Реферат: Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта.

В настоящие время при составлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты.

Например, уравнение

(С*d (DQ) /СC*dt) + DQ= 2*I*R*DI/ СC*F (1)

DI/I= XВХхарактеризует относительное отклонение входной величины от базового значения, а DQ/ Q= Хвыхотносительное отклонение выходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциального уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными. Так, например, уравнение (1) можно записать в безразмерной форме, заменив:

DQ= Q*Хвыхи DI=I*XВХ

Тогда

С* Q* dХвых / СC* F* dt+ QХвых= 2* I2* R* XВХ/ СC*F

Разделив обе части уравнения на Q0, получим:

С* dХвых / СC* F* dt+ Хвых= 2* I2* R* XВХ/ СC*F* Q

Обозначим:

С/ СC* F= Т2* I2* R/ СC*F* Q= R

Коэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени

В самом деле,

С[дж/град]/ СC[вт/см2*град]* F[см ]= С/ СC* F[дж*см2*град/град*вт*см2]

Коэффициент К при XВХ называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным:

2* I02[А2]* R[Ом]/ СC[ вт/см2*град ]*F[ см ]* Q0[град] =

= 2* I02* R/ СC*F* Q0[А2*Ом*см2*град/Вт*см2*град] =

= 2* I2* R/ СC*F* Q[]= К

Уравнение (1) с учетом введённых обозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид:

Т* Х/вых + Х вых = К* Х вх (2)

Определим для примера уравнение кривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой было введено ранее:

Т* Х/вых + Х вых = К* Х вх

Будем искать решение этого уравнения в виде

Х вых = С*еrt+ K* Х вх

Где r и С подлежат определению

Подставляя значения Х вых и Х/вых в уравнение (2). Получим

Т* С*r*еrt+ С*еrt= 0

Сокращая на С*еrtбудем иметь:

Т*r+ 1 = 0

Откуда r= — 1/Т и решение примет вид

Х вых = К* Х вх (1-е-t/T)

При t= 0 Х вых = 0 следовательно С = К* Х вх . тогда уравнение кривой разгона будет:

Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)

График кривой разгона:

При t= ¥выходная величина Х вых достигает предельного значения

Х вых. уст = К* Х вх

Коэффициент усиления К определяет отношение установившихся значений выходной величины к входной:

К = Х вых. уст/ Х вх

Коэффициент усиления может быть непосредственно найден из графика переходной функции; постоянная времени Т характеризует инерционность процесса.

Таким образом, кривые разгона дают наглядное представление о характере протекания переходных процессов в системе или объекте.