Реферат: Кривые третьего и четвертого порядка

--PAGE_BREAK--Циссоида Диоклеса
1. Особенности формы.Среди многих способов образования циссоиды—кривой, открытой древними в поисках решения знамени­той задачи об удвоении куба, мы остановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким обра­зом точка М принадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3).

Если точку О принять за полюс, то <img width=«130» height=«17» src=«ref-1_290361310-1213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> но <img width=«177» height=«29» src=«ref-1_290362523-1668.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> откуда получаем полярное уравнение циссоиды

<img width=«81» height=«38» src=«ref-1_290364191-1020.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">                (1)

Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым, найдем уравнение циссоиды в пря­моугольной системе:

<img width=«93» height=«25» src=«ref-1_290365211-863.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">             (2)

Параметрические    уравнения циссоиды можно получить, пола­гая x=ty, тогда, на основании уравнения (2), придем к системе

<img width=«205» height=«29» src=«ref-1_290366074-1730.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">

<img width=«204» height=«216» src=«ref-1_290367804-5900.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">

Рис. 3

Уравнение (2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравне­ний (3) следует, что она является рациональной кривой.

Циссоида симметрична относи­тельно оси абсцисс, имеет бесконеч­ные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая х = 2а, служит для нее асимптотой; начало координат является точ­кой возврата 1-го рода.

2. Свойства.Кинематически циссоида может быть получена как траектория середины М катета ВС треугольника АВС, передвигаю­щегося в плоскости чертежа так, что его вершина В скользит по оси ординат, а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс. (Рис. 4)

Действительно, обозначив середину отрезка ОЕ через D
,замечаем, что поскольку ВС=ЕО, ê
ВСЕ=
ê
ВЕО,откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ, и, следовательно, ê

NBE
—равнобедренный, а так как  ЕD
=ЕО/2=ВС/2=ВМ,то отрезок DMпараллелен отрезку BE
.Пусть, далее, точка К есть точка пересечения с продолжением отрезка DMпря­мой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишем окружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к ней касательную во второй точке пересечения с прямой ЕО. Она пройдет, очевидно, через точку К. Обозначив точку пересечения прямой DMKс окружностью через F
,заметим, что тре­угольники DOFи МВК равны между собой. Из равенства их сле­дует, что DF
=
MK
,а значит, и DM
=
FK
.Последнее равенство и показывает, что геометрическое место точек М будет циссоидой.

Другие способы образования циссоиды основаны на ее соотноше­ниях с параболой. Покажем в первую очередь, что циссоида яв­ляется подэрой параболы относительно ее вершины.

<img width=«100» height=«13» src=«ref-1_290373704-1035.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055"> – уравнение данной параболы. Уравнение каса­тельной в произвольной точке М (x, h)этой параболы можно записать в виде <img width=«116» height=«22» src=«ref-1_290374739-1063.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056"> уравнение перпендикуляра, опущенного из

<img width=«246» height=«129» src=«ref-1_290375802-5121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">

Рис. 4.

начала координат на эту касательную, будет <img width=«74» height=«23» src=«ref-1_290380923-740.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058"> координаты точки N пересечения его с касательной определятся по формулам

<img width=«127» height=«59» src=«ref-1_290381663-1916.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">                (4)

Исключая из этих равенств параметр h, мы получим уравнение  <img width=«32» height=«19» src=«ref-1_290383579-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">

<img width=«77» height=«28» src=«ref-1_290384105-952.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> выражающее циссоиду.

Заметим далее, что координаты точки, симметричной началу коор­динат относительно касательной к параболе у2 = 2рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно, определятся формулами

<img width=«184» height=«27» src=«ref-1_290385057-1544.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">

Исключая из этих равенств параметр h, мы снова получим циссоиду с уравнением <img width=«83» height=«26» src=«ref-1_290386601-882.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> Отсюда следует, что циссоида является геометрическим местом точек, симметричных вершине параболы относительно ее каса­тельных.

Следует заметить, что геометрическое место точек, симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рас­сматривать как траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится по данной параболе. Таким образом, возни­кает новый способ кинематического образования циссоиды как тра­ектории вершины параболы, которая без скольжения катится по другой такой же параболе.

Остановимся на метрических свойствах циссоиды; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениями циссоиды в виде <img width=«177» height=«25» src=«ref-1_290387483-1424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">

Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняется утроенной площади производящего круга; действительно,

<img width=«256» height=«56» src=«ref-1_290388907-2470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">

Это соотношение получено было Гюйгенсом и независимо от него Ферма.

<img width=«174» height=«134» src=«ref-1_290391377-3205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">

Рис. 5.

Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис.5), найдем, интегрируя в границах <img width=«62» height=«14» src=«ref-1_290394582-696.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> до <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_290395278-560.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> что она равна <img width=«69» height=«23» src=«ref-1_290395838-791.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069"> Если теперь провести касательные в точках А и С к производящему кругу, то площадь криволинейного треугольника CMANC будет равна <img width=«89» height=«25» src=«ref-1_290396629-883.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">

<img width=«136» height=«29» src=«ref-1_290397512-1408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> Выражение, стоя­щее в правой части, определяет утроенную площадь криволинейного треугольника CLANC. Итак, пл. CMANC =3 пл. CLANC. Это соотношение было открыто также Гюйгенсом.

Объем тела, образованного вращением части плоскости, ограни­ченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат определится по формуле

<img width=«427» height=«84» src=«ref-1_290398920-6415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">

Если учесть, что объем тора, получаемого от вращения производя­щего круга вокруг оси ординат, равняется<img width=«35» height=«14» src=«ref-1_290405335-603.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> то из полученного результата следует, что объем тела, получаемого вращением части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат, в пять раз больше объема тора, полученного от вра­щения производящего круга вокруг той же оси. Это соотношение было получено также Гюйгенсом.

Пусть теперь хс — абсцисса центра тяжести части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой; тогда по теореме Гюльдена будем иметь V == U • 2pхс, где V и U—соответственно объем и площадь, которые были определены выше. Подставляя их значения

в соотношение Гюльдена, получим <img width=«180» height=«28» src=«ref-1_290405938-1501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">

Таким образом, центр тяжести части плоскости, ограни­чиваемой циссоидой и ее асимптотой, делит отрезок между вершиной и асимптотой на две части, отношение которых равно 5.

Это соотношение позволяет в свою очередь определить объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты. По тео­реме Гюльдена будем иметь

<img width=«244» height=«19» src=«ref-1_290407439-1774.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">

<img width=«96» height=«26» src=«ref-1_290409213-1020.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">

Этот результат можно истолковать также как объем тора, полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты. Таким образом, объем тела, полученного вращением циссоиды во­круг ее асимптоты, равен объему тора, полученного от вращения производящего круга. Это  соотношение установлено впервые Слюзом.

Длина дуги циссоиды от ее вершины до точки с абсциссой х определится по формуле

<img width=«256» height=«45» src=«ref-1_290410233-2458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">

<img width=«315» height=«38» src=«ref-1_290412691-3534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">

3. Применение циссоиды к решению делосской задачи. Как уже говорилось, циссоида была открыта древними в поисках решения делосской задачи об удвоении куба. История возникновения этой задачи, согласно легенде, передаваемой Эратосфеном, такова: на острове Делосе жители страдали от мора, посланного им богами; по предсказанию оракула богов можно было умиротворить, удвоив объем жертвенника, имевшего форму куба. Суть задачи сводилась к определению ребра куба, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. Что касается самого повода постановки задачи, то справедливо полагать, что «пифия находилась скорее под внуше­нием математиков, нежели вдохновлялась самим богом» (Цейтен), так как задача об удвоении куба являлась естественным перенесением в пространство планиметрической задачи о построении квадрата с пло­щадью, в два раза большей площади данного квадрата, и, следовательно, могла скорее возникнуть в сознании математика, нежели в сознании оракула.

Открытие циссоиды для целей решения делосской задачи при­писывается Диоклесу, жившему в 3 веке до нашей эры. Воз­можность найти графическим путем ребро куба с объемом, в два раза большим объема данного куба, усматривается из следую­щих соображений. Пусть b– ребро данного куба, а В – ребро искомого; тогда <img width=«52» height=«14» src=«ref-1_290416225-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> и, следовательно, <img width=«68» height=«16» src=«ref-1_290416914-754.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080"> Отсюда ясно, что графическое решение задачи должно свестись к построению <img width=«26» height=«18» src=«ref-1_290417668-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">

Пе­репишем для этой цели уравнение циссоиды в виде <img width=«100» height=«28» src=«ref-1_290418245-1099.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> Заметим далее, что прямая <img width=«47» height=«26» src=«ref-1_290419344-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> отсекает от касательной отрезок (рис. 6)

<img width=«67» height=«18» src=«ref-1_290419941-728.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">       (5)

и пересекает циссоиду в точке М, координаты которой удо­влетворяют уравнению <img width=«79» height=«25» src=«ref-1_290420669-837.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">

Это уравнение можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через точку А (2а, 0) и отсекающей на оси ординат отрезок

<img width=«74» height=«22» src=«ref-1_290421506-838.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">                  (6)

Если теперь принять <img width=«39» height=«29» src=«ref-1_290422344-647.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> и на оси ординат отложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А(1, 0), а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученный отрезок до пересечения с касательной, то, как это следует из фор­мул (5) и (6), отрезок AD и будет равен <img width=«26» height=«18» src=«ref-1_290417668-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">

Древние рассматривали только ту часть циссоиды, которая нахо­дится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща, откуда проистекает название кривой. Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и неза­висимо от него Слюзом. Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольника приписывается Ньютону, который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическим путем, но и графическим.
<img width=«195» height=«267» src=«ref-1_290423568-7653.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">

Рис. 6

    продолжение
--PAGE_BREAK--