Реферат: Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца

--PAGE_BREAK--2.Общие свойства интерполяционных пространств


Пусть A — векторное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. Оно называется нормированным векторных пространством, если существует вещественнозначная функция (норма) <img width=«28» height=«27» src=«ref-1_1455608652-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">, определенная на A, удовлетворяющая условием.

1) <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_1455608790-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">, причем <img width=«115» height=«27» src=«ref-1_1455608974-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">

2) <img width=«105» height=«27» src=«ref-1_1455609232-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069"> (λ-скаляр)

3) <img width=«137» height=«27» src=«ref-1_1455609519-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">.

Пусть A и B– два нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным линейным оператором, если
<img width=«131» height=«28» src=«ref-1_1455609860-626.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">, <img width=«155» height=«27» src=«ref-1_1455610486-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072"> и <img width=«216» height=«58» src=«ref-1_1455611024-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">.
Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен.

Пусть A0и A1 – топологических векторных пространства. Говорят, что

A0и A1 совместимы, если существует отделимое топологическое векторное пространство U, такое, что A0и A1, являются подпространствами. В этом случае можно образовать сумму A0+ A1, и пересечение A0∩A1. Сумма состоит из всех a<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1455611729-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">U, представимых в виде a=a0+a1, где a0<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1455611729-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">A, и a1<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1455611729-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">A,

Справедлива следующая лемма

Лемма 2.1. Пусть A0и A1-совместимые нормированные векторные пространства. Тогда

A0∩A1, есть нормированное векторное пространство с нормой
<img width=«252» height=«44» src=«ref-1_1455611981-1056.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">
A0+ A1, также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой
<img width=«253» height=«44» src=«ref-1_1455613037-1015.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">
При этом если A0и A1 – полные пространства, то A0∩A1 и A0+ A1 также полны.

Дадим некоторые важные определения:

Категория σ состоит из объектов A,B,C…., и морфизмов R,S,T,…. между объектами и морфизмами определено трехместное отношение T: A↷B.

Если T: A↷B и S: B↷C, то существует морфизм ST, называемый произведением (или композицией) морфизмов S и T, такой, что ST: A↷C.

Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет закону ассоциативности: T(SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из σ существует морфизм I=IA, такой, что для любого морфизма T: A↷ATI=IT=T

Через σ1 обозначим категорию всех совместимых пар <img width=«28» height=«25» src=«ref-1_1455614052-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> пространств из σ.

Определение 2.1. Пусть <img width=«28» height=«25» src=«ref-1_1455614052-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">=(A0,A1)-заданная пара из σ1. Пространство A из σ будем называть промежуточным между A0и A1 (или относительно <img width=«28» height=«25» src=«ref-1_1455614052-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">), если имеют место непрерывные вложения.
<img width=«145» height=«31» src=«ref-1_1455614598-663.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> .
Если, кроме, того T: <img width=«28» height=«25» src=«ref-1_1455614052-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">↷<img width=«28» height=«25» src=«ref-1_1455614052-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">влечет T: A↷ A, то A называется интерполяционным пространством между A0и A1.

Более общим образом, пусть <img width=«28» height=«25» src=«ref-1_1455614052-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">и <img width=«26» height=«25» src=«ref-1_1455615807-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086"> — две пары из σ1. Тогда два пространства A и B из σ называются интерполяционными относительно <img width=«28» height=«25» src=«ref-1_1455614052-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">и <img width=«26» height=«25» src=«ref-1_1455615807-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">соответственно и T: <img width=«28» height=«25» src=«ref-1_1455614052-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">↷ <img width=«26» height=«25» src=«ref-1_1455615807-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">влечет T: A↷ B.

Если выполнено
<img width=«354» height=«41» src=«ref-1_1455616705-1155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">,


В этом случае, говорят, что A и B равномерные интерполяционные пространства.

Определение 2.2 Интерполяционные пространства A и B называются пространствами типа θ (0≤θ≤1), если
<img width=«278» height=«47» src=«ref-1_1455617860-912.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">
В случае с=1 говорят, что A и B — точные интерполяционные пространства типа θ.
3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц
Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора, спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерном случае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как она изменится в случае некоторого преобразования.

В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементов неотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектрального радиуса.

Определим пространство <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1455618772-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> как множество всех наборов вида
a=(a1, a2,…, aN)
снормой
<img width=«134» height=«57» src=«ref-1_1455618883-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">.


Множество Q={(k,l):k,l=1,…,N} назовем решеткой размерности NxN. Любое множество Q0={(ki,lj): <img width=«125» height=«27» src=«ref-1_1455619476-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">, <img width=«125» height=«31» src=«ref-1_1455619836-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">} будет являться подрешеткой размерности rxm.

Спектральный радиус линейного оператора в конечномерном пространстве <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1455618772-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> определяется следующим образом:
r(A)=<img width=«69» height=«39» src=«ref-1_1455620342-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">,
где lk — собственные значения оператора A.

Пусть m≤ N, d1,…,dm — положительные числа. Через Dm обозначим множество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимают значения d1,…,dm. Через P(A) обозначим множество индексов соответствующих положительным элементам. Пусть AÎDm. Если D={(ki,lj), i=1,…,q, j=1,…,p} подрешетка, содержащая P(A), то для соответствующего оператора А
<img width=«533» height=«76» src=«ref-1_1455620785-1869.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">
Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы норма не меняется.

Пусть даны положительные числа d1,…,dm и натуральное число m < N2.

Будем исследовать следующие вопросы:

Как расположить числа d1,…,dm в решетке Q, чтобы норма линейного оператора AQ соответствующего решетке (матрице) Q была максимальной?   

Пусть в неотрицательной решетке Qm положительных элементов. Как расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного оператора AQсоответствующей полученной решетке была максимальной?

Как расположить числа d1,…,dm в решетке Q, чтобы спектральный радиус был минимальным (максимальным)?

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1 Пусть d1,…,dm положительные числа, Dm — класс неотрицательных матриц, ненулевые элементы которых принимают значения d1,…,dm. Если m≤ N, Q0 -произвольная подрешетка размерности 1<img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1455622654-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">m, то
<img width=«250» height=«42» src=«ref-1_1455622735-927.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">.
Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством Коши-Буняковского, получаем
<img width=«436» height=«89» src=«ref-1_1455623662-2180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">

<img width=«410» height=«116» src=«ref-1_1455625842-2492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">

<img width=«496» height=«82» src=«ref-1_1455628334-2470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">
Неравенство в обратную сторону очевидно.

Теорема доказана.

Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше либо равно N, то своего максимума норма достигается когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце.

Теорема 3.2 Пусть d1=…=dm=d, то есть Dm– множество всех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которые равны числу d. Q0 -произвольная решетка, симметричная относительно главной диагонали размерности n<img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1455622654-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">n, где n=min{r: r2 ≥ m}. Тогда
<img width=«350» height=«48» src=«ref-1_1455630885-798.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">,
где [m1/2] — целая часть числа m1/2.

Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AÎDm
<img width=«436» height=«59» src=«ref-1_1455631683-1472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">

<img width=«191» height=«57» src=«ref-1_1455633155-681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">.
Пусть Q1 -подрешетка, также симметричная относительно главной диагонали размерности <img width=«75» height=«36» src=«ref-1_1455633836-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">. Тогда для AÎDm, Q1ÌP(A)ÌQ0имеет место представление
А=А1+А0, где А1, А0ÎDm, Р(А1)=Q1, P(A0)ÌQ1\Q0.
Учитывая, что матрицы А0и А1 неотрицательны, получаем
<img width=«181» height=«38» src=«ref-1_1455634075-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">,
поэтомуr(A0)≤r(A).

С другой стороны А1 – симметричная матрица и следовательно


<img width=«137» height=«41» src=«ref-1_1455634626-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">.
Таким образом,
<img width=«254» height=«48» src=«ref-1_1455635061-651.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">.
Теорема доказана.

Теорема 3.3 Пусть множество GÌQ, где Q — решетка размерности n<img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1455622654-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">n таково, что, если (k,l)ÎG, то (l,m),(n,k)ÏG для всех n,mÎ{1,2,…,N}.

Тогда, если P(A)ÌG, то r(P(A))=0.

Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевыми элементами из G (т.е. P(A)ÌG) имеет место равенство А2=0, т.е. А – нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное значение 0.

Теорема доказана.

Теорема 3.4 Пусть AÎDm. Пусть Q0-минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q0ÉP(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A.

Пусть Ad – матрица, полученная из матрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда
<img width=«254» height=«45» src=«ref-1_1455635793-900.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">
Доказательство.

Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы, то можно считать, что решетка A0={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m} расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть добавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i0,j0) вне решетки Q0. Возможны три случая:

1)                1 ≤ i0 ≤ l, j0 > m;

2)                i0 > l, 1 ≤ j0 ≤ m;

3)                i0 > l, j0 > m.

Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент и мы можем предположить, что a1m=0. Получаем:
<img width=«467» height=«93» src=«ref-1_1455636693-1854.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">

<img width=«519» height=«85» src=«ref-1_1455638547-2197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">

<img width=«542» height=«92» src=«ref-1_1455640744-2539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">
Используя неравенства
<img width=«131» height=«36» src=«ref-1_1455643283-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">, <img width=«143» height=«37» src=«ref-1_1455643666-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">
имеем:


<img width=«523» height=«86» src=«ref-1_1455644070-2608.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">
Пусть z1=x1, z2=x2,…,zm=<img width=«90» height=«37» src=«ref-1_1455646678-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> и
<img width=«291» height=«75» src=«ref-1_1455646930-1067.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">,
тогда
<img width=«554» height=«98» src=«ref-1_1455647997-2575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">

<img width=«333» height=«98» src=«ref-1_1455650572-1883.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">
где элемент <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1455652455-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> имеет координаты (1,m).

Следовательно
<img width=«250» height=«58» src=«ref-1_1455652553-1175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">
Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элемент соответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, что от перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что al1=0. Аналогично первому случаю имеем:
<img width=«462» height=«93» src=«ref-1_1455653728-1828.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">

<img width=«515» height=«87» src=«ref-1_1455655556-2191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">

<img width=«541» height=«98» src=«ref-1_1455657747-2623.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">.
Используя неравенства
<img width=«120» height=«36» src=«ref-1_1455660370-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">, <img width=«130» height=«37» src=«ref-1_1455660744-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">
получаем:
<img width=«496» height=«84» src=«ref-1_1455661136-2518.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">.
Пусть z1=y1, z2=y2,…,zm=<img width=«84» height=«37» src=«ref-1_1455663654-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> и
<img width=«277» height=«75» src=«ref-1_1455663902-1020.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">,


тогда
<img width=«530» height=«98» src=«ref-1_1455664922-2494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">

<img width=«327» height=«98» src=«ref-1_1455667416-1859.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">
где элемент <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1455652455-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> имеет координаты (l,1). Следовательно
<img width=«250» height=«58» src=«ref-1_1455652553-1175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">
Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк и столбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что alm=0. Рассуждая также, как и в предыдущих случаях, получаем:
<img width=«413» height=«84» src=«ref-1_1455670548-1679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">

<img width=«425» height=«82» src=«ref-1_1455672227-2079.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">

<img width=«197» height=«53» src=«ref-1_1455674306-869.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">


где элемент <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1455652455-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> имеет координаты (l,m).

Теорема доказана. Аналогичные задачи для интегральных операторов были рассмотрены в работах [1], [5].
4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств
Пусть 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q≤ ∞. Определим семейство конечномерных пространств:
<img width=«489» height=«85» src=«ref-1_1455675273-2215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">
где <img width=«57» height=«37» src=«ref-1_1455677488-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> невозрастающая перестановка последовательности <img width=«60» height=«36» src=«ref-1_1455677851-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">. Обозначим через <img width=«17» height=«28» src=«ref-1_1455678218-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">–множество всех непустых подмножеств из {1,2,...N} Пусть M<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1455678429-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"><img width=«17» height=«28» src=«ref-1_1455678218-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">    продолжение
--PAGE_BREAK--