><img width=«110» height=«74» src=«ref-1_287453990-466.coolpic» v:shapes="_x0000_s1379"><img width=«110» height=«314» src=«ref-1_287454456-1894.coolpic» v:shapes="_x0000_s1378"><img width=«62» height=«362» src=«ref-1_287456350-1754.coolpic» v:shapes="_x0000_s1377"><img width=«110» height=«122» src=«ref-1_287458104-851.coolpic» v:shapes="_x0000_s1376"><img width=«170» height=«50» src=«ref-1_287458955-403.coolpic» v:shapes="_x0000_s1375"><img width=«170» height=«50» src=«ref-1_287458955-403.coolpic» v:shapes="_x0000_s1374"><img width=«2» height=«194» src=«ref-1_287459761-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1373"><img width=«2» height=«194» src=«ref-1_287459761-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1372"><img width=«110» height=«122» src=«ref-1_287458104-851.coolpic» v:shapes="_x0000_s1371"><img width=«2» height=«194» src=«ref-1_287459761-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1370"><img width=«110» height=«122» src=«ref-1_287458104-851.coolpic» v:shapes="_x0000_s1369"><img width=«170» height=«50» src=«ref-1_287458955-403.coolpic» v:shapes="_x0000_s1368">углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между скрещи-вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая и плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из углов между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися плоскостями измеряется углом между перпендикулярами, проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все названные углы принимают значения в промежутке от 0 <img width=«76» height=«40» src=«ref-1_287462361-240.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис. 14» v:shapes="_x0000_s1428"><img width=«230» height=«182» src=«ref-1_287462601-1426.coolpic» v:shapes="_x0000_s1427"><img width=«230» height=«38» src=«ref-1_287464027-426.coolpic» v:shapes="_x0000_s1426"><img width=«134» height=«98» src=«ref-1_287464453-753.coolpic» v:shapes="_x0000_s1425"><img width=«98» height=«230» src=«ref-1_287465206-1384.coolpic» v:shapes="_x0000_s1424"><img width=«98» height=«62» src=«ref-1_287466590-468.coolpic» v:shapes="_x0000_s1423"><img width=«134» height=«194» src=«ref-1_287467058-1407.coolpic» v:shapes="_x0000_s1422"><img width=«38» height=«134» src=«ref-1_287468465-772.coolpic» v:shapes="_x0000_s1421"><img width=«98» height=«86» src=«ref-1_287469237-553.coolpic» v:shapes="_x0000_s1420"><img width=«98» height=«86» src=«ref-1_287469237-553.coolpic» v:shapes="_x0000_s1419"><img width=«98» height=«86» src=«ref-1_287470343-768.coolpic» v:shapes="_x0000_s1418"><img width=«134» height=«50» src=«ref-1_287471111-416.coolpic» v:shapes="_x0000_s1417"><img width=«134» height=«50» src=«ref-1_287471527-699.coolpic» v:shapes="_x0000_s1416"><img width=«134» height=«50» src=«ref-1_287471111-416.coolpic» v:shapes="_x0000_s1415"><img width=«2» height=«146» src=«ref-1_287472642-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1414"><img width=«2» height=«146» src=«ref-1_287472642-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1413"><img width=«2» height=«146» src=«ref-1_287472964-171.coolpic» v:shapes="_x0000_s1412"><img width=«98» height=«86» src=«ref-1_287469237-553.coolpic» v:shapes="_x0000_s1411"><img width=«134» height=«50» src=«ref-1_287471111-416.coolpic» v:shapes="_x0000_s1410"><img width=«2» height=«146» src=«ref-1_287472642-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1409"><img width=«76» height=«40» src=«ref-1_287474265-236.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис. 13» v:shapes="_x0000_s1397"><img width=«50» height=«2» src=«ref-1_287474501-159.coolpic» v:shapes="_x0000_s1407"><img width=«2» height=«50» src=«ref-1_287474660-164.coolpic» v:shapes="_x0000_s1406"><img width=«23» height=«51» src=«ref-1_287474824-438.coolpic» v:shapes="_x0000_s1405"><img width=«2» height=«50» src=«ref-1_287474660-164.coolpic» v:shapes="_x0000_s1404"><img width=«62» height=«146» src=«ref-1_287475426-882.coolpic» v:shapes="_x0000_s1403"><img width=«2» height=«50» src=«ref-1_287476308-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1402"><img width=«2» height=«122» src=«ref-1_287476463-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1401"><img width=«62» height=«271» src=«ref-1_287476624-1849.coolpic» v:shapes="_x0000_s1400"><img width=«230» height=«2» src=«ref-1_287478473-163.coolpic» v:shapes="_x0000_s1399"><img width=«291» height=«146» src=«ref-1_287478636-2453.coolpic» v:shapes="_x0000_s1398">до 90°.
<img width=«38» height=«2» src=«ref-1_287481089-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1408"><img width=«624» height=«372» src=«ref-1_287481249-258.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1396"> Найдём, например, угол между диагоналями А¹В и В¹С граней нашего куба (рис. 14). Заменим прямую В¹С на параллельную ей диагональ
A
¹
D
противоположной грани; искомый угол равен углу
BA
¹
D
, т. е. 60° (треугольник
BA
¹
D
равносторонний). Угол между диагональю АС¹ и основанием куба равен углу САС¹ между прл* мой ас¹ и её проекцией АС на основание, т.е.
arctg
(
C
¹
C
/
AC
) =
arctg
(1/√2]. А угол между плоскостями
BDA
¹ и
BDC
¹ (рис. 14) равен углу А¹МС¹, где М — середина
BD
, так как прямые МА¹ и МС¹ лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт
arccos
(1/3)).
Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).
Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость α, параллельную прямой b (рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b¹ прямой b на α и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.
<img width=«76» height=«40» src=«ref-1_287481507-243.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис. 15» v:shapes="_x0000_s1430"> <img width=«12» height=«159» src=«ref-1_287481750-267.coolpic» v:shapes="_x0000_s1469"><img width=«12» height=«159» src=«ref-1_287481750-267.coolpic» v:shapes="_x0000_s1468"><img width=«218» height=«50» src=«ref-1_287482284-429.coolpic» v:shapes="_x0000_s1467"><img width=«126» height=«68» src=«ref-1_287482713-776.coolpic» v:shapes="_x0000_s1466"><img width=«12» height=«168» src=«ref-1_287483489-308.coolpic» v:shapes="_x0000_s1465"><img width=«149» height=«71» src=«ref-1_287483797-861.coolpic» v:shapes="_x0000_s1464"><img width=«256» height=«98» src=«ref-1_287484658-1740.coolpic» v:shapes="_x0000_s1463"><img width=«14» height=«14» src=«ref-1_287486398-222.coolpic» v:shapes="_x0000_s1462"><img width=«182» height=«2» src=«ref-1_287486620-166.coolpic» v:shapes="_x0000_s1461"><img width=«2» height=«26» src=«ref-1_287486786-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1460"><img width=«2» height=«50» src=«ref-1_287486940-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1459"><img width=«2» height=«50» src=«ref-1_287486940-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1458"><img width=«12» height=«96» src=«ref-1_287487252-295.coolpic» v:shapes="_x0000_s1457"><img width=«12» height=«96» src=«ref-1_287487252-295.coolpic» v:shapes="_x0000_s1456"><img width=«12» height=«96» src=«ref-1_287487252-295.coolpic» v:shapes="_x0000_s1455"><img width=«317» height=«86» src=«ref-1_287488137-788.coolpic» v:shapes="_x0000_s1454"><img width=«317» height=«86» src=«ref-1_287488925-727.coolpic» v:shapes="_x0000_s1453"> Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной фигуры. На рис. 15 показаны.те интересные ортогональные проекции куба '„' ребром длины и: прямоугольник размером
<img width=«36» height=«36» src=«ref-1_287376880-147.coolpic» v:shapes="_x0000_s1611">а * а√2 (проекция на диагональную плоскость АСС¹А¹ или, что то же, вдоль диагонали
BD
основания): и правильный шестиугольник со стороной а√2/3 (проекция вдоль диагонали куба АС¹; мы видели, что прямая АС¹ перпендикулярна плоскости
BDA
¹, а потому правильный треугольник
BDA
, со стороной а√2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти, например, угол между плоскостями
BDA
¹ и
BDC
¹ — он равен углу между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние
r
между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В¹С равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до прямой В¹С (В и
B
¹
C
— изображения первой и второй диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти, что
r
= а/√3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD и АС¹ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС¹ превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/√6.
<img width=«76» height=«40» src=«ref-1_287489799-241.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис. 16» v:shapes="_x0000_s1515"> <img width=«110» height=«218» src=«ref-1_287490040-949.coolpic» v:shapes="_x0000_s1506"><img width=«110» height=«218» src=«ref-1_287490989-931.coolpic» v:shapes="_x0000_s1505"><img width=«218» height=«2» src=«ref-1_287491920-163.coolpic» v:shapes="_x0000_s1504"><img width=«2» height=«146» src=«ref-1_287472642-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1503"><img width=«2» height=«146» src=«ref-1_287472964-171.coolpic» v:shapes="_x0000_s1502"><img width=«2» height=«146» src=«ref-1_287472642-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1501"><img width=«110» height=«74» src=«ref-1_287492576-682.coolpic» v:shapes="_x0000_s1500"><img width=«110» height=«74» src=«ref-1_287493258-444.coolpic» v:shapes="_x0000_s1499"><img width=«110» height=«74» src=«ref-1_287493258-444.coolpic» v:shapes="_x0000_s1498"><img width=«110» height=«74» src=«ref-1_287494146-460.coolpic» v:shapes="_x0000_s1497"><img width=«110» height=«74» src=«ref-1_287494606-682.coolpic» v:shapes="_x0000_s1496"><img width=«110» height=«74» src=«ref-1_287494146-460.coolpic» v:shapes="_x0000_s1495"><img width=«2» height=«146» src=«ref-1_287472642-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1494"><img width=«110» height=«74» src=«ref-1_287493258-444.coolpic» v:shapes="_x0000_s1493"><img width=«110» height=«74» src=«ref-1_287494146-460.coolpic» v:shapes="_x0000_s1492"> <img width=«86» height=«62» src=«ref-1_287496813-454.coolpic» v:shapes="_x0000_s1483"><img width=«122» height=«194» src=«ref-1_287497267-917.coolpic» v:shapes="_x0000_s1482"><img width=«122» height=«194» src=«ref-1_287498184-922.coolpic» v:shapes="_x0000_s1481"><img width=«122» height=«194» src=«ref-1_287498184-922.coolpic» v:shapes="_x0000_s1480"><img width=«2» height=«194» src=«ref-1_287500028-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1479"><img width=«242» height=«194» src=«ref-1_287500193-590.coolpic» v:shapes="_x0000_s1478"><img width=«672» height=«372» src=«ref-1_287500783-265.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1477">Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её проекции и угол между плоскостями:
· Площадь
Sпр
ортогональной проекцией многоугольника равна площади
S
многоугольника, умноженной на
cos
φ, где φ- угол между его плоскостью и плоскостью проекции:
Это очевидно для треугольника, одна из сторон которого совпадает с линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой многоугольник можно разбить на такие треугольники. Приближая криволинейные фигуры многоу-гольниками, получим, что формула площади проекции справедлива и для них.
<img width=«36» height=«36» src=«ref-1_287376880-147.coolpic» v:shapes="_x0000_s1612">
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике